4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo

G.Decourt 4exercicessurlesrappelsmathmatiquesutilesentopo-160206111912.doc 06/02/16
1er contrôle pour BTS 1ère année
nota : distances en m précision du mm, angles en grades précision du mgr,
surface en m² précision du cm²
1) Câble entre 2 pylônes :
On veut tendre un câble entre 2 pylônes A et E.
a) Définir la distance horizontale AE passant au dessus de 2 villas.
A
B
C
D
E
AB=50.126m
BC=61.423m
CD=56.971m
DE=35.040m
B=62.457gr
C=58.431gr
D=69.807gr
A E
si on suppose que le câble entre les 2 pylônes de 16,000m de haut
b) Quelle est l'équation du cercle dans le repère xAy?
c) Quelles sont les coordonnées du point M (milieu de l'arc) ?
d) Quelle est la hauteur libre sous le câble?
x
y
M
forme un arc de cercle de 250,000m de rayon.
2) Surface d'une parcelle :
TS topographie Page 1/6

Point i Xi (m) Yi (m) DHSi (m) Lect. Angle horiz. (gr)
A -29,065 -58,985 134,921 173,659
B 47,003 -104,465 110,448 128,281
C 169,663 -31,759 79,900 21,963
D 184,182 45,725 102,931 367,381
E 87,220 66,517 71,723 293,544
Les angles ont été relevés dans le sens horaire.
a) Calculer(dans un tableau) la surface de la parcelle à l'aide des
coordonnées rectangulaires de 2 manières .
b) Calculer(dans un tableau) la surface de la parcelle à l'aide des valeurs
topographiques relevées sur place .
c) Conclusions (moyenne, écart absolu, écart relatif, commentaires).
3) Plate-forme :
Sur un terrain en pente régulière de 30%, on veut réaliser une plate-forme
de 10m de large. Pour ne pas avoir à apporter ou à évacuer de la terre
quelle doit être la cote x ?
h
a x y b
h'
10,000m
déblai
remblai
pente
3
1
pente
1
1
4) Coordonnées des sommets d'une parcelle :

Y1 Y2
Y3
X3
X2
D
X1C
A
B
E
axe Y3 aligné avec DC
0
P O I N T S i X 1 i Y 1 i
A - 4 4 . 1 1 4 - 4 . 4 6 4
B - 6 . 0 2 4 - 1 7 . 4 7 0
C 3 3 . 6 2 0 0 . 0 0 0
D 2 0 . 0 1 7 1 8 . 2 4 6
E - 2 3 . 7 0 9 1 3 . 7 8 2
Dans un seul tableau définir :
- les coordonnées rectangulaires des sommets de la parcelle
dans les repères X2-D-Y2 et X3-D-Y3
- les coordonnées polaires topographiques, c’est à dire :
- distances D-point i
- angles axe y3-D-point i dans le sens horaire (gisement)
rappel : formules de rotation de repère :
x' = xcosα + ysinα
y' = ycosα - xsinα

CORRIGE
1) Câble entre 2 pylônes :
a) Définir la distance horizontale AE passant au dessus de 2 villas.
AC= racine(50.126² + 61.423² - 2 x 50.126 x 61.423 x cos62.457)
AC= 53.487m
CE= racine(56.971² + 35.040² - 2 x 56.971 x 35.040 x cos69.807)
CE= 51.480m
angle (A-C-E)= sin-1
(50.126 x sin62.457 / 53.487) + 58.431 + sin-1
(35.040 x
sin69.807 / 51.480)
angle (A-C-E)= 156.680gr
AE= racine(53.487² + 51.480² - 2 x 53.487 x 51.480 x cos156.68)
AE= 98.952m
b) équation du cercle :
de la forme (X-xo)² + (Y-yo)² = R² avec :
xo= 98.952 / 2 = 49.476 m
R= 250.000m
pour X= 0 Y= 16 donc (0 - 49.476)² + (16 - yo)² = 250² d'ou yo = 261.055m
(X - 49.476)² + (Y - 261.055)² = 250²
c) coordonnées de M :
xM= 49.746m
yM= yo - R = 261.055 - 250
yM= 11.055m
d) hauteur libre sous le câble :
11.055m
2) Surface d'une parcelle :
a) à l'aide des coordonnées rectangulaires :
Point i Xi (m) Yi (m) Xi-1 - Xi+1 Yi-1 - Yi+1 Xi(Yi-1 - Yi+1) Yi(Xi-1 - Xi+1)
A -29,065 -58,985 40,217 170,982 -4969,5918 -2372,1997
B 47,003 -104,465 -198,728 -27,226 -1279,7037 20760,1205
C 169,663 -31,759 -137,179 -150,19 -25481,6860 4356,6679
D 184,182 45,725 82,443 -98,276 -18100,6702 3769,7062
E 87,22 66,517 213,247 104,71 9132,8062 14184,5507
-40698,8455 40698,8455
S en m2 : -20349,4228 20349,4228

b) à l'aide des valeurs relevées sur le terrain :
Point i DH Si (en m) Lect. Angle horiz. (gr) Angle i-1 S i+1 Surface triangle
A 134,921 173,659
45,378 4872,5129
B 110,448 128,281
106,318 4390,6862
C 79,900 21,963
54,582 3109,2582
D 102,931 367,381
73,837 3379,1884
E 71,623 293,544
119,885 4597,9316
A 134,921
S en m2 20349,5774
c) conclusions :
moyenne : 20349.5001m²
écart absolu entre les 2 méthodes : 0.1546m²
écart relatif entre les 2 méthodes par rapport à la moyenne : 0,00075%
commentaires écart insignifiant, la moyenne est représentative
3) Plate-forme :
On a 6 inconnues (a,b,h,h',x et y) on doit donc écrire 6 équations :
1) égalité des surfaces de remblai, déblai : 4) relation de h, a et x avec la
pente du T.N. :
x.h/2 = y.h'/2 30/100 = h/(a+x)
2) relation de h et a avec la pente du déblai : 5) relation de h', b et y avec la
pente du T.N. :
3/1 = h/a 30/100 = h'/(y+b)
3) relation de h' et b avec la pente du remblai : 6) somme de x et y :
1/1 = h'/b x + y = 10
Méthode de résolution :
a) de 2) on exprime a fonction de h
b) de 4) avec a) on exprime h fonction de x
c) de 3) on exprime b fonction de h'
d) de 5) et c) on exprime h' fonction de y
e) de 1) b) et c) on exprime x en fonction de y
f) de 6) on exprime y en fonction de x
g) de e) et f) on obtient une équation du 2ème degré en x :
x² - 90x + 450 = 0 qui à 2 solutions x = 84.187m et x = 5.314m seule
la 2ème correspond au problème
x=5.314m

4) Coordonnées des sommets d'une parcelle :
angle α ou angle (X2-D-X3) = angle (C-D-axe Y2 zone négative) =tg-1
(13.603/18.246) =
40.784gr
POINTS i X1 i Y 1 i X2 i Y2 i X3 i Y 3 i D-i Y 3-D-i
A -44.114 -4. 464 -64. 131 -22. 710 -64.989 20. 125 68. 033 319.117
B -6.024 -17.470 -26. 041 -35. 716 -42.225 -13. 069 44. 201 280.891
C 33.620 0. 000 13. 603 -18. 246 0.000 -22. 759 22. 759 200.000
D 20.017 18. 246 0. 000 0. 000 0.000 0. 000 0. 000 0.000
E -23.709 13. 782 -43. 726 -4. 464 -37.724 22. 556 43. 953 334.307
toutes les valeurs du tableau sont en mètre

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