1. Chapitre 1
Notions préliminaires
Master Informatique Décisionnelle et Intelligence appliquée à la gestion
Hend Bouziri
Maître Assistant, ESSEC de Tunis
LARODEC ISG
Laboratoire de Recherche Opérationnelle, de DEcision et de
Contrôle de processus
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3. Problème de décision
• Un problème de décision est défini par:
– un nom,
– des paramètres génériques,
– une question.
• Exemples
– Problème de CLIQUE
– Graphe G=(S,A), 1<k<n=Card(S)
– Existe t ’il une clique d’ordre k dans G?
– SAT
– N var. logiques xj
– k clauses Ck sur les xj
– Existe t’il une fonction de vérité telle que toutes les clauses
soient vraies?
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4. Problème SAT
• Boolean Satisfiability Problem
– Le premier problème classé NP-complet
• Applications possibles
– Diagnostic de systèmes
– Cryptographie
• L’expression booléenne doit être une
conjonction de clauses ;
– les clauses sont représentées par des disjonctions de
k variables (k-SAT)
• Exemple:
– Pour N=3, k=2,
– soit la fonction (expression) logique:
• (v1∨v2)∧(¬v1∨v3)∧(¬v2∨v1)
• Fonction satisfiable si v1=vrai,v2=faux et v3=vrai
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5. Complexité du SAT
• Pour N=100,
– taille espace de recherche = 2100≈1030!
• Evaluation de 1000 chaînes / sec ; 15
milliards d’années pour évaluer moins de
1% de l’espace.
• Attention!
– k>2, problème NP-complet ;
– k=2, Algorithme polynomial
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6. Problème d’optimisation
• Un problème d’optimisation
– Encore appelé problème de programmation
mathématique
– consiste à trouver, parmi un ensemble donné,
un élément :
• Qui peut être un vecteur de IRn un vecteur
d’entiers, une fonction...
• minimisant ou maximisant une fonction
donnée de cet ensemble sur IR.
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8. Problème d’optimisation
• Dans tout problème d’optimisation on se
doit de définir :
– les variables
– le ou les objectifs
– les contraintes
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9. Problème d’optimisation
• Problème d’optimisation continu: à
variable continue
– Chercher un optimum d’une fonction continue
• Sans ou avec contraintes
• Applications: physique,…
• Problème d’optimisation combinatoire:
– ou problèmes discrets
– les variables sont dénombrables
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10. Exemple d’applications industrielles
• Allocation de fréquences
• Optimisation de réseaux téléinformatiques
• Localisation d'entrepôts
• Optimisation de tournées de
distribution/ramassage
• Optimisation de chaînes de production
• Optimisation de planning/emplois du temps
• Gestion du trafic aérien/ferroviaire
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11. Problème d’optimisation
combinatoire
• Tous les modèles sont des simplifications
de la réalité.
• Problème ==> Modèle ==> Solution
• Exemple de problèmes d’OC
– TSP
– Sac à dos
– ordonnancement
– coloration de graphes
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12. Le problème de voyageur de
commerce
• Travelling Salesman Problem
• Étant donné:
– un ensemble de villes
– distance entre chaque paire de
villes
• Trouver la distance du « tour
minimum » qui commence et
termine dans une ville donnée
• Le voyageur doit visiter toutes
les villes exactement une fois.
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13. Remarque
• Version décisionnelle de TSP :
– Étant donné un ensemble de villes, distance
entre chaque paire de villes, et une borne B,
– Existe-t-il un tour qui
• commence et se termine dans une ville donnée,
• Visite chaque ville exactement une seule fois
• Admet une distance totale au plus égale à B?
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15. Attention concernant la complexité
• Voir cours complexité
• On peut avoir un problème classé
– NP-complet
– qui admet des instances (ou des cas)
« faciles ».
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16. Convexité
• Définition 1.1
– Étant donné deux points de IRn, x et y. une
combinaison de x et y est un point z donné par:
– z=λx +(1-λ)y.
∀ λ est un réel entre 0 et 1.
– Si λ différent de 0 et 1 alors z est dit une combinaison
stricte de x et de y.
• Définition 1.2
– Un ensemble S ⊆ IRn est convexe s’il contient toutes
les combinaisons convexe des points x et y.
• Remarques: IRn est convexe, tout singleton est
convexe, ∅ est convexe.
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17. Exemples d’ensembles convexes
• Dans IR1, tout intervalle est un ensemble
convexe et tout ensemble convexe est un
intervalle.
• Dans IR2
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18. Fonction convexe
• Soit S ⊆IRn un ensemble convexe,
• la fonction f:S →IR1 est dite convexe dans S si
pour toute paire de points x et y de S, on a:
• f(λx +(1-λ)y) ≤ λf(x) +(1-λ)f(y)
λ ∈ IR1 et 0≤λ≤1.
• Si S=IRn, on dit simplement que f est convexe.
