Chapitre 5 échantillonnage.pptx

Chapitre 6:
Echantillonnage et
quantification

Introduction
L'évolution constante, observée depuis longtemps dans le domaine des
circuits intégrés, a transformé le monde des applications.
En effet, la puissance des calculateurs, et plus particulièrement des
processeurs spécialisés en traitement du signal, permet de traiter
numériquement un grand nombre de problèmes.
Rendant obsolètes certains traitements analogiques . De plus le
numérique autorise des opérations interdites en analogique.

Echantillonnage
Cette numérisation du signal nécessite dans un premier temps
l'échantillonnage du signal puis sa quantification .
- L'échantillonnage correspond à une discrétisation en temps du signal.
- - La quantification permet d'associer une valeur numérique à
l'échantillon prélevé.
C'est une discrétisation en amplitude. Les valeurs discrètes obtenues
sont codées sur un ou plusieurs bits.

Echantillonnage
L’opération d’échantillonnage consiste à prélever sur un signal
analogique dont l’évolution est continue dans le temps, des échantillons
représentant l’amplitude aux instants du prélèvement.
Les prélèvements sont réalisés régulièrement avec une périodicité
constante 𝑇𝑒 appelée période d’échantillonnage.

Echantillonnage
Une telle opération s’analyse de façon simple et concise par
l’intermédiaire de la théorie des distributions.
Cette distribution est notée 𝜹𝑻𝒆
:
𝜹𝑻𝒆
=
𝑛=−∞
∞
𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇𝑒
C’est le peigne de Dirac.

Echantillonnage
Le processus d'échantillonnage revient mathématiquement à multiplier le signal analogique
x(t) par une suite d'impulsions de Dirac 𝛿𝑇𝑒
𝑡 de période 𝑇𝑒, appelé "peigne de Dirac". Le
signal échantillonné 𝑥𝑒 𝑡 peut alors être représenté par l'expression :
𝒙𝒆 𝒕 = 𝒙 𝒕 . 𝜹𝑻𝒆
𝒕
= 𝒙 𝒕 .
𝒏=−∞
+∞
𝜹 𝒕 − 𝒏𝑻𝒆
=
𝒏=−∞
+∞
𝒙 𝒏𝑻𝒆 𝜹 𝒕 − 𝒏𝑻𝒆
La fonction ainsi obtenue est une suite d'impulsions de Dirac dont la surface est modulée
par le signal x(t).

Echantillonnage
Si on veut respecter la forme du signal, il est important d'avoir des
impulsions suffisamment proches les unes des autres.
Dans le cas contraire, il n'est plus possible de voir les variations les plus
rapides du signal à traiter.
Ceci conduit à une ambiguïté, car rien n'exclut que les points
échantillonnés du signal A puissent appartenir à un autre signal B
contenant des fréquences plus élevées.

Ambiguïté due à l’échantillonnage

Modèle de l’échantillonnage

Analyse fréquentielle
L'échantillonnage d'un signal analogique est modélisé dans l'espace
temps par la multiplication du signal 𝑥 𝑡 par un peigne temporel de
Dirac 𝛿𝑇𝑒
.
on sait qu'à une multiplication temporelle correspond, dans l'espace des
fréquences, une convolution fréquentielle entre le spectre 𝑋 𝑓 du
signal 𝑥 𝑡 et celui du peigne de Dirac 𝐷 𝑓 :
𝒙𝒆 𝒕 = 𝒙 𝒕 . 𝜹𝑻𝒆
⟺ 𝑿𝒆 𝒇 = 𝑿 𝒇 ⊗ 𝑫 𝒇

Analyse fréquentielle:
Spectre d’un peigne de Dirac
Peigne d’impulsions de Dirac et son spectre

