C H A P I T R E 2F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S1. Définitions et exemplesDEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUESoit b une ...
FORMES QUADRATIQUES2Exemples :1) f,g forme linéaires sur Eq : est forme quadratiqueest bilinéaire2)est bilinéaire symétriq...
FORMES QUADRATIQUES32. Représentation d’une forme quadratique dans une base.E dim finie, muni d’une baseDEFINITION 14 : RE...
FORMES QUADRATIQUES43. Equivalence de formes quadratiquesDEFINITION 16 : MORPHISMEet espaces quadratiques :Un morphisme d’...
FORMES QUADRATIQUES5CORROLAIRE 17 :q,q’ 2 formes quadratiques sur des espaces de dimensions finies sont équivalentes :1)2)...
FORMES QUADRATIQUES6PROPOSITION 19 :Pour tout le noyau de q est le noyau de .Le rang de q, noté estExemple :( )( )Remarque...
FORMES QUADRATIQUES7DEFINITION 23 : LA CONIQUE PROJECTIVEL’ensemble des droites vectorielles de Co(q) est appelé la coniqu...
FORMES QUADRATIQUES8PREUVE:̃ {oùDEFINITION 26 : GROUPE SPECIAL ORTHOGONALOn note { }C’est le groupe special orthogonalOn l...
FORMES QUADRATIQUES9PREUVE:(∑ ) ∑Donc et donc la famille est libre.Existence de bases orthogonales.THEOREME 24:Tout espace...
FORMES QUADRATIQUES10( )⏟ ⏟Si tous les , on peut supposer⏟ ⏟ ⏟( ) ( )exemple :( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )remarque : Si Q pol...
FORMES QUADRATIQUES11PREUVE:( )( )8. Classification surTHEOREME 29: Soit q une forme quadratique de rang t. Elle est repré...
FORMES QUADRATIQUES12THEOREME 30: Soit q une forme quadratique réelle positive de rang r alors q est représentée par unema...
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Chapitre2 vf 2

  1. 1. C H A P I T R E 2F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S1. Définitions et exemplesDEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUESoit b une forme bilinéaire sur E.L’application et appelée forme quadratique associée.Remarque :l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel surRemarque :La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée.est linéaire.Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées.PROPOSITION 13 :Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. Onl’appelle a forme polaire et on la note .d’où Q(E)= dimest un isomorphisme (car inj et de même dimension)Pour calculer la partie symétrique de bPROPOSITION 14 : FORME DE POLARISATIONSoit q une forme quadratique de forme polaire . Alors est donnée par .PREUVE: Il faut montrer que est bilinéaire symétrique q lui est associée.
  2. 2. FORMES QUADRATIQUES2Exemples :1) f,g forme linéaires sur Eq : est forme quadratiqueest bilinéaire2)est bilinéaire symétriqueb est la forme polaire de qest quadratique3) forme quadratiqueelles sont linéairesC’est bien une forme quadratique de forme polairen’est pas quadratique4)( )( )5)forme quadratiqueDEFINITION 14 : ESPACE QUADRATIQUEOn appelle un espace quadratique la donnée d’un espace vectoriel et d’une forme quadratique.
  3. 3. FORMES QUADRATIQUES32. Représentation d’une forme quadratique dans une base.E dim finie, muni d’une baseDEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLEOn appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polairePROPOSITION 15 :Soit q forme quadratique représentée par A dans B. Soit B’ une autre base et A’ la matrice de q dansB’ et P la matrice de passage de B à B’.Alors etDEFINITION 15 : REPRESENTATION POLYNOMIALE∑homogène de degré d.ex :P Homogène de degré 2. ∑ ∑On lui associe la matrice( ) ( ) matrice sym{Réciproquement à une matrice symétrique m lui associe un polynôme homogène de degré 2.Rmq :On dit que P représente la forme quadratique q dans la base.
