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  1. 1. Chapitre 3: Pièces soumises à la flexion simple Module Béton Armé - 2AGC - ENIT 1
  2. 2. Plan du Cours I. Introduction II. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELUR II.1. Sections rectangulaires sans aciers comprimés II.2. Sections rectangulaires avec aciers comprimés II.3. Sections en T III. Dimensionnement à l’ELS III.1. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELS. III.2. Limitation des contraintes normales III.3 Limitation de la flèche 2
  3. 3. I. Introduction Sollicitations de la flexion simple M V On se limitera dans ce chapitre à l’étude de l’effet du moment fléchissant sur une section en B.A. Le chapitre suivant sera consacré à l’étude de l’effort tranchant. 3
  4. 4. Poutre isostatique sur deux appuis simples uniformément chargée x M(x) Mmax(L/2)=ql2/8 4
  5. 5. A? En pratique, les aciers longitudinaux se terminent par de crochets pour améliorer leur l’adhérence au béton 5
  6. 6. Dimensionnement calcul de la section A d’aciers longitudinaux • Il faut justifier qu’aucun état-limite ultime ou de service n’est atteint. • Dans de nombreux cas, il est possible de connaître à l’avance l’état-limite qui sera déterminant, ce qui rend inutile toute vérification ultérieure vis-à-vis d’autres états-limites. • Dans le cas de la flexion simple, l’état-limite déterminant est : — l’ELUR, si la fissuration est peu préjudiciable ; — l’ELS (d’ouverture des fissures), si la fissuration est très préjudiciable. 6
  7. 7. II. Calcul de la section d’acier longitudinal à l’ELUR Schéma d’équilibre limite d’une section de poutre sollicitée à la flexion simple 7
  8. 8. II.1. Calcul à l’ELUR d’une section rectangulaire Mu : moment sollicitant calculé à l’ELUR y y y eb f bu Yu A.N. e z h d Mu Au es f  0,85 c28 θ γb 0,8 Yu y y Fb fbu s s Mu F Zu ss ss Fs=Au ss b On pose: Yu   u d  Fb  f bu 0,8 Yu b  f bu 0,8 u d b Zu  d - 0,4Yu  d(1- 0,4u ) En général, on suppose que: d=0,9h 8
  9. 9. Fb  Fs  A us s Equations d' équilibre ultime de la section  M u  Fb Zu Mu Au  Z us s Zu  d(1 - 0,4 u ) Mu  (f bu 0,8 u d b)[d(1- 0,4u )] M u  (f bu bd )[0,8 u (1 - 0,4 u )] 2 Mu u   0,8 u (1 - 0,4 u ) ; u : Moment ultime réduit 2 f bu bd  u  1,25 (1 - 1  2u ) ss ? Zu 9
  10. 10. Dimensionnement • Règlement BAEL limite la hauteur du béton comprimé en flexion simple (pour limiter la compression du béton) • En général, Ylim  0,4h=> lim  0,44 => ulim  0,3 (Fe 400) et ulim 0,27 (Fe 500) -Si   lim=>u  ulim et Mu Mulim =  bd f => Pas besoin d’armatures comprimées ulim 2 bu (A’=0) - Si  > lim => u > ulim et M > Mulim => Besoin d’armatures comprimées (A’  0) 10
  11. 11. ss Choix du Pivot de calcul y y 0ebu=2‰ B YAB h 3/7h C Mu  MAB d 2 1 MAB Mu  MBC A A ebu=3,5‰ Diagrammes des déformations limites de la section esu=10‰ 0 Calcul autour du Pivot A (Région 1): Mu  MAB : Calcul autour du Pivot B (Région 2):MAB Mu  MBC 11
  12. 12. Moments Frontières Moment frontière MAB 0 YAB  0,259d   AB  0,259 B3,5‰ YAB=0,259d  AB  0,186 C 2‰ Moment frontière MBC YBC  h  1,1d   BC  1,1 d Mu < MAB 1 h 2 MAB Mu  MBC   BC  0,493 A 10‰ 0 12
