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![Equation de croissance
Equation de croissance
Théorie des systèmes
Théorie des systèmes
La théorie des systèmes est la science de l’étude
transdisciplinaire de l’organisation abstraite des phénomènes,
indépendamment de leur substance, leur type ou leur échelle
spatiale/temporelle de l’existence. Elle étudie à la fois, les
principes communs à toutes les entités complexes, et les
modèles (généralement mathématiques) qui peuvent être
utilisés pour les décrire.
Dans sa plus simple expression, l’équation différentielle,
appelée équation de croissance de Ludwig Von Bertalanffy,
où est postulé que la taille (L) par rapport au temps (t) :
L’(t) = k.(L∞
- L(t))
Où k est le taux de croissance individuel et L∞
la taille
individuelle maximum.
Selon Bertalanffy, tout est SYSTÈME par défaut.
Et tout contribue à la tenue de son environnement système
Et y est influencé.
La théorie des systèmes est la science de l’étude
transdisciplinaire de l’organisation abstraite des phénomènes,
indépendamment de leur substance, leur type ou leur échelle
spatiale/temporelle de l’existence. Elle étudie à la fois, les
principes communs à toutes les entités complexes, et les
modèles (généralement mathématiques) qui peuvent être
utilisés pour les décrire.
Dans sa plus simple expression, l’équation différentielle,
appelée équation de croissance de Ludwig Von Bertalanffy,
où est postulé que la taille (L) par rapport au temps (t) :
L’(t) = k.(L∞
- L(t))
Où k est le taux de croissance individuel et L∞
la taille
individuelle maximum.
Selon Bertalanffy, tout est SYSTÈME par défaut.
Et tout contribue à la tenue de son environnement système
Et y est influencé.
Autrichien [1901-1972],
Biologie, Écologie, Médecine,
Psychologie,
Théorie générale des systèmes
Autrichien [1901-1972],
Biologie, Écologie, Médecine,
Psychologie,
Théorie générale des systèmes
6
6](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-6-320.jpg)
![Théorie des graphes
Théorie des graphes
On fait généralement remonter la naissance de la Théorie des Graphes au célèbre
problème des ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui passionnait la
bourgeoisie prussienne du XVIIIème siècle : La Ville de Königsberg, sur la Pregel, était
pourvue de 7 ponts et la question était de savoir si l'on pouvait imaginer une
promenade dans la ville qui emprunterait chacun des 7 ponts une fois et une seule
pour revenir à son point de départ.
La théorie des graphes s’est alors développée et intégrée dans diverses
disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales et sans
oublier les réseaux d’ordinateurs et de télécommunication. Depuis le
début du XXe siècle, elle constitue une branche à part entière des
mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley puis de
Berge et d’Erdös [1].
De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les
connexions d’un ensemble complexe dit ‘système’ (S) en exprimant les
relations entre ses éléments tel que les réseaux de communication, les
réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits
électriques, en programmation et le plus intéressant son application aux
sciences de l’Internet.
On fait généralement remonter la naissance de la Théorie des Graphes au célèbre
problème des ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui passionnait la
bourgeoisie prussienne du XVIIIème siècle : La Ville de Königsberg, sur la Pregel, était
pourvue de 7 ponts et la question était de savoir si l'on pouvait imaginer une
promenade dans la ville qui emprunterait chacun des 7 ponts une fois et une seule
pour revenir à son point de départ.
La théorie des graphes s’est alors développée et intégrée dans diverses
disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales et sans
oublier les réseaux d’ordinateurs et de télécommunication. Depuis le
début du XXe siècle, elle constitue une branche à part entière des
mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley puis de
Berge et d’Erdös [1].
De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les
connexions d’un ensemble complexe dit ‘système’ (S) en exprimant les
relations entre ses éléments tel que les réseaux de communication, les
réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits
électriques, en programmation et le plus intéressant son application aux
sciences de l’Internet.
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14](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-14-320.jpg)
![Théorie des graphes
Théorie des graphes
Les graphes constituent donc une
méthode de pensée qui permet de
modéliser une grande variété de
problèmes en se ramenant à l’étude de
sommets et d’arcs. Les derniers
travaux en théorie des graphes sont
souvent effectués par des
informaticiens, du fait de l’importance
que revêt l’aspect algorithmique.
Les graphes constituent donc une
méthode de pensée qui permet de
modéliser une grande variété de
problèmes en se ramenant à l’étude de
sommets et d’arcs. Les derniers
travaux en théorie des graphes sont
souvent effectués par des
informaticiens, du fait de l’importance
que revêt l’aspect algorithmique.
Un graphe simple noté G est un couple
formé de deux ensembles liés par une
application mathématique. L’un d’eux est
l’ensemble X={x1,x2,...,xn} dont les
éléments sont appelés ‘sommets’, l’autre
est l’ensemble A={a1,a2,...,am}, partie de
l’ensemble P2
(X) des parties à deux
éléments (couple de sommets) de X, dont
les éléments sont appelé ‘les arêtes’. On
notera cette relation G=(X,A).
Lorsque a={x,y}A, on dit que a est l’arête
de G d’extrémités x et y, ou que a joint x et
y, ou que a passe par x et y. Les sommets
x et y sont dits adjacents dans G.
Un graphe simple noté G est un couple
formé de deux ensembles liés par une
application mathématique. L’un d’eux est
l’ensemble X={x1,x2,...,xn} dont les
éléments sont appelés ‘sommets’, l’autre
est l’ensemble A={a1,a2,...,am}, partie de
l’ensemble P2
(X) des parties à deux
éléments (couple de sommets) de X, dont
les éléments sont appelé ‘les arêtes’. On
notera cette relation G=(X,A).
Lorsque a={x,y}A, on dit que a est l’arête
de G d’extrémités x et y, ou que a joint x et
y, ou que a passe par x et y. Les sommets
x et y sont dits adjacents dans G.
Un multi-graphe G = (X, A, f) est déterminé par:
• L’ensemble X des sommets
• L’ensemble A, cette fois abstrait
• L’application f : A [P2
(X)]
un multi-graphe avec boucles peut comprendre des arêtes
multiples entre deux sommets donnés ainsi que des boucles
multiples en un sommet.
Un multi-graphe G = (X, A, f) est déterminé par:
• L’ensemble X des sommets
• L’ensemble A, cette fois abstrait
• L’application f : A [P2
(X)]
un multi-graphe avec boucles peut comprendre des arêtes
multiples entre deux sommets donnés ainsi que des boucles
multiples en un sommet.
Exemples de cas où le modèle graphe est recommandé
Exemples de cas où le modèle graphe est recommandé
15
15](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-15-320.jpg)
![Évaluation des performances
Évaluation des performances
On définit la fiabilité de (S) comme étant la probabilité que le celui-ci
fonctionne correctement dans la période [0, ] et on écrit F(t≤).
De même la défaillance du système D(t≤) est définit par le
complément à 1 de la fiabilité (condition de probabilité).
D’où D(t≤)=[1 - F(t≤)].
Dans le cas de systèmes en série, leur fiabilité résultante est donnée
par :
Alors que pour le cas de système parallèles elle est donnée par :
Autrement, le système est formé par
Une configuration mixte.
On définit la fiabilité de (S) comme étant la probabilité que le celui-ci
fonctionne correctement dans la période [0, ] et on écrit F(t≤).