• Propriété:
Le spectre d’un peigne temporel de Dirac 𝛿𝑇𝑒
𝑡 de période 𝑇𝑒 est un
peigne fréquentiel de Dirac 𝛿𝑓𝑒
𝑓 de période 𝑓𝑒 = 1/𝑇𝑒 et d’amplitude
1/𝑇𝑒.
Démonstration:
Comme la suite d’impulsions 𝛿𝑇𝑒
𝑡 est un signal périodique, on peut la
décrire par sa décomposition en série de Fourier:
𝛿𝑇𝑒
𝑡 =
𝑘=−∞
+∞
𝐷 𝑗𝑘 𝑒𝑥𝑝 +𝑗2𝜋𝑘𝑓𝑒𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑓𝑒 =
1
𝑇𝑒

Où 𝐷 𝑗𝑘 représente les coefficients de Fourier de 𝛿𝑇𝑒
𝑡 qui valent:
𝐷 𝑗𝑘 =
1
𝑇𝑒 −𝑇𝑒/2
+𝑇𝑒/2
𝛿 𝑡 𝑒𝑥𝑝 −𝑗2𝜋𝑘𝑓𝑒𝑡 𝑑𝑡 =
1
𝑇𝑒
. 1 =
1
𝑇𝑒
𝐷 𝑗𝑓 =
1
𝑇𝑒
𝛿𝑓𝑒
𝑓

Spectre d’un signal échantillonné
Le spectre d'un signal échantillonné se calcule en effectuant la
convolution entre les spectres 𝑋 𝑗𝑓 et 𝐷 𝑗𝑓 et que ce dernier est un
peigne de Dirac de période spectrale 𝑓𝑒.
Comme la convolution entre une impulsion de Dirac et une fonction
continue reproduit la valeur de la fonction à l'endroit où se situe
l'impulsion de Dirac, on voit que le spectre de base 𝑋 𝑗𝑓 est répété en
tous les multiples de la fréquence d'échantillonnage 𝑓𝑒.
 𝑋𝑒 𝑗𝑓 = 𝑋 𝑗𝑓 ⊗ 𝐷 𝑗𝑓 =
1
𝑇𝑒
𝑛=−∞
+∞
𝑋 𝑗 𝑓 − 𝑛𝑓𝑒

Ce résultat montre que le spectre d'un signal échantillonné est la somme d'une
répétition périodique du spectre du signal analogique 𝑋 𝑗𝑓 et que la période de ce
spectre est égale à la fréquence d'échantillonnage 𝑓𝑒.
Le spectre d’un signal échantillonné est un spectre continu, périodique de période
𝑓𝑒. Il est constitué par la répétition à ∞ avec la période 𝑓𝑒 du spectre du signal
analogique d’origine.
L'échantillonnage d'un signal analogique provoque la répétition de son spectre

Echantillonnage d’une sinusoïde :
Considérons un signal sinusoïdal 𝑥 𝑡 de fréquence 𝑓0 = 3 𝑘𝐻𝑧
échantillonné à la fréquence 𝑓𝑒 = 8 𝑘𝐻𝑧 , on obtient les points
échantillonnés 𝑥 𝑛𝑇𝑒 .
Echantillonnage d’une
sinusoïde 𝑓𝑒 > 2𝑓0

Recouvrement spectral
À cause de la répétition du spectre de base autour des multiples de 𝑓𝑒,
on imagine aisément que les spectres vont se superposer
Si la fréquence d'échantillonnage devient trop petite, elle causera une
superposition des spectres suite à la répétition du spectre de base autour
des multiples de 𝑓𝑒.
En réduisant la fréquence d'échantillonnage, on diminue la distance
entre les spectres qui, pour finir, se recouvrent. Cette superposition
correspond à la somme des spectres qui conduit à une déformation
irrécupérable du spectre initial : il n'est plus possible de reconstituer le
signal x(t) à partir du spectre ainsi obtenu.

Echantillonnage et recouvrement spectral

une sinusoïde de fréquence élevée peut être perçue comme un signal de
fréquence beaucoup plus faible.

• 𝐹𝑒 < 2𝐹𝑚𝑎𝑥

Illustration du recouvrement spectral

Reconstitution d’un signal de largeur de bande 𝐵 = 90 𝐻𝑧 à partir de son
signal échantillonné à 𝑓𝑒 = 166 𝐻𝑧.
Le signal reconstitué est différent du signal d’origine et ceci parce que la
relation de Shannon n’est pas vérifiée.

A cause du chevauchement des motifs élémentaires constituant le
spectre 𝑋𝑒 𝑓 du signal échantillonné, il n ’est pas possible de récupérer
le spectre 𝑋 𝑓 par un filtrage approprié (le recouvrement empêche de
trouver le signal d’origine).
 Il n’est pas possible de reconstruire le signal initial 𝑥 𝑡 à partir de la
connaissance de son échantillonné 𝑥𝑒 𝑡 .

Le recouvrement spectral peut également être interprété comme un repliement du spectre autour de
𝑓𝑒/2.
Cette fréquence particulièrement importante 𝐹𝑁 = 𝑓𝑒/2 porte le nom de fréquence de Nyquist.
Les valeurs obtenues par superposition des spectres peuvent appartenir aussi bien à une sinusoïde de
2 kHz qu'à celle de 6, 10 ou 14 kHz.
Ce qui fait que si l'on n'y prend pas garde, la fréquence réelle 6 kHz est perçue comme un signal
basse-fréquence de 2 kHz. Tout se passe comme si les signaux de fréquences 6, 10 ou 14 kHz étaient
perçus comme un seul signal de fréquence 2 kHz.
Les raies spectrales apparentes dues à l’échantillonnage se situent en :
𝑓𝑎𝑝𝑝 = ±𝑚𝑓𝑒 ± 𝑓0

• 𝑭𝒆 ≥ 𝟐𝑭𝒎𝒂𝒙 pas de recouvrement de spectre extraction de 𝑋 𝑓 par
filtrage passe-bas idéal.
• 𝐹𝑒 < 2𝐹𝑚𝑎𝑥 repliement de spectre  impossibilité de récupérer 𝑋 𝑓
par filtrage.
 Pour que la répétition périodique du spectre de 𝑥𝑒 𝑡 ne déforme pas
le spectre 𝑋 𝑓 répété, il faut et il suffit que 𝐹𝑒 ≥ 2𝐹𝑚𝑎𝑥.

• Théorème de shannon :
La condition nécessaire et suffisante pour échantillonner un signal sans
perte d’information est que la fréquence d’échantillonnage 𝐹𝑒 soit
supérieure ou égale au double de la fréquence maximale du signal.
𝑭𝒆 ≥ 𝟐𝑭𝒎𝒂𝒙

Filtre passe-bas anti-repliement
• Si le signal analogique possède des fréquences supérieures, il faut faire
précéder l’échantillonneur d’un ﬁltre passe-bas anti-repliement, dont
la fréquence de coupure est la fréquence de Nyquist, de manière à
supprimer toute fausse fréquence.
• Dans la plupart des cas, ce ﬁltrage est indispensable ; en effet le signal
peut soit intégrer des hautes fréquences inutiles pour son exploitation,
soit être superposé à un bruit qui augmente fortement la fréquence
maximale.

Filtre passe-bas anti-repliement
Utilisation d’un ﬁltre anti-repliement aﬁn de limiter réellement la largeur de bande
fréquentielle du signal à échantillonner

Échantillonnage naturel et autres procédés
• L’échantillonnage idéal impliquant des impulsions inﬁniment courtes
n’est qu’approximativement réalisable.
• Dans la pratique, on utilisera des impulsions de durée courte mais
ﬁnie.
• Le choix entre les divers procédés possibles se fera suivant les moyens
techniques disponibles et la déformation tolérable lors de la restitution
du signal

• Le signal échantillonné réel sera constitué alors d’une suite
d’impulsions distantes de 𝑇𝑒et de largeur 𝜏.
• L’amplitude de ces impulsions sera fonction du procédé
d’échantillonnage utilisé :
• naturel : amplitude égale à 𝑠 𝑡 pendant la durée 𝜏 ;
• régulier : amplitude constante et égale à 𝑠 𝑛𝑇𝑒 pendant la durée 𝜏 ;
• moyenneur : amplitude égale à la moyenne de 𝑠 𝑡 sur l’intervalle 𝜏.

