GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution

MA3 (GEII - S3)
B - REPRÉSENTATION DE FOURIER ET CONVOLUTION
F. Morain-Nicolier
frederic.nicolier@univ-reims.fr
2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes
1 / 50

OUTLINE
1. SÉRIES DE FOURIER COMPLEXES
2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE FOURIER
3. IMPULSION DE DIRAC ET DISTRIBUTIONS
4. PRODUIT DE CONVOLUTION
2 / 50

1.1 RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
Fourier à découvert (comme Euler, Lagrange et Bernouilli
avant lui) qu’une fonction :
I définie sur R,
I à valeurs complexes,
I P-périodique,
I et suffisamment régulière ( ? ! ?)
peut-être synthétisée à l’aide de sinusoïdes (cosinus et sinus).
3 / 50

Le développement en série de Fourier (DSF) d’une telle
fonction f s’écrit :
f (t) = a0 +
¥å
n=1
(an cos(nwt) + bn sin(nwt))
I Les coefficients an et bn sont des constantes qui
caractérisent f .
I Cette équation est une équation de synthèse.
4 / 50

Les coefficients an et bn peuvent être obtenus à partir des
intégrales suivantes :
a0 =
1
P
Z P
0
f (t)dt,
an =
2
P
Z P
0
f (t) cos(nwt)dt,
bn =
2
P
Z P
0
f (t) sin(nwt)dt.
I Ce sont les équations d’analyse.
5 / 50

Le DSF d’une fonction périodique réelle
f (t) = a0 +
¥å
n=1
(an cos(nwt) + bn sin(nwt))
peut également s’écrire uniquement sous la forme d’une
somme de cosinus déphasés :
f (t) =
¥å
n=0
An cos(nwt + fn).
Il est alors possible de tracer deux graphes :
I le spectre d’amplitude An
I le spectre de phase fn
6 / 50

Chaque harmonique est donc caractérisée par :
I An un module et
I jn une phase.
) un nombre complexe
7 / 50

1.2 FORME COMPLEXE DU DSF
Le développement en série de Fourier (DSF) d’une fonction
périodique réelle peut également s’écrire :
f (t) =
¥å
n=¥
cneinwt.
(cette équation s’obtient aisément à l’aide des formules d’Euler.
Voir exercice TD 1).
Les coefficients cn sont obtenus par :
cn =
1
P
Z P
0
f (t)einwtdt.
8 / 50

Les coefficients complexes cn peuvent s’obtenir à l’aide des
coefficients réels :
cn =
an ibn
2
et
cn =
an + ibn
2
= cn.
I Nombre de coefficients ?
9 / 50

QUESTION 1 1 - Par rapport aux coefficients an et bn, le nombre
de coefficients cn non redondants est :
1. plus grand
2. identique
3. plus petit
1. http://lc.cx/WJe
10 / 50

1.3 SPECTRES
I Spectre d’amplitude jcnj (pair)
I Spectre de phase arg cn (impair) - (attention à l’obtention
de l’angle d’un complexe)
11 / 50

1.4 PROPRIÉTÉS : TRANSLATION
En posant
g(t) = f (t a),
montrons que
cn[g] = cn[f ].einwa
et
jcn[g]j = jcn[f ]j.
12 / 50

1.5 PROPRIÉTÉS : DILATATION
En posant
g(t) = f (lt),
montrons que
cn[g] = cn[f ].
I La dilatation n’a aucun effet sur les coefficients du DSF
d’une fonction.
13 / 50

1.6 PROPRIÉTÉS : DÉRIVATION
En posant
g(t) = f 0(t),
montrons que
cn[g] = inwcn[f ].
14 / 50

1.7 FORMULE DE PARSEVAL-PLANCHEREL
En S2, nous avons montré que
1
P
Z P
0
f 2(t)dt = a20+
¥å
k=1
(a2
n + b2
n).
Ce qui, avec des coefficients complexes, s’écrit :
1
P
Z P
0
f 2(t)dt =
¥å
k=¥
c2
n.
) L’énergie totale d’un signal ne dépend pas de la
représentation choisie.
15 / 50

OUTLINE
16 / 50

2. DES SÉRIES DE FOURIER AUX INTÉGRALES DE
FOURIER
I DSF : Analyse harmonique (fonction périodiques)
I TF : généralisation aux fonctions non-périodiques
17 / 50

2.1. EN PREMIÈRE APPROCHE
18 / 50

2.1. EN PREMIÈRE APPROCHE
I Toutes les fréquences sont présentes dans le spectre
d’une fonction non-périodique
19 / 50

2.2. OBTENTION DES INTÉGRALES DE LA TF
20 / 50

I Équation de synthèse :
f (t) =
1
2p
Z ¥
¥
F(w)eiwtdw.
I Équation d’analyse
F(w) =
Z ¥
¥
f (t)eiwtdt.
21 / 50

I Équation de synthèse :
f (t) =
1
2p
Z ¥
¥
F(w)eiwtdw.
I Équation d’analyse
F(w) =
Z ¥
¥
f (t)eiwtdt.
Pour mémoire, pour une fonction périodique :
f (t) =
¥å
n=¥
cneinwt
et
cn =
1
T
Z
T
f (t)einwtdt.
I Les propriétés du DSF sont (en général) retrouvée avec la
TF.
22 / 50

2.3. DIVERSES RÉPARTITIONS DE LA CONSTANTE
I La constante 2p peut se répartir différemment entre les
deux équations, selon la communauté.
23 / 50

2.4. EXISTENCE
F(w) =
Z ¥
¥
f (t)eiwtdt.
24 / 50

2.4. EXISTENCE
F(w) =
Z ¥
¥
f (t)eiwtdt.
Pour que F(w) existe, il faut que
lim
x!¥
f (x) = 0.
C’est une condition très restrictive !
25 / 50