De même la défaillance du système D(t≤) est définit par le
complément à 1 de la fiabilité (condition de probabilité).
D’où D(t≤)=[1 - F(t≤)].
Dans le cas de systèmes en série, leur fiabilité résultante est donnée
par :
Alors que pour le cas de système parallèles elle est donnée par :
Autrement, le système est formé par
Une configuration mixte.
m
i
i t
F
t
F
1
)
(
)
(
m
i
i t
F
t
F
1
)
(
)
(
m
i
i t
F
t
F
1
))]
(
1
(
1
[
)
(
m
i
i t
F
t
F
1
))]
(
1
(
1
[
)
(
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![Modélisation & Simulation
Modélisation & Simulation
Outil Octave
Soit l’équation différentielle suivante :
>> function xdot = f (x, t)
> r = 0.25;
> k = 1.4;
> a = 1.5;
> b = 0.16;
> c = 0.9;
> d = 0.8;
> xdot(1) = r*x(1)*(1-x(1)/k)-a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1));
> xdot(2) = c*a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1))-d*x(2);
> endfunction
Et dont les condition initiale sont :
> x0 = [1; 2];
Le paramètre t est définit par
> t = linspace (0, 50, 200)';
La solution du problème est donnée par l’intergration
> x = lsode ("f", x0, t);
Le traçage de la fonction se fait par invocation de :
> plot (t, x)
Outil Octave
Soit l’équation différentielle suivante :
>> function xdot = f (x, t)
> r = 0.25;
> k = 1.4;
> a = 1.5;
> b = 0.16;
> c = 0.9;
> d = 0.8;
> xdot(1) = r*x(1)*(1-x(1)/k)-a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1));
> xdot(2) = c*a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1))-d*x(2);
> endfunction
Et dont les condition initiale sont :
> x0 = [1; 2];
Le paramètre t est définit par
> t = linspace (0, 50, 200)';
La solution du problème est donnée par l’intergration
> x = lsode ("f", x0, t);
Le traçage de la fonction se fait par invocation de :
> plot (t, x)
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40](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-40-320.jpg)
![Système linéaire
Système linéaire
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t)
alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t).
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et
s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la
réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SL : pour un système linéaire, en régime
nominal (en fonctionnement normal et sans excitation
perturbatrice), la courbe s = f(e) est une droite.
Un système est continu, par opposition à un système discret,
lorsque les variations de ses composantes sont continûment
observable.
Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques
sont insensibles aux changements du temps.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions
indépendamment du temps.
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t)
alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t).
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et
s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la
réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SL : pour un système linéaire, en régime
nominal (en fonctionnement normal et sans excitation
perturbatrice), la courbe s = f(e) est une droite.
Un système est continu, par opposition à un système discret,
lorsque les variations de ses composantes sont continûment
observable.
Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques
sont insensibles aux changements du temps.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions
indépendamment du temps.
Un système d’équations linéaires SEL (ζ) est la
composition faite de n équations linéaires :
a11x1 + a12x2 + … = k1
a21x1 + a22x2 + … = k2
….
an1x1 + an2x2 + … = kn
où x1, x2, … xp sont les p inconnues du système alors que
k1, k2, … kn sont les n termes du second membre ou
constantes et les aij sont les n*p coefficients du système
ou multiplicateur des variable xi.
Géométriquement (ζ), les n équations représentent les n
droites en intersection dans un référentiel Rn
.
Un système d’équations linéaires SEL (ζ) est la
composition faite de n équations linéaires :
a11x1 + a12x2 + … = k1
a21x1 + a22x2 + … = k2
….
an1x1 + an2x2 + … = kn
où x1, x2, … xp sont les p inconnues du système alors que
k1, k2, … kn sont les n termes du second membre ou
constantes et les aij sont les n*p coefficients du système
ou multiplicateur des variable xi.
Géométriquement (ζ), les n équations représentent les n
droites en intersection dans un référentiel Rn
.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier
que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant,
autour d'un point de considération finie (équilibre
fonctionnel), on obtient un système linéaire qui correspond
au système non linéaire.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.
Bode (1905-1982) à la fin de la II guerre mondiale. Les
travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin
(1908-1988) et al et surtout de R.Kalman (1930) ont
conduit nombre d'automaticiens à privilégier la
représentation d‘espace d’état à partir des années 1960.
Un système est linéaire s’il se comporte linéairement par
rapport à ses composantes intrinsèques.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier
que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant,
autour d'un point de considération finie (équilibre
fonctionnel), on obtient un système linéaire qui correspond
au système non linéaire.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.
Bode (1905-1982) à la fin de la II guerre mondiale. Les
travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin
(1908-1988) et al et surtout de R.Kalman (1930) ont
conduit nombre d'automaticiens à privilégier la
représentation d‘espace d’état à partir des années 1960.
Un système est linéaire s’il se comporte linéairement par
rapport à ses composantes intrinsèques.
Bellman
Bellman
Kalman
Kalman
Pontryagin
Pontryagin
Bode
Bode 48
48](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-48-320.jpg)
![Système linéaire
Système linéaire
Méthode de Simplexe
Soit à optimiser, par la méthode Simplexe la fonction objectif Z = CT
.X sous les contraintes
1(X) ≤ b1, 2(X) = b2 et 3(X) ≥ b3
X≥0 (condition économique), b1 b2 b3 = b : vecteur second membre
Les i sont les fonction contraintes d’inégalités i [1,m].
Une écriture condensée de la forme (PL) :
Z = CT
.X
s.c.
(X) ≤ b
X≥0
Est toujours possible.
Solution réalisable
Par addition / soustraction de quantités si à chaque équation contrainte, nous obtenons la forme
aisée suivante (forme PL1) :
Z = CT
.X
s.c.
’(X, si) = ’(X’) = b avec X’=X si.
X≥0
Si nous considérons N, l’ensemble des indices des variables de X, on peut toujours choisir m
variables parmi n. Ces dernières formerons la solution SUPPOSEE du problème.
N = {1, 2, 3, …, n}
Avec les m indices parmi n, nous construirons un ensemble β dit BASE REALISABLE.
Méthode de Simplexe
Soit à optimiser, par la méthode Simplexe la fonction objectif Z = CT
.X sous les contraintes
1(X) ≤ b1, 2(X) = b2 et 3(X) ≥ b3
X≥0 (condition économique), b1 b2 b3 = b : vecteur second membre
Les i sont les fonction contraintes d’inégalités i [1,m].
Une écriture condensée de la forme (PL) :
Z = CT
.X
s.c.
(X) ≤ b
X≥0
Est toujours possible.
Solution réalisable
Par addition / soustraction de quantités si à chaque équation contrainte, nous obtenons la forme
aisée suivante (forme PL1) :
Z = CT
.X
s.c.
’(X, si) = ’(X’) = b avec X’=X si.
X≥0
Si nous considérons N, l’ensemble des indices des variables de X, on peut toujours choisir m
variables parmi n. Ces dernières formerons la solution SUPPOSEE du problème.
N = {1, 2, 3, …, n}
Avec les m indices parmi n, nous construirons un ensemble β dit BASE REALISABLE.
Modélisation graphique du SL
Modélisation graphique du SL
51
51](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-51-320.jpg)
![Système non linéaire
Système non linéaire
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée
e(t) alors *s(t) est la réponse à l'entrée *e(t).