Les divers procédés d’échantillonnage : naturel (non réalisable), régulier et moyenneur (réalisables)

• Le premier type d’échantillonnage n’est pas réalisable, il constitue
simplement une étape de calcul intermédiaire nécessaire à la compréhension
des deux autres procédés qui sont effectivement réalisés et utilisés.
• La modélisation de l’échantillonnage réel qui utilise des impulsions
distantes de 𝑇𝑒 et de largeur 𝜏, est faite en prenant une fonction « porte » de
largeur 𝜏 et périodisée avec une période 𝑇𝑒.
• Ce signal, appelé 𝑖𝑇𝑒,𝜏 𝑡 et s’exprime mathématiquement sous la forme
suivante :
𝒊𝑻𝒆,𝝉 𝒕 =
𝒌=−∞
+∞
𝝉
𝒕 − 𝒌𝑻𝒆

• En utilisant la propriété de périodisation avec le peigne de Dirac et le produit de
convolution, nous avons l’autre expression équivalente suivante:
𝒊𝑻𝒆,𝝉 𝒕 =
𝝉
𝒕 ∗
𝒌=−∞
+∞
𝜹 𝒕 − 𝒌𝑻𝒆
=
𝝉
𝒕 ∗ 𝑃𝑔𝑛𝑇𝑒
𝑡
Le spectre de ce signal est:
𝐼𝑇𝑒
𝑓 = 𝜏
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝜏𝑓
𝜋𝜏𝑓
. 𝐹𝑒. 𝑃𝑔𝑛𝐹𝑒
𝑓
= 𝜏
𝜋𝜏𝑓
. 𝐹𝑒.
𝒌=−∞
+∞
𝜹 𝒇 − 𝒌𝑭𝒆
= 𝜏𝐹𝑒.
𝒌=−∞
+∞
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝜏𝑘𝑓
𝜋𝜏𝑘𝑓
𝜹 𝒇 − 𝒌𝑭𝒆

Echantillonnage naturel
Dans le cas de l’échantillonnage naturel, l’amplitude de chaque
impulsion suit la valeur de la fonction pendant l’intervalle τ. D’un point
de vue représentation mathématique du signal échantillonné, nous avons
le produit du signal initial par la fonction « porte » périodisée
précédemment établie :
𝑠𝑒 𝑡 = 𝑠 𝑡 . 𝑖𝑇𝑒,𝜏
𝑡
= 𝑠 𝑡 .
𝝉
𝒕 ∗ 𝑃𝑔𝑛𝑇𝑒
𝑡

Echantillonnage naturel
𝑆𝑒 𝑓 = 𝑆 𝑓 ∗ 𝑖𝑇𝑒,𝜏
𝑓 = 𝑆 𝑓 ∗ 𝜏𝐹𝑒. 𝒌=−∞
+∞ 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝜏𝑘𝑭𝒆
𝜋𝜏𝑘𝑭𝒆
𝜹 𝒇 −

Echantillonnage régulier ou bloqueur
• Dans le cas de l’échantillonnage régulier, l’amplitude de chaque
impulsion est constante et égale à l’amplitude du signal initial au
temps 𝑛𝑇𝑒 .
• Ce mode correspond au cas pratique le plus souvent mis en œuvre.
• La représentation mathématique du signal échantillonné peut être mise
sous la forme d’une suite inﬁnie de fonctions « porte » d’amplitude
égale aux échantillons du signal:
𝒔𝒆 𝒕 =
𝒌=−∞
+∞
𝒔 𝒌𝑻𝒆 .
𝝉
𝒕 − 𝒌𝑻𝒆

Echantillonnage régulier ou bloqueur
Cette expression peut s’écrire sous la forme suivante:
𝑠𝑒 𝑡 = 𝑠 𝑡 . 𝑃𝑔𝑛𝑇𝑒
𝑡 ∗ 𝝉 𝒕
𝑆𝑒 𝑓 = 𝑆 𝑓 ∗ 𝐹𝑒. 𝑃𝑔𝑛𝐹𝑒
𝑓 . 𝜏
𝜋𝜏𝑓
𝑆𝑒 𝑓 = 𝜏𝐹𝑒.
𝜋𝜏𝑓 𝑘=−∞
+∞
𝑆 𝑓 − 𝑘𝐹𝑒

