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H.A.L
O.I.T Octobre 2018
Poteaux en béton armé
Méthode Optimale Linéaire
Tunis le 20-10-2018
Présentée par:
Hédi AYED LAKHAL
Ingénieur Conseil en GC
contact@hediayedlakhal-icc.com
Avec la participation de:
Samy ANTIT
Maître assistant en GC
samy.antit@enit.utm.tn
H.A.L
O.I.T Octobre 2018
2
Données – Hypothèses
Principe et étapes de calcul
Organigramme de calcul
Plan de l’exposé
Partie I : Présentation de la méthode
Introduction
Partie II : Exemples d’application
Conclusion perspectives
Exemple 1: Poteau 25cm x 70 cm
Exemple 2: Poteau 30cm x 110 cm
Exemple 3: Poteau 35cm x 90 cm
Exemple 4: Poteau 45cm x 95 cm
Exemple 5: Poteau 30cm x 30 cm (k=0,7) .
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3
Introduction
Comparaisons BAEL – EC2 …
 Amin (BAEL): fixe Amin (EC2): Variable !!
 Amax (BAEL)= 5% Amax (EC2)= 3%
 k: Coefficient de flambement (0,7 ≤k(BAEL)≤1) k (EC2)= 1 = fixe !!
 BAEL: G et Q données Nu A(cm²)
EC2: NEd et A(cm²) Vérifier NEd ≤ NRd sinon augmenter A(cm²)
 Art 5.8.6 (EC2) (Méthode de FAESSEL ou Générale)
En plus la méthode de FAESSEL est programmable et non manuelle
10,7
2
 Faessel
Rd
simplifiéEC
Rd
N
N
: NRd (EC2-simplifié) plus petit que NRd (Faessel) (Jusqu’à 30 % !!!)
L’idée est d’élaborer une méthode manuelle minimisant cette différence
Objectif : Réduire cette différence (+ 5 à + 15 %) pour avoir:
15,11,05 .
 OptM
Rd
Faessel
Rd
N
N
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4
Introduction
Programme N°102
De Mr.H.THONIER
Décembre 2013
Méthode Faessel
EC2:art. 5.8.6
Amax
04,1.
OptM
Rd
Faessel
Rd
N
N
Amin (EC2-simplifié) : Variable !!
Pot 30cm x 30 cm
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5
Introduction
 EC2: On parle d’Effort et contrainte critiques d’EULER Etat optimal ??
 EC2: On parle de méthode de rigidité nominale et méthode de courbure nominale
qui sont moins économiques que la méthode générale (FAESSEL) mais plus
compliquées (diagrammes d’interactions) …A vérifier !!
(Voir ouvrage « Le projet de béton armé EC2» de H.Thonier (2013)– page 58)
En effet:
Ces méthodes de calcul donnent des résultats totalement différentes et parfois
aberrantes par rapport à la méthode générale (FAESSEL)
Exemples:
-Poteau 25 cm x 70 cm avec NEd= 2,07 MN (voir exemple d’application N°1)
Améthode générale = 20,39 cm² ; AEC2-simplifiée = 56,5 cm² ; Arigidité nominale = 25,0 cm² !!
-Poteau 30 cm x 30 cm avec NEd= 1,28 MN (voir exemple d’application N°5)
Améthode générale = 10,22 cm² alors que Arigidité nominale = 5,7 cm² << 10,22 cm² !!
Notre objectif: Converger vers la méthode générale qui est la plus économique !!
Réflexions …
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6
Partie I
Présentation de la méthode
Méthode Optimale Linéaire
Données
fck (Mpa ) ; Fyk (Mpa ) ; k: Coef. du flambement
L0 (m ): Longueur efficace du poteau; L0=h.s.p+ ef + 0,5× (E1+ E2 )
Avec:
E1 (m ): Epaisseur de la dalle inférieure
E2 (m ): Epaisseur de la dalle supérieure ; ef: épaisseur de la couche de finition.
a: Petite dimension du poteau rectangulaire dans le sens du flambement : a(m) ;b(m ) tq: b≥a
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7
Données - Hypothèses
a
b≥a .
Hypothèses
Béton: 12 MPa ≤ fck ≤ 90 Mpa: Résistance caractéristique du béton ; γb=1,5
Acier: 300 MPa ≤ Fyk≤ 800 MPa: Limite élastique de l’acier ; γs=1,15
0.20 m≤ a ≤1.25 m
Classe de ciment: minimum : 32,5 N
2/3 ≤ k ≤ 1, les valeurs les plus probables de k=1 ; k=0.85 et k=0.70
M=0; on néglige le moment extérieur du 1er ordre (e1=0: Excentricité éventuelle du 1er ordre)
Armatures symétriques, par moitié sur chaque face.
Chargement au moins à 28 jours (durée d’application des combinaisons).
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8
EC2 simplifié Optimale linéaire
Résistance caractéristique du béton
fck (Mpa)
20 ≤ fck ≤ 50 MPa 12 ≤ fck ≤ 90 MPa
Limite élastique de l’acier
Fyk (Mpa)
400 ≤ Fyk ≤ 600 MPa 300 ≤ Fyk ≤ 800 MPa
v: Coefficient de type de poteau v = cste = 4 = 4.85 ≤ v ≤ 6.29 :variable
k : Coefficient du flambement k = cste = 1 ≤ k ≤ 1 : variable
Elancement λ λ ≤ 70 Pas de coef λ
a (cm) a ≥ 0.15 0.20 ≤ a ≤ 1.25 m
Section min de l’acier Amin (cm²) Amin : variable !!
Amin : dépend que de k et de a
et ne dépend pas ni de la charge
ni de la longueur de poteau
Hypothèses de calcul: EC2 simplifié et Méthode Optimale Linéaire
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9
Principe et étapes de calcul
1- LC : Longueur de calcul :
2- Calcul de L max→ Lmax= 20. (a-0,02) si L0 ≤L max ; Sinon augmenter "a"
3- Calcul du coef : γ : Rendement des poteaux a l’état optimal : (sans unité)
4- Calcul de bmax : bmax = v × a avec ; Si b ≤ bmax ; Sinon augmenter "a"

6,6
v 
5- Calcul de ρop = ψ : % d’armature à l’état optimal.