  13. 13. Dimensionnement Mu fe u   0,186  Pivot A  e s  e su  10‰  s s  f su  2 f bu bd s Mu 1-u 0,186  u   Pivot B  e s  3,5‰ 2 f bu bd u s si e s  e e  s s  E a e s f   ee  e f Ea γs si e s  e e  s s  f su f su  e s Comparer u à 0.186 est équivalent à comparer  AB à 0,259 Ea = 200 GPa ee e -10‰  AB  0,259  AB  0,259 pivot 10‰ A pivot B  f su   fe s 13
  14. 14. Ferraillage minimal: condition de non fragilité • Pour les sections rectangulaires: A min f t28  0,23 bd fe 14
  15. 15. Récapitulatif: Calcul d’une section rectangulaire sans aciers comprimés u  Mu  u lim NON Redimensionnement de la section du 2 bd f bu béton ou ajout d’armatures OUI Pivot A e s  10‰ s s  f su OUI u  0,186 comprimées NON Pivot B  u  1,251  1  2u  e s  3,5‰ yu   u .d Zu  d  0,4. yu ss   Mu Au  Z u .s s   f  Au , A min  0,23 t28 bd  Aucalcul  max   fe   1- u u fe γs E f si ε s  e γs E Eε s si ε s  f su 15
  16. 16. Exemple 1 1-1 60 cm 54 cm 1 35 cm 1 8m 16
  17. 17. Exemple 1 • Poutre uniformément chargée – Charges permanentes y compris poids propre poutre: g=12,5 kN/m – Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/m – Durée d’application des charges > 24h • Béton: fc28 = 25 MPa • Acier: HA FeE 400 • ulim = 0,3 Calculer la section d’acier nécessaire à l’ELUR au niveau de la section médiane de la poutre. 17
  18. 18. Exemple 1 • Mg = gl2/8 =100 kN.m • Mq = ql2/8 =137,6 kN.m • Mu = 1,35 Mg + 1,5Mq = 341,4 kN.m = 0,3414 MN.m • fbu = 0,85 (25)/1,5 = 14,17 MPa • ft28=0,6+0,06*25=2,1 MPa • fsu = 400/1,15 = 348 MPa 18
  19. 19. Exemple 1 • Moment ultime réduit u = Mu/(bd2fbu) = 0,235 < ulim => Pas besoin d’armatures comprimées (A’=0) • u > 0,186 => Pivot B • u = 0,34 => es = 3,5‰ (1- u)/ u = 6,8‰ • es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu = 348 MPa • Zu = d (1-0,4 u) = 0,54*(1-0,4*0,34)=0,466m • Au = Mu / (Zu ss) = 0,002102 m2 = 21,02 cm2 • Amin=0,23bdft28/fe =2,28 cm2 < Au 19 => Aucalcul = 21,02 cm2
  20. 20. Sections rectangulaires avec armatures comprimées A’u d’ Yulim ulimd eb=3,5‰ esc fbu ssc 0,8 ulimd A.N. d Mu Au ss es Mu b Fsc=A’ussc Fb=0,8 ulimdbfbu Mu1 = Fs1=Au1 ss Mu2=Mu-Mu1 + Zu1=d(1-0,4ulim) d-d’ Fs2=Au2 ss A u  A u1  A u2 20
  21. 21. • M u  M u1  M u2 et A u  A u1  A u2 Fb  A u1s s Equations d' équilibre ultime  M u1  Fb Z u1 Et  Zu1  d(1 - 0.4 ulim ) • Mu1 = ulim b fbu • Mu2 = Mu – Mu1 d2 M u1 A u1  d(1 - 0.4 ulim ) Fed Fsc  A'u s sc  A u2s s  M u2  Fsc (d - d' )  ulim  1,25(1 - 1  2ulim ) A 'u  A u2 M u2 A u2  (d - d ' ) Fed 21
  22. 22. Dimensionnement • Économie => Mu2 ≤ 0,4 Mu • Flambement des armatures comprimées => maintenir les armatures comprimées par des armatures transversales dont l’espacement st ≤ 15 Fc 22
  23. 23. Exemple 2 • • • • • • • • • b = 70cm h = 110cm d = 101cm d’ = 9cm Béton: fc28 = 27 MPa Acier: FeE 400 HA Mu = 3,8 MN.m ulim = 0,3 Calculer la section d’acier à l’ELU 23
