Équations différentielles partielle

1. Exercices : le modèle Black-Scholes
Abir GOURANE et Ali JALAL
Encadré par Mr. ELLAIA Rachid
Ecole Mohammadia d’ingénieurs
Mars 2023

2. QCM
Choisissez, parmi les propositions suivantes, la ou les bonne(s) ré-
ponse(s).
1 Une option :
a. est un contrat ferme.
b. est un contrat conditionnel.
c. se négocie exclusivement de gré à gré.
d. ne peut jamais être revendue avant l’échéance du titre.
2 Une option permet à son détenteur de :
a. se couvrir.
b. spéculer.
c. arbitrer.
d. Aucune de ces possibilités, car l’acheteur et le vendeur d’une option
prennent une position ferme
3 Une option peut être caractérisée par les élé-
ments suivants :
a. l’actif sous-jacent.
b. la prime versée au vendeur de l’option.
c. la rentabilité de l’option.
d. le prix d’exercice.
4 L’acheteur d’un call européen sur action :
a. verse la prime au vendeur de l’option.
b. reçoit la prime à la date de dénouement du contrat.
c. anticipe une baisse de l’action sous-jacente.
d. anticipe une hausse de l’action sous-jacente.
e. peut exercer son droit sur toute la durée de l’option.
5 Le vendeur d’un put américain sur action :
a. verse la prime à l’acheteur de l’option.
b. reçoit la prime à la date du début du contrat.
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3. c. anticipe une baisse de l’action sous-jacente.
d. anticipe une hausse de l’action sous-jacente.
e. peut exercer son droit uniquement à l’échéance.
6 La valeur de la prime d’une option intègre :
a. la valeur de l’actif sous-jacent.
b. la volatilité des taux d’intérêt.
c. la valeur intrinsèque.
d. la valeur temps.
7 La prime :
a. d’un call dépend positivement du prix du sous-jacent.
b. d’un put dépend positivement du prix de l’actif sous-jacent.
c. d’un call dépend positivement des taux d’intérêt.
d. d’une option dépend négativement de la volatilité de l’actif sous-
jacent.
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4. Exercice
Cet exercice traite de l’évaluation (pricing) et de la couverture (hed-
ging) d’options. Il a pour but de se familiariser avec les principales
variables influençant le prix des options : cours du sous-jacent, prix
d’exercice, maturité, taux d’intérêt, taux de dividende et volatilité. La
stratégie de couverture, c’est-à-dire la construction du portefeuille de
couverture, est étudiée en détail.
8 Evaluation du prix d’une option
On considère une option d’achat (call) et une option de vente (put)
sur une action avec un prix d’exercice de 100 € et une maturité de 3
mois (13 semaines). Le cours actuel de l’action est de 100 €, la volati-
lité implicite de 25% et le taux d’intérêt de 10%. L’entreprise ne verse
pas de dividendes pendant la vie de l’option.
-Question 1 : calculer le prix du call et le prix du put à l’aide de la
formule de BlackScholes Merton.
-Question 2 : vérifier la relation de parité call/put.
Question 3 : étudier l’effet de la variation des valeurs des paramètres
suivants sur le prix d’une option (call et put) : cours de l’actif sous-
jacent, prix d’exercice, maturité, taux d’intérêt et volatilité.On cal-
culera les sensibilités avec des valeurs de ces paramètres légèrement
différentes de celles données cidessus (+1% par exemple).
9 Portefeuille de couverture
-Question 4 : déterminer le portefeuille de couverture pour le call
et pour le put.
-Question 5 : comparer le prix du call et la valeur du portefeuille de cou-
verture du call un mois après (à 8 semaines de l’échéance) sachant que
le prix de l’action est maintenant de 110 € et que les valeurs des autres
paramètres sont restées identiques. Expliquer la différence éventuelle.
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5. Corrigé
QCM
1.
b. Une option est un contrat conditionnel qui permet à son détenteur
d’acheter ou de ne pas acheter un actif sous-jacent attaché à l’option.
Une option peut se négocier de gré à gré ou sur un marché organisé à
partir de contrats standardisés. Les options américaines permettent à
leur détenteur de revendre le contrat avant l’échéance.
2.
a, b et c. Une option d’achat ou de vente permet à son détenteur les
trois stratégies possibles sur les marchés financiers : couverture, spécu-
lation, arbitrage.
3.
a, b et d. Une option est caractérisée par les éléments suivants :
l’actif sous-jacent ; le prix d’exercice ; la date d’exercice ; la prime de
l’option. La rentabilité de l’option ne constitue pas un des facteurs qui
permettent de caractériser une option.