0.k LLC 
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10
6- Calcul de ρmin : % d’armature à l’état minimal ;



min
7- calcul de ρcr : % d’armature à l’état critique.
8-calcul de ρmax : % d’armature à l’état maximal.
s
marque

1
87,0:Re 
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11
9-calcul des deux corrections : Cc et Cs
*Cc : coefficient correctif tenant compte de fck
; Si 12 ≤ fck ≤ 30 Mpa
; Si 30 Mpa < fck ≤ 90 Mpa ; avec γs=1,15
*Cs : coefficient correctif tenant compte de Fyk
Cs =1+0,15LN ; avec LN : Logarithme Népérien .
10- calcul du coefficient : pour 0,20 ≤ a ≤ 1,25 m (k=1)
- 0,20 × k + 1,28 si ≤ k ≤ 0,90
= ck × avec ck =
- k + 2 si 0,9 < k ≤ 1
Lc 2,10 ≤ Lc ≤ π π < Lc ≤ 3,70 3,70 < Lc ≤ 5,60 5,60 < Lc ≤ 6,60 Lc > 6,60
0,19 × L + 0,40 × L + 2 -0,09 × L + 1,15 0,65 = Cste × L + 0,86
k
LZ 1
LZ
1
LZ
1
LZ








1
25
ck
c
f
C
 







s
ck
c
f
C
25








400
ykF
11- Calcul de la contrainte moyenne optimale de référence : :
= γ × 6,90 MPa
Avec : = 6,90 MPa = Cste pour 0,20 ≤ a ≤ 1,25m
[ pour Lc = π =3.14 m ; fck=25Mpa et Fyk=400Mpa ; k=1 : Poteau de référence ]
avec : Contrainte moyenne du béton compte tenue des aciers minimum.
NB: 6,9≈6,85 Mpa : est le coefficient de compression du béton (D’après CBA 68 !!)
12- Calcul de la contrainte moyenne optimale :
Hop = Cc × Cs × ZL ×
Avec : Hmin = Cc × Cs × ZL × 6,90
Hop = γ × Hmin
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12
0
opH
0
opH
0
minH
0
minH
13- Calcul de la capacité résistante de service du poteau :
pour A = Amin ; Cmin = a × b × Hmin
Unités : Cmin [MN] ; a,b en [m] et Hmin : [MPa].
14- Calcul de capacité résistante de service du poteau : pour A = Aoptimal
Cop = γ × Cmin = γ × a × b × Hmin
15- Calcul de Ccr : qui correspond à Acr
16- Calcul de Cmax: qui correspond à Amax
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13
a (m) a = 0,20 0,20 < a < 0,30 0,30 ≤ a ≤ 1.25 m
Ccr [MN] 1,1 × Cmin Ccr = × Cmin Ccr = × Cmin
a (m) a = 0,20 0,20 < a < 0,30 0,30 ≤ a ≤ 1.25 m
Cmax [MN]
Cmax = γs × Cmin
avec γs = 1,15
Cmax = × Cmin Cmax = γ² × Cmin
NB: 1,1 est le coefficient de compression de l’acier (D’après CBA 68 !!)
05,1
2

10,1
2

10,1
3

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14
17.a - Calcul de ferraillage de poteau en fonction de Ns : ( Méthode Graphique )
Premier cas
Ns a 0,20 ≤ a ≤ 1,25 m
Ns ≤ Nmin= Cmin A = Amin
Deuxième cas avec
Ns a 0,20 ≤ a < 0,30
C1=
d1= Aop- C1 x Cop
Cmin < Ns ≤ Cop A = x Ns
Cop < Ns ≤ Cmax A = C1 x Ns + d1
Troisième cas avec
Ns a 0,30 ≤ a ≤ 1,25 C2=
d2= Acr- C2 x Ccr
C3=
d3 = Amax- C3 x Cmax
Cmin ≤ Ns ≤ Ccr A = C2 x Ns + d2
Ccr < Ns ≤ Cmax A = C3 x Ns + d3
min
min
C
A op
op
CC
AA


max
max
min
min
CC
AA
cr
cr


cr
cr
CC
AA


max
max
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15
1.065, 9.63
1.236, 10.68
1.365, 15.93
1.508, 22.84
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
0.800 0.900 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600
Ak=F(Ns) [cm²] Pot 25cmx70cm
illustration de la méthode graphique
Courbe type
pour a < 0,3m
1.606, 11.07
2.100, 14.58
2.495, 18.99
2.869, 28.92
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
0.800 1.300 1.800 2.300 2.800 3.300
Ak=F(Ns) [cm²] Pot 35cmx90cm
Ak [cm²]
Ns[MN]
Courbe type
pour a ≥ 0,3m
Ak [cm²]
Ns[MN]
Changement de
pente à partir de
l’état optimal
Changement de
pente à partir de
l’état critique
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16
17.b - Calcul de ferraillage de poteau en fonction de Ns : ( Méthode Linéaire )
Avec (Pour le poteau de référence)
a 0,20 ≤ a < 0,30 0,30 ≤ a ≤ 0,41 0,41 < a ≤ 1,25
- 43 × a + 18,6 -13 × a + 9,6 4,2
a
Ns
0,20 ≤ a < 0,30 avec
Cmin < Ns ≤ Cop A = × Ns
C1 = α1 ×
*Pour 0,20 ≤ a ≤ 0,25m
α1 = -149 × a + 42,3
*Pour 0,25 < a < 0,30
α1 = -45 × a + 16,3
Cop < Ns ≤ Cmax A = C1 × Ns + d1







 k
Lsc
k
ZCC
C
C
0
0
0
min
min0
0
C
A
C 
k
C0
k
C0
0
0C
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17
a
Ns
0,30 m ≤ a ≤ 1,25 m avec
Cmin < Ns ≤ Ccr A = C2 × Ns + d2
C2 = α2 ×
C3 = α3 ×Ccr < Ns ≤ Cmax A = C3 × Ns + d3
a (m) 0,30 ≤ a ≤ 0,35 0,35 < a ≤ 0,41 0,41 < a ≤ 1,25 m
α2 -a + 1,65 1/3 × a + 1,42 1,283 = Cste
a (m) 0,30 m ≤ a ≤ 0,41 m 0,41 < a ≤ 1,25 m
α3 6 × a + 1,76 4,22 = Cste
NB: Il convient de majorer A(cm²) de 25% afin de prendre en compte les effets du 1er ordre,
l’enrobage, le fluage, classe du ciment, imperfections géométriques de construction :
A.25,1FA
k
C0
k
C0
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18
18- Fonction réciproque NRs = F (armature) :
Avec NRs : Capacité résistante de service du poteau (sans pondération).
