1. Chapitre 3: Pièces soumises à la
flexion simple
Module Béton Armé - 2AGC - ENIT
1
2. Plan du Cours
I. Introduction
II. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELUR
II.1. Sections rectangulaires sans aciers comprimés
II.2. Sections rectangulaires avec aciers comprimés
II.3. Sections en T
III. Dimensionnement à l’ELS
III.1. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELS.
III.2. Limitation des contraintes normales
III.3 Limitation de la flèche
2
3. I. Introduction
Sollicitations de la flexion simple
M
V
On se limitera dans ce chapitre à l’étude de l’effet du moment
fléchissant sur une section en B.A. Le chapitre suivant sera consacré
à l’étude de l’effort tranchant.
3
5. A?
En pratique, les aciers longitudinaux se terminent par de crochets pour
améliorer leur l’adhérence au béton
5
6. Dimensionnement
calcul de la
section A d’aciers longitudinaux
• Il
faut justifier qu’aucun état-limite ultime ou de
service n’est atteint.
• Dans de nombreux cas, il est possible de connaître à
l’avance l’état-limite qui sera déterminant, ce qui rend
inutile toute vérification ultérieure vis-à-vis d’autres
états-limites.
• Dans le cas de la flexion simple, l’état-limite
déterminant est :
— l’ELUR, si la fissuration est peu préjudiciable ;
— l’ELS (d’ouverture des fissures), si la fissuration est
très préjudiciable.
6
7. II. Calcul de la section d’acier
longitudinal à l’ELUR
Schéma d’équilibre limite d’une section de poutre sollicitée à la flexion simple
7
8. II.1. Calcul à l’ELUR d’une section rectangulaire
Mu : moment sollicitant calculé à l’ELUR
y
y
y
eb
f bu
Yu
A.N.
e
z
h d
Mu
Au
es
f
0,85 c28
θ γb
0,8 Yu
y
y
Fb
fbu
s
s
Mu
F
Zu
ss
ss
Fs=Au ss
b
On
pose:
Yu u d Fb f bu 0,8 Yu b f bu 0,8 u d b
Zu d - 0,4Yu d(1- 0,4u )
En général, on suppose que: d=0,9h
8
9. Fb Fs A us s
Equations d' équilibre ultime de la section
M u Fb Zu
Mu
Au
Z us s
Zu d(1 - 0,4 u )
Mu (f bu 0,8 u d b)[d(1- 0,4u )]
M u (f bu bd )[0,8 u (1 - 0,4 u )]
2
Mu
u
0,8 u (1 - 0,4 u ) ; u : Moment ultime réduit
2
f bu bd
u 1,25 (1 - 1 2u )
ss ?
Zu
9
10. Dimensionnement
• Règlement BAEL limite la hauteur du béton
comprimé en flexion simple (pour limiter la
compression du béton)
• En général, Ylim 0,4h=> lim 0,44 => ulim
0,3 (Fe 400) et ulim 0,27 (Fe 500)
-Si lim=>u ulim et Mu Mulim =
bd f => Pas besoin d’armatures comprimées
ulim
2
bu
(A’=0)
- Si > lim => u > ulim et M > Mulim
=> Besoin d’armatures comprimées (A’ 0)
10
11. ss
Choix du Pivot de calcul
y
y
0ebu=2‰ B
YAB
h
3/7h
C
Mu MAB
d
2
1
MAB Mu MBC
A
A
ebu=3,5‰
Diagrammes des
déformations