  4. 4. FORMES QUADRATIQUES43. Equivalence de formes quadratiquesDEFINITION 16 : MORPHISMEet espaces quadratiques :Un morphisme d’espaces quadratiques :Et Un morphisme injectif est une isometrie Un morphisme bijectif est un isomorphismeMorphisme : diagramme commutatifE u Fq q’KRemarque : Les isomorphismes d’espaces quadratiques donnent une relation d’équivalence surl’ensemble des formes quadratiques , si et ) sont isomorphes alors que q est équivalenteà q’ et on le noteeton a est un isomorphismed’espace quadratiquePROPOSITION 16 :et espaces quadratiques. , formes polaires associées à alors les assertionssuivantes sont équivalentes :1)2)PREUVE:linéaire bijection tel quedonc ( ) donctel queOn considère l’application( ) C’est une forme bilinéaire Elle est symétrique Sa forme quadratique associée est ( )Donc il s’agit de (par unicité de sa forme polaire)
  5. 5. FORMES QUADRATIQUES5CORROLAIRE 17 :q,q’ 2 formes quadratiques sur des espaces de dimensions finies sont équivalentes :1)2) Leurs matrices associées sont congruentes3) Dans les bonnes bases elle ont la même matrice et même polynôme4. Domaine, dimension, rang, noyauE dim finieq forme quadratique, b forme polaireDEFINITION 17 : DOMAINEest représenté par q si tel que .On appelle domaine de q l’ensemble { } { }On dit que q est universelle siExemple :1) est universelle ,2) Toute forme quadratique non nulle sur est universelle. Soit tel que .Soit . Soitet il existe tel quedonc3) q forme quadratique sur qui n’est pas négative ni positive alors elle est universellePROPOSITION 18 :Si alorsE u Fq q’KSi , , doncSi , , doncDEFINITION 18 : DIMENSIONLa dimension de q est la dimension de l’espace E.DEFINITION 19 : DIMENSIONLe noyau de q est l’ensemble.{ }
  6. 6. FORMES QUADRATIQUES6PROPOSITION 19 :Pour tout le noyau de q est le noyau de .Le rang de q, noté estExemple :( )( )Remarque : Si alorsDEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREEOn dit que q est régulière (ou non dégénérée)Si { }. Sinon on dit qu’elle est dégénérée.Ex :siEn particulier , ( )( ) ( ) ( )donc q est régulière.5. Cône isotrope et conique projectiveDEFINITION 21 : ISOTROPEest isotrope siS’il existe un vecteur isotrope non nul, on dit que q est isotrope.Exemple :les vecteurs isotropes sont les éléments de { } { }Remarque : Si X est isotrope alors tous les , sont isotropes.DEFINITION 22 : LE CONE ISOTROPELe cône isotrope est l’ensemble { }Remarque : alors donc d’oùExemple :( ) { } par contre ( )Remarque : Co(q) n’est pas en général un sous-espace vectoriel de E
  7. 7. FORMES QUADRATIQUES7DEFINITION 23 : LA CONIQUE PROJECTIVEL’ensemble des droites vectorielles de Co(q) est appelé la conique projective:ensemble des droites vectorielles de E ss-e.v. de dim⁡16. Les déterminantsNotation: { }DEFINITION 24 : DETERMINANT D’UNE FORME QUADRATIQUE{ }Cette application est bien définieOn appelle det(q) l’image de q par cette application c’est le déterminant de q.Exemple :( )COROLLAIRE 20 :Si alorsDEFINITION 25 : AUTOMORPHISMEUn automorphisme orthogonal de est un isomorphisme u de dansL’ensemble des automorphismes orthogonaux est notéPROPOSITION 21 :L’ensemble O(q) est un sous-groupe de GL(E)exemple : non isotropeC’est la réflexion orthogonal de E associée à a. C’est un automorphisme orthogonal de E.: est la symétrie de E par rapport à parallèlement à Vect(a)PROPOSITION 22 :Soit q non dégénérée, alors
  8. 8. FORMES QUADRATIQUES8PREUVE:̃ {oùDEFINITION 26 : GROUPE SPECIAL ORTHOGONALOn note { }C’est le groupe special orthogonalOn le note aussi souvent .On note son complémentaire .7. La diagonalisation de formes quadratiques(E,q) espace quadratique, b forme polaire de q.Bases orthogonales.DEFINITION 27 : BASE ORTHOGONALEUne base de E est orthogonaleSi { }{ }i.e. tous les vecteurs de la base sont deux à deux orthogonaux.exemple :1.la base canonique est orthogonaleDEFINITION 28 : BASE ORTHONORMEEUne base est orthonormée si elle est orthogonale et ,LEMME 23:Si famille orthogonale de vecteurs non isotropes.Alors elle est libre.