  24. 24. Exemple 2 • fbu = 0,85 (27)/1,5 = 15,3 MPa • fsu = 400/1,15 = 348 MPa • Moment réduit : u = Mu/(bd2fbu) = 0,347 > ulim => armatures comprimées nécessaires • ulim = 0,4594 > 0,259=> calcul autour du pivot B=> es = 3,5‰ (1-ulim)/ulim = 4,12‰ • es > ee = 348/200000 = 1,74‰ => ss = fsu =348 MPa • esc = 3,5‰ (ulimd-d’)/(ulimd) = 2,82‰ > ee = 1,74‰ => ssc = 348 MPa • Mu1 = ulim b d2 fbu = 3,277MN.m • Mu2 = Mu – Mu1 = 0,522 MN.m< 0,4Mu=1,52MN.m 24
  25. 25. Exemple 2 M u1 2 2 A u1   0,01142 m  114 ,2 cm d(1 - 0.4 ulim )s s M u2 2 2 A u2   0,001632 m  16,3 cm ' (d - d )s s Au  Au1  Au2  114,2  16,3  130,5cm 2  Amin  9,02cm 2 A'u  A u2  16,3cm 2 25
  26. 26. Section en T • Planchers nervurés en béton armé (à corps creux): succession des nervures portant dans un seul sens Table de compression et dalle de répartition 1m nervure 33 cm hourdis 33cm Table de compression 5cm Ame 16 cm (ou 19+6cm) 26 7cm
  27. 27. • Modélisation des poutres supports des dalles pleines: Section en T (en travée uniquement) Dalle pleine L 1 1 Largeur b de la table de compression en travée: L 10 b  b0   Min 2  lt 2  b b0 lt Coupe 1-1 27
  28. 28. Dimensionnement • Détermination du moment résistant MTu équilibré par la table de compression: on suppose que Yu=h0/0,8 b fbu h0 Fbc  f bu bh 0 h0/0,8 A.N. MTu Au Zu = d-h0/2 Fs=Au ss b0 M Tu h0  (f bu bh 0 )[d - ] 2 28
  29. 29. Dimensionnement Comparer Mu à MTu - Mu ≤ MTu => Yu  h0/0,8 => Dimensionnement en Section rectangulaire (b, d) - Mu > MTu => Yu > h0/0,8 => Dimensionnement Section en T b A.N. h0 b Yu h0 Yu A.N. d Mu<MTu Mu>MTu Au Au b0 b0 29
  30. 30. Dimensionnement en section en T • Mu > MT,u b-b0 b0 b h0 Yu Zu1 = Au Au1 Zu2 = d-h0/2 + Mu1 Mu2 Au2 b0 Mu = Mu1 + Mu2 Au = Au1 + Au2 30
  31. 31. Dimensionnement en section en T h0 M u2  f bu (b - b 0 )h 0  [d - ] 2 M u1  M u - M u2 M u1 A u1  d(1 - 0.4 u1) Fed M u2 A u2  h0 (d - ) Fed 2 Au = Au1 + Au2 M u1  u1  1,25(1  1  2u1 ; u1  b0 d 2 f bu 31
  32. 32. Ferraillage minimal: condition de non fragilité • Section en T: 3 A min I Gz f t28  h0 fe (d - )v 3 3 h0 h '2 I Gz  b 0  (b  b 0 )  b 0 h  (b  b 0 )h 0 v 3 3 2 2 b 0 h  (b  b 0 )h 0 ' v  2b 0 h  (b  b 0 )h 0  v  h-v ' 32
  33. 33. Exemple 3 33cm Données: • • • • Mu=0.0062 MN.m Béton: fc28 = 25 MPa Acier: FeE 400 HA ulim = 0,3 5cm 18.9cm 16cm Au 7cm Déterminer Au 33
  34. 34. Exemple 3 h0 M Tu  (f bu bh 0 )[d - ]  0.0383MN.m 2 • Mu = 0,0062 MN.m < MTu => Section rectangulaire (b=0,33m;d= 0.189m) • Moment réduit: u = Mu/(bd2fbu) = 0,037 < ulim = 0,3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0 • u < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss =fsu= 348 MPa • u = 0,047 => Zu = d (1-0,4 u) = 0,185m • Au = Mu / (Zu ss) = 0,96 cm2 => 1HA12 (Aréel=1,13cm2) 34
  35. 35. Exemple 3 • Schéma de ferraillage: Armatures constructives 1HA10 Armatures d’âme 1 Étrier RL 6 Armatures tendues 1HA12 35
  36. 36. Exemple 4 1 0,7m 0,21m 1,2m 1,65 m 1 4,8m 0,4m Coupe 1-1 • Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml • Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml • Charge concentrée – Permanente: G=79T – Exploitation: Q=23T • Béton: fc28 = 20 MPa • Acier: FeE 400 HA • Calculer Au à l’ELU au niveau de la section où s’applique la charge 36 concentrée