λ λ
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée
e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)]
est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON
linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et
sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas
une droite. Un système SNL est continu, par opposition à un
SNL dit discret, lorsque les variations de ses composantes
sont continûment observable dans le cadre de son domaine
de définition δ.
Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques
sont insensibles aux changements du temps.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes
réactions indépendamment du temps.
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée
e(t) alors *s(t) est la réponse à l'entrée *e(t).
λ λ
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée
e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)]
est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON
linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et
sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas
une droite. Un système SNL est continu, par opposition à un
SNL dit discret, lorsque les variations de ses composantes
sont continûment observable dans le cadre de son domaine
de définition δ.
Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques
sont insensibles aux changements du temps.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes
réactions indépendamment du temps.
Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition
faite de m équations non-linéaires :
f1(X) = 1(X)
f2(X) = 2(X)
….
fm(X) = m(X)
où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1,
2, … n sont les m fonctions du second membre, elles même
dépendantes de X.
Géométriquement, les m équations représentent les m courbes
(α, β, …) en intersection dans un référentiel Rn
.
Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition
faite de m équations non-linéaires :
f1(X) = 1(X)
f2(X) = 2(X)
….
fm(X) = m(X)
où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1,
2, … n sont les m fonctions du second membre, elles même
dépendantes de X.
Géométriquement, les m équations représentent les m courbes
(α, β, …) en intersection dans un référentiel Rn
.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les
systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (cas de systèmes
linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie
(situation ou état du système), on obtient un système linéaire
qui correspond à une approximation grossière du système non
linéaire d’origine.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode
(1905-1982) à la fin de la IIème
guerre mondiale. Les travaux de
R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988)
surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens
à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des
années 1960.
Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement
par rapport à ses composantes intrinsèques.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les
systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (cas de systèmes
linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie
(situation ou état du système), on obtient un système linéaire
qui correspond à une approximation grossière du système non
linéaire d’origine.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode
(1905-1982) à la fin de la IIème
guerre mondiale. Les travaux de
R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988)
surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens
à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des
années 1960.
Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement
par rapport à ses composantes intrinsèques.
Bode
Bode
Bellman
Bellman
Kalman
Kalman
Pontryagin
Pontryagin
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58](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-58-320.jpg)
![Système non linéaire
Système non linéaire
Problème type :
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en
faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les
emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont dans les
recommandations optimales de localisation. La répartition de ses clients
dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle stratégie
consiste à favoriser le client selon un profil des activités contractées et en
cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une manière
optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question.
Formalisation
D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai
de l’antenne principale ap(m)
xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne.
dij = ([(xj-xi)2
+(yj-yi)2
]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m)
S=Σdij
2
: Somme des distances à minimiser
Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques)
Modélisation graphique
Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier
que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est
un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances
séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire.
Problème type :
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en
faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les
emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont dans les
recommandations optimales de localisation. La répartition de ses clients
dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle stratégie
consiste à favoriser le client selon un profil des activités contractées et en
cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une manière
optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question.
Formalisation
D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai
de l’antenne principale ap(m)
xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne.
dij = ([(xj-xi)2
+(yj-yi)2
]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m)
S=Σdij
2
: Somme des distances à minimiser
Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques)
Modélisation graphique
Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier
que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est
un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances
séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire.
Représentation graphique du problème de la
localisation optimale des antennes.
Représentation graphique du problème de la
localisation optimale des antennes.
Exemple d’antenne utilisées pour les GSM.
Exemple d’antenne utilisées pour les GSM.
60
60](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-60-320.jpg)
![Système non linéaire
Système non linéaire
Formalisation
Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk/(k[1, n]) définit dans un domaine D
résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}.
On définit par :
F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C est
l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on parle de
problème non linéaire contraint.
Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D.
Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la forme d’un
développement de Taylor et dont la forme est :
F(X0+ΔX0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0)
D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite Nabla F, Gradient du système
de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor, regroupe les
dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à .
Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n.
De ce fait on garde seulement la partie;
F(X0+X0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0) 0
Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons
F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0 0 [F(X)X=Xo].X0 - F(X0)
Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0 - F(X0) d’où X0 - [J(X0)]-1
.F(X0) et X = X0+X0.
Formalisation
Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk/(k[1, n]) définit dans un domaine D
résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}.
On définit par :
F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C est
l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on parle de
problème non linéaire contraint.
Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D.
Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la forme d’un
développement de Taylor et dont la forme est :
F(X0+ΔX0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0)
D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite Nabla F, Gradient du système
de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor, regroupe les
dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à .
Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n.
De ce fait on garde seulement la partie;
F(X0+X0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0) 0
Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons
F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0 0 [F(X)X=Xo].X0 - F(X0)
Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0 - F(X0) d’où X0 - [J(X0)]-1
.F(X0) et X = X0+X0.
61
61](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-61-320.jpg)
![Système non linéaire
Système non linéaire
Formalisation
Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons :
f(x) = 0 f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’
(x0) .h, avec h=(x-x0).
x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’
Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première
approximation de la solution, alors, par récurrence h est
recalculer de manière à corriger (par une quantité h f(x0)/(f(x0))’)
pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution.
De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice
Jacobéenne du système.
X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1
.F(X0)])
La formule de récurence donne les estimés successifs;
Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est
assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1).
ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de
de J est Jacobéen (|J(X)|).
Formalisation
Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons :
f(x) = 0 f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’
(x0) .h, avec h=(x-x0).
x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’
Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première
approximation de la solution, alors, par récurrence h est
recalculer de manière à corriger (par une quantité h f(x0)/(f(x0))’)
pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution.
De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice
Jacobéenne du système.
X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1
.F(X0)])
La formule de récurence donne les estimés successifs;
Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est
assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1).
ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de
de J est Jacobéen (|J(X)|).
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62](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-62-320.jpg)
![Système non linéaire
Système non linéaire
L’algorithme NR est donné par :
Demander X0,
1. Mettre k=0
2. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée)
3. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer
4. Répéter
a) Xk=Xk+1
b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
5. Tant que Xk≥
6. Afficher Xk+1
La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace
numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …)
L’algorithme NR est donné par :
Demander X0,
1. Mettre k=0
2. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée)
3. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer
4. Répéter
a) Xk=Xk+1
b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1
.F(Xk)])
5. Tant que Xk≥
6. Afficher Xk+1
La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace
numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …)
Isaac NEWTON
(1642 −1727)
Isaac NEWTON
(1642 −1727)
Joseph Raphson
(1648-1715)
Joseph Raphson
(1648-1715) 63
63](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-63-320.jpg)
![Système non linéaire
Système non linéaire
Formalisation
Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme :
L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange
L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier.
Résoudre :
F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction
de Lagrange L pour les mêmes raisons.
Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si :
L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues
L/j = 0, pour j [1, m], m étant le nombre de contraintes
Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la détermination du
gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum.
Formalisation
Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme :
L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange
L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier.
Résoudre :
F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction
de Lagrange L pour les mêmes raisons.
Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si :
L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues
L/j = 0, pour j [1, m], m étant le nombre de contraintes
Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la détermination du
gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum.
