Mathematics for the engineer

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COMPTES-RENDUS DE TP
Le 23 mai 2016
Etudiants :
Rémy Gabaret
Email : remygabaret@live.com
Christian Marquay
Email : cmarquay@etudiant.univ-lr.fr
Enseignant :
M. Jacques Morcos
Email : jacques.morcos@univ-lr.fr
INFO-12406C
Gestion de projet
Enseignants :
M. Jean-François VIAUD
M. Vincent COURBOULAY
M. Frédéric TESTARD
M. Benjamin LE BRIS
MATA-61012C
Mathématiques pour l'ingénieur 1

Table des matières
I - Introduction......................................................................................................................................3
II - Compte-rendu TP1.........................................................................................................................4
1) Objectifs du TP............................................................................................................................4
2) Présentation des exercices...........................................................................................................4
3) Résultats ou observations............................................................................................................4
4) Interprétation des résultats...........................................................................................................5
5) Conclusion...................................................................................................................................6
III - Compte-rendu TP2........................................................................................................................7
1) Objectifs du TP............................................................................................................................7
2) Présentation des exercices...........................................................................................................7
3) Résultats ou observations............................................................................................................7
4) Interprétation des résultats...........................................................................................................8
5) Conclusion...................................................................................................................................9
IV - Compte-rendu TP3......................................................................................................................10
1) Objectifs du TP..........................................................................................................................10
2) Présentation des exercices.........................................................................................................10
3) Résultats ou observations..........................................................................................................10
4) Interprétation des résultats.........................................................................................................12
5) Conclusion.................................................................................................................................12
V - Compte-rendu TP4.......................................................................................................................13
1) Objectifs du TP..........................................................................................................................13
5) Conclusion.................................................................................................................................14
VI - Compte-rendu TP5......................................................................................................................15
1) Objectifs du TP..........................................................................................................................15
5) Conclusion.................................................................................................................................16
VII - Compte-rendu TP6.....................................................................................................................17
1) Objectifs du TP..........................................................................................................................17
5) Conclusion.................................................................................................................................18
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VIII - Compte-rendu TP7...................................................................................................................19
1) Objectifs des TP.........................................................................................................................19
IX - Compte-rendu TP8......................................................................................................................21
2) Conclusion.................................................................................................................................21
X - Compte-rendu TP9 et TP10..........................................................................................................22
1) Objectifs du TP..........................................................................................................................22
3) Conclusion.................................................................................................................................25
XI - Conclusion..................................................................................................................................26
Index des illustrations
Illustration 1: Répartition des trois variétés d'iris.................................................................................8
Illustration 2: Distance euclidienne....................................................................................................10
Illustration 3: ∞-distance....................................................................................................................11
Illustration 4: 1-distance.....................................................................................................................11
Illustration 5: Exemple de diagramme à bandes horizontales............................................................22
Illustration 6: Diagramme à bandes verticales...................................................................................23
Illustration 7: Diagramme nuage de points........................................................................................23
Illustration 8: Diagramme en ligne.....................................................................................................24
Illustration 9: Diagramme camembert................................................................................................24
Illustration 10: Histogramme..............................................................................................................25
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I - Introduction
Ce cours de mathématiques pour l’ingénieur avait pour objectif de nous offrir une matière
scientifique dans un Cursus qui doit nous ouvrir sur d’autres horizons que la science en elle-même.
De plus, il devait nous permettre d’observer les mathématiques d’un angle nouveau, sans forcément
rentrer dans les détails, tout en balayant les différentes composantes qui participent au parcours
CMI (informatique, biologie, mathématiques, etc). Le cours nous a aussi été présenté comme devant
avoir lieu sous forme de débats et de brainstormings.
Un référentiel nous a été proposé, nous permettant de mieux comprendre cet enseignement.
Ce dernier doit avoir lieu sur deux ans pour les L1. Les L2 rattrapent la première année en
s’intégrant au groupe des L1 mais ne feront jamais la deuxième. Les objectifs de cet EC étaient de
nous présenter, à travers une série de cours et d’enseignants différents, cinq grands domaines :
1) Adopter un point de vue scientifique : en développant un regard critique, effectuant un tri
aux niveaux des informations, en organisant des informations et en isolant un problématique
et savoir en identifier d’autres, tout cela dans le but de comprendre le monde complexe dans
lequel nous vivons.
2) Appréhender la nature des informations quotidiennes : en sachant les cataloguer, les traiter,
et les lire aux mieux.