2.5. CONVERGENCE
Si f (t) est absolument intégrable sur R, sa représentation
fréquentielle converge vers
f (t+) + f (t)
2
, 8x 2 R.
I La représentation fréquentielle de f (t) converge donc vers
f (t) si f (t) est continue.
27 / 50

2.6. UN EXEMPLE : CRÉNEAU RECTANGULAIRE
SYMÉTRIQUE
Soit c défini par
c(x) =
(
A si jxj t
0 sinon.
I Cherchons sa transformée de Fourier
28 / 50

2.6. UN EXEMPLE : CRÉNEAU RECTANGULAIRE
SYMÉTRIQUE
Soit c défini par
c(x) =
(
A si jxj t
0 sinon.
Sa représentation fréquentielle est
C(w) =
2A
w
sin(wt).
29 / 50

2.7. SPECTRES
De façon analogue au DSF, les spectres sont donnés par :
I spectre d’amplitude : jF(w)j
I spectre de phase : arg F(w)
I le spectre d’énérgie jF(w)j2 donne la répartition de
l’énergie en fonction de w.
30 / 50

2.7. EXEMPLE DE SPECTRE
FIGURE : Signal temporel (flute)
FIGURE : Spectres d’amplitude et de phase 31 / 50

2.7. EXEMPLE DE SPECTRE
QUESTION 2 2 - Qui contient le plus d’information sur le
signal ?
1. Le spectre d’amplitude
2. Le spectre de phase
3. L’un autant que l’autre
2. http://lc.cx/WJe
32 / 50

2.7. MANIPULATION SONORE
33 / 50

2.7. EXEMPLE : SPECTRE D’ÉNERGIE DU CRÉNEAU DE
LARGEUR 2t
Soit c défini par
c(x) =
(
A si jxj t
0 sinon.
Sa représentation fréquentielle est
C(w) =
2A
w
sin(wt).
I Cherchons (et représentons) jF(w)j2.
34 / 50

2.8. RELATION D’INDÉTERMINATION
I Relation d’indétermination ou d’incertitude (cf.
Heisenberg) :
Dt.Dn = Cte
I Plus un signal est court temporellement, plus sa représentation
fréquentielle est large.
I exemple : notes de musique.
35 / 50

2.9. THÉORÊME DE PARSEVAL-PLANCHEREL
L’énergie de la fonction f :
Z ¥
¥
jf (t)j2dt
peut être calculée dans le domaine fréquentiel :
Z ¥
¥
jf (t)j2dt =
1
2p
Z ¥
¥
jF(w)j2dw.
36 / 50

OUTLINE
37 / 50

3.1. UN CRÉNEAU PARTICULIER : L’IMPULSION DE
DIRAC
38 / 50

DIRAC
d(t) vérifie :
i) 8t, d(t) 0
ii) d(t) = 0 si t6= 0
iii)
R
R d(t)dt = 1
QUESTION 3 3 - l’objet mathématique d (impulsion de dirac)
est-il une fonction ?
1. oui
2. non
3. http://lc.cx/WJe
39 / 50

DIRAC
Les théoriciens de la physique des particules vers 1920–30
(dont Paul Dirac, 1902–1984), on introduit la “fonction” d(t)
vérifiant “de gré ou de force” :
8
:
d(t) = 0 si t6= 0
dR(t) = ¥ si t = 0
R d(t)dt = 1.
I Représentation graphiquement
I Formalisme facilement exploitable
40 / 50

3.2. EXEMPLE : CALCUL DE L’INTÉGRALE DU PRODUIT
D’UN DIRAC ET D’UNE FONCTION
41 / 50

3.3. DÉRIVATION “NEW LOOK”
42 / 50

3.3. DÉRIVATION “NEW LOOK”
I 1946 : proposition d’une théorie complète (théorie des
distributions) par Laurent Schwartz (1915 - 2002)
43 / 50

OUTLINE
44 / 50

4.1. CELLULE RC
R
i(t)
x(t) C v(t)
FIGURE : Circuit RC
Ri(t) + v(t) = x(t)
i = C
dv
dt
) RCv0(t) + v(t) = x(t)
Montrons que
v(t) =
1
RC
Z t
¥
ets
RC x(s)dt
45 / 50

4.1. CELLULE RC : EXPRESSION DE LA SORTIE
En posant
h(t) =
1
RC
e t
RC u(t),
u(t) étant l’échelon de Heaviside, la sortie v(t) peut s’écrire
sous la forme
v(t) =
Z +¥
¥
h(t s)u(s)ds.
46 / 50

4.2. DÉFINITION DU PRODUIT DE CONVOLUTION
La convolution de deux fonctions f et g est une fonction notée
f g et définie par
(f g)(t) =
Z +¥
¥
f (t u)g(u)du.
47 / 50

4.3. UNE DÉFINITION “MANUELLE”
48 / 50

4.4. PROPRIÉTÉS DU PRODUIT DE CONVOLUTION
(f g)(t) =
Z +¥
¥
f (t u)g(u)du.
I Commutativité :
(f g)(t) = (g f )(t)
I Associativité :
f (g h) = (f g) h
I Distributivité :
f (g + h) = f g + f h
I Élément neutre d :
f d = d f = f
49 / 50

4.4. THÉORÈME DE CONVOLUTION
Montrons que
TF[f g] = TF[f ].TF[g]
50 / 50

GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution

Similaire à GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution (20)

Plus de Frédéric Morain-Nicolier

Plus de Frédéric Morain-Nicolier (11)

Dernier

Dernier (20)

GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution