Traitement du signal

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Traitement du signal

  1. 1. Traitement du Signal Jean-Yves Tourneret(1)(1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSAThème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information jyt@n7.fr Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 1/82
  2. 2. BibliographieJ. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques detraitement du signal, Dunod, 5me édition, 2004.Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability,Random Variable and Stochastic Processes, McGraw HillHigher Education, 4th edition, 2002. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 2/82
  3. 3. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de Rx (τ ) et de sx (f )Chapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 3/82
  4. 4. Transformée de FourierDéfinitions Formule directe X(f ) = x(t) exp (−j2πf t) dt R Formule inverse x(t) = X(f ) exp (j2πf t) df RHypothèsesTF sur L1 ou L2 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 4/82
  5. 5. PropriétésLinéarité TF [ax(t) + by(t)] = aX(f ) + bY (f )Parité x(t) réelle paire ⇒ X(f ) réelle paireTranslation et Modulation TF [x(t − t0 )] = exp(−j2πf t0 )X(f ) TF [x(t) exp(j2πf0 t)] = X(f − f0 )Similitude 1 f TF [x(at)] = X |a| a Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 5/82
  6. 6. PropriétésProduits de Convolution TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f )Y (f ) TF [x(t)y(t)] = X(f ) ∗ Y (f )Égalite de Parseval x(t)y ∗ (t)dt = X(f )Y ∗ (f )df R RConjugaison TF [x∗ (t)] = X ∗ (−f ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 6/82
  7. 7. DistributionsLocalisation x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 )Produit de Convolution x(t) ∗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 )Transformées de FourierTF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f )TF [δ(t − t0 )] = exp(−j2πf t0 ), TF [exp(j2πf0 t)] = δ(f − f0 ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 7/82
  8. 8. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de Rx (τ ) et de sx (f )Chapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 8/82
  9. 9. Classes de signaux déterministes et aléatoires Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie Classe 2 : signaux déterministes périodiques à puissance finie Classe 3 : signaux déterministes non périodiques à puissance finie Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 9/82
  10. 10. Signaux déterministes à énergie finieDéfinition E = R |x(t)|2 dt = R |X(f )|2 df < ∞Fonction d’autocorrélation Rx (τ ) = x(t)x∗ (t − τ )dt = x(t), x(t − τ ) RFonction d’intercorrélation Rxy (τ ) = x(t)y ∗ (t − τ )dt = x(t), y(t − τ ) RProduit scalaire x(t), y(t) = x(t)y ∗ (t)dt R Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 10/82
  11. 11. Densité spectrale d’énergieDéfinition sx (f ) = TF [Rx (τ )]Propriété sx (f ) = |X(f )|2 Preuve sx (f ) = x(t)x∗ (t − τ )dt exp(−j2πf τ )dτ R R = x∗ (t − τ ) exp(−j2πf τ )dτ x(t)dt R R = x∗ (u) exp [j2πf (u − t)] du x(t)dt R R ∗ = X (f )X(f ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 11/82
  12. 12. ExempleFenêtre rectangulaire 1 si − T < t < 2 T 2 x(t) = ΠT (t) = 0 sinonFonction d’autocorrélation Rx (τ ) = T ΛT (τ )Densité spectrale d’énergie sx (f ) = T 2 sinc2 (πT f ) = |X(f )|2 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 12/82
  13. 13. Signaux déterministes périodiques 1 T0 /2Définition P = T0 −T0 /2 |x(t)|2 dt <∞Fonction d’autocorrélation T0 /2 1 Rx (τ ) = x(t)x∗ (t − τ )dt = x(t), x(t − τ ) T0 −T0 /2Fonction d’intercorrélation T0 /2 1 Rxy (τ ) = x(t)y ∗ (t − τ )dt = x(t), y(t − τ ) T0 −T0 /2Produit scalaire T0 /2 1 x(t), y(t) = x(t)y ∗ (t)dt T0 −T0 /2 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 13/82