3) Produire, traiter et synthétiser des données : c’est-à-dire collecter des données, pouvoir
s’abstraire partiellement de ces dernières, savoir en faire la synthèse et expérimenter un
modèle.
4) Analyser et exploiter des informations : par exemple, pouvoir analyser une situation, tester
la pertinence d’une information et comprendre une prévision.
5) Apprendre à construire et diffuser une argumentation : construire une argumentation,
présenter des informations scientifiques et communiquer en s’aidant d’un langage technique
précis.
Ces cinq domaines vont pouvoir nous apporter une autre vision du monde scientifique et
nous armer face au flot continu d’information de notre monde en perpétuel changement. Pour
aborder ces cinq grands domaines, nous avons utilisé différents outils. Par exemple, des outils de
statistiques : Python, des graphiques… Cet EC se fait sur deux ans et en première année, nous
avons assisté à 15h d’enseignements, au cours desquels nous avons compris les différents
problèmes proposés et leurs utilités dans la vie courante.
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II - Compte-rendu TP1
Professeur : M. Jean-François VIAUD
1) Objectifs du TP
La première série de quatre TP est dirigée par M. Jean-François VIAUD et vise à
approfondir la notion de distances. Pour ce premier TP, les objectifs sont de définir les diverses
notions de distance en français et en mathématiques ainsi que de découvrir le fonctionnement de
Python dans l'environnement Linux (système d'exploitation inconnu des élèves qui ne sont pas en
deuxième année de licence informatique).
2) Présentation des exercices
Pour cette première séance, nous démontrons sur papier plusieurs points découlant de la
définition mathématiques de distance. Nous voyons d'abord que x, y E ,∀ ∈
δ(x, y ) = 0 x = y (avec E un ensemble et une distance sur E qui est une application⇐⇒
δ : E × E → R +) puis que x, y , z E , δ(x, z) ≤ δ(x, y ) + δ(y , z), e t∀ ∈
enfin que l’application suivante est une distance dans le plan R^2 :
d ∞ ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = max(|x 2 − x 1 |, |y 2 − y 1 |).
Nous allumons nos PC sous Linux et ouvrons Spyder afin d'étudier les fichiers fournis
affectation.py, for.py, while.py, et plot.py et de nous servir des notions de code utilisés dedans pour
écrire notre premier programme sqrt(2).py qui calcule de manière itérative la racine carrée de 2.
3) Résultats ou observations
Les calculs sur papier sont les suivants :
• d=0:
Xb-Xa=0 <=> Xb=Xa
Yb-Ya=0 <=> Yb=Ya
Le point de coordonnées (Xb,Yb) a aussi pour coordonnées (Xa,Ya).
• Soit A(xa,ya), B(xb,yb), C(xc,yc)
d∞(A,C) = max(|xc-xa|,|yc-ya|)
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d∞(A,B) = max(|xb-xa|,|yb-ya|)
d∞(B,C) = max(|xc-xb|,|yc-yb|)
On sait que : |xc-xa| <= |xc-xb| + |xb-xa|
|yc-ya| <= |yc-yb| + |yb-ya|
donc |xc-xa| <= max(|xc-xb|,|yc-yb|) + |xb-xa|
et |yc-ya| <= max(|xc-xb|,|yc-yb|) + |yb-ya|
de même |xc-xa| <= d∞(B,C) + max(|xb-xa|,|yb-ya|)
et |yc-ya| <= d∞(B,C) + max(|xb-xa|,|yb-ya|)
Finalement : |xc-xa| <= d∞(A,B) + d∞(B,C)
et |yc-ya| <= d∞(A,B) + d∞(B,C)
Conclusion : max(|xc-xa|,|yc-ya|)
• |z-x| <= |z-y| + |y-x|
On sait que |x2-x1| = |x1-x2| et |y2-y1| = |y1-y2| donc
d∞ ((x1,y1),(x2,y2)) = max(|x2-x1|,|y2-y1|) = max(|x1-x2|,|y1-y2|) = d∞ ((x2,y2),(x1,y1))
Le code Python ci-dessous est un dérivé du fichier donné while.py ajusté pour le calcul de la racine
carrée de 2 avec la formule donnée X0 = 10, Xn+1 = 1/2 (Xn + 2/Xn ).
xa=10.0;
xb=0.5*(xa+(2/xa));
while abs(xa-xb)>10**(-8):
xa=xb;
xb=0.5*(xa+(2/xa));
print(xb);
4) Interprétation des résultats
Nous avons exprimé par le calcul ce qui semblait aller de soi :
• si une distance entre deux points est nulle alors les deux points sont confondus.
• la distance la plus courte entre deux points est celle qui les sépare directement, si on passe
par un troisième point alors la distance devient égale ou supérieure à la distance directe.
• l'application d ∞ ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = max(|x 2 − x 1 |, |y 2 − y 1 |) est une distance.
Le code Python donne une valeur de la racine carrée de 2 suffisamment précise avec un epsilon
ayant pour valeur 10^(-2) même si nous l'avons fixé à 10^(-8).
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5) Conclusion
Nous avons fait connaissance avec la notion mathématiques de distance et prouvé des
éléments de définition que nous pourrons donc réutiliser en l'état par la suite sans avoir effectuer de
nouveau les calculs correspondants.
Nous avons abordé les manipulations de base du code informatique et créé notre premier
programme avec une boucle while, nous trouvons la valeur 1.41421356237 qui est ce que nous
recherchons et nous pouvons poursuivre l'utilisation de Python plus avant.
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III - Compte-rendu TP2
Professeur : Jean-François VIAUD
1) Objectifs du TP
Ce TP aborde la notion de proximité, en effet un point A peut être proche d'un point B lui-
même proche d'un point C alors que les points A et C ne sont pas du tout proches l'un de l'autre.
Nous cherchons à assimiler le principe de relation et les propriétés de réflexivité, de symétrie, et de
transitivité.
On cherche à montrer sur le papier que (x 1 , y 1 )R(x 2 , y 2 ) d ∞ ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y⇐⇒
2 )) ≤ 1 est une relation de tolérance (seulement réflexive et symétrique) mais que ce n’est pas une
relation d’équivalence (pas transitive).
Nous revenons également sur Spyder afin d'étudier les fichiers fournis if.py, iris.data et
iris.py et de modifier ce dernier afin d'afficher la répartition des diverses variétés d'iris contenues
dans le fichier iris.data sous forme de colonnes.
Montrons par le calcul que R est une relation de tolérance qui n'est pas une relation d'équivalence
1/ Réflexivité
Soit M(x,y) E R² un point du plan, alors:
d∞(M,M)=0<=1 donc MRM.
2/ Symétrie
Soit M1(x1,y1) & M2(x2,y2) deux points du plan tels que M1RM2 alors d∞(M1,M2)<=1
Ainsi M2RM1
La réciproque s'obtient ainsi:
Si xRy => yRx, alors j'utilise ce résultat avec x=Y et y=X,
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J'obtiens: si YRX => XRY
3/ Pas de transitivité
d∞(0,A) = 3/4 <= 1
d∞(A,B) = 3/4 <= 1
d∞(0,B) = 3/2 > 1
donc pas de transitivité
Sur Python, nous observons la répartition des trois variétés d'iris sous la forme suivante :
Nous avons démontré par le calcul ce qui semblait à nouveau évident, à savoir qu'un point A
peut être proche d'un point B lui-même proche d'un point C alors que les points A et C ne sont pas
du tout proches l'un de l'autre.
Sur Python, nous observons trois groupes d'iris bien marqués distinguants clairement
chacune des variétés (setosa en bas à gauche, versicolor au milieu, et verginica en haut à droite).
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Illustration 1: Répartition des trois variétés d'iris

5) Conclusion
Nous avons approfondi notre connaissance de la notion mathématiques de distance, nous
pouvons dire à présent si deux points sont proches ou non et s'ils sont en relation (et quelles
propriétés possèdent cette relation).
Deux iris de deux variétés différentes peuvent ainsi avoir des caractéristiques proches l'un de
l'autre, notamment pour certains versicolor et verginica, alors que les autres iris de ces mêmes
variétés auront des caractéristiques beaucoup plus éloignées tout en restant proches de ces deux iris.
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IV - Compte-rendu TP3
1) Objectifs du TP
Le premier objectif de ce TP est de finir le TP précédent car les notions de code sont
assimilées avec difficulté par certains étudiants. Pour aller plus loin, nous allons faire des calculs de
distance euclidienne, de 1-distance et de ∞-distance pour les visualiser.
Nous ouvrons Python et le fichier donné dist.py que nous modifions afin de procéder au
tirage de trois mille points de coordonnées comprises entre -2 et 2. Nous calculons ensuite la
distance euclidienne, la ∞-distance et la 1-distance de chacun de ces points à l'origine et nous
sélectionnons les distances inférieures à 1 pour les afficher de manière distincte des autres.