Echantillonnage moyenneur
• L’échantillonneur moyenneur donne des échantillons 𝑠𝑒 𝑘𝑇𝑒
correspondant à la valeur moyenne de s(t) prise sur la durée de
l’impulsion τ.
• Ainsi l’échantillon k s’exprime sous la forme suivante:
𝑠𝑒 𝑘𝑇𝑒 =
1
𝜏 𝑘𝑇𝑒−
𝜏
2
𝑘𝑇𝑒+
𝜏
2
𝑠 𝑡 𝑑𝑡

En utilisant la fonction porte:
𝑠𝑒 𝑘𝑇𝑒 =
1
𝜏 𝑘𝑇𝑒−
𝜏
2
𝑘𝑇𝑒+
𝜏
2
𝜏
𝑡 − 𝑘𝑇𝑒 . 𝑠 𝑡 𝑑𝑡
Cette expression représente le produit de convolution de 𝑠 𝑡 et de 𝜏 𝑡
𝑠𝑒 𝑘𝑇𝑒 =
1
𝜏
. 𝜏 𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 . 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇𝑒
Le signal échantillonné complet 𝑠𝑒 𝑡 est:
𝑠𝑒 𝑡 =
1
𝜏
.
𝑘=−∞
+∞
𝜏
𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 . 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇𝑒

𝑠𝑒 𝑡 =
1
𝜏
. 𝜏 𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 𝑃𝑔𝑛𝑇𝑒
𝑡
 𝑆𝑒 𝑓 =
1
𝜏
. 𝜏.
sin 𝜋𝜏𝑓
𝜋𝜏𝑓
. 𝑆 𝑓 ∗ 𝐹𝑒. 𝑃𝑔𝑛𝐹𝑒
𝑓
 𝑆𝑒 𝑓 = 𝐹𝑒. 𝑘=−∞
+∞ sin 𝜋𝜏 𝑓−𝑘𝐹𝑒
𝜋𝜏 𝑓−𝑘𝐹𝑒
. 𝑆 𝑓 − 𝑘𝐹𝑒

Quantification
La quantification permet d'associer une valeur numérique (nombre
binaire) à l'échantillon prélevé.
C'est une discrétisation en amplitude.
Les valeurs discrètes obtenues sont codées sur un ou plusieurs bits.
C’est le CAN (convertisseur analogique numérique) qui réalise cette
opération.
Chaque niveau de tension est codé sur n bits, chaque bit pouvant
prendre 2 valeurs (0 ou 1).
 Un convertisseur à p bits possède 2𝑝 niveaux de quantification.

Quantification
Considérons un CAN 4 bits  24 = 16 valeurs possibles attribuables à
toutes les valeurs prélevées lors de l’échantillonnage.
Si le signal évolue entre 2 limites −𝑉
𝑚𝑎𝑥, +𝑉
𝑚𝑎𝑥.
On définit le pas de quantification: 𝑞 =
2𝑉𝑚𝑎𝑥
2𝑛 .

Si q est constant quelle que soit l’amplitude du signal, la quantification
est dite uniforme.
Cette opération revient à faire passer le signal dans un organe qui
possède une caractéristique en marche d’escalier, pour q = 1, et fournit
le signal 𝑆𝑞 𝑡 .