4.
a et d. L’acheteur d’un call européen anticipe une augmentation de
la valeur de l’action sous-jacente. Pour cela, il doit verser la prime de
l’option au vendeur du call. Une option européenne n’est exerçable qu’à
l’échéance de l’option.
5.
b et d. De même, le vendeur d’un put américain anticipe une aug-
mentation de la valeur de l’action sous-jacente. Pour cela, il perçoit la
prime au début du contrat. C’est bien l’acheteur et non le vendeur de
l’option qui peut exercer son droit sur toute la durée du contrat, et non
pas uniquement à l’échéance.
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6. 6.
c et d. La valeur de la prime d’une option intègre bien la valeur in-
trinsèque et la valeur temps de l’option. La valeur de l’actif sous-jacent
et la volatilité des taux d’intérêt n’ont pas d’impact direct sur les taux.
7.
a et c. La prime d’un call dépend positivement : du prix de l’actif
sous-jacent ; des taux d’intérêt ; de la volatilité de l’actif sous-jacent.
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7. Corrigé
Exercice
Question 1 : calculer le prix du call et le prix du put à l’aide
de la formule de Black-Scholes-Merton
D’après la formule de Black Scholes, le prix du call est de 6,25 € et
le prix du put est de 3,79 €.
Question 2 : vérifier la relation de parité call/put
Pour un sousjacent ne versant pas de dividendes, la relation parité
call – put s’écrit :
C0 = P0 + S0 − Ke−rt
où C0, P0 et S0 représentent la valeur d’un call, d’un put et de l’actif
sousjacent à la date 0 et r le taux d’intérêt sans risque.
Numériquement : 6,25 = 3,79 + 100 – 97,53
Question 3 : étudier l’effet de la variation des valeurs des pa-
ramètres suivants sur le prix d’une option : cours de l’actif
sous-jacent, prix d’exercice, maturité, taux d’intérêt, taux de
dividende et volatilité. On calculera les sensibilités avec des
valeurs de ces paramètres légèrement différentes de celles don-
nées cidessus (+1% par exemple)
-Influence du prix de l’actif sous-jacent :
Lorsque le prix de l’actif sous-jacent augmente de 1% (il passe de 100€
à 101€), le prix du call passe de 6,25 € à 6,87 €, soit une hausse de
9,89% et le prix du put passe de 3,79 € à 3,40 € soit une baisse de
10,07%.
-Influence du prix d’exercice :
Quand on considère une option avec un prix d’exercice plus élevé, 101
€ au lieu de 100 €, le prix du call passe de 5,47 € à 4,99 €, soit une
baisse de 8,89% et le prix du put passe de 4,47 € à 4,98 €, soit une
hausse de 11,43%.
-Influence de la maturité de l’option :
Quand on considère des options avec une maturité supérieure, 14 se-
maines au lieu de 13 semaines, le prix du call passe de 6,25 € à 6,54
€, soit une hausse de 4,57% et le prix du put passe de 3,79 € à 3,88
€, soit une hausse de 2,60%. Cette sensibilité reflète aussi l’influence
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8. du passage du temps (mais en signe opposé).
-Influence du taux d’intérêt sans risque :
Lorsque le taux d’intérêt sans risque passe de 10% à 11%, le prix du
call passe de 6,25 € à 6,39 €, soit une hausse de 2,18% et le prix du
put passe de 3,79 € à 3,68 €, soit une baisse de 2,84%.
-Influence de la volatilité :
Lorsque la volatilité passe de 25% à 30%, le prix du call passe de 6,25
€ à 7,22 €, soit une hausse de 15,45% et le prix du put passe de 3,79
€ à 4,75 €, soit une hausse de 25,53%.
-Influence du taux de dividende :
Lorsque le taux d’intérêt sans risque passe de 0% à 4,045,48 €, soit
une hausse de 0,09% et le prix du put passe de 4,47 € à 4,47 €, soit
une baisse de 0,11%.
Question 4 : déterminer le portefeuille de couverture pour le
call et pour le put.
Pour le call, le portefeuille de couverture est composé d’une position
longue de 60,35 € en actif sous-jacent (0,6035 d’action) et d’une posi-
tion courte de 54,10 € en titre sans risque, la différence correspondant
à la valeur du call, soit 6,25 €.
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9. 9.1 Bibliographie :
−https : //longin.fr/Cours/CoursM anagementbancaire/reserve/Seance04/
DocumentsMBEXCEnonceEvaluationetcouverturedoptions.pdf
−https : //longin.fr/Cours/CoursM anagementbancaire/reserve/Seance04/
Documents/MBEXCCorrectionEvaluationetcouverturedoptions.pdf
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