  37. 37. Exemple 4 P p b a L P = b a p + x L L + M(a) = Pab/L M(x) = pLx/2 – px2/2 37
  38. 38. Exemple 4 • fbu = 0,85 (20)/1,5 = 11,33MPa • fsu = 400/1,15 = 348 MPa • • • • • Mg= 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,79625T.m MG= 79x1,65x3,15/4,8 = 85,54218 T.m Mq= 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m MQ= 23x1,65x3,15/4,8 = 24,90468 T.m Mu = 1,35x(7,79625 + 85,54218) +1,5x(2,079 + 24,90468) = 166,48T.m = 1,6648MN.m 38
  39. 39. Exemple 4 M Tu h0  (f bu bh 0 )[d - ]  1,653MN.m 2 • Mu > MTu => calcul en section en T • Mu2= 0,71MN.m => Mu1=Mu- Mu2= 0,954MN.m • Moment réduit: u1 = Mu1/(b0d2fbu) = 0,174 < ulim =0.3 => Pas besoin d’armatures comprimées A’=0 • u1 < 0,186 => Pivot A =>es = 10‰ =>ss = 348MPa • u1 = 0,24 => Zu1 = d (1-0,4 u1) = 0,994 m • Au1 = Mu1 / (Zu1 ss) = 0,002758 m2 = 27,58 cm2 • Au2 = Mu2 / ( d-h0/2)ss= 0,002050 m2 = 20,5 cm2 39 Au = 48,08 cm2
  40. 40. Exemple 4 Schéma de ferraillage proposé: Aciers constructifs Aciers de peau 5 HA16 + 5 HA14 => A=48,9cm2 10 HA20 Vérification: dréel=(114,2*31,42+ 108,9*10,05+107,4*7,70)/48,9 dréel=112,051 > dcalcul=1,1 => A réel > A calcul =>OK Armatures de peau: pour les poutres de grande hauteur, il faut prévoir des armatures 40 de peau (non fragilité) de section au moins égale à 3cm2 par mètre linéaire de parement en cas de FP ou FPP, et 5cm2 en FTP
  41. 41. États Limites de Service • Sollicitations de calcul => Combinaisons Rares Gmax  Gmin  Q1    0i Qi i 1 • Béton et acier: Comportement élastique linéaire • Es/Ebv = 15 ; Ebv: module de déformation longitudinale vrai du béton (différé) • ELS de compression du béton: s bc  s bc  0,6 f c 28 • ELS d’ouverture de fissures: s s  s s s s : Contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS 41
  42. 42. Contraintes limites de traction de l’acier à l’ELS • Fissurations peu préjudiciables (FPP) ss  f e • Fissurations préjudiciables (FP) – Pièces exposées aux intempéries ou à des condensations 2  3 fe s s    Min Max (0,5f e ; 110 f tj (MPa))  Coefficient de fissuration f tj  0.6  0.06 f cj (MPa) 1 pour ronds lisse    1,3 pour fils HA   6mm 1,6 pour barres HA et fils HA  6mm  42
  43. 43. Contraintes limites de traction de l’acier à l’ELS • Fissurations très préjudiciables (FTP) – Pièces placées en milieu agressif s s  0,8 ( MPa )  : contrainte limite dans le cas de la F.P. 43
  44. 44. Dimensionnement Moment résistant du béton Mrb: moment de service pour lequel l’état limite de compression du béton et l’état limite d’ouverture des fissures sont atteints simultanément e bc y A.N. h d Mrb Aser es b σ bc ε bc  Eb σs σs εs   E s 15E b εs ε bc   ε s y  ε bc (d - y) d-y y y  d ε bc  ε s  ε bc 44
  45. 45. Dimensionnement ε bc   ε s  ε bc ss s bc 15E b Eb s bc  Eb e bc 15 s bc  ss  15 s bc s bc Fbc y A.N. h d Aser b es Mrb ss Mrb Z Mrb Fs  Aser ss 45
  46. 46. Dimensionnement Fbc  Fs  A ser s s  Equations d' équilibre élastique  M rb  Fbc Z  Fbc  1 / 2 sbc y b  1 / 2 sbc  d b y d  Z  d -  d -  d(1 - ) 3 3 3   2 M rb  (1 - )s bc bd 2 3 46