Distance euclidienne :
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Illustration 2: Distance euclidienne

∞-distance :
1-distance :
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Illustration 3: ∞-distance
Illustration 4: 1-distance

Nous voyons que les résultats sont distincts selon la manière de calculer la distance. La
distance euclidienne apparaît sous la forme d'une boule, la ∞-distance sous la forme d'un carré, et la
1-distance sous la forme d'un carré également mais ayant subi une rotation de 45° par rapport à la
∞-distance.
5) Conclusion
La représentation des trois distances est due directement à la manière d'effectuer les calculs.
La distance euclidienne correspond à la racine carrée d'une somme de deux carrés tandis que la 1-
distance est la somme de deux valeurs absolues et que la ∞-distance est le maximum de deux
valeurs absolues. Il est normal donc que la représentation corresponde à la méthodologie
empruntée.
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V - Compte-rendu TP4
1) Objectifs du TP
Pour ce dernier TP avec M. Jean-François VIAUD, nous souhaitons distinguer plus
clairement les iris visualisés précédemment. Le recouvrement entre certains iris des variétés
versicolor et verginica ne nous convient pas et nous voulons à présent trouver à quelle catégorie
ressemble le plus chaque iris indépendamment de la variété à laquelle il appartient réellement.
Nous utilisons les deux derniers fichiers donnés tolerance.py et kmeans.py dans le but de
réaliser nos exercices. Nous modifions tolerance.py pour qu'il fasse la moyenne des données de
chaque colonne par variété. Nous cherchons ensuite à comparer la variété de chaque iris avec la
variété du ou des centres qui sont à distance inférieure à x avec x {1, 1.5, 2, 3}.∈
Nous utilisons kmeans.py avec une méthode différente. Au lieu de faire la moyenne des
données de chaque colonne, nous comparons chaque iris avec trois iris de son entourage et nous
sélectionnons à chaque fois le plus proche afin d'obtenir des partitions et nous arrêtons quand les
partitions ne changent plus.
Nous constatons avec tolerance.py que certains iris ont des caractéristiques proches de la
moyenne de plusieurs variétés ou au contraire ne sont proches d'aucune variété.
Nous constatons avec kmeans.py que 133 des iris sur 150 ont des caractéristiques proches de
la moyenne des caractéristiques dont ils sont issus, soit 88,67 %.
Nous avions constaté précédemment des ressemblances entre certains iris des variétés
versicolor et verginica. Nous nous rendons compte à présent qu'un iris peut avoir des
caractéristiques plus proches de celles d'une variété à laquelle ils n'appartiennent pas que de leur
propre variété.
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5) Conclusion
Si nous savions que l'ADN ne fait pas tout et que les caractéristiques d'un être vivant
dépendent également de son environnement, si nous savions aussi que les êtres vivants sont amenés
à évoluer par des mutations sur plusieurs générations afin de laisser une chance à la sélection
naturelle de pouvoir avoir lieu, cette approche mathématiques est intéressante. Nous n'étudions pas
seulement les groupes d'individus, mais nous pouvons maintenant rechercher pour chaque individu
l'évolution en cours de manière statistique.
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VI - Compte-rendu TP5
Professeur : Vincent COURBOULAY
1) Objectifs du TP
Après avoir fait un point sur les TP précédents et sur le référentiel de compétences, M.
Vincent COURBOULAY nous propose d'étudier le bruit sur une image. Nous avons cherché à
comprendre comment Hubble est passé du statut de raté historique à celui de réussite historique, et
comment les ingénieurs de la NASA ont procéder à sa réparation.
Nous utilisons l'outil en ligne https://pixlr.com/editor/ sur lequel nous téléchargeons une
image que nous bruitons avec Filtre→Bruit avant de la débruiter avec Filtre→Enlever le bruit.
Nous utilisons chacun une image différente, M. Vincent COURBOULAY fait remarquer la
nécessité de connaître parfaitement l'image de départ. Nous refaisons donc les manipulations à
partir d'une image blanche. Nous constatons que retirer le bruit sur une image ayant un bruit
supérieur à 50 ne permet pas de revenir à l'image d'origine.
Les résultats nous ont amené à parler du produit de convolution et de l'analyse spectrale afin
de comprendre l'effet du système d'acquisition sur les mesures, avant d'aborder la transformée de
Fourier qui sera approfondie lors du TP suivant. Celle-ci sert à transformer un signal analogique en
signal numérique.