Joseph-Louis Lagrange
(1739-1813)
Joseph-Louis Lagrange
(1739-1813)
65
65](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-65-320.jpg)
![Système non linéaire
Système non linéaire
69
69
S=∑
i=1
n
ei
2
=∑
i=1
n
[ yi− yi]²
S=∑
i=1
n
ei
2
=∑
i=1
n
[ yi− yi]²
S est donc à minimiser, on cherche la plus petite
valeur de S tel que les écarts entre y et y soient
aussi petits que possible.
Yi = P2(x) = a0
+a1
*x+a2
*x2
pour que S soit
minimale il faut que :
Si on définit le facteur rxy
par cov(x,y)/sx
*sy
Et sx
2
=(1/n) (x
Σ i
-x)2
et sy
2
=(1/n)Σ(yi
-y)2
cov(x,y) = (1/n) (x
Σ i
-x)(yi
-y)
On définit un coefficient de validation de
l’ajustement par R2
=rxy
*rxy
Cette quantité est d’autant grande (tend vers 1),
plus l’ajustement pratiqué est valable
S est donc à minimiser, on cherche la plus petite
valeur de S tel que les écarts entre y et y soient
aussi petits que possible.
Yi = P2(x) = a0
+a1
*x+a2
*x2
pour que S soit
minimale il faut que :
Si on définit le facteur rxy
par cov(x,y)/sx
*sy
Et sx
2
=(1/n) (x
Σ i
-x)2
et sy
2
=(1/n)Σ(yi
-y)2
cov(x,y) = (1/n) (x
Σ i
-x)(yi
-y)
On définit un coefficient de validation de
l’ajustement par R2
=rxy
*rxy
Cette quantité est d’autant grande (tend vers 1),
plus l’ajustement pratiqué est valable
δS
δa0
=0
δS
δa0
=0 δS
δa1
=0
δS
δa1
=0
δ S
δa2
=0
δ S
δa2
=0](https://image.slidesharecdn.com/chapxi-optimisation-231026222726-c3aa000b/85/Chap-XI-Optimisation-pdf-69-320.jpg)
Téléchargé parMohammed TAMALI
Chap XI-Optimisation.pdf
Le document présente le laboratoire d'énergétiques en zones arides de l'université de Béchar, axé sur la modélisation et la simulation pour résoudre des problématiques liées aux zones arides. Il aborde des concepts d'optimisation et de théorie des systèmes, ainsi que des applications en modélisation, programmation et théorie des graphes, soulignant leur importance dans divers domaines scientifiques. Le laboratoire vise à développer des codes informatiques accessibles en ligne pour améliorer la gestion et le suivi des processus énergétiques et environnementaux.
Chap XI-Optimisation.pdf
- 1. Université TAHRI MohamedBéchar Laboratoire d’Énergétiques en Zones Arides Équipe Modélisation & Simulation des Systèmes Université TAHRI Mohamed Béchar Laboratoire d’Énergétiques en Zones Arides Équipe Modélisation & Simulation des Systèmes Cours réalisé par : Pr. TAMALI Mohammed, http://www.tamali.org Université de Béchar | Faculté de Technologie (ENERGARID Lab./Equipe SimulIA) Cours réalisé par : Pr. TAMALI Mohammed, http://www.tamali.org Université de Béchar | Faculté de Technologie (ENERGARID Lab./Equipe SimulIA) CHAPITRE XI CHAPITRE XI : : OPTIMISATION OPTIMISATION Concepts Concepts de base, fondements de base, fondements & cadre d’utilisation & cadre d’utilisation. . CHAPITRE XI CHAPITRE XI : : OPTIMISATION OPTIMISATION Concepts Concepts de base, fondements de base, fondements & cadre d’utilisation & cadre d’utilisation. . Version 3.5
- 2. Presentation Bechar University wasborn in 1986 as the National Institutes of Higher Education (INES), in 1992 it becomes University Center and on January 1th 2007, it was officially declared as a university. Since then, many research teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energetics Applied to Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers, composed by seven research teams, the main task was and still the solving real problems altering arid zones, SimulIA is one of the lab teams. The workload of SimulIA concerns modeling and simulating real systems in arid areas. Major research areas: Energy & Environment (Modeling & Simulation) Application & usage of heat transfer process in arid zones Energy usage and economy. 2D Mapping development of resources in arid zones. the main task in the short term of SIMULIA Team, is to develop the computer code for modeling and simulation which can be accessed online. Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia Bechar University was born in 1986 as the National Institutes of Higher Education (INES), in 1992 it becomes University Center and on January 1th 2007, it was officially declared as a university. Since then, many research teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energetics Applied to Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers, composed by seven research teams, the main task was and still the solving real problems altering arid zones, SimulIA is one of the lab teams. The workload of SimulIA concerns modeling and simulating real systems in arid areas. Major research areas: Energy & Environment (Modeling & Simulation) Application & usage of heat transfer process in arid zones Energy usage and economy. 2D Mapping development of resources in arid zones. the main task in the short term of SIMULIA Team, is to develop the computer code for modeling and simulation which can be accessed online. Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia
- 3.
- 4. Plan Généralités Théorie des systèmes& Systémique Théorie des graphes Évaluation des performances Concepts fondamentaux (Définitions) Modélisation & Simulation Système linéaire Système non-linéaire Système discrêt Méthode de résolution intelligente Conclusions Généralités Théorie des systèmes & Systémique Théorie des graphes Évaluation des performances Concepts fondamentaux (Définitions) Modélisation & Simulation Système linéaire Système non-linéaire Système discrêt Méthode de résolution intelligente Conclusions 4 4
- 5. l’optimisation, en tantque terme de la recherche opérationnelle, a été pour tous les temps, un moyen de validation. Les hypothèses, les scénarios, une valeur cible sont le langage, par excellence, pour l’élaboration d’une quelconque investigation et par la suite une décision. Ce cours présente une introduction de base, en termes de conception et d’élaboration de stratégies de vérification et de validation de thèse et d’hypothèses, vérifiant l’optimalité des processus. Les objectifs de cette intervention sont la vulgarisation des notions fondamentales de la recherche opératonnelle et de ses champs d'applications ainsi que les concepts systémiques y afférants. Le but principal de ces inverstigations est de monter des codes pour des raisons de GESTION, de MONITORING de processus. l’optimisation, en tant que terme de la recherche opérationnelle, a été pour tous les temps, un moyen de validation. Les hypothèses, les scénarios, une valeur cible sont le langage, par excellence, pour l’élaboration d’une quelconque investigation et par la suite une décision. Ce cours présente une introduction de base, en termes de conception et d’élaboration de stratégies de vérification et de validation de thèse et d’hypothèses, vérifiant l’optimalité des processus. Les objectifs de cette intervention sont la vulgarisation des notions fondamentales de la recherche opératonnelle et de ses champs d'applications ainsi que les concepts systémiques y afférants. Le but principal de ces inverstigations est de monter des codes pour des raisons de GESTION, de MONITORING de processus. Généralités Généralités 5 5
