Etude fonction

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Etude fonction

  1. 1. ETUDE DES FONCTIONEXERCICE 1Soit f la fonction définie par f (x) = x3 - x² + 1 et (C) la courbe représentative de f dans un repèreorthonormal (O, , ).1. Étudier les variations de f.2. On appelle A le point de (C) dont labscisse est 2. a) Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) en A. (Écrire cette équation sous la forme y= t(x)). b) On pose d(x) = f(x) - t(x). Vérifier que d(x) = x(x - 2)². c) Préciser la position de la courbe (C) par rapport à la tangente (D). d) Dessiner (C) et (D).EXERCICE 2Soient (C) et (C) les courbes déquations respectives y = x 3 - 2x + 3 et y = 2x² - 3x + 3.1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C).2. Déterminer les équations des tangentes à (C) et (C) en chacun de leurs points communs.3. Étudier les variations des fonctions : x x3 - 2x + 3 et x 2x² - 3x + 3.4. Dessiner (C) et (C) dans le repère (O, , ).EXERCICE 3Soit f la fonction définie sur R-{2} par : f (x) = et (C) sa courbe représentative dansun plan muni dun repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes: (C) passe par le point A(0 ; 5) la tangente à (C) au point A est parallèle à laxe des abscisses ; la tangente à (C) au point B dabscisse 1 a pour coefficient directeur -3.Étudier les variations de la fonction f ainsi obtenue.Tracer (C).
  2. 2. EXERCICE 4On considère la fonction f définie sur par : et C sa courbe représentativedans un repère orthonormal dunité 1 cm.1. a) Déterminer les réels et tels que, pour tout réel : . b) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?2. Soit la dérivée de . a) Montrer que . b) Étudier les variations de .3. Préciser une équation de la tangente T à la courbe C à lorigine.4. Soit D la droite déquation . a) Étudier la position de C relativement à la droite D. b) Montrer que, pour tout non nul : .En déduire la limite de quand tend vers + . Que peut-on en conclure pour la courbe C?5. Tracer D, T et C sur un même graphique. (On précisera les points dintersection de la courbe Cavec laxe des abscisses).EXERCICE 5Etude dune fonction définie sur [-2; 2] par: f (x) = x3 + 2x et C sa courbe représentative dans le planmuni du repère orthogonal (O, , ) (unités: 3 cm pour 1 sur (O, ) et 0,5 cm pour 1 sur (O, )).1. f est-elle impaire?2. Étudier les variations de f.3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point dabscisse 0.4. Déduire de létude du signe de lexpression f (x) - 2x, la position de la courbe C par rapport à latangente T, lorsque x varie dans [-2, 2].5. Construire C et T après avoir déterminé les coordonnées dune dizaine de points à laide dunecalculatrice programmable.
  3. 3. COURIGEREXERCICE 11. Soit définie sur . est dérivable sur .On étudie le signe de puis on en déduit les variations de :DoncAvec :2. Soit A(2; ) (C).2. a) est dérivable en 2 donc (D) existe bien.Ainsi, (D) a pour équation :Donc2. b) Posons2. c) Position relative de (C) par rapport à (D).Il faut étudier le signe de la différence des deux fonctions et soit, étudier le signede .Ainsi,sur ] ;0[:
  4. 4. sur ]0;2[ ]2; [:2. d)EXERCICE 2Soit (C) courbe déquation . Posons définie sur . est dérivable sur donc .Soit (C) courbe déquation . Posons définie sur . est dérivable sur donc .1. Déterminer les coordonnées des points communs à (C) et (C) revient à déterminer les solutionsde léquation :Ainsi, et (C) et (C) ont deux points communs et dabscisse respective 0 et 1Calcul de leur ordonnée :
  5. 5. Les points communs à (C) et (C) sont donc et .2. Tangente à (C) en : est dérivable en 0 donc la tangente existe bien ; ; .Tangente à (C) en : est dérivable en 0 donc la tangente existe bien. ; ; [nlTangente à (C) en : est dérivable en 1 donc la tangente existe bien. ; ;Tangente à (C) en : est dérivable en 1 donc la tangente existe bien. ; ;3. Étude des variations de :Soit définie sur . est dérivable sur .On cherche les solutions de léquation : ouÉtude des variations de :Soit définie sur . est dérivable sur .On cherche les solutions de léquation :
  6. 6. EXERCICE 3Soit définie sur . C passe par le point A(0;5) : La tangente à (C) au point A(0;5) est parallèle à laxe des abscisses :Posons et est dérivable sur .
  7. 7. Donc, La tangente à (C) au point B(1; ) a pour coefficient directeur -3 :Ainsi, on a déterminé , et pour que (C) réponde aux trois propriétés proposées. Il est possiblede vérifier que lon ne sest pas trompé en affichant le graphique à sur la calculatrice et en vérifiantles 3 propriétés graphiquement.Soit définie sur est dérivable sur Df
  8. 8. EXERCICE 41. a) SiPar identification :Donc1. b) Soit et Df= Df symétrique par rapport à 0Donc est impaire et sa courbe représentative C est symétrique par rapport à lorigine du repère.2. a) Soit et Df=Posons et est dérivable sur2. b) Soit
  9. 9. 3. ; ;4. a) Soit D la droite déquationsur ] ;0[ :sur ]0; [:Il suffit de faire la différence entre C et D puis étudier le signe de lexpression ainsi obtenue.C est en dessous de D sur ]- ;0[C est au dessus de D sur ]0;+ [4. b)La limite de est nulleDou la droite dequation est un asymptote de Cf5.
  10. 10. EXERCICE 5Soit et Df=[-2;2]1. Df est symétrique par rapport à 0Donc est une fonction impaire.2. est dérivable sur [-2;2]3. Équation de la tangente T à C au point dabscisse 0. ; ;4.
  11. 11. sur]-2;0[ :sur]0;-2[ :5.

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