  14. 14. Densité spectrale de puissanceDéfinition sx (f ) = TF [Rx (τ )]Propriété sx (f ) = |ck |2 δ(f − kf0 ) k∈Zavec x(t) = k∈Z ck exp(j2πkf0 t). Preuve T0 /2 ∗ 1 Rx (τ ) = ck cl exp (j2πlf0 τ ) exp [j2π(k − l)f0 t] dt T0 −T0 /2 k,l = |ck |2 exp(j2πkf0 τ ) k Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 14/82
  15. 15. ExempleSinusoïde x(t) = A cos(2πf0 t)Fonction d’autocorrélation A2 Rx (τ ) = cos(2πf0 τ ) 2Densité spectrale de puissance A2 sx (f ) = [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] 4 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 15/82
  16. 16. Signaux déterministes à puissance finie 1 T /2 Définition P = lim T −T /2 |x(t)|2 dt <∞ T →∞ Fonction d’autocorrélation T /2 1 Rx (τ ) = lim x(t)x∗ (t − τ )dt = x(t), x(t − τ ) T →∞ T −T /2 Fonction d’intercorrélation T /2 1 Rxy (τ ) = lim x(t)y ∗ (t − τ )dt = x(t), y(t − τ ) T →∞ T −T /2 Produit scalaire T /2 1 x(t), y(t) = lim x(t)y ∗ (t)dt T →∞ T −T /2 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 16/82
  17. 17. Densité spectrale de puissanceDéfinition sx (f ) = TF [Rx (τ )]Propriété 1 sx (f ) = lim |XT (f )|2 T →∞ Tavec T /2 XT (f ) = x(t) exp(−j2πf t)dt −T /2Exemple x(t) = A1 cos(2πf1 t) + A2 cos(2πf2 t)avec f1 et f2 non commensurables. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 17/82
  18. 18. Signaux aléatoires stationnaires Définition Moyenne : E[x(t)] indépendant de t Moment d’ordre 2 : E[x(t)x∗ (t − τ )] indépendant de t Fonction d’autocorrélation Rx (τ ) = E[x(t)x∗ (t − τ )] = x(t), x(t − τ ) Fonction d’intercorrélation E[x(t)y ∗ (t − τ )] = x(t), y(t − τ ) Produit scalaire x(t), y(t) = E[x(t)y ∗ (t)]Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l’ordre deux, tests de stationnarité. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 18/82
  19. 19. Densité spectrale de puissancePuissance moyenne P = Rx (0) = E |x(t)|2 = sx (f )df RDensité spectrale de puissance Définition sx (f ) = TF [Rx (τ )] Propriété 1 sx (f ) = lim E |XT (f )|2 T →∞ T mais en général X(f ) n’existe pas ! Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 19/82
  20. 20. ExemplesExemple 1 : Sinusoïde x(t) = A cos(2πf0 t + θ)θ va uniforme sur [0, 2π]. Fonction d’autocorrélation A2 Rx (τ ) = cos(2πf0 τ ) 2 Densité spectrale de puissance A2 sx (f ) = [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] 4 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 20/82
  21. 21. ExemplesExemple 2 : Bruit blanc Fonction d’autocorrélation N0 Rx (τ ) = δ(τ ) 2 Densité spectrale de puissance N0 sx (f ) = 2 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 21/82
  22. 22. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de Rx (τ ) et de sx (f )Chapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 22/82
  23. 23. Propriétés de Rx(τ ) ∗Symétrie Hermitienne : Rx (−τ ) = Rx (τ )Valeur maximale : |Rx (τ )| ≤ Rx (0)Distance entre x(t) et x(t − τ ) : si x(t) est un signal réel d2 [x(t), x(t − τ )] = 2 [Rx (0) − Rx (τ )]Donc Rx (τ ) mesure le lien entre x(t) et x(t − τ ).Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a Rx (τ ) = R1 (τ ) + R2 (τ )où R1 (τ ) est une somme de fonctions périodiques etR2 (τ ) tend vers 0 lorsque τ → ∞. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 23/82
  24. 24. Propriétés de sx(f )DSP réelle sx (f ) ∈ RDe plus, si x(t) signal réel, sx (f ) réelle pairePositivité : sx (f ) ≥ 0Lien entre DSP et puissance/énergie P ou E = Rx (0) = sx (f )df RDécomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a sx (f ) = s1 (f ) + s2 (f ), où s1 (f ) est unspectre de raies et s2 (f ) un spectre continu (casgénéral : partie singulière). Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 24/82
  25. 25. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences ExemplesChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 25/82