limites de la section
esu=10‰
0
Calcul autour du Pivot A (Région 1):
Mu MAB
:
Calcul autour du Pivot B (Région 2):MAB
Mu MBC
11
12. Moments Frontières
Moment frontière MAB
0
YAB 0,259d AB 0,259
B3,5‰
YAB=0,259d
AB 0,186
C 2‰
Moment frontière MBC
YBC h 1,1d BC 1,1
d
Mu < MAB
1
h
2
MAB Mu MBC
BC 0,493
A 10‰
0
12
13. Dimensionnement
Mu
fe
u
0,186 Pivot A e s e su 10‰ s s f su
2
f bu bd
s
Mu
1-u
0,186 u
Pivot B e s 3,5‰
2
f bu bd
u
s
si e s e e s s E a e s
f
ee e
f
Ea γs
si e s e e s s f su
f su e
s
Comparer u à 0.186 est équivalent à comparer
AB à 0,259
Ea = 200 GPa
ee
e
-10‰
AB 0,259
AB 0,259
pivot
10‰
A
pivot B
f su
fe
s
13
15. Récapitulatif: Calcul d’une section rectangulaire sans aciers comprimés
u
Mu
u lim NON Redimensionnement de la section du
2
bd f bu
béton ou ajout d’armatures
OUI
Pivot A
e s 10‰
s s f su
OUI
u 0,186
comprimées
NON
Pivot B
u 1,251 1 2u
e s 3,5‰
yu u .d
Zu d 0,4. yu
ss
Mu
Au
Z u .s s
f
Au , A min 0,23 t28 bd
Aucalcul max
fe
1- u
u
fe
γs E
f
si ε s e
γs E
Eε s si ε s
f su
15
19. Exemple 1
• Moment ultime réduit u = Mu/(bd2fbu) = 0,235
< ulim => Pas besoin d’armatures comprimées
(A’=0)
• u > 0,186 => Pivot B
• u = 0,34 => es = 3,5‰ (1- u)/ u = 6,8‰
• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =
348 MPa
• Zu = d (1-0,4 u) = 0,54*(1-0,4*0,34)=0,466m
• Au = Mu / (Zu ss) = 0,002102 m2 = 21,02 cm2
• Amin=0,23bdft28/fe =2,28 cm2 < Au
19
=> Aucalcul = 21,02 cm2
20. Sections rectangulaires avec armatures
comprimées
A’u
d’
Yulim
ulimd
eb=3,5‰
esc
fbu
ssc
0,8 ulimd
A.N.
d
Mu
Au
ss
es
Mu
b
Fsc=A’ussc
Fb=0,8 ulimdbfbu
Mu1
=
Fs1=Au1 ss
Mu2=Mu-Mu1
+
Zu1=d(1-0,4ulim)
d-d’
Fs2=Au2 ss
A u A u1 A u2
20
21. • M u M u1 M u2 et A u A u1 A u2
Fb A u1s s
Equations d' équilibre ultime
M u1 Fb Z u1 Et
Zu1 d(1 - 0.4 ulim )
• Mu1 = ulim b fbu
• Mu2 = Mu – Mu1
d2
M u1
A u1
d(1 - 0.4 ulim ) Fed
Fsc A'u s sc A u2s s
M u2 Fsc (d - d' )
ulim 1,25(1 - 1 2ulim )
A 'u A u2
M u2
A u2
(d - d ' ) Fed
21
22. Dimensionnement
• Économie => Mu2 ≤ 0,4 Mu
• Flambement des armatures comprimées
=> maintenir les armatures comprimées
par des armatures transversales dont
l’espacement st ≤ 15 Fc
22
23. Exemple 2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
b = 70cm
h = 110cm
d = 101cm
d’ = 9cm
Béton: fc28 = 27 MPa
Acier: FeE 400 HA
Mu = 3,8 MN.m
ulim = 0,3
Calculer la section d’acier à l’ELU
23
24. Exemple 2
• fbu = 0,85 (27)/1,5 = 15,3 MPa
• fsu = 400/1,15 = 348 MPa
• Moment réduit : u = Mu/(bd2fbu) = 0,347 > ulim
=> armatures comprimées nécessaires
• ulim = 0,4594 > 0,259=> calcul autour du pivot
