intégrale triple

1. Elaboré par M. NUTH Sothan

2. I- Notion de l’intégrale triple:
Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté
au repère cartésien OXYZ .
Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V.
Divisons V par ∆V1, ∆V2, ... , ∆Vn, .
Prenons Mi (xi , yi , zi ) ∈ ∆Vi , (i=1, 2, ... , n ).
La somme :
où ∆Vi est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle
somme de Riemann tridimensionnelle .
1
( , , ) , (1)
n
n i i i i
i
S f x y z V

 

3. I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
Soit di le diamètre de ∆Vi .
Soit
Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la
fonction f(x, y, z) :
Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend
∆Vi comme ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk .
0
1
( , , ) lim ( , , ) (2)
n
i i i i
d
iV
f x y z dV f x y z V


 
max i
i
d d

4. I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
On a ainsi :
dV = dx dy dz (3)
D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme :
Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}
On a :
( , , ) ( , , ) (4)
V V
f x y z dV f x y z dxdydz 
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , ) (5)
z x y
V S z x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz  

5. I- Notion de l’intégrale triple
(suite)
Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} un
domaine standard par rapport à l’axe OY.
On a :
Analogiquement, si le domaine est standard par rapport
à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}
on a :
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) (6)
y x z x yb
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz   
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) (7)
x y z x yd
V c x y z x y
f x y z dxdydz dy dx f x y z dz   

6. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple:
1. Coordonnées cylindrique :
Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose :
x = r cos φ , y = r sin φ , z = z (1)
où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , − < z < +.
On a :
où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques.
2
1
( , )2
0 0 ( , )
( , , ) ( cos , sin , ) (2)
z x y
V z x y
f x y z dxdydz d rdr f r r z dz

  

   

7. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
En effet :
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
cos sin
(3)
sin cos
x x x
r z
r
y y y
j r
r z
z z z
r z
r
r
r

 
 


 
 
  
  

  
  
  
  
  

 
y
x
z
φ
o
r
M(x,y, z)
z
N(x,y)

8. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
2. Coordonnée sphérique :
Pour passer aux coordonnées
sphérique on pose :
x = r sinθ cosφ ,
y = r sinθ sinφ , (4)
z = r cosθ ,
où 0 ≤ r < + ,
0 ≤ φ ≤ 2π ,
0 ≤ θ ≤ π.
y
x
z
φ
o
r
M(x,y, z)
z
θ
N(x,y)

9. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
On a :
Où :
sin cos cos cos sin sin
sin sin cos sin sin cos
cos sin 0
x x x
r
r r
y y y
j r r
r
r
z z z
r
 
     
     
 
 
 
  
  

  
  
  

  
  
( , , )
( sin cos , sin sin , cos ) (5)
V
V
f x y z dxdydz
f r r r J d d dr      





10. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
Et :
En fin :
J= r2 sinθ (6)
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 2 2
cos cos sin sin sin cos sin sin
cos sin
cos sin sin cos sin sin sin cos
cos (sin cos cos cos sin sin )
sin (sin cos sin sin )
cos sin sin sin (cos sin ) sin
r r r
r
r r r
r
r
r r r r
       
 
       
      
    
      
 
  
  
  
    

11. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
On peut poser aussi :
x = r cosθ cosφ ,
y = r cosθ sinφ , (7)
z = r sinθ
où 0 ≤ r < + ,
0 ≤ φ ≤ 2π ,
−π/2 ≤ θ ≤ +π/2.
On a :
J= r2 cosθ (8)
y
x
z
φ
o
r
M(x,y, z)
z
θ
N(x,y)

12. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
3. En général :
On peut passer aux coordonnées (u, v, w) :
x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) , z = z(u, v, w) (9)
Le jacobien
0 (10)
x x x
u v w
y y y
j
u v w
z z z
u v w
  
  
  
 
  
  
  

13. II- Changement des variables
dans l’intégrale triple (suite):
Et l’intégrale triple s’écrit sous forme :
( , , )
( ( , , ), ( , , ), ( , , )) (11)
V
V
f x y z dxdydz
f x u v w y u v w z u v w J dudvdw





14. III- Application géométrique:
Calculer le volume d’un corps limité par le domaine V.
Ex.1 : Calculer le volume
d’un sphère de centre
d’origine de coordonnées
et de rayon R.
V
V dV 
x
y
z
o
M(x, y, z)
φ
θ
r
N(x, y)

15. Exemple:
Une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R définie sous
forme V: x2 + y2 + z2 = R2 .
En passant aux coordonnées sphériques, on pose :
x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθ
où 0 ≤ r < R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.
V: r = R et J= r2 cosθ .
2 32
2 32
20 0
2
4
cos 2 sin
3 3
R
V
R
V dV d d r dr R

 


     


      

16. Exemple:
Ex.2 : Calculer l’intégrale
où V est une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R.
En passant aux coordonnées sphériques, on pose :
x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθ
où 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.
V: r = R et J= r2 cosθ .
2 2
2 4
0 0
2
cos
R
I d d rr dr R



   

   
2 2 2
V
I x y z dxdydz  

17. Exemple:
Calculer le volume limité par les surface suivantes :
Ex.3 :
Ex.4 :
Ex.5 :
Ex.6 :
Ex.7 :
Ex.8 :
2 2 2 2
2 , 2 , 0x y ax x y az z    
2 2 2 2 2 2 2
,x y z a x y z    
2 2 2 2 2
4, 3x y z x y z    
2 2 2 2 2 2
,x y ax x y z a    22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
 
     
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2, 0
x y z x y z
a b c a b c
     