• Exemple:
– Toute fonction linéaire est convexe dans tout
ensemble convexe S.
• Remarque:
– Une fonction qui n’est pas convexe est concave.
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19. Représentation graphique
• Intuitivement, une
fonction convexe
admet l’allure
suivante:
• Ici c:[0,1]⊆IR→IR
• La condition de
convexité implique
que graphiquement
tjs la « corde» se
situe au dessus de la
fonction.
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20. • Exemple:
• Une classe importante
des problèmes • La fonction c(x) définit
d’optimisations concerne sur [0,1] est convexe
la minimisation de et admet plusieurs
fonctions convexes sur optimima locaux mais
des ensembles convexes tous globaux
• Dans de tels problèmes :
optimum local
=
optimum global.
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21. Instance d’un problème
d’optimisation
• Un problème d’optimisation est un
ensemble d’instances du problème.
• Informellement:
– une instance est donnée par un ensemble de
donnée (en input) et suffisamment de
données pour formuler une solution
– Un problème est une collection d’instances
générées de la même manière.
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22. • Résoudre un problème (plus précisément
une instance du problème)
• consiste à trouver une (ou plusieurs)
solution s* ∈ X optimisant la valeur de la
fonction de coût f.
• Une telle solution s* s'appelle une solution
optimale ou un optimum global.
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24. Instance de problème
d’optimisation combinatoire
• Un problème d’optimisation est défini par un
ensemble d’instances
• A chaque instance d’un problème d’optimisation
combinatoire est associé :
– un ensemble discret de solutions S (espace de
recherche),
– un sous-ensemble X de S représentant les solutions
admissibles (réalisables)
– et une fonction de coût f (ou fonction objectif) qui
assigne à chaque solution s∈ X le nombre réel (ou
entier) f(s).
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25. Plus formellement
• Une instance I d'un problème de
minimisation est un couple (X, f) où:
– X⊆ S est un ensemble fini de solutions
admissibles, et f une fonction de coût à
minimiser.
– f : X → R. Le problème est de trouver s* ∈ X
tel que f(s*) ≤ f(s) pour tout élément s ∈ X.
• N.b: d’une manière similaire on peut
définir un problème de maximisation en
remplaçant ≤ par ≥.
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26. Définition encore plus formelle
• Un problème d’optimisation (minimisation)
P=(S,f) est donné par:
Minimiser f(s) (fonction à minimiser)
Avec gi(s) ≤ 0, i=1..m (contraintes d’inégalités)
hj(s)=0, j=1…p (contraintes d’égalité)
– Avec f, g et h fonctions dans IRn.
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27. • Si f est concave, g est convexe et h est
linéaire alors on parle d’un problème de
programmation convexe.
• Pour un problème de programmation
convexe optimum local=optimum global
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28. Problème de programmation
linéaire
• Si f, g, h sont fonctions linéaires, on parle
de problème de programmation linéaire.
• Chaque problème dans cette classe est
réduit à la sélection d’une solution parmi
un ensemble fini de solutions possibles.
• Ce problème est alors de type
combinatoire
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29. Programmation linéaire en 0-1
• Exemple: Problème de sac à dos
• Définissant pour chaque objet une variable de
décision binaire
– xi= 1 si l’objet i est retenu
– xi= 0 sinon
• Déterminer une sélection optimale:
– Max Σcixi
– Sous Σvixi≤ b (volume ou poids du sac)
• Plusieurs applications réelles
• Pb: Comment modéliser?
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30. Modélisation: Contraintes
• La plupart des problèmes réels possèdent des
contraintes.
• Exemple : Problème d’emploi du temps :
• Liste des cours, classes, étudiants / classe, professeur /
classe, salles disponibles, taille des salles, logistique des
salles (vidéo, …).
• Exemple de contraintes :
– Toute classe doit être affectée à une salle disponible avec un
nombre de places suffisant et des facilités requises,
– Les étudiants affectés à plusieurs classes ne doivent pas être
affectés au même temps.
– Les professeurs ne doivent pas être affecté à des cours en
parallèle.
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31. Exemple: Le problème de voyageur
de commerce
• Dans une instance du problème TSP
– Données (input):
• n>0 (entier) nombre de villes,
• Les distances entre toutes paires de villes (matrice
de dimension n×n.
– Un tour est un cycle (chemin fermé) qui passe
une et une seule fois par chaque ville (et donc
revient à la ville de départ) →contraintes
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32. Modélisation: Objectif
• Enjeux économique,
performance,..
• Dans un problème
d’affectation de fréquences,
plusieurs objectifs:
– Min Nombre de sites (coût)
– Min Interférences
– Max Trafic écoulé
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33. Classification des méthodes de
résolution
• Algorithmes évaluant des solutions
complètes
• Algorithmes évaluant des solutions
partielles (incomplète, problème réduit)
• Algorithmes exacts
• Algorithmes approximatifs.
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