À un instant d’échantillonnage 𝑡𝑖, la valeur numérique 𝑁 𝑡𝑖 du signal peut être
définie de 2 façons:
- On prend la valeur numérique immédiatement inférieure à
𝑉 𝑡𝑖
𝑞
 troncature
- On prend la valeur numérique la plus proche de
𝑉 𝑡𝑖
𝑞
 arrondi
La reconstitution du signal est obtenue par la relation :
𝑽 𝒕𝒊 = 𝑵 𝒕𝒊 . 𝒒

L’opération de quantification uniforme
ou linéaire

Loi de quantification uniforme et signal d’erreur

Évolution de l’erreur de quantiﬁcation associée à la courbe de
transfert d’un quantiﬁcateur uniforme ou linéaire
𝜀 𝑡 = 𝑞
𝑡
𝜃
pour −
𝜃
2
≤ 𝑡 ≤
𝜃
2
La valeur moyenne de ce signal est nulle sur cet intervalle
La puissance moyenne est:
𝑃𝜀 =
1
𝜃 −
𝜃
2
𝜃
2
𝜀2 𝑡 𝑑𝑡 =
1
𝜃 −
𝜃
2
𝜃
2
𝑞
𝑡
𝜃
2
𝑑 𝑡 =
𝑞2
12

Quantification
• Le pas de quantification q rapporté au domaine de conversion
(−𝑉
𝑚𝑎𝑥, +𝑉
𝑚𝑎𝑥) définit la résolution du convertisseur:
𝑅𝐶𝐴𝑁 =
𝑞
2𝑉
𝑚𝑎𝑥
=
1
2𝑛
Lorsque les valeurs codées sont obtenues par arrondi, l'erreur due au
codage se répartit uniformément autour de la droite de conversion
idéale. L'erreur maximale due à la quantification est alors :
𝐸𝑄 =
𝑞
2
=
𝑉
𝑚𝑎𝑥
2𝑛

Exemple
On considère un CAN 10 bits travaillant entre ±10 𝑉 :
2𝑉
𝑚𝑎𝑥 = 20 𝑉
𝑞 =
2.10 𝑉
210
≈ 20 𝑚𝑉
𝐸𝑄 = 10 𝑚𝑉
𝑅𝐶𝐴𝑁 =
1
1024

Il est important de bien distinguer entre résolution et précision d'un
convertisseur. Généralement, ces deux grandeurs sont du même ordre.
On peut cependant très bien imaginer l'exemple d'un convertisseur 4
bits qui aura une résolution de 1/16 = 6.25% alors que les 16 valeurs
fournies par le convertisseur peuvent être précises à 0.1%.

Bruit de quantification
l'opération de quantification remplace chaque valeur du signal
𝑥 𝑡 = 𝑛𝑇𝑒 par une approximation.
L’effet de cette approximation revient, mathématiquement, à superposer
au signal d'origine x(t) un signal d'erreur e(t) que l'on appelle le bruit de
quantification.
L'amplitude maximum de ce signal d'erreur est 𝑬𝑸 =
𝒒
𝟐
. Sa puissance est
une mesure de la dégradation que subit le signal.

Si le pas de quantification est beaucoup plus petit que l'amplitude du
signal x(t), on peut admettre que le signal d'erreur est constitué de
segments de droite compris entre ±q/2 et de durée variable ∆t
Numérisation d’un signal analogique et bruit de quantification

L'équation décrivant ce signal d'erreur élémentaire s'écrit alors :
𝑒 𝑡 =
𝑞
∆𝑡
𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 −
∆𝑡
2
≤ 𝑡 ≤ +
∆𝑡
2
Sa puissance moyenne :
𝑃𝑄 =
1
∆𝑡 −
∆𝑡
2
+
∆𝑡
2
𝑒2 𝑡 𝑑𝑡 =
1
∆𝑡 −
∆𝑡
2
+
∆𝑡
2 𝑞
∆𝑡
𝑡
2
𝑑𝑡
=
1
∆𝑡
𝑞
∆𝑡
2 1
3
2
∆𝑡
2
3
 𝑷𝑸 =
𝑬𝒒
𝟐
𝟑
=
𝒒𝟐
𝟏𝟐

La valeur ainsi obtenue est une estimation de la puissance du bruit de
quantification suffisante pour la plupart des cas réels. Si l'on exprime
cette puissance par rapport au nombre de bits du convertisseur, on
obtient :
𝑃𝑄 =
1
12
2𝑈𝑚𝑎𝑥
2𝑛
2
=
𝑈𝑚𝑎𝑥
2𝑛 3
2
La puissance du bruit de quantification 𝑃𝑄 permet de calculer la valeur
efficace du bruit de quantification:
𝑄𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑄 =
𝑞
12

