3 méthode point par point

Analyse d’une
structure
en triangle
méthode
point par point
Conception de structures
Automne 2012
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
vendredi 7 septembre 12

Problème 2
La figure suivante montre la vue en élévation d’une structure en
treillis qui est appuyée sur un mur et qui supporte une charge
verticale de 50 kN suspendue à son extrémité ainsi qu’une charge
de 100 kN inclinée de 45º p/r à l’horizontale.
On veut calculer les efforts axiaux dans chacune des membrures.

Hypothèse 3
On fait l’hypothèse que chacun des noeuds de la structure est
rotulé (i.e. les membrures peuvent pivoter librement autour de ces
noeuds) et que, par conséquent, chaque membrure ne peut
transmettre que des efforts normaux (i.e. parallèles à l’axe de la
membrure) de tension ou de compression.

Étape 1
4

Étape 1
4
La première étape consiste à dessiner
la structure à l’échelle et à identifier
chacun des noeuds (à l’aide de chiffres)
et des membrures (à l’aide de lettres).
On représente aussi les charges qui
sont appliquées à la structure.

Étape 1
4
Pour cet exemple, nous avons
numéroté les noeuds de 1 à 5 et les
membrures de A à F.

Étape 1
N.B.: L’ordre de numérotation n’a
aucune importance
4
Pour cet exemple, nous avons
numéroté les noeuds de 1 à 5 et les
membrures de A à F.

5
Étape 2

5
Étape 2
La deuxième étape consiste à identifier
un noeud qui est sollicité par au moins
une charge connue et qui unit pas
plus de deux membrures pour
lesquelles les efforts internes sont
inconnus.

5
Étape 2
inconnus.
Pour cet exemple, le noeud 5 est le seul
qui répond à ces deux critères.

Étape 2
N.B.: Pour la plupart des structures, il est nécessaire de calculer
les réactions d’appui pour trouver un noeud qui satisfait ces
deux critères:
• au moins une charge connue
• pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont
inconnus
5
inconnus.
Pour cet exemple, le noeud 5 est le seul
qui répond à ces deux critères.

6
Étape 3

On trace le diagramme de corps libre
pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce
qui nous concerne).
Diagramme de
corps libre (DCL)
6
Étape 3

qui nous concerne).
Le diagramme de corps libre indique
toutes les forces qui sollicitent ce
noeud.
Diagramme de
corps libre (DCL)
6
Étape 3

qui nous concerne).
Le diagramme de corps libre indique
toutes les forces qui sollicitent ce
noeud.
Sur le diagramme de corps libre
reproduit ci-contre, le vecteur E
représente la force axiale dans la
membrure E et le vecteur F représente
la force axiale dans la membrure F.
Diagramme de
corps libre (DCL)
6
Étape 3

7
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4

7
À partir du DCL, on trace un polygone
de forces qui est la représentation
graphique de l’addition vectorielle des
trois forces.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4

7
trois forces.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4
Ce polygone de forces consiste
simplement à placer les trois vecteurs
de forces bout-à-bout.

7
trois forces.
L’équilibre statique du noeud exige que
la force résultante soit nulle. Cela
signifie que, lorsqu’elles sont mises
bout-à-bout, le point d’arrivée des
forces doit coïncider avec leur point de
départ.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4
Ce polygone de forces consiste
simplement à placer les trois vecteurs
de forces bout-à-bout.

8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a

8
On place d’abord la force externe
connue de 50 kN en la dessinant à
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN)
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a

Polygone de forces
8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a

Polygone de forces
8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a
2,5 cm

9
Étape 4b
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)

9
Étape 4b
On y ajoute la force F dont on connaît
la direction mais pas encore l’intensité
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)

10
On y ajoute la force E dont on connaît
aussi la direction mais toujours pas
l’intensité. Pour assurer l’équilibre
statique, on trace la force E de manière
à ce que son point d’arrivée corres-ponde
au point de départ du polygone
de force.
Étape 4c
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)

Le point d’interception entre les
vecteurs E et F nous permet de
tracer le polygone de forces qui
assure l’équilibre statique.
11
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)

12
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4e

12
En mesurant la longueur des vecteurs
E et F, on obtient l’intensité de ces
forces.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4e

12
En mesurant la longueur des vecteurs
E et F, on obtient l’intensité de ces
forces.
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4e

13
Étape 4f
On connaît maintenant l’intensité des efforts
internes dans les membrures E et F. Il nous
reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de
tension ou de compression. Pour y parvenir,
on se réfère au DCL. Si le vecteur force
pointe vers le noeud, c’est un effort de
compression. S’il pointe dans la
direction opposée, c’est un effort de
tension. En ce qui nous concerne, on en
conclut que la membrure E est tendue et
que la membrure F en est comprimée.
Diagramme de
corps libre (DCL)

13
Étape 4f
On connaît maintenant l’intensité des efforts
internes dans les membrures E et F. Il nous
reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de
tension ou de compression. Pour y parvenir,
on se réfère au DCL. Si le vecteur force
pointe vers le noeud, c’est un effort de
compression. S’il pointe dans la
direction opposée, c’est un effort de
tension. En ce qui nous concerne, on en
conclut que la membrure E est tendue et
que la membrure F en est comprimée.
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)

Note importante 14

Note importante 14
Dans l’exemple précédent, après avoir
placé la force externe de 50 kN, nous y
avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et
E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait
le même résultat final quel que soit
l’ordre selon lequel on additionne les
forces comme on peux le constater aux
figures ci-contre:
Diagramme de
corps libre (DCL)

Note importante 14
Dans l’exemple précédent, après avoir
placé la force externe de 50 kN, nous y
avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et
E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait
le même résultat final quel que soit
l’ordre selon lequel on additionne les
forces comme on peux le constater aux
figures ci-contre:
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces

Autre note importante 15
Dans l’exemple précédent, lorsque nous avons tracé le diagramme de
corps libre du noeud 5, les vecteurs E et F étaient placés dans la bonne
direction (i.e. tension dans la membrure E et compression dans la
membrure F). Qu’arrive-t-il si les vecteurs sont mal orientés ?
Essayons pour voir.
Diagramme de
corps libre (DCL)

Autre note importante (suite) 16

Diagramme de
corps libre (DCL)

Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces

1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces

2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation
mais pas l’intensité
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces

Diagramme de
corps libre (DCL)
F
Polygone de forces

3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
mais pas l’intensité.
F

Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
F
E

Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
on remarque qu’il est impossible
de fermer le polygone de forces !
F
E

F

4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de
la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone
de forces puisque c’est obligatoire !
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
F

Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
E
F

5º) On prolonge les axes des deux forces jusqu’à ce qu’ils
Polygone de forces
se croisent.
Diagramme de
corps libre (DCL)
E
F

6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on
modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un
polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs
E et F pour connaître l’intensité de ces forces.

Diagramme de
corps libre (DCL)

Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)

7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des
forces sur le diagramme de corps libre
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)

7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des
forces sur le diagramme de corps libre
Polygone de forces

19
Étape 5

19
Étape 5
La cinquième étape consiste à identifier
un noeud adjacent au noeud 5 qui unit
pas plus de deux membrures dont
les efforts internes sont inconnus.

19
Étape 5
Le noeud 3 ne respecte pas ce critère
car il unit trois membrures (A, B et D)
dont les efforts internes sont inconnus
(par contre, on connaît maintenant
l’effort interne dans la membrure E qui
correspond à une force de tension de
112 kN)

19
Étape 5
Le noeud 3 ne respecte pas ce critère
car il unit trois membrures (A, B et D)
dont les efforts internes sont inconnus
(par contre, on connaît maintenant
l’effort interne dans la membrure E qui
correspond à une force de tension de
112 kN)
Le noeud 4 est le seul noeud qui
respecte ce critère car il unit
seulement deux membrures (C et D)
dont les efforts internes sont inconnus.

20
Étape 6

20
Étape 6
On trace le diagramme de corps
libre pour le noeud identifié (le noeud
4 en ce qui nous concerne).
N.B. : On connaît maintenant l’effort
interne dans la membrure F
(compression de 100 kN)

20
Étape 6
On trace le diagramme de corps
libre pour le noeud identifié (le noeud
4 en ce qui nous concerne).
N.B. : On connaît maintenant l’effort
interne dans la membrure F
(compression de 100 kN)
C
Diagramme de corps libre (DCL)

21
On trace le polygone de forces à
partir du DCL.
Polygone des forces
Étape 7
C

21
partir du DCL.
1º) On place la force connue de
100 kN
Polygone des forces
Étape 7
C

partir du DCL.
2°) On y ajoute la force C dont on
connaît la direction mais non
l’intensité.
21
100 kN
Polygone des forces
Étape 7
C

partir du DCL.
l’intensité.
21
100 kN
3º) On y ajoute la force D et on se
rend compte que, pour fermer
le polygone de force, la force D
doit être nulle.
Polygone des forces
Étape 7
C

partir du DCL.
l’intensité.
21
100 kN
3º) On y ajoute la force D et on se
rend compte que, pour fermer
le polygone de force, la force D
doit être nulle.
C
100 kN
Polygone des forces
Étape 7
C

