Chapitre 1               Notions préliminairesMaster Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion    ...
Typologie de problèmes• Problème de décision,• Problème d’optimisation                            2
Problème de décision• Un problème de décision est défini par:   – un nom,   – des paramètres génériques,   – une question....
Problème SAT• Boolean Satisfiability Problem  – Le premier problème classé NP-complet• Applications possibles  – Diagnosti...
Complexité du SAT• Pour N=100,  – taille espace de recherche = 2100≈1030!• Evaluation de 1000 chaînes / sec ; 15  milliard...
Problème d’optimisation• Un problème d’optimisation  – Encore appelé problème de programmation    mathématique  – consiste...
Pourquoi Optimiser?                 7
Problème d’optimisation• Dans tout problème d’optimisation on se  doit de définir :  – les variables  – le ou les objectif...
Problème d’optimisation• Problème d’optimisation continu: à  variable continue  – Chercher un optimum d’une fonction conti...
Exemple d’applications industrielles• Allocation de fréquences•  Optimisation de réseaux téléinformatiques•  Localisation ...
Problème d’optimisation            combinatoire• Tous les modèles sont des simplifications  de la réalité.• Problème ==> M...
Le problème de voyageur de                  commerce• Travelling Salesman Problem• Étant donné:   – un ensemble de villes ...
Remarque• Version décisionnelle de TSP :  – Étant donné un ensemble de villes, distance    entre chaque paire de villes, e...
Complexité des problèmes             combinatoire• TSP  n villes ville=élément d’une permutation• Taille de l’espace de r...
Attention concernant la complexité• Voir cours complexité• On peut avoir un problème classé  – NP-complet  – qui admet des...
Convexité• Définition 1.1   – Étant donné deux points de IRn, x et y. une     combinaison de x et y est un point z donné p...
Exemples d’ensembles convexes• Dans IR1, tout intervalle est un ensemble  convexe et tout ensemble convexe est un  interva...
Fonction convexe• Soit S ⊆IRn un ensemble convexe,• la fonction f:S →IR1 est dite convexe dans S si  pour toute paire de p...
Représentation graphique• Intuitivement, une  fonction convexe  admet l’allure  suivante:• Ici c:[0,1]⊆IR→IR• La condition...
• Exemple:• Une classe importante   des problèmes            • La fonction c(x) définit   d’optimisations concerne   sur [...
Instance d’un problème            d’optimisation• Un problème d’optimisation est un  ensemble d’instances du problème.• In...
• Résoudre un problème (plus précisément  une instance du problème)• consiste à trouver une (ou plusieurs)  solution s* ∈ ...
Optimum global - optimum local                      23
Instance de problème     d’optimisation combinatoire• Un problème d’optimisation est défini par un  ensemble d’instances• ...
Plus formellement• Une instance I dun problème de  minimisation est un couple (X, f) où:  – X⊆ S est un ensemble fini de s...
Définition encore plus formelle• Un problème d’optimisation (minimisation)  P=(S,f) est donné par:  Minimiser f(s) (foncti...
• Si f est concave, g est convexe et h est  linéaire alors on parle d’un problème de  programmation convexe.• Pour un prob...
Problème de programmation             linéaire• Si f, g, h sont fonctions linéaires, on parle  de problème de programmatio...
Programmation linéaire en 0-1• Exemple: Problème de sac à dos• Définissant pour chaque objet une variable de  décision bin...
Modélisation: Contraintes• La plupart des problèmes réels possèdent des  contraintes.• Exemple : Problème d’emploi du temp...
Exemple: Le problème de voyageur          de commerce• Dans une instance du problème TSP  – Données (input):    • n>0 (ent...
Modélisation: Objectif• Enjeux économique,  performance,..• Dans un problème  d’affectation de fréquences,  plusieurs obje...
Classification des méthodes de              résolution• Algorithmes évaluant des solutions  complètes• Algorithmes évaluan...