  47. 47. Dimensionnement Si Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées   M ser  (1 - )sbc bd 2 2 3 M ser A ser  Zss s bc e bc y  d h d Aser b es Mser Mser ss ss 15 Fbc Z Mser Fs  Aser ss 47
  48. 48. Dimensionnement ss  s bc  15 1     ss  2 M ser  (1 - ) bd 2 3 15 1   ss  2  2 M ser  (1 - ) bd 30 1   3  Z  Z Z  d(1 - )   1 -    3(1  ) 3 d 3 d Z 2 (1  ) M ser 3 Z d   2 ssbd 10 d 1  3(1  Z ) d 48
  49. 49. 0.94 Z d 0.9 0.86 0.82 0.78 0 0.005 0.01 0.015 M ser  2 ss bd 0.02 0.025 49
  50. 50. Dimensionnement Si Mser > Mrb => sbc  sbc Armatures comprimées nécessaires Mser = Mrb + M2 A’ser h d Ase r d’ e bc y  d es Mser s bc Fsc  A serssc ssc Fbc ' Mser ss Z d-d’ Fs  Aser ss b 50 Mser
  51. 51. Dimensionnement   ' d' ' s sc  15s bc avec   d  M ser  M rb A  ssc (d  d' ) ' ser M rb ' ssc A ser   A ser  ss d(1 - )ss 3 51
  52. 52. Exemple 5 1-1 60 cm 54 cm 1 35 cm 1 8m 52
  53. 53. Exemple5 • Poutre uniformément chargée – Charges permanentes y compris poids propre: g=12,5 kN/ml – Charges d’exploitation: q = 17,2 kN/ml • • • • Béton: fc28 = 25 MPa Acier: FeE 400 HA Fissuration préjudiciable Calculer la section d’acier à l’ELS au niveau de la section médiane de la poutre 53
  54. 54. Exemple 5 • Mg = gl2/8 =100 kN.m • Mq = ql2/8 =137,6 kN.m • Mser = Mg + Mq = 237,6 kN.m sbc  15MPa   0,527 ss  201,6MPa M rb  330kN.m Mser ≤ Mrb => Pas besoin d’armatures comprimées M ser Z   0,0115   0,845 => Z=0,456m 2 ss bd d 54
  55. 55. Exemple 5 Ou prendre  Z  d(1 - ) 3 M ser A ser  Zss A ELU  21,4cm 2 Aser  25,8cm 2 (voir exemple 1) As  sup(Aser , A ELU )  25,8cm 2 55
  56. 56. Vérification des contraintes à l’ELS • Les conditions d’utilisation d’un ouvrage peuvent changer au cours de son exploitation (variation de la charge d’exploitation, la nuisibilité des fissures, etc.) => il faut vérifier les contraintes aux ELS. s bc y y1 A’s y d’ Béton comprimé : z G d As b Mser ss s ( y)  M ser y h I Gz ssc Mser ss 15 Section homogène en béton (de module Ebv) : Bh= B + 15 (As + A’s ) s sc 15 M ser s bc  h y1  s bc I Gz 15M ser s s  h (d - y1 )  s s I Gz 15M ser fe s sc  h (y1 - d')  I Gz  56
  57. 57. Vérification des contraintes à l’ELS y d’ h d A’s 15A’s y1 y1 / 2 z G b 15As As b yG Bh  y1 - d' y Gi S i d - y1 0 i by1 y1 / 2  15 A' s ( y1  d ' )  15As (d - y1 )  0 by12 / 2  15( As  A's ) y1  15(As d  A's d ' )  0 I h Gz y1  by / 3  15As (d - y1 )  15 A's ( y1  d ' ) 3 1 2 2 57
  58. 58. Exemple 6 1-1 60 cm 54 cm 1 35 cm 1 A ELU  21,4cm 2 Mser = 237,6 kN.m 8m • Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration préjudiciable 58
  59. 59. Exemple 6 by12 / 2  15A y1  15Ad  0  35y12 / 2  15  21,4  y1  15  21,4  54  0 => y1  23,6cm I Gz  by13 / 3  15A(d - y1 ) 2  0,0045m 4 M ser y1 237,6  0,236 s bc    12,5MPa  s bc  15MPa  OK I Gz 0,0045 M ser (d - y1 ) s s  15  240,8MPa  s s  201,6MPa  A s  AELU I Gz 59
  60. 60. Exemple 7 • • • • • • • b = 70cm h = 110cm d = 101cm d’ = 9cm Béton: fc28 = 27 MPa Acier: FeE 400 HA Mser = 2,5 MN.m • A’=16 cm2 ; A= 128,7cm2 • Vérifier les contraintes à l’ELS: Fissuration 60 préjudiciable