Une façon naturelle de connaître un signal est d'observer son allure en fonction du temps :
c'est la représentation temporelle, donnée par exemple par un oscillogramme. Les oscillogrammes
nous renseignent sur l'amplitude, la valeur crête, la valeur moyenne, etc … mais pas sur les
fréquences contenues dans le signal.
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Pour cela, il faut représenter les signaux, non plus en fonction du temps, mais en fonction de
la fréquence : c'est la représentation spectrale. Le spectre d'un signal est la représentation en
fonction de la fréquence des amplitudes des différentes composantes présentes dans le signal.
Lorsque la décomposition d'un signal est déterminée, on peut représenter son spectre
d'amplitude : on représente les amplitudes Cn en fonction de la fréquence; comme les Cn
correspondent à des fréquences multiples du fondamental, on obtient un spectre de raies.
Lorsqu'une fonction représente un phénomène physique, comme l'état du champ
électromagnétique ou du champ acoustique en un point, on l'appelle signal et sa transformée de
Fourier s'appelle son spectre.
5) Conclusion
Il est important de connaître parfaitement le message transmis afin de connaître les
perturbations subis par ce message durant son transfert. Quand on connaît parfaitement le message,
on utilise à réception le produit de convolution qui exprime la quantité de recouvrement d’une
fonction y lorsqu’on la déplace sur une autre fonction x : c’est un mélangeur de fonction. C’est un
outil important en traitement de signal. On regarde donc la quantité de recouvrement du message
reçu sur le message attendu en théorie. Pour connaître ce message, il faut connaître son spectre. Le
son comme la lumière blanche peuvent se décomposer – le son en fréquences pures, la lumière
blanche en couleurs – et il s'agit de tracer l'intensité en fonction de la fréquence. Ainsi pour chaque
fréquence on va regarder quelle intensité est présente dans une fréquence donnée. Tracer le spectre
d'un signal acoustique va permettre justement d'avoir accès à l'information portée par ce son.
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VII - Compte-rendu TP6
Professeur : Vincent COURBOULAY
1) Objectifs du TP
L'objectif de ce TP est d'approfondir les notions de traitement de signal vues durant le TP
précédent. Nous avons donc en préambule poursuivi l'explication sur la convolution en travaillant
sur la transformée de Fourier. Nous nous sommes rappelés nos cours de première année et nous
avons convenu du théorème de Shannon qui veut que l'échantillonnage d'un signal, c'est-à-dire sa
représentation sous une forme discrète par une liste de valeurs prélevées régulièrement dans ce
signal, exige une fréquence d'échantillonnage supérieure au double de l'écart entre les fréquences
minimale et maximale qu'il contient.
Nous avons utilisé pour l'occasion l'outil en ligne http://www.ejectamenta.com/Imaging-
Experiments/fourierimagefiltering.html permettant de regarder ce que contient une image en
transformée de Fourier et d'agir dessus. Nous avons pu regarder les informations contenues dans
une image, masquer une partie de ces informations avec les outils de dessin et voir ce que cela
donne sur l'image.
Nous avons testé différentes variantes et constaté que masquer les informations au centre du
filtre à droite provoque de grandes modifications à l’œil sur l'image mais que masquer les
informations en périphérie du filtre à droite provoque des modifications moindres à l’œil.
Nous avons interprété nos résultats comme le fait que l'information contenue dans une
image était plus importante au centre du filtre que dans la périphérie puisqu'une même action dessus
provoque de plus grands changements visibles à l'œil.
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5) Conclusion
Nous avons conclu le TP avec la notion de Dirac, introduite par Paul Dirac. Le Dirac prend
une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et son intégrale sur est égale à 1. Ilℝ
est très utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une
grande pointe étroite. C'est le même type d'abstraction qui représente une charge ponctuelle, une
masse ponctuelle ou un électron ponctuel, en faisant une expression prisée par les physiciens.
Nous répondons à la fin de ce TP à la question posée pour l'effet du système d'acquisition
sur les mesures :
• si nous avons un Dirac en entrée, nous mesurons la sortie avec une fonction de transfert.
• si nous ne connaissons pas le signal en entrée, nous divisons la transformée de Fourier de la
sortie par la transformée de Fourier de la fonction de transfert.
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VIII - Compte-rendu TP7
Professeur : Frédéric TESTARD
1) Objectifs des TP
Les deux séances de TP en compagnie de M. Testard nous ont permis de nous
(re)familiariser avec les notions de bases des statistiques et de l’utilisation d’un tableur (Excel,
Libre Office Calc…).