  9. 9. FORMES QUADRATIQUES9PREUVE:(∑ ) ∑Donc et donc la famille est libre.Existence de bases orthogonales.THEOREME 24:Tout espace quadratique de dimension finie admet une base orthogonale.CONSEQUENCE : Il existe une matrice diagonale qui représente q. q représenté par un polynôme , . base de et des tel quePREUVE:Par récurrence surSi n=1, il n’y a rien à démontrerSupposons que c’est vraiSoit de dimension n.Si toutes les bases sont orthogonalesSinon, tqSoit { }: linéaire.etSimaisdoncOn applique l’hypothèse de récurrence à H.Soit base orthogonale de H, on a donc est une base orthogonal de E.COROLLAIRE 25:Toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonaleRéduction de Gauss.q représentée par ∑ ∑but écrire q comme somme de carrés de formes linéaires.1) Si tel que quitte à permuter les variables on suppose⏟ ⏟
  10. 10. FORMES QUADRATIQUES10( )⏟ ⏟Si tous les , on peut supposer⏟ ⏟ ⏟( ) ( )exemple :( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )remarque : Si Q polynôme représente q dans la base B cette méthode donne une base detelle que la base anteduale de est orthogonale pour q.Réduction de Gauss matricielle.méthode qui assure que toute matrice symétrique congruente à une matrice diagonale.FAIT 26:toute matrice est congruente à une matrice triangulaire par blocs.( ) où ( )8. Formes quadratiques réelles et complexes1. Classification surTHEOREME 27: Toute forme quadratique complexe de dimension n et rang r est représentée par lamatrice. ( ) q représentée par .PROPOSITION 28 :2 Formes quadratiques de même dimension & même rang sont équivalentes
  11. 11. FORMES QUADRATIQUES11PREUVE:( )( )8. Classification surTHEOREME 29: Soit q une forme quadratique de rang t. Elle est représentée par la matrice de laforme( ). On verra que le couple ne dépend que de q.PREUVE:Soit q forme quadratique sur .q représentée pour( )on peut supposerq est représentée par( ).9. Formes quadratiques positives et négatives.DEFINITION 29 : FORME POSITIVE ET NEGATIVE q est positive si , on le note q est négative si , on le note q est définie positive si négative si
  12. 12. FORMES QUADRATIQUES12THEOREME 30: Soit q une forme quadratique réelle positive de rang r alors q est représentée par unematrice de la forme ( ) : q peut donc s’écrire de la forme où tous les sont des formes linéairesindépendantes.Exemple : Sur , est définie positive. Sur est définie positive. Sur n’est ni positive ni négative.DEFINITION 30 : MATRICE SYMETRIQUEUne matrice symétrique est dite positive (resp.négative, déf pos, déf néga) si la fqassociée est positive (resp.négative, déf pos, déf néga)Notation :mat de positive.mat de def positive.mat de négative.mat de def négative.DEFINITION 31 : SIGNATURE D’UNE FORME REELLEespace quadratique réel dim finie.{ F ss-ev de E tel que }{ G ss-ev de E tel que }La signature de q est le coupleTHEOREME 31 : THEOREME D’INERTIE DE SYLVESTERSoit q une fq réelle de dimension n. on suppose que q est représenté par une matrice.( ) où etAlors la signature de q est etPREUVE:base dans laquelle q est représentée par ( ).F= car représentée par la matrice A.G= car représentée par la matrice( ).On en déduit queSoit ss-ev de E tq etRegardons { } alors ⏟
  13. 13. FORMES QUADRATIQUES13DoncOn a de même .Rmq :2 formes quadratiques réelles de même dimension ayant la même signature sont équivalentes.équivalentes même signature.Rmq :2 formes quadratiques dans ayant le même rang sont équivalentes.Alors que dans ce n’est pas suffisant il faut aussi qu’elles aient la même signature.

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