  26. 26. IntroductionOn cherche une opération avec les propriétés suivantes Linéarité : T [a1 x1 (t) + a2 x2 (t)] = a1 T [x1 (t)] + a2 T [x2 (t)] Invariance dans le temps Si y(t) = T [x(t)] alors T [x(t − t0 )] = y(t − t0 ) Stabilité BIBO Si |x(t)| ≤ Mx alors il existe My tel que |y(t)| = |T [x(t)] | ≤ My “Limitation” du spectre d’un signal Convolution y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(u)h(t − u)du = h(t) ∗ x(t) R Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 26/82
  27. 27. CommentairesLa linéarité ne suffit pas. Contre-exemple y(t) = m(t)x(t)CNS de Stabilité BIBO |h(t)|dt ∞, i.e., h ∈ L1 RRéponse impulsionnelle et Transmittance H(f ) = TF [h(t)] = h(t) exp(−j2πf t)dt RSi x(t) = δ(t) alors y(t) = h(t). Ceci permet d’obtenir laseule réponse impulsionnelle possible. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 27/82
  28. 28. Réalisabilité d’un filtreDomaine temporel (1) h(t) réelle (2) h(t) ∈ L1 (stabilité) (3) h(t) causale (filtre sans mémoire)Domaine spectral (1) Symétrie hermitienne : H ∗ (−f ) = H(f ) (2) ne peut se traduire 1 (3) H(f ) = −j H(f ), où H(f ) = H(f ) ∗ πf est la transformée de Hilbert de H (preuve dans le cours manuscrit). Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 28/82
  29. 29. Écriture équivalenteEn écrivant H(f ) = Hr (f ) + jHi (f ), on obtient 1 Hr (f ) =Hi (f ) ∗ πf 1 Hi (f ) = − Hr (f ) ∗ πf Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 29/82
  30. 30. Identifier une relation de filtrage linéaire Signaux déterministes y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔ Y (f ) = X(f )H(f ) Signaux aléatoires : Isométrie fondamentale I I Si x(t) ↔ ej2πf t , alors y(t) ↔ ej2πf t H(f ) Exemples n y(t) = k=1 ak x(t − tk ) y(t) = x′ (t) y(t) = x(t)m(t) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 30/82
  31. 31. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences ExemplesChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 31/82
  32. 32. Relations de Wiener LeeDensité spectrale de puissance sy (f ) = sx (f )|H(f )|2Intercorrélation Ryx (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ )Autocorrélation Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h∗ (−τ ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 32/82
  33. 33. Preuves (signaux à énergie finie)Densité spectrale de puissance sy (f ) = |Y (f )|2 = |X(f )H(f )|2 = sx (f )|H(f )|2IntercorrélationRyx (τ ) = y(u)x∗ (u − τ )du R −j2πf τ ∗ = Y (f ) e X(f ) df R = X(f )H(f ) ej2πf τ X ∗ (f ) df R = sx (f )H(f )ej2πf τ df = TF−1 [sx (f )H(f )] CQFD R Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 33/82
  34. 34. Preuve (signaux à puissance finie)Intercorrélation T0 /2 1 Ryx (τ ) = y(t)x∗ (t − τ )dt T0 −T0 /2 T0 /2 1 = h(v)x(t − v)dv x∗ (t − τ )dt T0 −T0 /2 R T0 /2 1 = h(v) x(t − v)x∗ (t − τ )dt dv R T0 −T0 /2 = h(v)Rx (τ − v)dv CQFD Retc ... Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 34/82
  35. 35. Preuves (signaux aléatoires)Intercorrélation Ryx (τ ) =E[y(t)x∗ (t − τ )] = y(t), x(t − τ ) = ej2πf t H(f ), ej2πf (t−τ ) = ej2πf t H(f )e−j2πf (t−τ )sX (f )df R = H(f )ej2πf τ sX (f )df R = h(τ ) ∗ Rx (τ ) CQFDetc ... Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 35/82
  36. 36. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences ExemplesChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 36/82
  37. 37. Formule des interférencesHypothèses y1 (t) = x(t) ∗ h1 (t) et y2 (t) = x(t) ∗ h2 (t)Conclusion Ry1 y2 (τ ) = sx (f )H1 (f )H2 (f )ej2πf τ df ∗ R Preuve ∗ Ry1 y2 (τ ) = y1 (t)y2 (t − τ )dt R −j2πf τ ∗ = Y1 (f ) e Y2 (f ) df R = H1 (f )X(f )ej2πf τ H2 (f )X ∗ (f )df ∗ CQFD R Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 37/82
  38. 38. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage Linéaire Introduction Relations de Wiener-Lee Formule des interférences ExemplesChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 38/82
  39. 39. ExemplesFiltre Passe-bas Transmittance H(f ) = ΠF (f ) Réponse impulsionnelle h(t) = F sinc (πF t) non causale et ∈ L1 ⇒ troncature + décalage /Filtres liaisons montante et descendante d’une chaînede transmission Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 39/82
  40. 40. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : Échantillonnage Échantillonnage idéal Échantillonnage réel Méthodes pratiques de restitutionChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 40/82
  41. 41. Échantillonnage idéalSignaux à énergie finie Domaine temporel xe (t) = x(kTe )δ(t − kTe ) = x(t) δ(t − kTe ) k∈Z k∈Z Domaine Fréquentiel Xe (f ) = X(f ) ∗ Fe δ(f − kFe ) = Fe X(f − kFe ) k∈Z k∈Z Périodisation du spectre Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 41/82
  42. 42. CommentairesThéorème de Shannon Fe 2fmaxRestitution Xr (f ) = Xe (f )Πfe (f )Interpolateur de Shannon xr (t) = Fe x(kTe )sinc [πFe (t − kTe )] k∈ZGénéralisation xr (t) = x(kTe )h (t − kTe ) k∈Z Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 42/82
  43. 43. CommentairesFréquences normalisées f 1 Fe 2fmax ⇔ f= ≤ Fe 2Repliement et filtre anti-repliement Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 43/82
  44. 44. Échantillonnage d’une sinusoïdeSignal et spectre Ax(t) = A cos(2πf0 t) ⇔ X(f ) = [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] 2Cas particulier Fe = 2f0Repliement f0 = 5kHz et Fe = 100kHz f0 = 5kHz et Fe = 8kHzFiltre de restitution ΠFe (f ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 44/82
  45. 45. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : Échantillonnage Échantillonnage idéal Échantillonnage réel Méthodes pratiques de restitutionChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 45/82
  46. 46. Échantillonnage bloqueurDomaine temporel τ τ xb (t) = x(kTe )πτ t − − kTe = xe (t) ∗ πτ t − 2 2 k∈ZDomaine spectral τ −jπτ f Xb (f ) = e sinc(πτ f ) X(f − kFe ) Te k∈ZSpectre d’ordre 0 τ −jπτ f X0 (f ) = e sinc(πτ f )X(f ) TeConditions de restitution Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 46/82
  47. 47. Échantillonnage réelÉchantillonnage moyenneurvoir TDÉchantillonnage à porte analogique...Exemples Téléphone fmax = 3400Hz et Fe = 8kHz Audio fmax = 15kHz et Fe = 44.1kHz Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 47/82
  48. 48. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : Échantillonnage Échantillonnage idéal Échantillonnage réel Méthodes pratiques de restitutionChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 48/82
  49. 49. RestitutionFiltrage passe bas H(f ) = ΠFe (f )Interpolation linéaireFiltre non causalBloqueur d’ordre 0Utilisé dans la quasi-totalité des applications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 49/82
  50. 50. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéaires Introduction Quadrateur QuantificationChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 50/82
  51. 51. IntroductionTransformation sans mémoire y(t) = g [x(t)]Exemples Quadrateur y(t) = x2 (t) Quantification y(t) = xQ (t) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 51/82
  52. 52. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéaires Introduction Quadrateur QuantificationChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 52/82
  53. 53. QuadrateurSignaux déterministes Y (f ) = X(f ) ∗ X(f )Exemples Sinusoïde : x(t) = A cos(2πf0 t) A2 A2 Y (f ) = δ(f ) + [δ(f − 2f0 ) + δ(f + 2f0 )] 2 4 Disparition de la fréquence f0 et apparition de la fréquence 2f0 Somme de sinusoïdes : Termes d’intermodulation Sinus cardinal : doublement de la largeur de bande Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 53/82
  54. 54. Quadrateur pour signaux aléatoiresThéorème de Price Hypothèses (X1 , X2 ) vecteur Gaussien de moyenne nulle Y1 = g(X1 ) et Y2 = g(X2 ) Conclusion ∂E(Y1 Y2 ) ∂Y1 ∂Y2 =E ∂E(X1 X2 ) ∂X1 ∂X2 Application au quadrateur 2 RY (τ ) = 2RX (τ ) + K Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 54/82