Tout d’abord, pour débuter la première séance, il a fallu que nous nous familiarisons avec
l’utilisation d’un tableur. Il s’agit d’un logiciel utilisé en bureautique et qui est spécialisé dans le
traitement des données (numériques ou non). Cet outil offre une série de feuilles de calcul
constituées de plusieurs cellules où nous pouvons entrer des formules mathématiques, des calculs,
du texte … Ce premier TP permet de (re)découvrir des fonctions de bases des tableurs. Nous avons
alors ouvert Excel ou Calc pour pouvoir faire notre activité. Tout d’abord, il nous a fallu définir
quelques termes utiles : population, moyenne, médiane, quartile, variance et écart-type.
Une population est un ensemble fini d’éléments (individus, objets…) sur lequel ce porte
l’étude. La moyenne correspond à une mesure statistique qui caractérise les éléments d’un
ensemble. Il s’agit de la somme des données, divisée par leur nombre. On peut considérer qu’il
s’agit de la valeur qui est au milieu, pile entre les extrêmes.
La médiane est, quant à elle, la valeur d’une série statistique qui permet de couper
l’ensemble de toutes les valeurs en parties égales : l’une où toutes les valeurs sont inférieures (ou
égales) et l’autre où elles sont toutes supérieures (ou égales).
Les quartiles représentent chacune des trois valeurs qui permettent de diviser l’ensemble des
données en quatre parties égales, pour que chaque représente ¼ de l’échantillon (ou de la
population). Le premier quartile est celui qui sépare les 25% des valeurs les plus basses de la série.
Le deuxième quartile correspond à la médiane, et le 3ème
quartile est la valeur qui sépare les 25% des
valeurs supérieures des données.
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La variance est une mesure qui permet de caractériser la dispersion d’un échantillon ou
d’une population. Elle indique comment la série se répartie autour de la moyenne : si, par exemple,
elle est égale à 0, alors toutes les valeurs sont identiques. Si elle est élevée, les valeurs sont très
écartées les unes des autres. On peut la calculer, car il s’agit des écarts des valeurs de la série à la
moyenne, puis en faisant la moyenne de ces écarts au carré. Il s’agit de l’écart-type au carré.
L’écart-type est une mesure de dispersion de données. Il s’agit de la racine carré de la variance.
Une fois tous ces termes définis, nous avons pu alors attaquer les activités. Tout d’abord,
nous avons décrit une population formé de 4 individus et étudié un caractère qui prend une valeur
de 1 à 4, et écrit ces valeurs dans les premières cellules d’une colonne. On alors pu sélectionner les
zones ainsi écrites pour leur donner un nom (ici « données »).
Nous avons alors par la suite, effectué différents calculs, nous permettant de trouver ainsi, la
moyenne, la médiane et les quartiles de la série en utilisant des formules déjà enregistré dans le
logiciel. Pour ce faire, on se place dans une cellule vide, on tape le signe « = », puis on écrit la
formule correspondante (exemple : « MEDIANE » pour calculer la médiane) et enfin on choisit la
plage de données où la formule doit s’appliquer (ici : la zone que l’on a renommée : « données »).
On a par exemple : « =MEDIANE(données) ».
Nous avons terminé en calculant la variance grâce à deux formules différentes : « =VAR » et
« =VAR.P ». Ces deux formules diffèrent : en effet, on utilise « =VAR » lorsque l’on calcule la
variance d’un échantillon, « VAR.P » s’utilise, elle, quand on calcule la variance d’une population
entière.
Nous avons alors commencé l’activité numéro 2 qui nous a permis d’introduire de nouvelles
formules. Tout d’abord, pour créer une population, nous avons utilisé la formule
« ALEA.ENTRE.BORNES » qui nous permet de simuler un tirage au hasard d’un nombre entier
compris entre deux valeurs que nous choisissons. Nous pouvons alors copier/coller cette formule
dans 1000 cellules pour obtenir une population.
Pour classer ensuite ces données, nous avons utilisé la fonction NB.SI. Elle va nous
permettre de trouver l’effectif correspondant à une certaine valeur dans l’ensemble des données. Par
exemple, elle va compter le nombre de valeur 12 trouvé et va l’afficher dans la cellule
correspondante. C’est ce qu’on peut appeler les effectifs de la population.