  61. 61. Exemple 7 by12 / 2  (nA  nA ' ) y1  n(Ad  A 'd ' )  0; n  15 I Gz  by13 / 3  nA(d - y1 ) 2  nA ' (y1  d ' ) 2 s bc  0,6f c28  16,2MPa y1  50,2cm I Gz  8341118cm 4  0,0834m 4 ss  207,3MPa s sc  347,8MPa M ser y1 2,5  0,502 s bc    15MPa  s bc I Gz 0,0834 M ser (y1  d ' ) 2,5(0,502  0,09) s sc  15  15  185,3MPa  s sc I Gz 0,0834 M ser (d - y1 ) 2,5(1,01- 0,502) s s  15  15  228,4MPa  s s I Gz 0,0834  A  128.7cm insuffisante 2 61
  62. 62. Calcul à l’ELS: Section en T • Calcul de MTser: M Tser h0 d ss 3 bh 2  0 30 d  h 0 • Si Mser ≤ MTser => Section rectangulaire (b,d) • Si Mser > MTser => Section en T – Bâtiments: Z=d-0,5ho – Ponts: Z=0,93d M ser A ser  Zss 62
  63. 63. Vérification des contraintes à l’ELS: Section en T • Axe neutre dans la table de compression: y1h0 Calcul des contraintes d’une section rectangulaire (b, d) Axe neutre dans la nervure: y1>h0 2 y12 h0 b0  y1[(b - b 0 )h 0  n(A  A')] - [(b - b 0 )  n( Ad  A' d ' )]  0 2 2 y13 ( y1  h0 )3 I h Gz  b  (b  b0 )  nA(d  y1) 2  nA' ( y1  d ' ) 2 3 3 (n=15) M ser y s h I Gz 63
  64. 64. Exemple 8 1 0,7m 0,21 m 1,2m 1,65 m 1 4,8m 0,4m Coupe 1-1 • Charges permanentes y compris poids propre: g=3T/ml • Charges d’exploitation: q = 0,8T/ml • Charge concentrée – Permanente: G=79T – Exploitation: Q=23T • Béton: fc28 = 20 MPa • Acier: FeE 400 HA • Au = 48,9cm2 • Fissurations préjudiciables 64
  65. 65. Exemple 8 • • • • • Mg: 3x4,8x1,65/2 – 3x1,652/2=7,796T.m MG: 79x1,65x3,15/4,8 = 85,542 T.m Mq: 0,8x4,8x1,65/2 – 0,8x1,652/2=2,079T.m MQ: 23x1,65x3,15/4,8 = 24,905 T.m Mser = (7,796 + 85,542) +(2,079 + 24,905) = 120,32 = 1,203MN.m s bc  0,6f c28  12MPa s s  200MPa • MTser =0,239MN.m • Mser > MTser => Section en T=> y1>h0 65
  66. 66. Exemple 8 • Axe neutre dans la nervure h0 (y1 - h 0 ) 2 bh 0 (y1 - )  b 0  nA(d - y1 )  0  y1  39,76cm 2 2 I Gz h 0 2  b 0 ( y1  h 0 ) 3 1 3   bh 0  bh 0 ( y1  )    nA(d - y1 ) 2  0,048m 4 2  3 12 M ser y1 s bc   9,93MPa  s bc  12MPa I Gz M ser (d - y1 ) s s  15  255,67MPa  s s  200 MPa I Gz Au  48.9cm insuffisante 2 66
  67. 67. ELS de déformation: Limitation de la flèche • Les déformations des éléments fléchis doivent rester suffisamment faibles pour : - ne pas nuire à l´aspect et à l´utilisation de la construction - ne pas occasionner des désordres dans les éléments porteurs. - ne pas endommager les revêtements, les faux plafonds ou les autres ouvrages supportés. => Il faut limiter la flèche • Pour les éléments supports reposant sur deux appuis, la valeur de la flèche admissible dans le cas où les ouvrages supportés (cloisons et revêtements), sont fragiles est limitée à: f adm  l 500 si l £ 5m (avec l en cm) l si l > 5m (avec l en cm) 1000 • Pour les éléments en console, la valeur de la flèche admissible de l´extrémité de la console, dans le cas où les ouvrages supportés sont fragiles, est limitée à: f adm  l (cm ) si la portée l est au plus égale à 2m. 250 • Quand les ouvrages supportés ne sont pas fragiles, la flèche admissible67 est égale au double de celle obtenue dans le cas d’ouvrages supportés fragiles. f adm  0.5 