B=> es = 3,5‰ (1-ulim)/ulim = 4,12‰
• es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =348
MPa
• esc = 3,5‰ (ulimd-d’)/(ulimd) = 2,82‰ > ee =
1,74‰ => ssc = 348 MPa
• Mu1 = ulim b d2 fbu = 3,277MN.m
• Mu2 = Mu – Mu1 = 0,522 MN.m< 0,4Mu=1,52MN.m
24
25. Exemple 2
M u1
2
2
A u1
0,01142 m 114 ,2 cm
d(1 - 0.4 ulim )s s
M u2
2
2
A u2
0,001632 m 16,3 cm
'
(d - d )s s
Au Au1 Au2 114,2 16,3 130,5cm 2 Amin 9,02cm 2
A'u A u2 16,3cm 2
25
26. Section en T
• Planchers nervurés en béton armé (à corps creux):
succession des nervures portant dans un seul sens
Table de compression et dalle de répartition
1m
nervure
33 cm
hourdis
33cm
Table de
compression
5cm
Ame
16 cm
(ou 19+6cm)
26
7cm
27. • Modélisation des poutres supports des dalles pleines: Section
en T (en travée uniquement)
Dalle
pleine
L
1
1
Largeur b de la table de compression en travée:
L
10
b b0
Min
2
lt
2
b
b0
lt
Coupe 1-1
27
28. Dimensionnement
• Détermination du moment résistant MTu équilibré
par la table de compression: on suppose que Yu=h0/0,8
b
fbu
h0
Fbc f bu bh 0
h0/0,8
A.N.
MTu
Au
Zu = d-h0/2
Fs=Au ss
b0
M Tu
h0
(f bu bh 0 )[d - ]
2
28
29. Dimensionnement
Comparer Mu à MTu
- Mu ≤ MTu => Yu h0/0,8 => Dimensionnement en Section
rectangulaire (b, d)
- Mu > MTu => Yu > h0/0,8 => Dimensionnement Section en T
b
A.N.
h0
b
Yu h0
Yu
A.N.
d
Mu<MTu
Mu>MTu
Au
Au
b0
b0
29
30. Dimensionnement en section en T
• Mu > MT,u
b-b0
b0
b
h0
Yu
Zu1
=
Au
Au1
Zu2 = d-h0/2
+
Mu1
Mu2
Au2
b0
Mu = Mu1 + Mu2
Au = Au1 + Au2
30
31. Dimensionnement en section en T
h0
M u2 f bu (b - b 0 )h 0 [d - ]
2
M u1 M u - M u2
M u1
A u1
d(1 - 0.4 u1) Fed
M u2
A u2
h0
(d - ) Fed
2
Au = Au1 + Au2
M u1
u1 1,25(1 1 2u1 ; u1
b0 d 2 f bu
31
32. Ferraillage minimal: condition de
non fragilité
• Section en T:
3
A min
I Gz f t28
h0
fe
(d - )v
3
3
h0
h
'2
I Gz b 0
(b b 0 ) b 0 h (b b 0 )h 0 v
3
3
2
2
b 0 h (b b 0 )h 0
'
v
2b 0 h (b b 0 )h 0
v h-v
'
32
34. Exemple 3
h0
M Tu (f bu bh 0 )[d - ] 0.0383MN.m
2
• Mu = 0,0062 MN.m < MTu => Section
rectangulaire (b=0,33m;d= 0.189m)
• Moment réduit: u = Mu/(bd2fbu) = 0,037 < ulim
= 0,3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0
• u < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss =fsu=
348 MPa
• u = 0,047 => Zu = d (1-0,4 u) = 0,185m
• Au = Mu / (Zu ss) = 0,96 cm2 => 1HA12
(Aréel=1,13cm2)
34
35. Exemple 3
• Schéma de ferraillage:
Armatures constructives 1HA10
Armatures d’âme 1 Étrier RL 6
Armatures tendues 1HA12
35
36. Exemple 4
1
0,7m
0,21m
1,2m
1,65
m
1
4,8m
0,4m
Coupe 1-1
• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml
• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml
• Charge concentrée
– Permanente: G=79T
– Exploitation: Q=23T
• Béton: fc28 = 20 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Calculer Au à l’ELU au niveau de la section où s’applique la charge 36
concentrée
39. Exemple 4
M Tu
h0
(f bu bh 0 )[d - ] 1,653MN.m
2
• Mu > MTu => calcul en section en T
• Mu2= 0,71MN.m => Mu1=Mu- Mu2= 0,954MN.m
• Moment réduit: u1 = Mu1/(b0d2fbu) = 0,174 < ulim
=0.3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0
• u1 < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss = 348MPa
• u1 = 0,24 => Zu1 = d (1-0,4 u1) = 0,994 m
• Au1 = Mu1 / (Zu1 ss) = 0,002758 m2 = 27,58 cm2
• Au2 = Mu2 / ( d-h0/2)ss= 0,002050 m2 = 20,5 cm2
39
Au = 48,08 cm2
40. Exemple 4
Schéma de ferraillage proposé:
Aciers constructifs
Aciers de peau
5 HA16 + 5 HA14
=> A=48,9cm2
10 HA20
Vérification: dréel=(114,2*31,42+ 108,9*10,05+107,4*7,70)/48,9
dréel=112,051 > dcalcul=1,1 => A réel > A calcul =>OK
Armatures de peau: pour les poutres de grande hauteur, il faut prévoir des armatures
40
de peau (non fragilité) de section au moins égale à 3cm2 par mètre linéaire de
parement en cas de FP ou FPP, et 5cm2 en FTP
41. États Limites de Service
• Sollicitations de calcul => Combinaisons Rares
Gmax Gmin Q1 0i Qi
i 1
• Béton et acier: Comportement élastique linéaire
• Es/Ebv = 15 ; Ebv: module de déformation longitudinale
vrai du béton (différé)
• ELS de compression du béton: s bc s bc 0,6 f c 28
• ELS d’ouverture de fissures: s s s s
s s : Contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS
41
42. Contraintes limites de traction de l’acier à
l’ELS
• Fissurations peu préjudiciables (FPP)
ss f e
• Fissurations préjudiciables (FP)
– Pièces exposées aux intempéries ou à des
condensations
2
3 fe
s s Min
Max (0,5f e ; 110 f tj (MPa))
Coefficient de fissuration
f tj 0.6 0.06 f cj (MPa)
1 pour ronds lisse
1,3 pour fils HA 6mm
1,6 pour barres HA et fils HA 6mm
42
43. Contraintes limites de traction de l’acier à
l’ELS
• Fissurations très préjudiciables (FTP)
– Pièces placées en milieu agressif
s s 0,8 ( MPa )
: contrainte limite dans le cas de la F.P.
43
44. Dimensionnement
Moment résistant du béton Mrb: moment de service
pour lequel l’état limite de compression du béton et
l’état limite d’ouverture des fissures sont atteints
simultanément
e bc
y
A.N.
h d
Mrb
Aser
es
b
σ bc
ε bc
Eb
σs
σs
εs
E s 15E b
εs
ε bc
ε s y ε bc (d - y)
d-y y
y
d
ε bc
ε s ε bc
44
45. Dimensionnement
ε bc
ε s ε bc ss
s bc
15E b
Eb
s bc
Eb
e bc
15 s bc
ss 15 s bc
s bc
Fbc
y
A.N.