On calcule ensuite les fréquences de chaque valeur en utilisant la formule SOMME sur tous
les effectifs pour trouver la taille totale de la population (si on ne la connaît pas de base). Une fois
les fréquences obtenues dans une autre colonne, on peut faire apparaître les fréquences cumulées
croissantes, c’est-à-dire l’ajout de chaque fréquence une à une, pour obtenir un totale de 1.
Pour ensuite calculer la moyenne et la variance à partir des fréquences, il faut utiliser une
autre formule : SOMMEPROD. Il s’agit d’une formule qui va faire le produit de la première cellule
de la zone de valeur et de la première cellule de la zone effectif etc…
On peut ensuite calculer les quartiles et la médiane, grâce aux formules vues précédemment.
Si les valeurs ne sont comprises qu’entre 3 et 15 (comme dans l’exercice), les quartiles 1 et 3 seront
respectivement de 6 et 12 et la médiane de 9. En effet, selon la loi des grands nombres, les
approximations vont disparaître. Or : 15-3 = 12. La médiane se situerai donc à 12/2 = 6, c’est-à-dire
à la valeur : 3+6=9. Et les quartiles seront égaux à 12/4= 3, soit la valeur 3+3=6 pour le premier et
12-3=9, soit la valeur 9+3=12 pour le troisième.
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IX - Compte-rendu TP8
Professeur : Frédéric TESTARD
Ce second TP a commencé par la correction d’un problème, permettant de lier statistiques et
sondages. Grâce à ce problème, nous avons pu comprendre que malgré des sources fiables et/ou un
échantillon assez important, les sondages peuvent quand même se révéler faux (généralement le
risque d’erreur est à 5%).
Nous avons ensuite étudié un caractère continu et tracé un histogramme. Cette activité va se
dérouler en 3 étapes. Tout d’abord, l’étape 1 va être l’étape de la génération des données. On va
alors utiliser la formule ALEA, qui est proche de ALEA.ENTRE.BORNES mais qui va cette fois-ci
simuler un tirage d’un nombre réel au hasard dans l’intervalle [0 ;1[.
On va alors copier-coller les valeurs obtenues dans la colonne A, dans la colonne B pour
ensuite les multiplier par 10. On obtient alors des nombres à virgule compris entre 0 et 10. On peut
alors classer ces chiffres dans des classes : de 1 à 10. On peut faire ceci grâce à la formule « ENT »
qui va couper chaque nombre pour n’obtenir que les entiers et ainsi obtenir dix classes d’amplitude
1. On pourrait modifier la formule pour obtenir des classes d’amplitude 0,1 ou 0,25 en divisant la
formule de base par 10, ou bien en trouvant une autre formule déjà pré-enregistré dans la machine.
On peut alors obtenir les fréquences de chaque classe et les effectifs obtenus.
On compare ensuite les moyennes et médianes obtenues à partir des données brutes et des
effectifs de classes. On peut observer que la précision des valeurs est plus importante lorsque l’on
étudie les données brutes. On fait alors de même avec la variance. Pour terminer, on trace alors un
histogramme pour représenter la répartition des valeurs. Un histogramme est ce que l’on peut
appeler : un « diagramme en bâton ». Il permet des représenter la répartition d’une variable continue
(comme dans le cas de notre exemple), regroupée par classe. Il permet vraiment de mieux
comprendre la répartition des données entre des groupes.
2) Conclusion
De ces deux séances de TP, nous avons pu retirer quelques acquis qui pourront nous être
utiles dans notre futur professionnel. En effet, les statistiques sont peut-être les objets
mathématiques les plus utilisées. Dans toutes les matières nous pouvons être amenés à réfléchir et
trouver les caractéristiques de certaines données (médiane, variance…), pour la biologie - des
populations de diverses espèces par exemple - ou pour l’informatique - des jeux de données
diversifiées ou autre …
21

X - Compte-rendu TP9 et TP10
Professeur : Benjamin LE BRIS
1) Objectifs du TP
Ces deux séances de TP nous ont permis de nous familiariser avec la création de graphiques
corrects et de comprendre au mieux des séries de données. Elles ont eu pour objectif de nous
apprendre à réaliser un graphique à partir de données d’un tableur et le coller dans un document
texte et savoir le commenter au mieux. Elles nous ont aussi permis de revoir comment on calcule un
pourcentage, une moyenne, un écart-type et ce qu’ils représentent (ce que l’on a déjà vu lors des
séances précédentes).
