tsa analyse-temps-frequence

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Chapitre: Traitement du signal 1

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tsa analyse-temps-frequence

  1. 1. Page 1 Traitement du Signal Avancé Représentation temps- fréquence Jamila BAKKOURY
  2. 2. Plan 1. Rappel : Transformée de Fourier 2. Exemples 3. Limitations de la TF 4. Transformée de Fourier a court terme 5. Transformée en ondelettes 2
  3. 3. Analyse de Fourier Rappel : voir cours TS de base : outils mathématiques pour le TS Page 3
  4. 4. Représentations d’un signal - Exemple Représentation temporelle : • Ne renseigne pas sur le contenu fréquentiel. Page 4 Représentation fréquentielle : • Décomposition sur des exponentielles complexes. • Ne renseigne pas sur la localisation (temporelle) des fréquences. Rappel
  5. 5. Page 5 Signal stationnaire : Ses caractéristiques (spectrales) ne varient pas dans le temps. L’analyse spectrale (de Fourier) est bien adaptée. Exemples • Onde pure • Combinaison linéaire d’ondes pures (harmoniques) Signal non stationnaire :  Ses caractéristiques (spectrales) varient au cours du temps. Exemple : Morceau de musique : chaque note a un temps d’émission, une durée, une hauteur (fréquence) et une intensité. Rappel
  6. 6. Page 6  Exemple 1 : Sinusoïde pure x(t)=sin(2πf0t) porte rectangulaire w(t)=πT(t) 1- Rappeler le spectre de x(t) 2- Déterminer TF(wT) 3- Déterminer TF(x.wT) 4- Que devient ce spectre si w est décalée de τ ? 5- Représenter les spectres pour différentes valeurs de T. 6- Commenter. Analyse de Fourier standard
  7. 7. Page 7  Exemple 2 : x(t)=sin(2πf0t) pour t<t0 x(t)=sin(2πf1t) pour t0<t<t1 x(t)=sin(2πf2t) pour t>t! porte rectangulaire w(t)=πT(t) 1- Effectuer une analyse spectrale, par tranche, de x(t). 2- Représenter le spectre en fonction du temps. 6- Commenter. Analyse de Fourier standard
  8. 8. Page 8 Pour une sinusoïde infinie, toute l’énergie du spectre est concentrée à une fréquence donnée, c’est à dire la fréquence de la sinusoïde. Exemple 1 Analyse de Fourier
  9. 9. Page 9 Exemple1 Analyse temps-fréquence
  10. 10. Page 10  La TF du signal A stationnaire est identique à la TF du signal B non stationnaire  Dans le spectre de B, on ne peut dire dans quel l'ordre ont été placées les trois sinusoïdes. Limites de l’analyse de Fourier standard
  11. 11. Page 11 Limites de l’analyse de Fourier standard
  12. 12. • L’analyse spectrale standard perd l’information temporelle puisqu’elle moyenne sur tous les temps. • Cette analyse convient pour les signaux stationnaires où chaque composante de fréquence existe à tout instant, mais ne convient pas aux signaux non stationnaires.  Si l'on recherche une localisation temporelle des composantes spectrales, on a besoin d'une autre transformation qui permette de donner une représentation temps - fréquences du signal.  Analyse par morceaux : adapte les outils L’analyse spectrale standard aux variations dans le temps. Page 12 Limites de l’analyse de Fourier standard
  13. 13. Page 13 Le but de l'analyse temps-fréquence est d'offrir une description plus informative du signal révélant la variation temporelle de son contenu fréquentiel. Une solution, la plus intuitive, consiste à associer à un signal non stationnaire une suite de transformées de Fourier à court terme ( STFT: Short Time Fourier Transform) en essayant d'adapter les fenêtres d'observation successives aux variations de structure du signal de telle sorte que les hypothèses de stationnarité́, soient localement satisfaites. Analyse temps-fréquence
  14. 14. Page 14 conséquence d'un fenêtrage sur la TF d'une sinusoïde Analyse temps-fréquence
  15. 15. Page 15 Conséquence d'un fenêtrage sur la TF d'une sinusoïde : Le fenêtrage consiste a multiplier le signal par une fenêtre rectangulaire (de hamming, ...). Le fenêtrage correspond dans le domaine fréquentiel à un produit de convolution de leurs transformées de Fourrier. D’ou : • Perte de résolution dans le domaine fréquentiel puisque "le pic s'est élargit". • Apparition de bandes de fréquence. La fenêtre ne doit pas être trop grande pour que le signal fenêtré soit stationnaire et que la résolution temporelle soit correcte. Mais elle ne doit pas être trop petite non plus pour que les lobes correspondant à la TF de la fenêtre ne soient pas trop larges et pour que la résolution fréquentielle soit correcte. Analyse temps-fréquence