Premier cas 0,20 ≤ a < 0,30
Amin ≤ A ≤ Aop
Aop < A ≤ Amax
Deuxième cas 0,30 ≤ a ≤ 1,25
Amin ≤ A ≤ Acr
Acr < A ≤ Amax
NB: Il convient de prendre un coefficient de sécurité de 1,1 pour la capacité portante finale:
1,1
.
.
sR
FR
N
N 
A
A
C
)(
min
min
19
fck(MPa) ; Fyk(MPa); k ; a(m) ; b(m) ; L0(m)
Augmenter ‘a’
ρop = ψk (a)
Non
L0 ≤ Lmax et b ≤ bmax
Lc ; Lmax ; γ ; v ; bmax
Ns (MN)
ρ min ; ρcr ; ρmax
Cc ; Cs ;
(MPa) ; Hop (MPa)
Cmin (MN) ; Cop (MN) ; Ccr (MN) ; Cmax (MN)
A (cm²)
A (cm²)
NRs (MN)
Organigramme de calcul
1,1
.
.
sR
FR
N
N A.25,1FA
k
LZ
0
opH
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20
Partie II
Exemples d’application
Méthode Optimale Linéaire
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21
Exemple 1: Poteau 25cm x 70cm
Poteau : 0,25 × 0,70 ; k = 1 ; L0 = 4,60m; fck = 35 MPa ; Fyk = 400 MPa
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
C (service) [MN] 1,065 1,236 1,365 1,508
C (ultime) = NEd [MN] 1,460 1,696 1,873 2,070
ρ (%) 0.550 0.610 0.910 1.305
A(cm²) 9.63 10.68 15.93 22.84
Armatures retenue 8HA12+2HA10 10HA12 8HA14 + 4 HA12 12HA16
Ak [cm²]
Ns[MN]
0.000, 9.63 1.065, 9.63
1.236, 10.68
1.365, 15.93
1.508, 22.84
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
Ak=F(Ns) [cm²]
22
Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives
Minimal
Optimal
Critique
Maximal
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
AL[cm²] (M.linéaire) 9.63 10.68 15.93 22.84
M.Faessel = = 1,35 = 1,18 = 1,14 = 1,12
ABAEL [cm²] 11,11 29,51 43,30 58,60
A (EC2) (simplifié) [cm²] 4,2 20,8 37,1 56,5
Arigidité nominale [cm²] 16,1 18,4 20,7 25,0
rb = 1,15 2,76 2,71 2,56
rE = 0,43 1,94 2,32 2,47
rr = 1,67 1,72 1,29 1,09
Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 4,2 4,9 5.4 5,9
Récap: Poteau 25cm x 70cm
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23
H.A.L
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24
Exemple 2: Poteau 30cm x 110cm
Poteau : 0,30 × 0,110 ; k = 1 ; L0 = 4,25m ; fck = 25 MPa ; Fyk = 400 MPa
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
C (service) [MN] 1,7370 2,2060 2,5470 2,8010
C (ultime) = NEd [MN] 2,3826 3,1900 3,4965 3,8497
ρ (%) 0,40 0,50 0,64 0,95
A(cm²) 13,20 16,50 21,12 31,35
Armatures retenue 12HA10+4HA12 14HA12+2HA10 14HA14+2HA10 16 HA16
Ak [cm²]
Ns[MN]
0.000, 13.20 1.737, 13.20
2.206, 16.50
2.547, 21.12
2.801, 31.35
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000
Ak=F(Ns) [cm²]
25
Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives
Minimal
Optimal
Critique
Maximal
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
AL[cm²] (M.linéaire) 13,20 16,50 21,12 31,35
M.Faessel = = 1,46 = 1,12 = 1,06 = 1,03
ABAEL [cm²] 11,20 !! 11,20 23,085 39,73
A (EC2) (simplifié) [cm²] 6.80 26,00 56,60 80,90
Arigidité nominale [cm²] 9.4 14,40 21,00 25.50
rb = 0.84 0.67 1.09 1.23
rE = 0.51 1.57 2.67 2.58
rr = 0.71 0.87 0.99 0.81
Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 6,85 9,17 10,05 11,10 !!
