1. ETUDE DES FONCTION
EXERCICE 1
Soit f la fonction définie par f (x) = x3 - x² + 1 et (C) la courbe représentative de f dans un repère
orthonormal (O, , ).
1. Étudier les variations de f.
2. On appelle A le point de (C) dont l'abscisse est 2.
a) Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) en A. (Écrire cette équation sous la forme y
= t(x)).
b) On pose d(x) = f(x) - t(x). Vérifier que d(x) = x(x - 2)².
c) Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la tangente (D).
d) Dessiner (C) et (D).
EXERCICE 2
Soient (C) et (C') les courbes d'équations respectives y = x 3 - 2x + 3 et y = 2x² - 3x + 3.
1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C').
2. Déterminer les équations des tangentes à (C) et (C') en chacun de leurs points communs.
3. Étudier les variations des fonctions : x x3 - 2x + 3 et x 2x² - 3x + 3.
4. Dessiner (C) et (C') dans le repère (O, , ).
EXERCICE 3
Soit f la fonction définie sur R-{2} par : f (x) = et (C) sa courbe représentative dans
un plan muni d'un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes
:
(C) passe par le point A(0 ; 5)
la tangente à (C) au point A est parallèle à l'axe des abscisses ;
la tangente à (C) au point B d'abscisse 1 a pour coefficient directeur -3.
Étudier les variations de la fonction f ainsi obtenue.
Tracer (C).

2. EXERCICE 4
On considère la fonction f définie sur par : et C sa courbe représentative
dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.
1. a) Déterminer les réels et tels que, pour tout réel : .
b) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. Soit la dérivée de .
a) Montrer que .
b) Étudier les variations de .
3. Préciser une équation de la tangente T à la courbe C à l'origine.
4. Soit D la droite d'équation .
a) Étudier la position de C relativement à la droite D.
b) Montrer que, pour tout non nul : .
En déduire la limite de quand tend vers + . Que peut-on en conclure pour la courbe C
?
5. Tracer D, T et C sur un même graphique. (On précisera les points d'intersection de la courbe C
avec l'axe des abscisses).
EXERCICE 5
Etude d'une fonction définie sur [-2; 2] par: f (x) = x3 + 2x et C sa courbe représentative dans le plan
muni du repère orthogonal (O, , ) (unités: 3 cm pour 1 sur (O, ) et 0,5 cm pour 1 sur (O, )).
1. f est-elle impaire?
2. Étudier les variations de f.
3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
4. Déduire de l'étude du signe de l'expression f (x) - 2x, la position de la courbe C par rapport à la
tangente T, lorsque x varie dans [-2, 2].
5. Construire C et T après avoir déterminé les coordonnées d'une dizaine de points à l'aide d'une
calculatrice programmable.

3. COURIGER
EXERCICE 1
1. Soit définie sur .
est dérivable sur .
On étudie le signe de puis on en déduit les variations de :
Donc
Avec :
2. Soit A(2; ) (C).
2. a) est dérivable en 2 donc (D) existe bien.
Ainsi, (D) a pour équation :
Donc
2. b) Posons
2. c) Position relative de (C) par rapport à (D).
Il faut étudier le signe de la différence des deux fonctions et soit, étudier le signe
de .
Ainsi,
sur ] ;0[:

4. sur ]0;2[ ]2; [:
2. d)
EXERCICE 2
Soit (C) courbe d'équation . Posons définie sur .
est dérivable sur donc .
Soit (C') courbe d'équation . Posons définie sur .
est dérivable sur donc .
1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C') revient à déterminer les solutions
de l'équation :
Ainsi, et (C) et (C') ont deux points communs et d'abscisse respective 0 et 1
Calcul de leur ordonnée :

5. Les points communs à (C) et (C') sont donc et .
2. Tangente à (C) en :
est dérivable en 0 donc la tangente existe bien
; ;
.
Tangente à (C') en :
est dérivable en 0 donc la tangente existe bien.
; ; [nl
Tangente à (C) en :
est dérivable en 1 donc la tangente existe bien.
; ;
Tangente à (C') en :
est dérivable en 1 donc la tangente existe bien.
; ;
3. Étude des variations de :
Soit définie sur .
est dérivable sur .
On cherche les solutions de l'équation :
ou
Étude des variations de :
Soit définie sur .
est dérivable sur .
On cherche les solutions de l'équation :

6. EXERCICE 3
Soit définie sur .
C passe par le point A(0;5) :
La tangente à (C) au point A(0;5) est parallèle à l'axe des abscisses :
Posons et
est dérivable sur .

7. Donc,
La tangente à (C) au point B(1; ) a pour coefficient directeur -3 :
Ainsi, on a déterminé , et pour que (C) réponde aux trois propriétés proposées. Il est possible
de vérifier que l'on ne s'est pas trompé en affichant le graphique à sur la calculatrice et en vérifiant
les 3 propriétés graphiquement.
Soit définie sur
est dérivable sur Df

8. EXERCICE 4
1. a) Si
Par identification :
Donc
1. b) Soit et Df=
Df symétrique par rapport à 0
Donc est impaire et sa courbe représentative C est symétrique par rapport à l'origine du repère.
2. a) Soit et Df=
Posons
et
est dérivable sur
2. b) Soit

9. 3. ; ;
4. a) Soit D la droite d'équation
sur ] ;0[ :
sur ]0; [:
Il suffit de faire la différence entre C et D puis étudier le signe de l'expression ainsi obtenue.
C est en dessous de D sur ]- ;0[
C est au dessus de D sur ]0;+ [
4. b)
La limite de est nulle
D'ou la droite d'equation est un asymptote de Cf
5.

10. EXERCICE 5
Soit et Df=[-2;2]
1.
Df est symétrique par rapport à 0
Donc est une fonction impaire.
2. est dérivable sur [-2;2]
3. Équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.
; ;
4.

11. sur]-2;0[ :
sur]0;-2[ :
5.