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Oc1 2013

  1. 1. Chapitre 1 Notions préliminairesMaster Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion Hend Bouziri Maître Assistant, ESSEC de Tunis LARODEC ISG Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de DEcision et de Contrôle de processus 1
  2. 2. Typologie de problèmes• Problème de décision,• Problème d’optimisation 2
  3. 3. Problème de décision• Un problème de décision est défini par: – un nom, – des paramètres génériques, – une question.• Exemples – Problème de CLIQUE – Graphe G=(S,A), 1<k<n=Card(S) – Existe t ’il une clique d’ordre k dans G? – SAT – N var. logiques xj – k clauses Ck sur les xj – Existe t’il une fonction de vérité telle que toutes les clauses soient vraies? 3
  4. 4. Problème SAT• Boolean Satisfiability Problem – Le premier problème classé NP-complet• Applications possibles – Diagnostic de systèmes – Cryptographie• L’expression booléenne doit être une conjonction de clauses ; – les clauses sont représentées par des disjonctions de k variables (k-SAT)• Exemple: – Pour N=3, k=2, – soit la fonction (expression) logique: • (v1∨v2)∧(¬v1∨v3)∧(¬v2∨v1) • Fonction satisfiable si v1=vrai,v2=faux et v3=vrai 4
  5. 5. Complexité du SAT• Pour N=100, – taille espace de recherche = 2100≈1030!• Evaluation de 1000 chaînes / sec ; 15 milliards d’années pour évaluer moins de 1% de l’espace.• Attention! – k>2, problème NP-complet ; – k=2, Algorithme polynomial 5
  6. 6. Problème d’optimisation• Un problème d’optimisation – Encore appelé problème de programmation mathématique – consiste à trouver, parmi un ensemble donné, un élément : • Qui peut être un vecteur de IRn un vecteur d’entiers, une fonction... • minimisant ou maximisant une fonction donnée de cet ensemble sur IR. 6
  7. 7. Pourquoi Optimiser? 7
  8. 8. Problème d’optimisation• Dans tout problème d’optimisation on se doit de définir : – les variables – le ou les objectifs – les contraintes 8
  9. 9. Problème d’optimisation• Problème d’optimisation continu: à variable continue – Chercher un optimum d’une fonction continue • Sans ou avec contraintes • Applications: physique,…• Problème d’optimisation combinatoire: – ou problèmes discrets – les variables sont dénombrables 9
  10. 10. Exemple d’applications industrielles• Allocation de fréquences• Optimisation de réseaux téléinformatiques• Localisation dentrepôts• Optimisation de tournées de distribution/ramassage• Optimisation de chaînes de production• Optimisation de planning/emplois du temps• Gestion du trafic aérien/ferroviaire 10
  11. 11. Problème d’optimisation combinatoire• Tous les modèles sont des simplifications de la réalité.• Problème ==> Modèle ==> Solution• Exemple de problèmes d’OC – TSP – Sac à dos – ordonnancement – coloration de graphes 11
  12. 12. Le problème de voyageur de commerce• Travelling Salesman Problem• Étant donné: – un ensemble de villes – distance entre chaque paire de villes• Trouver la distance du « tour minimum » qui commence et termine dans une ville donnée• Le voyageur doit visiter toutes les villes exactement une fois. 12
  13. 13. Remarque• Version décisionnelle de TSP : – Étant donné un ensemble de villes, distance entre chaque paire de villes, et une borne B, – Existe-t-il un tour qui • commence et se termine dans une ville donnée, • Visite chaque ville exactement une seule fois • Admet une distance totale au plus égale à B? 13
  14. 14. Complexité des problèmes combinatoire• TSP  n villes ville=élément d’une permutation• Taille de l’espace de recherche = n!• Problème TSP symétrique : – dist(x,y)=dist(y,x)• TSP symétrique : n! / 2,• |S| = n!/2n = (n-1)! / 2 ; n>6 (TSP > SAT)• 10 villes = 181 000 solutions• 20 villes = 10 000 000 000 000 000 solutions• 50 villes = 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 solutions !!! 14
  15. 15. Attention concernant la complexité• Voir cours complexité• On peut avoir un problème classé – NP-complet – qui admet des instances (ou des cas) « faciles ». 15
  16. 16. Convexité• Définition 1.1 – Étant donné deux points de IRn, x et y. une combinaison de x et y est un point z donné par: – z=λx +(1-λ)y. ∀ λ est un réel entre 0 et 1. – Si λ différent de 0 et 1 alors z est dit une combinaison stricte de x et de y.• Définition 1.2 – Un ensemble S ⊆ IRn est convexe s’il contient toutes les combinaisons convexe des points x et y.• Remarques: IRn est convexe, tout singleton est convexe, ∅ est convexe. 16
  17. 17. Exemples d’ensembles convexes• Dans IR1, tout intervalle est un ensemble convexe et tout ensemble convexe est un intervalle.• Dans IR2 17