h d
Aser
b
es
Mrb
ss
Mrb
Z
Mrb
Fs Aser ss
45
46. Dimensionnement
Fbc Fs A ser s s
Equations d' équilibre élastique
M rb Fbc Z
Fbc 1 / 2 sbc y b 1 / 2 sbc d b
y
d
Z d - d - d(1 - )
3
3
3
2
M rb (1 - )s bc bd
2
3
46
47. Dimensionnement
Si Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées
M ser (1 - )sbc bd 2
2
3
M ser
A ser
Zss
s bc
e bc
y d
h d
Aser
b
es
Mser
Mser
ss
ss
15
Fbc
Z Mser
Fs Aser ss
47
48. Dimensionnement
ss
s bc
15 1
ss
2
M ser (1 - )
bd
2
3 15 1
ss 2
2
M ser
(1 - ) bd
30 1
3
Z
Z
Z d(1 - ) 1 - 3(1 )
3
d
3
d
Z 2
(1 )
M ser
3 Z
d
2
ssbd 10 d 1 3(1 Z )
d
48
50. Dimensionnement
Si Mser > Mrb => sbc sbc
Armatures comprimées nécessaires
Mser = Mrb + M2
A’ser
h d
Ase
r
d’
e bc
y d
es
Mser
s bc Fsc A serssc
ssc
Fbc
'
Mser
ss
Z
d-d’
Fs Aser ss
b
50
Mser
51. Dimensionnement
'
d'
'
s sc 15s bc
avec
d
M ser M rb
A
ssc (d d' )
'
ser
M rb
' ssc
A ser
A ser
ss
d(1 - )ss
3
51
53. Exemple5
• Poutre uniformément chargée
– Charges permanentes y compris poids propre:
g=12,5 kN/ml
– Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/ml
•
•
•
•
Béton: fc28 = 25 MPa
Acier: FeE 400 HA
Fissuration préjudiciable
Calculer la section d’acier à l’ELS au niveau
de la section médiane de la poutre
53
54. Exemple 5
• Mg = gl2/8 =100 kN.m
• Mq = ql2/8 =137,6 kN.m
• Mser = Mg + Mq = 237,6 kN.m
sbc 15MPa
0,527
ss 201,6MPa
M rb 330kN.m
Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées
M ser
Z
0,0115 0,845 => Z=0,456m
2
ss bd
d
54
55. Exemple 5
Ou prendre
Z d(1 - )
3
M ser
A ser
Zss
A ELU 21,4cm 2
Aser 25,8cm 2
(voir exemple 1)
As sup(Aser , A ELU ) 25,8cm 2
55
56. Vérification des contraintes à l’ELS
• Les conditions d’utilisation d’un ouvrage peuvent changer au cours de son
exploitation (variation de la charge d’exploitation, la nuisibilité des fissures, etc.)
=> il faut vérifier les contraintes aux ELS.
s bc
y
y1
A’s
y
d’
Béton comprimé :
z
G
d
As
b
Mser
ss
s ( y)
M ser
y
h
I Gz
ssc
Mser
ss
15
Section homogène en béton (de module Ebv) :
Bh= B + 15 (As + A’s )
s sc
15
M ser
s bc h y1 s bc
I Gz
15M ser
s s h (d - y1 ) s s
I Gz
15M ser
fe
s sc h (y1 - d')
I Gz
56
57. Vérification des contraintes à
l’ELS
y
d’
h d
A’s
15A’s
y1
y1 / 2
z
G
b
15As
As
b
yG Bh
y1 - d'
y
Gi S i
d - y1
0
i
by1 y1 / 2 15 A' s ( y1 d ' ) 15As (d - y1 ) 0
by12 / 2 15( As A's ) y1 15(As d A's d ' ) 0
I
h
Gz
y1
by / 3 15As (d - y1 ) 15 A's ( y1 d ' )
3
1
2
2
57
58. Exemple 6
1-1
60 cm
54 cm
1
35 cm
1
A ELU 21,4cm 2
Mser = 237,6 kN.m
8m
• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration préjudiciable
58
59. Exemple 6
by12 / 2 15A y1 15Ad 0 35y12 / 2 15 21,4 y1 15 21,4 54 0
=>
y1 23,6cm
I Gz by13 / 3 15A(d - y1 ) 2 0,0045m 4
M ser y1 237,6 0,236
s bc
12,5MPa s bc 15MPa OK
I Gz
0,0045
M ser (d - y1 )
s s 15
240,8MPa s s 201,6MPa A s AELU