Récap: Poteau 30cm x 110cm
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26
H.A.L
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27
Exemple 3: Poteau 35cm x 90cm
Poteau : 0,35 × 0,90 ; k = 1 ; L0 = 6,60m ; fck = 30 MPa ; Fyk = 500 MPa
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
C (service) [MN] 1,6060 2,1000 2,4950 2.8700
C (ultime) = NEd [MN] 2,2041 2,8830 3,4245 3,9390
ρ (%) 0,352 0,463 0,603 0,918
A(cm²) 11,07 14,53 18,99 28,92
Armatures 12HA12 14HA12 10HA14 + 4HA12 14HA16 + 2HA12
0.000, 11.07 1.606, 11.07
2.100, 14.58
2.495, 18.99
2.869, 28.92
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500
Ak=F(Ns) [cm²]
Ak [cm²]
Ns[MN]
28
Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives
Minimal
Optimal
Critique
Maximal
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
AL[cm²] (M.linéaire) 11,07 14,53 18,99 28,92
M.Faessel = = 1,50 = 1,20 = 1,05 = 1,05
ABAEL [cm²] 13,32 57,82 93,15 115,79
A (EC2) (simplifié) [cm²] 6,3 38.0 74,9 99,1
Arigidité nominale [cm²] 17,2 23,3 29,9 38,3
rb = 1,20 3,97 4,90 ≈ 5fois !! 4,00
rE = 0,56 2,61 3,94≈ 4fois !! 3,42
rr = 1,55 1,60 1,57 1,32
Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 6,30 6,63 7,88 8,70
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Récap: Poteau 35cm x 90cm
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30
Exemple 4: Poteau 45cm x 95cm
Poteau : 0,45 × 0,95 ; k = 1 ; L0 = 6,00 m; fck = 25 MPa ; Fyk = 400 MPa
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
C (service) [MN] 2,042 2,777 3,433 3,776
C (ultime) = NEd [MN] 2,794 3,801 4,710 5,188
ρ (%) 0,30 0,41 0,55 0,87
A(cm²) 12,83 17,53 23,51 37,19
Armatures 12HA12 10HA14+2HA12 10HA16+4HA12 16HA16+4HA14
Ak [cm²]
Ns[MN]
0.000, 12.83 2.042, 12.83
2.777, 17.53
3.433, 23.51
3.776, 37.19
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000
Ak=F(Ns) [cm²]
31
Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives
Minimal
Optimal
Critique
Maximal
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
AL[cm²] (M.linéaire) 12,83 17,53 23,51 37,19
M.Faessel = = 1,78 = 1,34 = 1,12 = 1,10
ABAEL [cm²] 11,20 11,20 11,20 48,87
A (EC2) (simplifié) [cm²] 8.5 11.0 48.2 75.1
Arigidité nominale [cm²] 10.6 15.0 14.8 17.4
rb = 0.87 0.63 0.47 1.13
rE = 0.66 0.62 !! 2.05 2.01
rr = 0.82 0.85 0.62 0.46
Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 8.55 10.93 13.54 14.92
Récap: Poteau 45cm x 95cm
H.A.L
O.I.T Octobre 2018
32
H.A.L
O.I.T Octobre 2018
33
Exemple 5: Poteau 30cm x 30cm
Poteau : 0,30 × 0,30 ; k = 0,7 ; L0 = 3,25m ; fck = 25 MPa ; Fyk = 400 MPa
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
C (service) [MN] 0.580 0.736 0.850 0.935
C (ultime) = NEd [MN] 0.792 1.009 1.166 1.28
ρ (%) 0.478 0.598 0.765 1.135
A(cm²) 4.30 5.38 6.88 10.22
Armatures 8HA10 8HA10 4HA12+4HA10 4HA14+4HA12
Ak [cm²]
Ns[MN]
0.000, 4.30 0.580, 4.30
0.736, 5.38
0.850, 6.88
0.935, 10.22
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
Ak=F(Ns) [cm²]
34
Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives
Minimal
Optimal
Critique
Maximal
Etat Minimal Optimal Critique Maximal
AL[cm²] (M.linéaire) 4.30 5.38 6.88 10.22
M.Faessel = = 1,48 = 1,19 = 1,06 =1,04
ABAEL [cm²] 4.80 4.80 7.15 11.44
A (EC2) (simplifié) [cm²] 2.30 2.90 8.40 13.80
Arigidité nominale [cm²] 2.30 2.90 3.40 5.70
rb = 1,11 0,89 1,03 1,11
rE = 0,53 0,53 1,22 1,35
rr = 0,53 0,53 0,49 0,55
Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 2.30 2.90 3.40 3.70
Récap: Poteau 30cm x 30cm
H.A.L
O.I.T Octobre 2018
35
H.A.L
O.I.T Octobre 2018
36
Conclusions et perspectives
 Spécificités de la méthode optimale
 k: Coefficient de flambement (2/3 ≤ k ≤1) n’est pas fixe !!
 A (Méthode optimale) NRd (Méthode optimale) avec : %155.
à
N
N
OptM
Rd
Faessel
Rd

NB: 5 à 15 % étant la moyenne des états optimal, critique et maximal.
 Résultats assez cohérents: : On converge vers la méthode générale15,1
généraleMéthode
optimaleMéthode
A
A
 Perspectives: Méthode de calcul en cours pour escaliers, semelles excentrées…
(Formules linéaires du comportement du BA à l’état optimal)
 IMPORTANT: La méthode optimale ne doit en aucun cas être dissociée de la norme EC2
et principalement pour l’aspect durabilité (classes d’exposition, calcul de l’enrobage…).
Par ailleurs le calcul d’enrobage est pris en compte dans l’ouvrage « Théorie pseudo-linéaire
des poteaux en béton armé Tome 1» Hédi Ayed Lakhal – EUE 2016 (amazon.fr)
 Calcul avec l’effort de service Ns et aux états: minimal, optimal, critique et maximal.
 Amin et Amax : Caractéristiques du poteau a x b et ne dépendent pas de la charge.
 NRs(Méthode optimale) A (Méthode optimale)
Objectifs
atteints!!
H.A.L
O.I.T Octobre 2018
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  • 1. H.A.L O.I.T Octobre 2018 Poteaux en béton armé Méthode Optimale Linéaire Tunis le 20-10-2018 Présentée par: Hédi AYED LAKHAL Ingénieur Conseil en GC contact@hediayedlakhal-icc.com Avec la participation de: Samy ANTIT Maître assistant en GC samy.antit@enit.utm.tn
  • 2. H.A.L O.I.T Octobre 2018 2 Données – Hypothèses Principe et étapes de calcul Organigramme de calcul Plan de l’exposé Partie I : Présentation de la méthode Introduction Partie II : Exemples d’application Conclusion perspectives Exemple 1: Poteau 25cm x 70 cm Exemple 2: Poteau 30cm x 110 cm Exemple 3: Poteau 35cm x 90 cm Exemple 4: Poteau 45cm x 95 cm Exemple 5: Poteau 30cm x 30 cm (k=0,7) .