  18. 18. Fonction convexe• Soit S ⊆IRn un ensemble convexe,• la fonction f:S →IR1 est dite convexe dans S si pour toute paire de points x et y de S, on a:• f(λx +(1-λ)y) ≤ λf(x) +(1-λ)f(y) λ ∈ IR1 et 0≤λ≤1.• Si S=IRn, on dit simplement que f est convexe.• Exemple: – Toute fonction linéaire est convexe dans tout ensemble convexe S.• Remarque: – Une fonction qui n’est pas convexe est concave. 18
  19. 19. Représentation graphique• Intuitivement, une fonction convexe admet l’allure suivante:• Ici c:[0,1]⊆IR→IR• La condition de convexité implique que graphiquement tjs la « corde» se situe au dessus de la fonction. 19
  20. 20. • Exemple:• Une classe importante des problèmes • La fonction c(x) définit d’optimisations concerne sur [0,1] est convexe la minimisation de et admet plusieurs fonctions convexes sur optimima locaux mais des ensembles convexes tous globaux • Dans de tels problèmes : optimum local = optimum global. 20
  21. 21. Instance d’un problème d’optimisation• Un problème d’optimisation est un ensemble d’instances du problème.• Informellement: – une instance est donnée par un ensemble de donnée (en input) et suffisamment de données pour formuler une solution – Un problème est une collection d’instances générées de la même manière. 21
  22. 22. • Résoudre un problème (plus précisément une instance du problème)• consiste à trouver une (ou plusieurs) solution s* ∈ X optimisant la valeur de la fonction de coût f.• Une telle solution s* sappelle une solution optimale ou un optimum global. 22
  23. 23. Optimum global - optimum local 23
  24. 24. Instance de problème d’optimisation combinatoire• Un problème d’optimisation est défini par un ensemble d’instances• A chaque instance d’un problème d’optimisation combinatoire est associé : – un ensemble discret de solutions S (espace de recherche), – un sous-ensemble X de S représentant les solutions admissibles (réalisables) – et une fonction de coût f (ou fonction objectif) qui assigne à chaque solution s∈ X le nombre réel (ou entier) f(s). 24
  25. 25. Plus formellement• Une instance I dun problème de minimisation est un couple (X, f) où: – X⊆ S est un ensemble fini de solutions admissibles, et f une fonction de coût à minimiser. – f : X → R. Le problème est de trouver s* ∈ X tel que f(s*) ≤ f(s) pour tout élément s ∈ X.• N.b: d’une manière similaire on peut définir un problème de maximisation en remplaçant ≤ par ≥. 25
  26. 26. Définition encore plus formelle• Un problème d’optimisation (minimisation) P=(S,f) est donné par: Minimiser f(s) (fonction à minimiser) Avec gi(s) ≤ 0, i=1..m (contraintes d’inégalités) hj(s)=0, j=1…p (contraintes d’égalité) – Avec f, g et h fonctions dans IRn. 26
  27. 27. • Si f est concave, g est convexe et h est linéaire alors on parle d’un problème de programmation convexe.• Pour un problème de programmation convexe optimum local=optimum global 27
  28. 28. Problème de programmation linéaire• Si f, g, h sont fonctions linéaires, on parle de problème de programmation linéaire.• Chaque problème dans cette classe est réduit à la sélection d’une solution parmi un ensemble fini de solutions possibles.• Ce problème est alors de type combinatoire 28
  29. 29. Programmation linéaire en 0-1• Exemple: Problème de sac à dos• Définissant pour chaque objet une variable de décision binaire – xi= 1 si l’objet i est retenu – xi= 0 sinon• Déterminer une sélection optimale: – Max Σcixi – Sous Σvixi≤ b (volume ou poids du sac)• Plusieurs applications réelles• Pb: Comment modéliser? 29
  30. 30. Modélisation: Contraintes• La plupart des problèmes réels possèdent des contraintes.• Exemple : Problème d’emploi du temps :• Liste des cours, classes, étudiants / classe, professeur / classe, salles disponibles, taille des salles, logistique des salles (vidéo, …).• Exemple de contraintes : – Toute classe doit être affectée à une salle disponible avec un nombre de places suffisant et des facilités requises, – Les étudiants affectés à plusieurs classes ne doivent pas être affectés au même temps. – Les professeurs ne doivent pas être affecté à des cours en parallèle. 30
  31. 31. Exemple: Le problème de voyageur de commerce• Dans une instance du problème TSP – Données (input): • n>0 (entier) nombre de villes, • Les distances entre toutes paires de villes (matrice de dimension n×n. – Un tour est un cycle (chemin fermé) qui passe une et une seule fois par chaque ville (et donc revient à la ville de départ) →contraintes 31
  32. 32. Modélisation: Objectif• Enjeux économique, performance,..• Dans un problème d’affectation de fréquences, plusieurs objectifs: – Min Nombre de sites (coût) – Min Interférences – Max Trafic écoulé 32
  33. 33. Classification des méthodes de résolution• Algorithmes évaluant des solutions complètes• Algorithmes évaluant des solutions partielles (incomplète, problème réduit)• Algorithmes exacts• Algorithmes approximatifs. 33

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