Rapport signal sur bruit
Lorsqu'un signal est perturbé par du bruit, il est nécessaire de chiffrer l'importance
de cette perturbation par rapport au signal.
On introduit la notion de rapport signal sur bruit (SNR= signal to Noise Ratio)
défini comme le quotient entre la valeur efficace du signal 𝑋𝑒𝑓𝑓 et celle du bruit
𝑁𝑒𝑓𝑓:
𝑺𝑵𝑹 =
𝑿𝒆𝒇𝒇
𝑵𝒆𝒇𝒇
Dans notre cas, le bruit est dû à la quantification du signal. On a donc 𝑁𝑒𝑓𝑓 = 𝑄𝑒𝑓𝑓
avec 𝑄𝑒𝑓𝑓 = 𝑞/ 12.
Le rapport signal sur bruit d'un convertisseur:
𝑺𝑵𝑹 =
𝑿𝒆𝒇𝒇
𝒒/ 𝟏𝟐
= 𝟐𝒏−𝟏 𝟏𝟐
𝑿𝒆𝒇𝒇
𝑽𝒎𝒂𝒙

Rapport signal sur bruit
Exprimé en dB, ce rapport signal sur bruit vaut :
𝑆𝑁𝑅𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 𝑆𝑁𝑅
= 𝑛 − 1 20𝑙𝑜𝑔 2 + 10𝑙𝑜𝑔 12 + 20𝑙𝑜𝑔
𝑋𝑒𝑓𝑓
𝑉
𝑚𝑎𝑥
 𝑺𝑵𝑹𝒅𝑩 = 𝟔𝒏 + 𝟒, 𝟖𝒅𝑩 + 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈
𝑿𝒆𝒇𝒇
𝑽𝒎𝒂𝒙

Exemple de SNR
Dans le cas particulier où le signal analogique est une sinusoïde
d'amplitude égale à la tension maximum Umax du convertisseur AN, on
a :
𝑋𝑒𝑓𝑓 =
𝑈𝑚𝑎𝑥
2
=
1
2
2𝑛−1𝑞
Le rapport signal sur bruit maximum que l'on peut avoir après
quantification vaut alors :
𝑆𝑁𝑅𝑚𝑎𝑥 =
𝑋𝑒𝑓𝑓
𝑞𝑒𝑓𝑓
=
2𝑛−1
𝑞/ 2
𝑞/ 12
= 6 2𝑛−1

Exemple de SNR
Exprimé en dB:
𝑆𝑁𝑅𝑚𝑎𝑥,𝑑𝐵 = 20 log 𝑆𝑁𝑅
= 𝑛 − 1 20 log 2 + 10 log 6
≈ 6 𝑛 − 1 + 7,8 𝑑𝐵

Quantification de trois signaux types avec 4 bits

Quantification non uniforme
Pour remédier au problème du bruit de quantification il faut essayer de
quantifier les faibles signaux avec un pas plus fin que celui des forts
signaux.
De cette façon on peut avoir la même erreur de quantification relative
pour des signaux de différents niveaux et obtenir ainsi un rapport signal
à bruit constant.
Utilisation d’un pas de quantification non uniforme

Quantification non uniforme
On démontre que pour avoir un Rapport signal à bruit constant, il faut
que le pas de quantification augmente d'une façon logarithmique.
Quantificateur logarithmique

Compression
La quantification non uniforme avec une loi logarithmique est
équivalente à une quantification uniforme d’un signal préalablement
compressé avec un amplificateur logarithmique.
L'amplification logarithmique consiste à amplifier les faibles niveaux
afin qu'ils soient correctement quantifiés avec un pas uniforme.
Les lois de compression utilisée sont la loi A en Europe et la loi µ aux
Etats Unis.

Compression
Loi de compression 𝝁

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