I Gz
59
60. Exemple 7
•
•
•
•
•
•
•
b = 70cm
h = 110cm
d = 101cm
d’ = 9cm
Béton: fc28 = 27 MPa
Acier: FeE 400 HA
Mser = 2,5 MN.m
• A’=16 cm2 ; A= 128,7cm2
• Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration
60
préjudiciable
61. Exemple 7
by12 / 2 (nA nA ' ) y1 n(Ad A 'd ' ) 0; n 15
I Gz by13 / 3 nA(d - y1 ) 2 nA ' (y1 d ' ) 2
s bc 0,6f c28 16,2MPa
y1 50,2cm
I Gz 8341118cm 4 0,0834m 4
ss 207,3MPa
s sc 347,8MPa
M ser y1 2,5 0,502
s bc
15MPa s bc
I Gz
0,0834
M ser (y1 d ' )
2,5(0,502 0,09)
s sc 15
15
185,3MPa s sc
I Gz
0,0834
M ser (d - y1 )
2,5(1,01- 0,502)
s s 15
15
228,4MPa s s
I Gz
0,0834
A 128.7cm insuffisante
2
61
62. Calcul à l’ELS: Section en T
• Calcul de MTser:
M Tser
h0
d
ss
3 bh 2
0
30 d h 0
• Si Mser ≤ MTser => Section rectangulaire (b,d)
• Si Mser > MTser => Section en T
– Bâtiments: Z=d-0,5ho
– Ponts: Z=0,93d
M ser
A ser
Zss
62
63. Vérification des contraintes à
l’ELS: Section en T
• Axe neutre dans la table de compression:
y1h0 Calcul des contraintes d’une section rectangulaire
(b, d)
Axe neutre dans la nervure: y1>h0
2
y12
h0
b0 y1[(b - b 0 )h 0 n(A A')] - [(b - b 0 ) n( Ad A' d ' )] 0
2
2
y13
( y1 h0 )3
I h Gz b (b b0 )
nA(d y1) 2 nA' ( y1 d ' ) 2
3
3
(n=15)
M ser y
s h
I Gz
63
64. Exemple 8
1
0,7m
0,21
m
1,2m
1,65
m
1
4,8m
0,4m
Coupe 1-1
• Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml
• Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml
• Charge concentrée
– Permanente: G=79T
– Exploitation: Q=23T
• Béton: fc28 = 20 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Au = 48,9cm2
• Fissurations préjudiciables
64
66. Exemple 8
• Axe neutre dans la nervure
h0
(y1 - h 0 ) 2
bh 0 (y1 - ) b 0
nA(d - y1 ) 0 y1 39,76cm
2
2
I Gz
h 0 2 b 0 ( y1 h 0 ) 3
1 3
bh 0 bh 0 ( y1 )
nA(d - y1 ) 2 0,048m 4
2
3
12
M ser y1
s bc
9,93MPa s bc 12MPa
I Gz
M ser (d - y1 )
s s 15
255,67MPa s s 200 MPa
I Gz
Au 48.9cm insuffisante
2
66
67. ELS de déformation: Limitation de la flèche
• Les déformations des éléments fléchis doivent rester suffisamment faibles
pour :
- ne pas nuire à l´aspect et à l´utilisation de la construction
- ne pas occasionner des désordres dans les éléments porteurs.
- ne pas endommager les revêtements, les faux plafonds ou les autres
ouvrages supportés.
=> Il faut limiter la flèche
• Pour les éléments supports reposant sur deux appuis, la valeur de la
flèche admissible dans le cas où les ouvrages supportés (cloisons et
revêtements), sont fragiles est limitée à:
f adm
l
500
si
l £ 5m
(avec l en cm)
l
si
l > 5m (avec l en cm)
1000
• Pour les éléments en console, la valeur de la flèche admissible de l´extrémité
de la console, dans le cas où les ouvrages supportés sont fragiles, est limitée
à: f adm l (cm ) si la portée l est au plus égale à 2m.