  • 3. H.A.L O.I.T Octobre 2018 3 Introduction Comparaisons BAEL – EC2 …  Amin (BAEL): fixe Amin (EC2): Variable !!  Amax (BAEL)= 5% Amax (EC2)= 3%  k: Coefficient de flambement (0,7 ≤k(BAEL)≤1) k (EC2)= 1 = fixe !!  BAEL: G et Q données Nu A(cm²) EC2: NEd et A(cm²) Vérifier NEd ≤ NRd sinon augmenter A(cm²)  Art 5.8.6 (EC2) (Méthode de FAESSEL ou Générale) En plus la méthode de FAESSEL est programmable et non manuelle 10,7 2  Faessel Rd simplifiéEC Rd N N : NRd (EC2-simplifié) plus petit que NRd (Faessel) (Jusqu’à 30 % !!!) L’idée est d’élaborer une méthode manuelle minimisant cette différence Objectif : Réduire cette différence (+ 5 à + 15 %) pour avoir: 15,11,05 .  OptM Rd Faessel Rd N N
  • 4. H.A.L O.I.T Octobre 2018 4 Introduction Programme N°102 De Mr.H.THONIER Décembre 2013 Méthode Faessel EC2:art. 5.8.6 Amax 04,1. OptM Rd Faessel Rd N N Amin (EC2-simplifié) : Variable !! Pot 30cm x 30 cm
  • 5. H.A.L O.I.T Octobre 2018 5 Introduction  EC2: On parle d’Effort et contrainte critiques d’EULER Etat optimal ??  EC2: On parle de méthode de rigidité nominale et méthode de courbure nominale qui sont moins économiques que la méthode générale (FAESSEL) mais plus compliquées (diagrammes d’interactions) …A vérifier !! (Voir ouvrage « Le projet de béton armé EC2» de H.Thonier (2013)– page 58) En effet: Ces méthodes de calcul donnent des résultats totalement différentes et parfois aberrantes par rapport à la méthode générale (FAESSEL) Exemples: -Poteau 25 cm x 70 cm avec NEd= 2,07 MN (voir exemple d’application N°1) Améthode générale = 20,39 cm² ; AEC2-simplifiée = 56,5 cm² ; Arigidité nominale = 25,0 cm² !! -Poteau 30 cm x 30 cm avec NEd= 1,28 MN (voir exemple d’application N°5) Améthode générale = 10,22 cm² alors que Arigidité nominale = 5,7 cm² << 10,22 cm² !! Notre objectif: Converger vers la méthode générale qui est la plus économique !! Réflexions …
  • 6. H.A.L O.I.T Octobre 2018 6 Partie I Présentation de la méthode Méthode Optimale Linéaire
  • 7. Données fck (Mpa ) ; Fyk (Mpa ) ; k: Coef. du flambement L0 (m ): Longueur efficace du poteau; L0=h.s.p+ ef + 0,5× (E1+ E2 ) Avec: E1 (m ): Epaisseur de la dalle inférieure E2 (m ): Epaisseur de la dalle supérieure ; ef: épaisseur de la couche de finition. a: Petite dimension du poteau rectangulaire dans le sens du flambement : a(m) ;b(m ) tq: b≥a H.A.L O.I.T Octobre 2018 7 Données - Hypothèses a b≥a . Hypothèses Béton: 12 MPa ≤ fck ≤ 90 Mpa: Résistance caractéristique du béton ; γb=1,5 Acier: 300 MPa ≤ Fyk≤ 800 MPa: Limite élastique de l’acier ; γs=1,15 0.20 m≤ a ≤1.25 m Classe de ciment: minimum : 32,5 N 2/3 ≤ k ≤ 1, les valeurs les plus probables de k=1 ; k=0.85 et k=0.70 M=0; on néglige le moment extérieur du 1er ordre (e1=0: Excentricité éventuelle du 1er ordre) Armatures symétriques, par moitié sur chaque face. Chargement au moins à 28 jours (durée d’application des combinaisons).