Ces deux séances de TP nous ont permis de revoir tout les types de graphiques, et quand les
réutiliser.
• Les diagrammes à bandes (verticales et/ou horizontales)
Chaque bande est associée à une valeur et sa longueur est proportionnelle à l’effectif de la
valeur.
La distance entre chacune des bandes doit être identique et la première ne doit pas collée sur
l’axe qui lui est parallèle.
La largeur des bandes doit aussi être identique.
Illustration 5: Exemple de diagramme à bandes
horizontales
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Illustration 6: Diagramme à bandes verticales
• Diagramme à nuage de points
Chaque point est placé selon l’influence de l’axe des X et des Y
Tous les X suivent la même échelle : pour des séries continues.
Les points ne sont pas reliés.
Illustration 7: Diagramme nuage de points
• Diagramme en ligne
Chaque point subit aussi l’influence des X et Y.
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Il y a équidistance des points : les valeurs doivent être non continues.
Les points sont reliés par des lignes droites
Illustration 8: Diagramme en ligne
• Diagramme en camembert (circulaires)
Chaque secteur représente une valeur et peut-être représenté avec un pourcentage.
L’angle d’un secteur représente la proportion d’une catégorie par rapport au total, c’est-à-
dire 360°.
Illustration 9: Diagramme camembert
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• Les histogrammes
Utilisation lors de variable discontinue. Possibilité d’ajout de la valeur moyenne et des écarts-types.
Illustration 10: Histogramme
Pour terminer ces deux TP, nous avons de nouveaux procédés à deux exercices pour comprendre
comment créer et l’utilité d’un graphique à deux axes des Y (ordonnées), lorsque l’on suit deux
variables par exemple. On a aussi vu l’exemple d’un graphique qui suit une variable logarithmique
et l’on a dû modifier l’échelle de notre axe pour obtenir un graphique lisible (échelle
logarithmique : 1 → 10 → 100 → 1000…).
3) Conclusion
Pour chaque type de diagramme, nous avons procédé à un exercice pour comprendre
pourquoi et comment utiliser les différents types de diagramme (vente de voitures, couleurs des
solutions…). De plus, pour chaque diagramme, il faut pouvoir donner un titre correct et des titres
des axes, pour faciliter la compréhension de chaque diagramme.
Les étiquettes de données doivent être aussi incluses dans le diagramme pour une meilleure
compréhension et une meilleure précision. On peut aussi rajouter une courbe de tendance qui
permet d’approximer les valeurs des points lors d’une représentation par nuage de points, elle n’est
pas obligatoire. Les écart-types sont aussi souvent demandés, ils vont être représentés par deux
barres au-dessus et au-dessous de chaque point, permettant de montrer l’approximation des valeurs.
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XI - Conclusion
Grâce à tous ces TP, nous avons pu comprendre l’utilité des mathématiques dans le monde
actuel. En effet, chacun nous a permis de nous rendre compte que toutes les disciplines peuvent être
liées aux mathématiques. De plus, la liaison peut être faite au référentiel présenté au début du cours.
Les TP sur les graphiques nous ont permis de comprendre les enjeux de l’utilisation des
données dans le monde actuel et de pouvoir argumenter au mieux nos propos. Les statistiques nous
placent dans le domaine de l’analyse des informations. Le fait de pouvoir « créer » une population,
jouer dessus, retrouver la moyenne ou la médiane notamment d’une série de données peut vraiment
nous permettre d’analyser aux mieux des informations qui nous ont été transmises.
Les TP sur les distances et mesures, et sur la notion de signal nous ont permis d’adopter un
point de vue plus scientifiques pour comprendre ce qu’est une distance par exemple. La notion de
signal, nous a permis de construire un raisonnement logique à partir d’un problème et de
diagnostiquer une solution à ce problème à travers plusieurs outils mathématiques et/ou physiques.
La base de ce cours, qui devait être accès sur une communication accru, des débats et des
brain-storm, paraissait être une très bonne idée. Pourtant, cela n’est resté en partie qu’une utopie
pour notre part. En effet, les cours se sont révélés être vraiment des cours, sans vraiment de débats.
De plus, le fait d’attaquer le code sur Python a pu être, pour ceux qui n’avaient jamais pratiqué de
leur scolarité, un vrai obstacle. Le fait d’être en L2, a également pu provoquer des redondances.
L’informatique d’usage de L1, dans certaines sections, a déjà traité de la partie statistique de cet EC.
Cela fut seulement donc un rappel pour certains d’entre nous !
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