Modèle 1 de série des examens nationaux et expérimentaux ; ils concernent les élèves de 2ème année baccalauréat - branches sciences mathématiques A et B Dr. Karam Ouharou

1. ______________________________________________________________________________
Modèle d'examen national 1
2ème BAC Sciences mathématiques A et B
Durée : 4 heures
Dr. Karam Ouharou
______________________________________________________________________________
On pose 𝐼 =] − 1,1[ , on définit sur 𝐼 la lois ∗ telle que (∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐼2)𝑎 ∗ 𝑏 =
𝑎+𝑏
1+𝑎𝑏
I. Montrer que * est commutative, associative dans 𝐼
II. Montrer que (𝐼, ∗) est un groupe commutatif
III. On considère l'ensemble 𝐸 = {𝑃𝑎 =
1
√1−𝑎2
(
1 𝑎
𝑎 1
) /𝑎 ∈ 𝐼}
a) Montrer que (∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐼2) 𝑃
𝑎 × 𝑃𝑏 = 𝑃𝑎∗𝑏
b) En déduire que (𝐸,×) est un groupe commutatif et déterminer 𝑃𝑎
−1
On considère dans ℂ l'équation (𝐸)𝑍2
− (√3 + 3𝑖)𝑍 + 2(−1 + 𝑖√3) = 0
I. vérifier que le discriminant de (𝐸) s'écrit Δ = (√3 − 𝑖)2
puis résoudre (𝐸)
II. le plan (𝑃) est muni d'un repère orthonormé direct (𝑂, 𝑢
⃗ , 𝑣).
on pose 𝑏 = 2𝑖; 𝑎 = √3 + 𝑖 et on considère les points 𝐵(𝑏); 𝐴(𝑎).
𝑅1 est la rotation de centre 𝑂 et d'angle
𝜋
3
; 𝑅2 l la rotation de centre 𝐵
et d'angle
2𝜋
3
. On considère l'application 𝑓 = 𝑅2 ∘ 𝑅1
a) montrer que 𝑓(𝐵) = 𝐴
b) soit 𝑀(𝑚) un point du plan (𝑃). on pose 𝑁 = 𝑅1(𝑀) et 𝑀′
= 𝑓(𝑀)
(i) déterminer en fonction de 𝑚 le nombre 𝑛 affixe de 𝑁
(ii) montrer que l'affixe de 𝑀 ' est 𝑚′
= −𝑚 + 3𝑖 + √3 en déduire la nature de 𝑓
III. c) vérifier que
𝑚′−𝑚
𝑛−𝑚
= 1 + 𝑖√3 +
√3−3𝑖
𝑚
déterminer l'ensemble des points 𝑀(𝑚) pour
que 𝑀′
, 𝑁 et 𝑀 soient alignés
,25)
I. Montrer que 195
≡ 15 [26]

2. II. soit 𝑥 un entier relatif
Montrer que 𝑥13
− 𝑥 est divisible par 2 en déduire que 𝑥13
≡ 𝑥[26]
III. montrer que si 𝑥5
≡ 𝑦[26] alors 𝑦5
≡ 𝑥[26]
IV. résoudre dans ℤ2
l'équation 𝑥5
− 26𝑦 = 19
Soit 𝑛 un entier naturel .
on considère la fonction 𝑓
𝑛 définie sur ℝ∗
par : 𝑓𝑛(𝑥) =
𝑒𝑛𝑥
𝑥2
soit (𝐶𝑛) la courbe de 𝑓
𝑛
dans un repère orthonormé
a) calculer lim𝑥→−∞ 𝑓
𝑛(𝑥); lim𝑥→+∞ 𝑓
𝑛(𝑥) et lim𝑥→0 𝑓
𝑛(𝑥)
b) étudier les branches infinies de la courbe (𝐶𝑛)
2) a) montrer que 𝑓
𝑛 est dérivable sur ]0, +∞[ et ] − ∞, 0[ puis calculer 𝑓′
(𝑥)
b) dresser le tableau de variations de 𝑓
𝑛
3) a) montrer que l'équation 𝑓
𝑛(𝑥) = 1 admet dans ] − ∞, 0[ une seule solution 𝑥𝑛
b) montrer que (∀𝑛 ∈≥ 2) − 1 < 𝑥𝑛 < −
1
𝑛
4) a) montrer que (∀𝑛 ∈ ℕ∗) 𝑓𝑛+1(𝑥𝑛) = 𝑐𝑥𝑛 en déduire que (𝑥𝑛)𝑛 est convergente
b) prouver que (∀𝑛 ≥ 2) 𝑥𝑛 ≥ −
2ln 𝑛
𝑛
puis déterminer lim𝑛→+∞ 𝑥𝑛 et lim𝑛→+∞ 𝑛𝑥𝑛
5) tracer la courbe (𝐶1)
Partie A
Soit la fonction 𝑓 définie sur [0, +∞[ par : 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
𝑒−
1
𝑥; 𝑥 > 0 et 𝑓(0) = 0
I. Montrer que f est continue à droite de 0
II. étudier la dérivabilité de 𝑓 à droite de 𝑥0 = 0
III. calculer 𝑓′
(𝑥) et étudier le sens de variations de 𝑓 puis dresser le tableau de
variations
IV. tracer la courbe (𝐶𝑓)
Partie B
V. on considère la fonction 𝐹 définie sur ]1, +∞[ par : 𝐹(𝑥) = ∫1
1
ln 𝑥
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
VI. montrer que 𝐹 est dérivable sur ]1, +∞[ et calculer 𝐹′
(𝑥)
VII. calculer 𝐹(𝑐) en déduire le signe de 𝐹(𝑥)

3. VIII. a) prouver que (∀𝑥 > 1) 𝐹(𝑥) = ∫𝑠
𝜀
1
𝑡2ln 𝑡
𝑑𝑡
b) montrer que (∀𝑡 > 1) ln𝑡 ≤ 𝑡 − 1 en déduire (∀𝑥 ∈]1, 𝑐[) 𝐹(𝑥) ≥
∫𝑠
𝜀
1
𝑐2(𝑡−1)
𝑑𝑡
c) calculer lim𝑥→1
𝑥>1
𝐹(𝑥)
IX. a) vérifier que (∀𝑥 > 𝑐)
1
𝑡2ln 𝑡
≤
1
𝑡2
b) soit 𝑙 la limite de 𝐹 en +∞, montrer que −
1
e
< 𝑙 < 0 et donner le tableau de
𝐹