  • 8. H.A.L O.I.T Octobre 2018 8 EC2 simplifié Optimale linéaire Résistance caractéristique du béton fck (Mpa) 20 ≤ fck ≤ 50 MPa 12 ≤ fck ≤ 90 MPa Limite élastique de l’acier Fyk (Mpa) 400 ≤ Fyk ≤ 600 MPa 300 ≤ Fyk ≤ 800 MPa v: Coefficient de type de poteau v = cste = 4 = 4.85 ≤ v ≤ 6.29 :variable k : Coefficient du flambement k = cste = 1 ≤ k ≤ 1 : variable Elancement λ λ ≤ 70 Pas de coef λ a (cm) a ≥ 0.15 0.20 ≤ a ≤ 1.25 m Section min de l’acier Amin (cm²) Amin : variable !! Amin : dépend que de k et de a et ne dépend pas ni de la charge ni de la longueur de poteau Hypothèses de calcul: EC2 simplifié et Méthode Optimale Linéaire
  • 9. H.A.L O.I.T Octobre 2018 9 Principe et étapes de calcul 1- LC : Longueur de calcul : 2- Calcul de L max→ Lmax= 20. (a-0,02) si L0 ≤L max ; Sinon augmenter "a" 3- Calcul du coef : γ : Rendement des poteaux a l’état optimal : (sans unité) 4- Calcul de bmax : bmax = v × a avec ; Si b ≤ bmax ; Sinon augmenter "a"  6,6 v  5- Calcul de ρop = ψ : % d’armature à l’état optimal. 0.k LLC 
  • 10. H.A.L O.I.T Octobre 2018 10 6- Calcul de ρmin : % d’armature à l’état minimal ;    min 7- calcul de ρcr : % d’armature à l’état critique. 8-calcul de ρmax : % d’armature à l’état maximal. s marque  1 87,0:Re 
  • 11. H.A.L O.I.T Octobre 2018 11 9-calcul des deux corrections : Cc et Cs *Cc : coefficient correctif tenant compte de fck ; Si 12 ≤ fck ≤ 30 Mpa ; Si 30 Mpa < fck ≤ 90 Mpa ; avec γs=1,15 *Cs : coefficient correctif tenant compte de Fyk Cs =1+0,15LN ; avec LN : Logarithme Népérien . 10- calcul du coefficient : pour 0,20 ≤ a ≤ 1,25 m (k=1) - 0,20 × k + 1,28 si ≤ k ≤ 0,90 = ck × avec ck = - k + 2 si 0,9 < k ≤ 1 Lc 2,10 ≤ Lc ≤ π π < Lc ≤ 3,70 3,70 < Lc ≤ 5,60 5,60 < Lc ≤ 6,60 Lc > 6,60 0,19 × L + 0,40 × L + 2 -0,09 × L + 1,15 0,65 = Cste × L + 0,86 k LZ 1 LZ 1 LZ 1 LZ         1 25 ck c f C          s ck c f C 25         400 ykF
  • 12. 11- Calcul de la contrainte moyenne optimale de référence : : = γ × 6,90 MPa Avec : = 6,90 MPa = Cste pour 0,20 ≤ a ≤ 1,25m [ pour Lc = π =3.14 m ; fck=25Mpa et Fyk=400Mpa ; k=1 : Poteau de référence ] avec : Contrainte moyenne du béton compte tenue des aciers minimum. NB: 6,9≈6,85 Mpa : est le coefficient de compression du béton (D’après CBA 68 !!) 12- Calcul de la contrainte moyenne optimale : Hop = Cc × Cs × ZL × Avec : Hmin = Cc × Cs × ZL × 6,90 Hop = γ × Hmin H.A.L O.I.T Octobre 2018 12 0 opH 0 opH 0 minH 0 minH
  • 13. 13- Calcul de la capacité résistante de service du poteau : pour A = Amin ; Cmin = a × b × Hmin Unités : Cmin [MN] ; a,b en [m] et Hmin : [MPa]. 14- Calcul de capacité résistante de service du poteau : pour A = Aoptimal Cop = γ × Cmin = γ × a × b × Hmin 15- Calcul de Ccr : qui correspond à Acr 16- Calcul de Cmax: qui correspond à Amax H.A.L O.I.T Octobre 2018 13 a (m) a = 0,20 0,20 < a < 0,30 0,30 ≤ a ≤ 1.25 m Ccr [MN] 1,1 × Cmin Ccr = × Cmin Ccr = × Cmin a (m) a = 0,20 0,20 < a < 0,30 0,30 ≤ a ≤ 1.25 m Cmax [MN] Cmax = γs × Cmin avec γs = 1,15 Cmax = × Cmin Cmax = γ² × Cmin NB: 1,1 est le coefficient de compression de l’acier (D’après CBA 68 !!) 05,1 2  10,1 2  10,1 3 
  • 14. H.A.L O.I.T Octobre 2018 14 17.a - Calcul de ferraillage de poteau en fonction de Ns : ( Méthode Graphique ) Premier cas Ns a 0,20 ≤ a ≤ 1,25 m Ns ≤ Nmin= Cmin A = Amin Deuxième cas avec Ns a 0,20 ≤ a < 0,30 C1= d1= Aop- C1 x Cop Cmin < Ns ≤ Cop A = x Ns Cop < Ns ≤ Cmax A = C1 x Ns + d1 Troisième cas avec Ns a 0,30 ≤ a ≤ 1,25 C2= d2= Acr- C2 x Ccr C3= d3 = Amax- C3 x Cmax Cmin ≤ Ns ≤ Ccr A = C2 x Ns + d2 Ccr < Ns ≤ Cmax A = C3 x Ns + d3 min min C A op op CC AA   max max min min CC AA cr cr   cr cr CC AA   max max
  • 15. H.A.L O.I.T Octobre 2018 15 1.065, 9.63 1.236, 10.68 1.365, 15.93 1.508, 22.84 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 Ak=F(Ns) [cm²] Pot 25cmx70cm illustration de la méthode graphique Courbe type pour a < 0,3m 1.606, 11.07 2.100, 14.58 2.495, 18.99 2.869, 28.92 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 0.800 1.300 1.800 2.300 2.800 3.300 Ak=F(Ns) [cm²] Pot 35cmx90cm Ak [cm²] Ns[MN] Courbe type pour a ≥ 0,3m Ak [cm²] Ns[MN] Changement de pente à partir de l’état optimal Changement de pente à partir de l’état critique