22
Étape 7
4º) En examinant le DCL, on en
déduit la nature des efforts
internes (tension ou
compression).
100 kN (compression)
100 kN (compression)
Polygone des forces
100 kN
0 kN

Note importante 23
L’analyse du polygone de forces du noeud 4 nous fournit l’occasion
d’énoncer une règle générale:
Si un noeud unit trois membrures et que les deux critères
suivants sont satisfaits:
1º) l’une des membrures est perpendiculaire aux
deux autres
2º) aucune force externe n’est appliquée au noeud
Alors l’effort interne est toujours nul dans la membrure
perpendiculaire est les deux autres membrures sont
soumises au même effort interne

Exemple 24

Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne

25
Étape 8

25
Étape 8
L’étape suivante consiste à choisir un
noeud qui respecte les deux critères
suivants:

25
Étape 8
suivants:
1º) Ce noeud est adjacent à un noeud
pour lequel on a déjà tracé le
polygone de forces (i.e. les noeuds
4 et 5 en ce qui nous concerne).

25
Étape 8
suivants:
2º) Ce noeud n’unit pas plus de deux
membrures dont les efforts
internes sont inconnus.

25
Étape 8
suivants:
2º) Ce noeud n’unit pas plus de deux
membrures dont les efforts
internes sont inconnus.
Les noeuds 2 et 3 respectent ces
deux critères. Nous choisirons
arbitrairement le noeud 3.

26
Étape 9

26
Étape 9
pour le noeud 3 en indiquant tous les
efforts internes connus.

26
Étape 9
A
B
3

26
Étape 9
A
B
3
N.B. : Sur le DCL, nous n’avons pas
indiqué l’effort interne dans la
membrure D car il est nul

27
Étape 10

27
Étape 10
A
B
3

27
Étape 10
On trace le polygone de forces à partir
du DCL et on mesure l’intensité des
efforts internes dans les membrures A
et B.
A
B
3

27
Étape 10
On trace le polygone de forces à partir
du DCL et on mesure l’intensité des
efforts internes dans les membrures A
et B.
A
B
3
Polygone de forces

28
Étape 11

28
Étape 11
du noeud 2 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL,
la force R2 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.

28
Étape 11
2
2
R2 100 kN

28
Étape 11
La réaction d’appui du mur (R2)
correspond à la force qui est
nécessaire pour fermer le polygone
de force au noeud 2.
2
2
R2 100 kN

100 kN
2
2
R2 100 kN
Polygone de forces
28
Étape 11

100 kN
2
2
R2 100 kN
Polygone de forces
28
Étape 11
Graphiquement, on trouve que cette
force est égale à 212 kN, qu’elle est
inclinée à 15º p/r à l’horizontale et
qu’elle est sollicite le mur en
compression.

29
Étape 12

29
Étape 12
forces qui y est associé. Sur le DCL, la
force R1 représente la réaction

29
Étape 12
1
R1
1

1
R1
1
Polygone de forces
29
Étape 12

1
R1
1
Polygone de forces
29
Étape 12
On constate que, évidemment, la
réaction d’appui du mur est égale à
l’effort interne dans la membrure A
puisqu’il n’existe aucune autre
membrure reliée au point A.

Note importante 30

Note importante 30
On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le
diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le
polygone de forces est bien fermé.

Note importante 30
50 kN
45º
Diagramme de corps libre de la structure

Note importante 30
50 kN
50 kN
45º
Diagramme de corps libre de la structure Polygone de forces

Note importante 30
50 kN
50 kN
45º
Diagramme de corps libre de la structure Polygone de forces
On constate effectivement que les 4 forces qui sollicitent notre structure
(2 forces externes et 2 réactions d’appui) sont en équilibre statique
puisqu’elles forment un polygone de forces fermé

31
Étape 13

31
Étape 13
On trace le diagramme d’efforts
internes de la structure qui indique
simplement les efforts internes en
indiquant s’il s’agit de tension ou de
compression.

compression.
0
100 100
Efforts de compression
Efforts de tension
Diagramme des efforts internes (kN)
31
Étape 13

compression.
0
100 100
Efforts de compression
Efforts de tension
Diagramme des efforts internes (kN)
31
Étape 13
Par commodité, on présente en rouge
les efforts de tension, en bleu les efforts
de compression et en pointillé les
membrures où l’effort est nul.

3 méthode point par point

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