- 6. Equation de croissance Equationde croissance Théorie des systèmes Théorie des systèmes La théorie des systèmes est la science de l’étude transdisciplinaire de l’organisation abstraite des phénomènes, indépendamment de leur substance, leur type ou leur échelle spatiale/temporelle de l’existence. Elle étudie à la fois, les principes communs à toutes les entités complexes, et les modèles (généralement mathématiques) qui peuvent être utilisés pour les décrire. Dans sa plus simple expression, l’équation différentielle, appelée équation de croissance de Ludwig Von Bertalanffy, où est postulé que la taille (L) par rapport au temps (t) : L’(t) = k.(L∞ - L(t)) Où k est le taux de croissance individuel et L∞ la taille individuelle maximum. Selon Bertalanffy, tout est SYSTÈME par défaut. Et tout contribue à la tenue de son environnement système Et y est influencé. La théorie des systèmes est la science de l’étude transdisciplinaire de l’organisation abstraite des phénomènes, indépendamment de leur substance, leur type ou leur échelle spatiale/temporelle de l’existence. Elle étudie à la fois, les principes communs à toutes les entités complexes, et les modèles (généralement mathématiques) qui peuvent être utilisés pour les décrire. Dans sa plus simple expression, l’équation différentielle, appelée équation de croissance de Ludwig Von Bertalanffy, où est postulé que la taille (L) par rapport au temps (t) : L’(t) = k.(L∞ - L(t)) Où k est le taux de croissance individuel et L∞ la taille individuelle maximum. Selon Bertalanffy, tout est SYSTÈME par défaut. Et tout contribue à la tenue de son environnement système Et y est influencé. Autrichien [1901-1972], Biologie, Écologie, Médecine, Psychologie, Théorie générale des systèmes Autrichien [1901-1972], Biologie, Écologie, Médecine, Psychologie, Théorie générale des systèmes 6 6
- 7. Théorie des systèmes Théoriedes systèmes L’optimisation est pour sa relation avec les processus, son conditionnement ainsi que ses environnements intrinsèques et/ou extrinsèques, trop touchée par cette théorie. L’approche systémique, comme application de la théorie générale des systèmes, est fondée sur les principes suivants: 1. Les organisations, toutes les entités des organismes, sont ‘ouvertes’ à l’environnement et pour cela, elles doivent entretenir des relations satisfaisantes avec ce dernier pour survivre. 2. Les systèmes ouverts sont caractérisés par un cycle continu d’entrée, de transformation interne, de sortie et de rétroaction. L’optimisation est pour sa relation avec les processus, son conditionnement ainsi que ses environnements intrinsèques et/ou extrinsèques, trop touchée par cette théorie. L’approche systémique, comme application de la théorie générale des systèmes, est fondée sur les principes suivants: 1. Les organisations, toutes les entités des organismes, sont ‘ouvertes’ à l’environnement et pour cela, elles doivent entretenir des relations satisfaisantes avec ce dernier pour survivre. 2. Les systèmes ouverts sont caractérisés par un cycle continu d’entrée, de transformation interne, de sortie et de rétroaction. Prix de distinction à l’honneur de L.v. Bertalanffy Prix de distinction à l’honneur de L.v. Bertalanffy Projection dans l’espace système Projection dans l’espace système 7 7
- 8. Théorie des systèmes Théoriedes systèmes La théorie des systèmes est un principe selon lequel tout est système, ou tout peut être conceptualisé selon une logique de système. Ce principe est formalisé en 1968 par Ludwig Von Bertalanffy dans General System Theory, mais les bases sont multiples, la principale étant certainement le mouvement cybernétique. Ces théories ont permis l'établissement de la systémique en tant que méthodologie scientifique ainsi la base théorique associée est aujourd'hui appelé théorie systémique. La théorie des systèmes décrit la réalité observée et suggère d’établir des liens logiques entre les facteurs, les acteurs et les évenements. Elle permet ainsi de découvrir que les causalités linéaires simplistes ne sont pas suffisantes pour expliquer les choses et que les corrélations établies entre les facteurs sont très nombreuses chose qui nécessite encore plus d’attention. La théorie des systèmes est un principe selon lequel tout est système, ou tout peut être conceptualisé selon une logique de système. Ce principe est formalisé en 1968 par Ludwig Von Bertalanffy dans General System Theory, mais les bases sont multiples, la principale étant certainement le mouvement cybernétique. Ces théories ont permis l'établissement de la systémique en tant que méthodologie scientifique ainsi la base théorique associée est aujourd'hui appelé théorie systémique. La théorie des systèmes décrit la réalité observée et suggère d’établir des liens logiques entre les facteurs, les acteurs et les évenements. Elle permet ainsi de découvrir que les causalités linéaires simplistes ne sont pas suffisantes pour expliquer les choses et que les corrélations établies entre les facteurs sont très nombreuses chose qui nécessite encore plus d’attention. 8 8
- 9. Théorie des systèmes Théoriedes systèmes Caractéristiques universelles des systèmes : Déterminisme : existence justifiée Observabilité : Observation des méthodes et moyens Fonctionnel : Nécessité du rôle individuel dans l’ensemble Quantifiabilité : Mise sous forme d’ensembles quantifiables Mesurabilité : Mesure utilisant l’instrument et les unités Équilibre interne : Entretien de la stabilité individuelle Composition : Complémentarité individuelle dans un ensemble Maintenabilité : Possibilité d’entretien Fiabilité : Rôle prouvé dans l’ensemble Robustesse : Tolérance aux fautes suite aux différents chargement du système Dépendance : Entretien et collaboration Caractéristiques universelles des systèmes : Déterminisme : existence justifiée Observabilité : Observation des méthodes et moyens Fonctionnel : Nécessité du rôle individuel dans l’ensemble Quantifiabilité : Mise sous forme d’ensembles quantifiables Mesurabilité : Mesure utilisant l’instrument et les unités Équilibre interne : Entretien de la stabilité individuelle Composition : Complémentarité individuelle dans un ensemble Maintenabilité : Possibilité d’entretien Fiabilité : Rôle prouvé dans l’ensemble Robustesse : Tolérance aux fautes suite aux différents chargement du système Dépendance : Entretien et collaboration 9 9
- 10. Théorie des systèmes Théoriedes systèmes Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : 1- Soit à vérifier le calcul de l’expression C=A+B ou C=A*B sachant que A et B sont connus avec des estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB respectivement. Reporter le cas général. Travail pratique : 1- Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant l’expression C=A+B selon les valeurs des opérandes, leurs qualité et dimension. Peut-on optimiser le programme résultant ? Travail dirigé : Soit à transporter des personnes d’un point A vers un autre situé en B, Formaliser la problématique Travail pratique : Tester les logiciels Open-Source suivants : CodeBlocks, Octave, Maxima, LPSolve, LiPS, FreeMAT et Scilab Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : 1- Soit à vérifier le calcul de l’expression C=A+B ou C=A*B sachant que A et B sont connus avec des estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB respectivement. Reporter le cas général. Travail pratique : 1- Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant l’expression C=A+B selon les valeurs des opérandes, leurs qualité et dimension. Peut-on optimiser le programme résultant ? Travail dirigé : Soit à transporter des personnes d’un point A vers un autre situé en B, Formaliser la problématique Travail pratique : Tester les logiciels Open-Source suivants : CodeBlocks, Octave, Maxima, LPSolve, LiPS, FreeMAT et Scilab 10 10