  16. 16. Page 16 Utilisation d’une fenêtre rectangulaire : La troncature du sinus, implique : • Une répartition de l’énergie autour de la fréquence du sinus (étalement) • Une apparition d’énergie dans toutes les fréquences (fuite spectrale). Analyse temps-fréquence
  17. 17. Page 17 Utilisation une fenêtre non rectangulaire : La troncature au moyen d’une fenêtre non rectangulaire, implique : • Des transitions du signal plus douces. • Une limitation des fuites spectrales • Une augmentation de l’étalement fréquentiel Analyse temps-fréquence
  18. 18. Page 18 Transformée de Fourier à court terme (STFT) • Analyse le signal segment par segment (ou fenêtre par fenêtre). • La longueur de ce segment est constante et doit être telle que la portion de signal fenêtré soit stationnaire. • La TF de chaque portion de signal fenêtré est calculée comme suit (le centre de la fenêtre étant placée au temps τ) : •La fenêtre de largeur T et centrée en τ permet d'extraire une portion de signal. w* designe le complexe conjugué de w •Cette analyse fournit une représentation temps-fréquence du signal. ∫ − ×−×= t f tjw x d tetwtxfS T F T π ττ 2* )()(),(
  19. 19. Page 19 STFT – Exemple2
  20. 20. Page 20 STFT – Exemple2 • Les deux signaux B et C sont constitués de sinusoïdes se succédant dans un ordre différent. • Leurs TF sont identiques. • Leur STFT permettent de les distinguer puisqu'elles mettent en évidence les fréquences dominantes relatives à chaque période d’observation.
  21. 21. Page 21
  22. 22. Page 22 Principe d'incertitude d'Heisenberg : Les résolutions en temps et en fréquence ne peuvent pas être arbitrairement petites en même temps. Si represente la fenetre d’analyse, alors : Analyse temps-fréquence π4 1 ≥∆×∆ ft          =∆ =∆ ∫ ∫ ∫ ∫ d ffW d ffWf f d ttw d ttwt t 2 22 2 2 22 2 )( )( )( )( w La limite inférieure de cette inégalité est atteinte seulement pour une fenêtre d’analyse de forme gaussienne.
  23. 23. Page 23 STFT-Exemple Signal vocal - Utilisation d’une fenêtre de Hanning
  24. 24. Page 24 STFT-Exemple Signal vocal- Utilisation d’une fenêtre rectangulaire
  25. 25. Page 25 STFT-Exemple Signal vocal - comparaison fenêtre rectangulaire/ hanning : Avec la fenêtre rectangulaire au lieu de la fenêtre de Hanning, l’étalement spectral est plus faible et les lignes sur le spectrogramme plus fines, mais les fuites spectrales sont plus importantes ce qui se traduit par par un manque de contraste dans spectrogramme.
  26. 26. Page 26 • La STFT considère implicitement un signal non stationnaire comme une succession de situations quasi-stationnaires, à l’échelle de la fenêtre d’analyse. • La résolution temporelle d’une telle analyse est fixée par la largeur de la fenêtre, la résolution fréquentielle étant fixée par la largeur de sa transformée de Fourier. Pour un signal fortement non-stationnaire, une bonne résolution temporelle est requise, ce qui impose de travailler avec une fenêtre courte, limitant la résolution fréquentielle. • Une analyse fréquentielle fine nécessite, une fenêtre large, ce qui a pour consequence de moyenner les contributions fréquentielles sur la durée de la fenêtre et de dégrader la résolution temporelle. STFT- Compromis
  27. 27. Page 27 STFT-Compromis Eléments importants dans l’utilisation du spectrogramme : •la longueur de fenêtre pour ajuster la précision temporelle, au prix d’un étalement spectral qui peut devenir important •le choix de la fenêtre qui va conditionner le contraste du spectrogramme, pour une longueur de fenêtre donnée. •Compromis entre les résolutions temporelle et fréquentielle.
  28. 28. Page 28 Transformation en ondelettes Le problème de la STFT est d'utiliser une fenêtre de taille fixe couvrant le domaine temps-fréquence. Son inconvénient majeur est la résolution temporelle et fréquentielle fixe. La Transformation en Ondelettes offre la possibilité d’avoir une fenêtre qui s'adapte en fonction des irrégularités du signal. Les ondelettes sont une famille de fonctions localisées en temps et en fréquence et formant une base orthonormale. Elles sont engendrées les unes à partir des autres par translation et dilatation.
  29. 29. Page 29 Transformation en ondelettes Chaque ondelette est utilisée pour décomposer le signal comme on utilise chaque fonction exponentielles dans la transformée de Fourier. La différence est que les fonctions ondelettes sont bien localisées dans le temps contrairement aux exponentielles. STFT
  30. 30. Page 30 Transformation en ondelettes La transformée en ondelettes continue est définie par : τ est le coefficient de translation. Il s'agit d'un nombre réel. s-1 est le coefficient d'échelle. s est un nombre réel. ψ(t) est l'ondelette mère. C’est une fonction oscillante de moyenne nulle. Ψ* dénote le complexe conjugué de ψ Les sont les coefficients d'ondelettes CWTx ψ (τ,s) = 1 s × x(t)×ψ* t −τ s      ÷ t ∫ dt CWTx ψ (τ,s)
  31. 31. Page 31 Transformation en ondelettes Une fonction ondelette est générée, par dilatation (ou contraction) et translation (selon l'axe temporel). La TOC est définie comme la projection d'un signal sur toute la famille des fonctions ondelettes. A chaque point (τ ,s) dans le plan temps-échelle, l'amplitude de la transformée ondellete fournit une information sur le degré de ressemblance entre le signal analysé et la version de l’ondelette mère décalée de τ , à l'échelle s. La CWT (TOC) est conçue pour donner une bonne résolution temporelle avec une pauvre résolution fréquentielle dans les hautes fréquences (s petit ) et une bonne résolution fréquentielle avec une pauvre résolution temporelle dans les basses fréquences (s grand).
  32. 32. Page 32 Rappel : Principe d'incertitude d'Heisenberg : Analyse temps-fréquence π4 1 ≥∆×∆ ft La limite inférieure de cette inégalité est atteinte seulement pour une fenêtre d’analyse de forme gaussienne.
  33. 33. 33 Domaine fréquentiel FT support infini Résolution temps-fréquence Cosinus T=2π/f Domaine Temps-Fréquence STFT Fenêtre de largeur fixe Domaine Temps-Echelle WT Fenêtre avec un nombre d’oscillations fixe Fréquencecroissante Echellecroissante Analyse temps-fréquence
  34. 34. Page 37 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 200 400 600 800 1000 10 20 30 40 50 60 70 Exemple de représentations Temps-Echelles : Une seule fréquence est présente sur tout l’intervalle avec la même intensité
  35. 35. Page 38 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Exemple de représentations Temps-Echelles :
  36. 36. Page 39 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 200 400 600 800 1000 10 20 30 40 50 60 70 Exemple de représentations Temps-Echelles :
  37. 37. 40 Exemple de représentations Temps-Echelles :
  38. 38. Page 41 L’utilisation de la TFCT ou la TOC nécessite de trouver un compromis entre les résolutions temporelle et fréquentielle. Pour la TFCT, une fenêtre d’analyse plus étroite fournira une meilleure résolution temporelle, mais la concentration autour de l’origine de sa transformée de Fourier sera nécessairement moindre, ce qui implique une plus mauvaise résolution fréquentielle. Pour la TOC, le compromis est similaire, mais il dépend de la fréquence d’analyse : plus la fréquence d’analyse augmente, plus la résolution temporelle s’améliore, mais aux dépens d’une moindre résolution fréquentielle. TFCT/TOC
  39. 39. Page 42 Analyse de Fourier standard : bien adaptée aux signaux stationnaires. Mais ne permet pas d’obtenir d’information temporelle. Solution : transformée de Fourier a court terme. Fenêtre d’analyse fixe. Compromis STFT : précision temporelle / fréquentielle. Solution : transformée en ondelettes. Les ondelettes permettent une décomposition multi-échelle. Inconvénient majeur de la WT : critère de choix sur le type d’ondelette mère à utiliser. Conclusion
  40. 40. Page 43 Références : •Patrick Flandrin - Temps-frequence. Editions Hermes - 1998. •Claude Gasquet et Patrivk Witomski - Analyse de Fourier et applications - Dunod.2004 •Stephane Mallat - Une exploration des signaux en ondelettes. Les éditions de l’école polytechnique – 2000. •Yves Meyer. Les ondelettes, algorithmes et applications. Editions Armand Colin.1992. •Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in •applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics. •http://fourierandwavelets.org •http://www.wavelet.org

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