  • 16. H.A.L O.I.T Octobre 2018 16 17.b - Calcul de ferraillage de poteau en fonction de Ns : ( Méthode Linéaire ) Avec (Pour le poteau de référence) a 0,20 ≤ a < 0,30 0,30 ≤ a ≤ 0,41 0,41 < a ≤ 1,25 - 43 × a + 18,6 -13 × a + 9,6 4,2 a Ns 0,20 ≤ a < 0,30 avec Cmin < Ns ≤ Cop A = × Ns C1 = α1 × *Pour 0,20 ≤ a ≤ 0,25m α1 = -149 × a + 42,3 *Pour 0,25 < a < 0,30 α1 = -45 × a + 16,3 Cop < Ns ≤ Cmax A = C1 × Ns + d1         k Lsc k ZCC C C 0 0 0 min min0 0 C A C  k C0 k C0 0 0C
  • 17. H.A.L O.I.T Octobre 2018 17 a Ns 0,30 m ≤ a ≤ 1,25 m avec Cmin < Ns ≤ Ccr A = C2 × Ns + d2 C2 = α2 × C3 = α3 ×Ccr < Ns ≤ Cmax A = C3 × Ns + d3 a (m) 0,30 ≤ a ≤ 0,35 0,35 < a ≤ 0,41 0,41 < a ≤ 1,25 m α2 -a + 1,65 1/3 × a + 1,42 1,283 = Cste a (m) 0,30 m ≤ a ≤ 0,41 m 0,41 < a ≤ 1,25 m α3 6 × a + 1,76 4,22 = Cste NB: Il convient de majorer A(cm²) de 25% afin de prendre en compte les effets du 1er ordre, l’enrobage, le fluage, classe du ciment, imperfections géométriques de construction : A.25,1FA k C0 k C0
  • 18. H.A.L O.I.T Octobre 2018 18 18- Fonction réciproque NRs = F (armature) : Avec NRs : Capacité résistante de service du poteau (sans pondération). Premier cas 0,20 ≤ a < 0,30 Amin ≤ A ≤ Aop Aop < A ≤ Amax Deuxième cas 0,30 ≤ a ≤ 1,25 Amin ≤ A ≤ Acr Acr < A ≤ Amax NB: Il convient de prendre un coefficient de sécurité de 1,1 pour la capacité portante finale: 1,1 . . sR FR N N  A A C )( min min
  • 19. 19 fck(MPa) ; Fyk(MPa); k ; a(m) ; b(m) ; L0(m) Augmenter ‘a’ ρop = ψk (a) Non L0 ≤ Lmax et b ≤ bmax Lc ; Lmax ; γ ; v ; bmax Ns (MN) ρ min ; ρcr ; ρmax Cc ; Cs ; (MPa) ; Hop (MPa) Cmin (MN) ; Cop (MN) ; Ccr (MN) ; Cmax (MN) A (cm²) A (cm²) NRs (MN) Organigramme de calcul 1,1 . . sR FR N N A.25,1FA k LZ 0 opH
  • 20. H.A.L O.I.T Octobre 2018 20 Partie II Exemples d’application Méthode Optimale Linéaire
  • 21. H.A.L O.I.T Octobre 2018 21 Exemple 1: Poteau 25cm x 70cm Poteau : 0,25 × 0,70 ; k = 1 ; L0 = 4,60m; fck = 35 MPa ; Fyk = 400 MPa Etat Minimal Optimal Critique Maximal C (service) [MN] 1,065 1,236 1,365 1,508 C (ultime) = NEd [MN] 1,460 1,696 1,873 2,070 ρ (%) 0.550 0.610 0.910 1.305 A(cm²) 9.63 10.68 15.93 22.84 Armatures retenue 8HA12+2HA10 10HA12 8HA14 + 4 HA12 12HA16 Ak [cm²] Ns[MN] 0.000, 9.63 1.065, 9.63 1.236, 10.68 1.365, 15.93 1.508, 22.84 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 Ak=F(Ns) [cm²]
  • 22. 22 Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives Minimal Optimal Critique Maximal
  • 23. Etat Minimal Optimal Critique Maximal AL[cm²] (M.linéaire) 9.63 10.68 15.93 22.84 M.Faessel = = 1,35 = 1,18 = 1,14 = 1,12 ABAEL [cm²] 11,11 29,51 43,30 58,60 A (EC2) (simplifié) [cm²] 4,2 20,8 37,1 56,5 Arigidité nominale [cm²] 16,1 18,4 20,7 25,0 rb = 1,15 2,76 2,71 2,56 rE = 0,43 1,94 2,32 2,47 rr = 1,67 1,72 1,29 1,09 Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 4,2 4,9 5.4 5,9 Récap: Poteau 25cm x 70cm H.A.L O.I.T Octobre 2018 23
  • 24. H.A.L O.I.T Octobre 2018 24 Exemple 2: Poteau 30cm x 110cm Poteau : 0,30 × 0,110 ; k = 1 ; L0 = 4,25m ; fck = 25 MPa ; Fyk = 400 MPa Etat Minimal Optimal Critique Maximal C (service) [MN] 1,7370 2,2060 2,5470 2,8010 C (ultime) = NEd [MN] 2,3826 3,1900 3,4965 3,8497 ρ (%) 0,40 0,50 0,64 0,95 A(cm²) 13,20 16,50 21,12 31,35 Armatures retenue 12HA10+4HA12 14HA12+2HA10 14HA14+2HA10 16 HA16 Ak [cm²] Ns[MN] 0.000, 13.20 1.737, 13.20 2.206, 16.50 2.547, 21.12 2.801, 31.35 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 Ak=F(Ns) [cm²]
  • 25. 25 Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives Minimal Optimal Critique Maximal
  • 26. Etat Minimal Optimal Critique Maximal AL[cm²] (M.linéaire) 13,20 16,50 21,12 31,35 M.Faessel = = 1,46 = 1,12 = 1,06 = 1,03 ABAEL [cm²] 11,20 !! 11,20 23,085 39,73 A (EC2) (simplifié) [cm²] 6.80 26,00 56,60 80,90 Arigidité nominale [cm²] 9.4 14,40 21,00 25.50 rb = 0.84 0.67 1.09 1.23 rE = 0.51 1.57 2.67 2.58 rr = 0.71 0.87 0.99 0.81 Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 6,85 9,17 10,05 11,10 !! Récap: Poteau 30cm x 110cm H.A.L O.I.T Octobre 2018 26