250
• Quand les ouvrages supportés ne sont pas fragiles, la flèche admissible67
est
égale au double de celle obtenue dans le cas d’ouvrages supportés fragiles.
f adm 0.5
68. • Pour tenir compte de l´existence éventuelle de fissures dans les zones
tendues, on substitue dans les calculs, au moment d´inertie I0 de la section
totale rendue homogène, un moment d´inertie fictif If évalué empiriquement.
• Dans le cas des poutres simplement appuyées isostatiques ou continues et
des bandes de dalles isostatiques ou continues, dirigées dans le sens de la
petite portée, soumises à des charges uniformément réparties, les flèches
sont déterminées selon le BAEL comme suit :
Ml 2
- la flèche fi correspond aux déformations instantanées: f i
10 Ei I fi
- la flèche fv correspond aux déformations différées:
Ml 2
fv
10 Ev I fv
2i
0,05 f t 28
1,75 f t 28
I0
I0
; v
; i
I fi 1,1
et I fv 1,1
avec 1
b0
5
4 s s f t 28
1 i
1 v
(2 3 )
b
M : le moment fléchissant maximal à l’ELS produit dans la travée considérée par le cas de charge envisagé;
L: portée de la travée considérée comptée entre nus d’appuis.
Ei : module d’élasticité instantané du béton et Ev : module différé du béton ; Ev=Ei/3;
Ifi : Moment d’inertie fictif instantané et Ifv : Moment d’inertie fictif différé;
I0: désigne le moment d´inertie de la section totale en béton armé rendue homogène (n = 15) ;
ss: la contrainte de l’acier à l’ELS;
b0 : la largeur de la nervure et b celle de la table de compression
A
:
b d rapport de l´aire A de la section de l´armature tendue à l´aire de la section utile de la nervure
68
69. • Pour les consoles soumises à des charges uniformément réparties, on peut
admettre que les flèches fi et fv de l´extrémité de la console correspondant aux
déformations instantanées et de longue durée, ont respectivement pour
valeurs:
2
2
Ml
Ml
fi
et f v
4 Ei I fi
4 Ev I fv
69
70. Exemple 9
1-1
60 cm
54 cm
1
35 cm
1
A ELU 21,4cm 2
g= 20,7KN/m
q= 9 KN/m
8m
• Béton: fc28 = 25 MPa
• Acier: FeE 400 HA
• Plancher à usage de salle de réunion
• Ouvrages supportés (revêtement) supposés non fragiles
• Fissuration peu préjudiciable
• Vérifier l’ELS de déformation
70
71. Exemple 9
• Vérification de la flèche instantanée fi
Mser-rare= Mg + Mq= 237,6 KN.m
I 0 0,0045 m 4 et s s 240,8MPa (voir exemple 6)
E i 110003 25 32130MPa
21,4 *10 4
0,0113
0,35 * 0,54
0,05 * 2,1
i
1,858
(2 3 *1) * 0,0113
1
1,75 * 2,1
0,717
4 * 0,0113 * 240,8 2,1
I fi 1,1
0,0045
0,00212m 4
1 1,858 * 0,717
0,2376 * 82
800
fi
0,022m 2,2cm f adm 2 * (0,5
) 2,6cm71
OK
10 * 32130 * 0,00212
1000
72. Exemple 9
• Vérification de la flèche différée fv
Mser-quasi-permanent= Mg + 2Mq =Mg + 0,4Mq= 194,4 KN.m;
0,4Mq est la part des charges d’exploitation d’une salle de réunion considérée comme
permanente à prendre en compte dans l’évaluation des déformations différées dues au
fluage du béton
32130
Ev
10710MPa
3
2
5
v *1,858 0,743
0,717
I fv
0,0045
1,1
0,00323m 4
1 0,743 * 0,717
0,1944 * 82
800
fv
0,035 m 3,5cm f adm 2 * (0,5
) 2,6cm
10 *10710 * 0,00323
1000
72
=> ELS de déformation non vérifié !