  68. 68. • Pour tenir compte de l´existence éventuelle de fissures dans les zones tendues, on substitue dans les calculs, au moment d´inertie I0 de la section totale rendue homogène, un moment d´inertie fictif If évalué empiriquement. • Dans le cas des poutres simplement appuyées isostatiques ou continues et des bandes de dalles isostatiques ou continues, dirigées dans le sens de la petite portée, soumises à des charges uniformément réparties, les flèches sont déterminées selon le BAEL comme suit : Ml 2 - la flèche fi correspond aux déformations instantanées: f i  10 Ei I fi - la flèche fv correspond aux déformations différées: Ml 2 fv  10 Ev I fv 2i 0,05 f t 28 1,75 f t 28 I0 I0 ; v  ; i  I fi  1,1 et I fv  1,1 avec   1  b0 5 4 s s  f t 28 1  i  1  v  (2  3 )  b M : le moment fléchissant maximal à l’ELS produit dans la travée considérée par le cas de charge envisagé; L: portée de la travée considérée comptée entre nus d’appuis. Ei : module d’élasticité instantané du béton et Ev : module différé du béton ; Ev=Ei/3; Ifi : Moment d’inertie fictif instantané et Ifv : Moment d’inertie fictif différé; I0: désigne le moment d´inertie de la section totale en béton armé rendue homogène (n = 15) ; ss: la contrainte de l’acier à l’ELS; b0 : la largeur de la nervure et b celle de la table de compression A  : b d rapport de l´aire A de la section de l´armature tendue à l´aire de la section utile de la nervure 68
  69. 69. • Pour les consoles soumises à des charges uniformément réparties, on peut admettre que les flèches fi et fv de l´extrémité de la console correspondant aux déformations instantanées et de longue durée, ont respectivement pour valeurs: 2 2 Ml Ml fi  et f v  4 Ei I fi 4 Ev I fv 69
  70. 70. Exemple 9 1-1 60 cm 54 cm 1 35 cm 1 A ELU  21,4cm 2 g= 20,7KN/m q= 9 KN/m 8m • Béton: fc28 = 25 MPa • Acier: FeE 400 HA • Plancher à usage de salle de réunion • Ouvrages supportés (revêtement) supposés non fragiles • Fissuration peu préjudiciable • Vérifier l’ELS de déformation 70
  71. 71. Exemple 9 • Vérification de la flèche instantanée fi Mser-rare= Mg + Mq= 237,6 KN.m I 0  0,0045 m 4 et s s  240,8MPa (voir exemple 6) E i  110003 25  32130MPa 21,4 *10 4   0,0113 0,35 * 0,54 0,05 * 2,1 i   1,858 (2  3 *1) * 0,0113   1 1,75 * 2,1  0,717 4 * 0,0113 * 240,8  2,1 I fi  1,1 0,0045  0,00212m 4 1  1,858 * 0,717 0,2376 * 82 800 fi   0,022m  2,2cm  f adm  2 * (0,5  )  2,6cm71 OK 10 * 32130 * 0,00212 1000
  72. 72. Exemple 9 • Vérification de la flèche différée fv Mser-quasi-permanent= Mg + 2Mq =Mg + 0,4Mq= 194,4 KN.m; 0,4Mq est la part des charges d’exploitation d’une salle de réunion considérée comme permanente à prendre en compte dans l’évaluation des déformations différées dues au fluage du béton 32130 Ev   10710MPa 3 2 5 v  *1,858  0,743   0,717 I fv 0,0045  1,1  0,00323m 4 1  0,743 * 0,717 0,1944 * 82 800 fv   0,035 m  3,5cm  f adm  2 * (0,5  )  2,6cm 10 *10710 * 0,00323 1000 72 => ELS de déformation non vérifié !

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