  55. 55. RemarquesLoi Gaussienne bivariée 1 1 T −1 p(x1 , x2 ) = exp − x Σ x 2π |Σ| 2Stationnarité E [Y (t)Y (t − τ )] = g (x1 ) g (x2 ) p (x1 , x2 ) dx1 dx2avec x1 = X(t), x2 = X(t − τ ) et RX (0) RX (τ ) Σ= RX (τ ) RX (0) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 55/82
  56. 56. Détermination de KMoments d’une loi Gaussienne centréeE X 2n+1 = 0, E X 2n = [(2n−1)×(2n−3)...×3×1]σ 2nτ =0 E Y 2 (t) = E X 4 (t) = 3RX (0) = 2RX (0) + K 2 2Autocorrélation 2 2 RY (τ ) = 2RX (τ ) + RX (0)Densité spectrale de puissance 2 sY (f ) = 2sX (f ) ∗ sX (f ) + RX (0)δ(f ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 56/82
  57. 57. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéaires Introduction Quadrateur QuantificationChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 57/82
  58. 58. QuantificationPrincipe ∆qi ∆qi xQ (t) = i∆qi = xi et xi − ≤ x(t) ≤ xi + 2 2Définitions Pas de quantification ∆qi Quantification uniforme ∆qi = ∆q = 2Amax N Niveaux de quantification: xi Nombre de bits de quantification N = 2n Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 58/82
  59. 59. Erreur de quantificationHypothèseǫ(t) suit la loi uniforme sur − ∆q , ∆q , i.e., N ≥ 28 2 2Rapport signal sur bruit de quantification 2 σx SNRdB = 10 log10 2 σǫ 2 (∆q)2 Variance du bruit : σǫ = 12 2 A2 Sinusoïde : σx = 2Conclusion SNRdB = 6n + 1.76 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 59/82
  60. 60. RemarquesGénéralisation à un signal Gaussien 2Sσ = N ∆q ⇒ SNRdB = 6n + ...Quantification non uniforme Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 60/82
  61. 61. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de Poisson Définition Signal des télégraphistes Introduction aux files d’attenteChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 61/82
  62. 62. Processus de Poisson homogèneNotations Instants : {tj }j∈Z Nombre d’instants dans [t, t + τ [ : N (t, τ )Hypothèses Stationnarité (régime établi) : Pn (τ ) = P [N (t, τ ) = n] est indépendante de t. Indépendance du passé et de l’avenir (non embouteillage) : si [t, t + τ [ et [t′ , t′ + τ ′ [ sont des intervalles disjoints, alors N (t, τ ) et N (t′ , τ ′ ) sont des va indépendantes. Non accumulation (non simultanéité des instants ti ) : si φ(τ ) = P [N (t, τ ) ≥ 2], alors φ(τ ) → 0 τ τ →0 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 62/82
  63. 63. ConclusionsLoi de N (t, τ )N (t, τ ) suit une loi de Poisson de paramètre λτ , où λ estle nombre moyen d’instants dans un intervalle delargeur τ = 1.Loi des largeurs d’intervalles :Si Ln = tn+1 − tn , alors {Ln }n∈Z est une suite de vaindépendantes de lois exponentielles de paramètre λ(utile pour la simulation)Loi des instantsSi l’intervalle [0, t[ contient n instants t1 , ..., tn , alorschaque instant ti suit une loi uniforme sur [0, t[. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 63/82
  64. 64. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de Poisson Définition Signal des télégraphistes Introduction aux files d’attenteChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 64/82
  65. 65. Signal des télégraphistesDéfinition   A si t = 0  X(t) = A si N (0, t) pair   −A si N (0, t) impairoù A est uniforme sur {−1, +1}.Stationnarité Moyenne E [X(t)] = 2P [X(t) = 1] − 1 = 0 Fonction d’autocorrélation E [X(t)X(t − τ )] = e−2λ|τ | , τ ∈R Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 65/82
  66. 66. Signal des télégraphistesDensité spectrale de puissance λ sX (f ) = 2 λ + π2f 2ApplicationImagerie radar à synthèse d’ouverture (Imagerie SAR) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 66/82
  67. 67. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de Poisson Définition Signal des télégraphistes Introduction aux Files d’attenteChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 67/82