- 11. Théorie des systèmes Théoriedes systèmes Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : 1- Soit à vérifier le calcul de l’expression C=A+B ou C=A*B sachant que A et B sont connus avec des estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB respectivement. Reporter le cas général. Travail pratique : 1- Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant l’expression C=A+B selon les valeurs des opérandes, leurs qualité et dimension. Peut-on optimiser le programme résultant ? Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : 1- Soit à vérifier le calcul de l’expression C=A+B ou C=A*B sachant que A et B sont connus avec des estimations s’évaluant à ±ΔA et ±ΔB respectivement. Reporter le cas général. Travail pratique : 1- Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant l’expression C=A+B selon les valeurs des opérandes, leurs qualité et dimension. Peut-on optimiser le programme résultant ? https://github.com/mtamali/errors/archive/master.zip https://github.com/mtamali/errors/archive/master.zip 11 11
- 12. Théorie des systèmes Théoriedes systèmes Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : Soit à faire le calcul des inconnues d’un système d’équations linéaires totalement en réel sans passer par la codification complexe. Travail pratique : Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant le système A*X=b par la méthode d’élimination de Gauss. Travail dirigé : Soit à utiliser la modélisation graphique pour résoudre le programme linéaire suivant : Travail pratique : Refaire le calcul avec LP_Solve du problème du TD plus haut Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : Soit à faire le calcul des inconnues d’un système d’équations linéaires totalement en réel sans passer par la codification complexe. Travail pratique : Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant le système A*X=b par la méthode d’élimination de Gauss. Travail dirigé : Soit à utiliser la modélisation graphique pour résoudre le programme linéaire suivant : Travail pratique : Refaire le calcul avec LP_Solve du problème du TD plus haut 12 12
- 13. Théorie des systèmes Théoriedes systèmes Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : Soit à faire le calcul des inconnues d’un système d’équations linéaires totalement en réel sans passer par la codification complexe. Travail pratique : Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant le système A*X=b par la méthode d’élimination de Gauss. Travaux dirigés et pratiques en FORTRAN Travail dirigé : Soit à faire le calcul des inconnues d’un système d’équations linéaires totalement en réel sans passer par la codification complexe. Travail pratique : Soit à écrire un programme FORTRAN évaluant le système A*X=b par la méthode d’élimination de Gauss. https://github.com/mtamali/GaussElimination/archive/master.zip Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 13 13
- 14. Théorie des graphes Théoriedes graphes On fait généralement remonter la naissance de la Théorie des Graphes au célèbre problème des ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui passionnait la bourgeoisie prussienne du XVIIIème siècle : La Ville de Königsberg, sur la Pregel, était pourvue de 7 ponts et la question était de savoir si l'on pouvait imaginer une promenade dans la ville qui emprunterait chacun des 7 ponts une fois et une seule pour revenir à son point de départ. La théorie des graphes s’est alors développée et intégrée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales et sans oublier les réseaux d’ordinateurs et de télécommunication. Depuis le début du XXe siècle, elle constitue une branche à part entière des mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley puis de Berge et d’Erdös [1]. De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les connexions d’un ensemble complexe dit ‘système’ (S) en exprimant les relations entre ses éléments tel que les réseaux de communication, les réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits électriques, en programmation et le plus intéressant son application aux sciences de l’Internet. On fait généralement remonter la naissance de la Théorie des Graphes au célèbre problème des ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui passionnait la bourgeoisie prussienne du XVIIIème siècle : La Ville de Königsberg, sur la Pregel, était pourvue de 7 ponts et la question était de savoir si l'on pouvait imaginer une promenade dans la ville qui emprunterait chacun des 7 ponts une fois et une seule pour revenir à son point de départ. La théorie des graphes s’est alors développée et intégrée dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les sciences sociales et sans oublier les réseaux d’ordinateurs et de télécommunication. Depuis le début du XXe siècle, elle constitue une branche à part entière des mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley puis de Berge et d’Erdös [1]. De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les connexions d’un ensemble complexe dit ‘système’ (S) en exprimant les relations entre ses éléments tel que les réseaux de communication, les réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits électriques, en programmation et le plus intéressant son application aux sciences de l’Internet. 14 14
- 15. Théorie des graphes Théoriedes graphes Les graphes constituent donc une méthode de pensée qui permet de modéliser une grande variété de problèmes en se ramenant à l’étude de sommets et d’arcs. Les derniers travaux en théorie des graphes sont souvent effectués par des informaticiens, du fait de l’importance que revêt l’aspect algorithmique. Les graphes constituent donc une méthode de pensée qui permet de modéliser une grande variété de problèmes en se ramenant à l’étude de sommets et d’arcs. Les derniers travaux en théorie des graphes sont souvent effectués par des informaticiens, du fait de l’importance que revêt l’aspect algorithmique. Un graphe simple noté G est un couple formé de deux ensembles liés par une application mathématique. L’un d’eux est l’ensemble X={x1,x2,...,xn} dont les éléments sont appelés ‘sommets’, l’autre est l’ensemble A={a1,a2,...,am}, partie de l’ensemble P2 (X) des parties à deux éléments (couple de sommets) de X, dont les éléments sont appelé ‘les arêtes’. On notera cette relation G=(X,A). Lorsque a={x,y}A, on dit que a est l’arête de G d’extrémités x et y, ou que a joint x et y, ou que a passe par x et y. Les sommets x et y sont dits adjacents dans G. Un graphe simple noté G est un couple formé de deux ensembles liés par une application mathématique. L’un d’eux est l’ensemble X={x1,x2,...,xn} dont les éléments sont appelés ‘sommets’, l’autre est l’ensemble A={a1,a2,...,am}, partie de l’ensemble P2 (X) des parties à deux éléments (couple de sommets) de X, dont les éléments sont appelé ‘les arêtes’. On notera cette relation G=(X,A). Lorsque a={x,y}A, on dit que a est l’arête de G d’extrémités x et y, ou que a joint x et y, ou que a passe par x et y. Les sommets x et y sont dits adjacents dans G. Un multi-graphe G = (X, A, f) est déterminé par: • L’ensemble X des sommets • L’ensemble A, cette fois abstrait • L’application f : A [P2 (X)] un multi-graphe avec boucles peut comprendre des arêtes multiples entre deux sommets donnés ainsi que des boucles multiples en un sommet. Un multi-graphe G = (X, A, f) est déterminé par: • L’ensemble X des sommets • L’ensemble A, cette fois abstrait • L’application f : A [P2 (X)] un multi-graphe avec boucles peut comprendre des arêtes multiples entre deux sommets donnés ainsi que des boucles multiples en un sommet. Exemples de cas où le modèle graphe est recommandé Exemples de cas où le modèle graphe est recommandé 15 15
- 16. Théorie des graphes Théoriedes graphes Une chaîne est une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant. La longueur d'une chaîne est le nombre d'arêtes qui la composent. La distance entre deux sommets est la plus courte longueur des chaînes qui les relient. Le diamètre d'un graphe est la plus grande distance entre deux sommets. Un graphe orienté Gn est formé de deux ensembles: un ensemble X={x1,x2,...,xn} dont les éléments sont appelés sommets, et un ensemble A={a1,a2,...,an), partie du produit cartésien X×X, dont les éléments sont appelés arcs. On notera Gn=(X,A). Si a=(x,y) est un arc du graphe G, x est l’extrémité initiale de a et y l’extrémité finale de a. À tout graphe orienté Gn(X,A), on associe le graphe simple G(X,B) où : {x, y}B ≠ ((x, y)A ou (y, x)A)). On appelle graphe complet un graphe dont tous les sommets sont adjacents. Un graphe dont les arêtes sont caractérisées par une quantité est dit valué. Un sous-graphe d'un graphe G est un graphe G' composé de certains sommets de G, ainsi que toutes les arêtes qui relient ces sommets. La matrice associée à un graphe d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n×n, où le terme à l'intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d'arêtes reliant i et j. C’est encore la matrice de liaison M. Un sous-graphe d'un graphe G est un graphe G' composé de certains sommets de G, ainsi que toutes les arêtes qui relient ces sommets. La matrice associée à un graphe d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n est une matrice symétrique, de dimension n×n, où le terme à l'intersection de la ième ligne et de la jème colonne vaut k, nombre d'arêtes reliant i et j. C’est encore la matrice de liaison M. Soit x un sommet d’un graphe orienté. On note d+ (x) le nombre d’arcs ayant x comme extrémité initiale, et d- (x) le nombre d’arcs ayant x comme extrémité finale. Ainsi, on a : d(x)=d+ (x)+ d- (x) La matrice des distances du graphe G est la matrice D={d(i, j)=(d(xi, xj)}. Sous-graphe G’ de G(X,A) Sous-graphe G’ de G(X,A) Exemple graphe orienté Exemple graphe orienté Exemple graphe G(X,A) Exemple graphe G(X,A) 16 16
- 17. Théorie des graphes Théoriedes graphes ● Le graphe discret d’ordre n, Dn,=(X, 0). ● Le graphe complet d’ordre n, Knn où X={1,2,...,n} et A = P2 (X) ● Le graphe biparti-complet Kpq où X={x1,x2,...,xp,y1,y2,...,yq} et A=f(xi, yj}/ 1≤i≤p et 1≤j≤q}. ● Le cycle Cnn où X={1,2…,n} et A={{1, 2},{2, 3},...,{n-1, n},{n, 1}}. ● Un graphe valué est un graphe orienté Gn(X,A), muni d’une fonction C appelée fonction de coût. ● Le coût d’un chemin est la somme des coûts des arcs de ce chemin. On peut définir la matrice des coûts du graphe, c’est la matrice C={ci,j} où : ci,j est le coût de l’arête (i, j). ● Un graphe est dit simplement connexe si pour tout couple (i, j)A, il y a toujours un chemin de i vers j. ● Un arbre est un sous-graphe simple connexe ne possédant pas de cycle simple et construit à base de tous les nœuds du graphe d’origine. ● La matrice d’incidence A d’un graphe orienté Gn est définie par : ● Valeur d’une chaîne: la somme des valeurs des arêtes (arcs) d’une chaîne d’un graphe valué. ● Le graphe discret d’ordre n, Dn,=(X, 0). ● Le graphe complet d’ordre n, Knn où X={1,2,...,n} et A = P2 (X) ● Le graphe biparti-complet Kpq où X={x1,x2,...,xp,y1,y2,...,yq} et A=f(xi, yj}/ 1≤i≤p et 1≤j≤q}. ● Le cycle Cnn où X={1,2…,n} et A={{1, 2},{2, 3},...,{n-1, n},{n, 1}}. ● Un graphe valué est un graphe orienté Gn(X,A), muni d’une fonction C appelée fonction de coût. ● Le coût d’un chemin est la somme des coûts des arcs de ce chemin. On peut définir la matrice des coûts du graphe, c’est la matrice C={ci,j} où : ci,j est le coût de l’arête (i, j). ● Un graphe est dit simplement connexe si pour tout couple (i, j)A, il y a toujours un chemin de i vers j. ● Un arbre est un sous-graphe simple connexe ne possédant pas de cycle simple et construit à base de tous les nœuds du graphe d’origine. ● La matrice d’incidence A d’un graphe orienté Gn est définie par : ● Valeur d’une chaîne: la somme des valeurs des arêtes (arcs) d’une chaîne d’un graphe valué. sinon 0 sortante ' 1 ' 1 , i noeud le de est j arête l si i noeud le sur incidente est j arête l si a j i 17 17
- 18. La topologie desgraphes est plus désignée pour des questions de modélisation graphique de systèmes de processus. Son intérêt est dans sa simplicité de mise en œuvre. Le cadre pratique couvre : ● Gestion des bilans énergétique et autre ● Gestion des flux et trafics ● Gestion des échanges ● Gestion des hiérarchies ● Ordonnancement des tâches ● Planification ● Projection ● Organisation fonctionnelle ● Traitements de l’information & connaissances ● Systèmes automatiques ● Systèmes relationnels. ● … La topologie des graphes est plus désignée pour des questions de modélisation graphique de systèmes de processus. Son intérêt est dans sa simplicité de mise en œuvre. Le cadre pratique couvre : ● Gestion des bilans énergétique et autre ● Gestion des flux et trafics ● Gestion des échanges ● Gestion des hiérarchies ● Ordonnancement des tâches ● Planification ● Projection ● Organisation fonctionnelle ● Traitements de l’information & connaissances ● Systèmes automatiques ● Systèmes relationnels. ● … Théorie des graphes Théorie des graphes 18 18
- 19. Travail dirigé Soit àreprésenter le circuit suivant par un multigraphe Dessiner le graphe équivalent, calculer ses matrices (liaison, incidence) Démontrer les équations AI=0 (A matrice d’incidence, I vecteur courant des nœuds et 0 le vecteur des zéros. Travail pratique : Écrire un programme FORTRAN qui permettra de lire les données d’un graphe G. Les entités à lire sont ses composantes dans le cas général. Travail dirigé Soit à représenter le circuit suivant par un multigraphe Dessiner le graphe équivalent, calculer ses matrices (liaison, incidence) Démontrer les équations AI=0 (A matrice d’incidence, I vecteur courant des nœuds et 0 le vecteur des zéros. Travail pratique : Écrire un programme FORTRAN qui permettra de lire les données d’un graphe G. Les entités à lire sont ses composantes dans le cas général. Théorie des graphes Théorie des graphes 19 19
- 20. Travail pratique : Écrireun programme FORTRAN qui permettra de lire les données d’un graphe G. Les entités à lire sont ses composantes dans le cas général. Travail pratique : Écrire un programme FORTRAN qui permettra de lire les données d’un graphe G. Les entités à lire sont ses composantes dans le cas général. Théorie des graphes Théorie des graphes https://github.com/mtamali/Graph-Theory/blob/master/Thgraph.f95 20 20
- 21. Travail pratique : Écrireun programme FORTRAN qui permettra de lire les données d’un graphe G. Les entités à lire sont ses composantes dans le cas général. Travail pratique : Écrire un programme FORTRAN qui permettra de lire les données d’un graphe G. Les entités à lire sont ses composantes dans le cas général. Théorie des graphes Théorie des graphes https://github.com/mtamali/Graph-Theory/blob/master/ThGraphWthOpen.f95 21 21
- 22. Évaluation des performances Évaluationdes performances Les évaluations de la performance du système, c’est le faire comparaître d'une manière systématique, aux critères des objectifs structurels, fonctionnels et du rendement. Ces techniques sont des outils du développement utilisé pour améliorer la fiabilité/robustesse du système dans son organisation. La performance est mesurée par rapport à des indicateurs tels que la connaissance de la topologie (structure), de la qualité et la quantité de la service (Fonction), de l'initiative et des capacités du leadership (gestion), de la supervision (monitoring), de la fiabilité (maintenabilité), de la coopération, du jugement, de la polyvalence et de la santé. L’évaluation des performances vise à augmenter les capacités du système à résister à tout type de perturbations structurelles ou fonctionnelles (Tolérance aux pannes). 22 22