  • 27. H.A.L O.I.T Octobre 2018 27 Exemple 3: Poteau 35cm x 90cm Poteau : 0,35 × 0,90 ; k = 1 ; L0 = 6,60m ; fck = 30 MPa ; Fyk = 500 MPa Etat Minimal Optimal Critique Maximal C (service) [MN] 1,6060 2,1000 2,4950 2.8700 C (ultime) = NEd [MN] 2,2041 2,8830 3,4245 3,9390 ρ (%) 0,352 0,463 0,603 0,918 A(cm²) 11,07 14,53 18,99 28,92 Armatures 12HA12 14HA12 10HA14 + 4HA12 14HA16 + 2HA12 0.000, 11.07 1.606, 11.07 2.100, 14.58 2.495, 18.99 2.869, 28.92 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 Ak=F(Ns) [cm²] Ak [cm²] Ns[MN]
  • 28. 28 Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives Minimal Optimal Critique Maximal
  • 29. Etat Minimal Optimal Critique Maximal AL[cm²] (M.linéaire) 11,07 14,53 18,99 28,92 M.Faessel = = 1,50 = 1,20 = 1,05 = 1,05 ABAEL [cm²] 13,32 57,82 93,15 115,79 A (EC2) (simplifié) [cm²] 6,3 38.0 74,9 99,1 Arigidité nominale [cm²] 17,2 23,3 29,9 38,3 rb = 1,20 3,97 4,90 ≈ 5fois !! 4,00 rE = 0,56 2,61 3,94≈ 4fois !! 3,42 rr = 1,55 1,60 1,57 1,32 Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 6,30 6,63 7,88 8,70 H.A.L O.I.T Octobre 2018 29 Récap: Poteau 35cm x 90cm
  • 30. H.A.L O.I.T Octobre 2018 30 Exemple 4: Poteau 45cm x 95cm Poteau : 0,45 × 0,95 ; k = 1 ; L0 = 6,00 m; fck = 25 MPa ; Fyk = 400 MPa Etat Minimal Optimal Critique Maximal C (service) [MN] 2,042 2,777 3,433 3,776 C (ultime) = NEd [MN] 2,794 3,801 4,710 5,188 ρ (%) 0,30 0,41 0,55 0,87 A(cm²) 12,83 17,53 23,51 37,19 Armatures 12HA12 10HA14+2HA12 10HA16+4HA12 16HA16+4HA14 Ak [cm²] Ns[MN] 0.000, 12.83 2.042, 12.83 2.777, 17.53 3.433, 23.51 3.776, 37.19 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 Ak=F(Ns) [cm²]
  • 31. 31 Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives Minimal Optimal Critique Maximal
  • 32. Etat Minimal Optimal Critique Maximal AL[cm²] (M.linéaire) 12,83 17,53 23,51 37,19 M.Faessel = = 1,78 = 1,34 = 1,12 = 1,10 ABAEL [cm²] 11,20 11,20 11,20 48,87 A (EC2) (simplifié) [cm²] 8.5 11.0 48.2 75.1 Arigidité nominale [cm²] 10.6 15.0 14.8 17.4 rb = 0.87 0.63 0.47 1.13 rE = 0.66 0.62 !! 2.05 2.01 rr = 0.82 0.85 0.62 0.46 Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 8.55 10.93 13.54 14.92 Récap: Poteau 45cm x 95cm H.A.L O.I.T Octobre 2018 32
  • 33. H.A.L O.I.T Octobre 2018 33 Exemple 5: Poteau 30cm x 30cm Poteau : 0,30 × 0,30 ; k = 0,7 ; L0 = 3,25m ; fck = 25 MPa ; Fyk = 400 MPa Etat Minimal Optimal Critique Maximal C (service) [MN] 0.580 0.736 0.850 0.935 C (ultime) = NEd [MN] 0.792 1.009 1.166 1.28 ρ (%) 0.478 0.598 0.765 1.135 A(cm²) 4.30 5.38 6.88 10.22 Armatures 8HA10 8HA10 4HA12+4HA10 4HA14+4HA12 Ak [cm²] Ns[MN] 0.000, 4.30 0.580, 4.30 0.736, 5.38 0.850, 6.88 0.935, 10.22 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 Ak=F(Ns) [cm²]
  • 34. 34 Etat Schéma de ferraillage // Dispositions constructives Minimal Optimal Critique Maximal
  • 35. Etat Minimal Optimal Critique Maximal AL[cm²] (M.linéaire) 4.30 5.38 6.88 10.22 M.Faessel = = 1,48 = 1,19 = 1,06 =1,04 ABAEL [cm²] 4.80 4.80 7.15 11.44 A (EC2) (simplifié) [cm²] 2.30 2.90 8.40 13.80 Arigidité nominale [cm²] 2.30 2.90 3.40 5.70 rb = 1,11 0,89 1,03 1,11 rE = 0,53 0,53 1,22 1,35 rr = 0,53 0,53 0,49 0,55 Amin (EC2) (simplifié) [cm²] 2.30 2.90 3.40 3.70 Récap: Poteau 30cm x 30cm H.A.L O.I.T Octobre 2018 35
  • 36. H.A.L O.I.T Octobre 2018 36 Conclusions et perspectives  Spécificités de la méthode optimale  k: Coefficient de flambement (2/3 ≤ k ≤1) n’est pas fixe !!  A (Méthode optimale) NRd (Méthode optimale) avec : %155. à N N OptM Rd Faessel Rd  NB: 5 à 15 % étant la moyenne des états optimal, critique et maximal.  Résultats assez cohérents: : On converge vers la méthode générale15,1 généraleMéthode optimaleMéthode A A  Perspectives: Méthode de calcul en cours pour escaliers, semelles excentrées… (Formules linéaires du comportement du BA à l’état optimal)  IMPORTANT: La méthode optimale ne doit en aucun cas être dissociée de la norme EC2 et principalement pour l’aspect durabilité (classes d’exposition, calcul de l’enrobage…). Par ailleurs le calcul d’enrobage est pris en compte dans l’ouvrage « Théorie pseudo-linéaire des poteaux en béton armé Tome 1» Hédi Ayed Lakhal – EUE 2016 (amazon.fr)  Calcul avec l’effort de service Ns et aux états: minimal, optimal, critique et maximal.  Amin et Amax : Caractéristiques du poteau a x b et ne dépendent pas de la charge.  NRs(Méthode optimale) A (Méthode optimale) Objectifs atteints!!
  • 37. H.A.L O.I.T Octobre 2018 37 MERCI POUR VOTRE ATTENTION