  68. 68. Introduction aux Files d’attenteHypothèses Un guichet Une file d’attente Arrivée des clients décrite par un processus de Poisson de paramètre λ Temps de service Ts ∼ E(µ) avec E(Ts ) = 1/µConclusion (admise)Probabilité d’avoir n clients dans le système à l’instant t P [X(t) = n] = (1 − Q)Qn , n ∈ Navec Q = λ/µ 1. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 68/82
  69. 69. Nombres moyens de clientsDans le système Q L = E [X(t)] = 1−QDans la file d’attente Q2 LQ = E XQ (t) = 1−QRésultat utile ∞ n x nx = 2 , |x| 1 (1 − x) n=1 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 69/82
  70. 70. Temps de séjour moyen d’un client CDans le système 1 W = E (T ) = E [E (T |An )] = µ(1 − Q)où An est l’événement “il y a n clients dans le systèmelorsque C y rentre”.Dans la file d’attente 1 Q WQ = E T Q = E (T ) − = µ µ(1 − Q)Formules de Little L LQ = =λ W WQ Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 70/82
  71. 71. Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et SpectresChapitre 2 : Filtrage LinéaireChapitre 3 : ÉchantillonnageChapitre 4 : Traitements Non-linéairesChapitre 5 : Processus de PoissonChapitre 6 : Signaux des télécommunications Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 71/82
  72. 72. Signaux des télécommunicationsChaîne de transmission Échantillonnage et Quantification Codage Mise en forme modulation ...Le signal NRZ : soit {An }n∈Z une suite de va binairesindépendantes avec P [An = 1] = 1 − P [An = 0] = p. Modèle 1 X(t) = At Modèle 2 Y (t) = X(t + φ) = At+φ Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 72/82
  73. 73. Signal NRZ (modèle 1)Moyenne E[X(t)] = E[At ] = pFonction d’autocorrélation E[X(t)X(t − τ )] dépend de tExemple : t = 1 , τ = − 1 et t = 3 , τ = − 1 . 4 2 4 2 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 73/82
  74. 74. Signal NRZ (modèle 2)Moyenne E[Y (t)] = p.Fonction d’autocorrélation E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2 )Λ1 (τ ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 74/82
  75. 75. PreuvesMoyenne E[Y (t)] = E[At+φ ] = E[φ E[At+φ |φ]] = E[p] = p. CQFD Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 75/82
  76. 76. PreuvesFonction d’autocorrélation E[Y (t)Y (t − τ )] = E[At+φ At−τ +φ ] = E[φ E[At+φ At−τ +φ |φ]] 1 = E[At+φ At−τ +φ ]dφ 0 t+1 = E[Au Au−τ ]du t 1 = E[A0 Au−τ ]du. 0 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 76/82
  77. 77. Preuvesτ ≤ −1 1 1 E[A0 Au−τ ]du = E[A0 ]E[Au−τ ]du 0 0 2 =p .−1 ≥ τ ≥ 0 1 1+τ 1 E[A0 Au−τ ]du = pdu + p2 du 0 0 1+τ = p(1 + τ ) − p2 τ. Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 77/82
  78. 78. Signal NRZ (modèle 2)Moyenne E[Y (t)] = p.Fonction d’autocorrélation E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2 )Λ1 (τ ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 78/82
  79. 79. Généralisation X(t) = At/T , Y (t) = X(t + φ)Moyenne E[Y (t)] = p.Fonction d’autocorrélation E[Y (t)Y (t − τ )] = p2 + (p − p2 )ΛT (τ ).Densité spectrale de puissance sY (f ) = p2 δ(f ) + (p − p2 )T sinc2 (πT f ) 2Bande passante : B = T (si T ց, le débit ր et B ր) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 79/82
  80. 80. Signal BiphaseFormes d’onde T m1 (t) = 2ΠT /2 t− − 1, m0 (t) = −m1 (t) 4Moyenne : E[X(t)] = 0Fonction d’autocorrélation E[X(t)X(t − τ )] = R1 (τ ) + R2 (τ )avec R1 (τ ) = k∈Z m(τ − kT ) périodique, R2 (τ ) desupport [−T, +T ], et m(t) = 2(2p − 1)2 ΛT /2 (τ ) − (2p − 1)2 ΠT (τ ) Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 80/82
  81. 81. Signal BiphaseDensité spectrale de puissance sX (f ) = s1 (f ) + s2 (f )avec s1 (f ) spectre de raies k k s1 (f ) = M δ f− T T k∈Zet s2 (f ) spectre continu πT f sin4 2 s2 (f ) = [1 − (2p − 1)2 ] 2 πT f 2 Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 81/82
  82. 82. RemarquesFonction M 2k M =0 T 2k + 1 4 (2p − 1)2 M = 2 T π (2k + 1)2pour k ∈ Z. récupération de l’horloge Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 82/82

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