- 23. Évaluation des performances Évaluationdes performances La fiabilité est généralement définie comme la capacité à accomplir une fonction déterminée ou requis dans des conditions spécifiques pour une période déterminée. Comme la disponibilité, la fiabilité peut être exprimée en pourcentage. EIle est la probabilité qu'une unité sera en mesure de remplir sa fonction déterminée pour une période de temps donnée. La disponibilité et fiabilité sont souvent confondues, en partie parce que la fiabilité à long terme tend à être utilisé lorsque la disponibilité est ce qui a été vraiment visé du système. Un exemple classique qui permet de distinguer la fiabilité de la disponibilité est celui d'un avion. Si vous voulez voler d’Alger à Tamanraset, alors vous voulez prendre un avion très fiable qui a une probabilité très élevée d'être en mesure de voler pendant les 4 à 5 heures de trajet. Ce même plan pourrait avoir une disponibilité très faible, si l'avion a besoin de 4 heures d'entretien (maintenance) avant chaque vol de 4 heures d’où la disponibilité de l'avion serait de 50%. Le service est cette fonction que les utilisateur du système attendent, donc plus celui-ci est fiable plus les demandes sont satisfaites. La qualité de service QdS (QoS) représente le taux de satisfaction des demandes par rapport aux capacités du système. Autrement dit, les capacités du système et la demande des clients sont en équilibre. Les dépassements de l’un par rapport à l’autre engendreront des déséquilibre dans le toute la composition du système. D’une manière générale, l’évaluation des performances EP c’est l’ensemble de protocoles et des procédures à envisager en vue d’une expertise du système (S) en cours de conception ou d’exploitation. On cherche dans toutes les situations d’améliorer les performance du système en question vis-à-vis d’une exigence/demande en attente. Le système (S) amélioré répond avec robustesse. On distingue généralement beaucoup de secteurs visés par cette EP, en l’occurrence la GRH, Métiers, Entreprise, Impact associatif et bien d’autre … 23 23
- 24. Évaluation des performances Évaluationdes performances Il existe beaucoup de techniques utilisées dans l’EP selon le domaine et ses caractéristiques structurelles, organisationnelles et fonctionnelles. Parmi ces techniques nous citerons : ● L’expertise Les experts humains représentent une bases de données vivante. Partager avec eux leurs connaissances et leurs vécus aura certes des répercutions positifs sur le système. ● Le Benchmarks ou étalons de mesures Les benchmarks/étalon de mesures sont le résultat d’une consolidation faite par les experts et connaisseurs dans un domaine précis. ● La mesure Dans le cas d’une inaccessibilité aux connaissances de l’expert, il n’y a pas mieux que le mesures à prévoir dans le milieux expérimental. Les données et observations récoltées seront traités par des stratégies statistiques. ● La simulation Le cas échéant les études se feront à l’aide d’outils de simulation (expérimentaux ou à l’aide de programmes informatiques). Il existe beaucoup de techniques utilisées dans l’EP selon le domaine et ses caractéristiques structurelles, organisationnelles et fonctionnelles. Parmi ces techniques nous citerons : ● L’expertise Les experts humains représentent une bases de données vivante. Partager avec eux leurs connaissances et leurs vécus aura certes des répercutions positifs sur le système. ● Le Benchmarks ou étalons de mesures Les benchmarks/étalon de mesures sont le résultat d’une consolidation faite par les experts et connaisseurs dans un domaine précis. ● La mesure Dans le cas d’une inaccessibilité aux connaissances de l’expert, il n’y a pas mieux que le mesures à prévoir dans le milieux expérimental. Les données et observations récoltées seront traités par des stratégies statistiques. ● La simulation Le cas échéant les études se feront à l’aide d’outils de simulation (expérimentaux ou à l’aide de programmes informatiques). 24 24
- 25. Évaluation des performances Évaluationdes performances Étapes de supervision du système 25 25
- 26. Évaluation des performances Évaluationdes performances 26 26
- 27. Évaluation des performances Évaluationdes performances 27 27
- 28. Évaluation des performances Évaluationdes performances R.T. : régime transitoire to : temps de démarrage tn : temps de l’établissement du régime nominal. tPCM : Priode de maintenance préventive. tchn : Période de maintenance currative. tr : Temps en mise retraite tm: Temps de mise hors-service. F: Fiabilité nulle F95%: Fiabilité minimale tolérée. Fmax: Fiabilité maximale Fnom: Fiabilité nominale tr : durée du régime transitoire. F(S): Fiabilité du système. T: le temps R.T. : régime transitoire to : temps de démarrage tn : temps de l’établissement du régime nominal. tPCM : Priode de maintenance préventive. tchn : Période de maintenance currative. tr : Temps en mise retraite tm: Temps de mise hors-service. F: Fiabilité nulle F95%: Fiabilité minimale tolérée. Fmax: Fiabilité maximale Fnom: Fiabilité nominale tr : durée du régime transitoire. F(S): Fiabilité du système. T: le temps 28 28
- 29. Évaluation des performances Évaluationdes performances On définit la fiabilité de (S) comme étant la probabilité que le celui-ci fonctionne correctement dans la période [0, ] et on écrit F(t≤). De même la défaillance du système D(t≤) est définit par le complément à 1 de la fiabilité (condition de probabilité). D’où D(t≤)=[1 - F(t≤)]. Dans le cas de systèmes en série, leur fiabilité résultante est donnée par : Alors que pour le cas de système parallèles elle est donnée par : Autrement, le système est formé par Une configuration mixte. On définit la fiabilité de (S) comme étant la probabilité que le celui-ci fonctionne correctement dans la période [0, ] et on écrit F(t≤). De même la défaillance du système D(t≤) est définit par le complément à 1 de la fiabilité (condition de probabilité). D’où D(t≤)=[1 - F(t≤)]. Dans le cas de systèmes en série, leur fiabilité résultante est donnée par : Alors que pour le cas de système parallèles elle est donnée par : Autrement, le système est formé par Une configuration mixte. m i i t F t F 1 ) ( ) ( m i i t F t F 1 ) ( ) ( m i i t F t F 1 ))] ( 1 ( 1 [ ) ( m i i t F t F 1 ))] ( 1 ( 1 [ ) ( 29 29
- 30. Évaluation des performances Évaluationdes performances L’évaluation des performances est le cadre recommandé pour tout les situations où le système fait apparaître une complexité à considérer. ● Technologie ● Gestion des ressources humaines (GRH) ● Energie (Production, Transport et Distribution) ● Stratégie militaire & systèmes de sécurité ● Métrologie (Appareillage et Méthodologies) ● Systèmes éducatifs ● Systèmes économiques ● Protocole & Normes ● Stations Météorologique ● Domaine spatial ● Agriculture ● … L’évaluation des performances est le cadre recommandé pour tout les situations où le système fait apparaître une complexité à considérer. ● Technologie ● Gestion des ressources humaines (GRH) ● Energie (Production, Transport et Distribution) ● Stratégie militaire & systèmes de sécurité ● Métrologie (Appareillage et Méthodologies) ● Systèmes éducatifs ● Systèmes économiques ● Protocole & Normes ● Stations Météorologique ● Domaine spatial ● Agriculture ● … Bicyclettes devant la gare Saint-Pierre à Gand, Belgique 30 30
- 31. Évaluation des performances Évaluationdes performances Dans ce cadre, le coût de n’importe qu’elle présumée exercice de maintenance peut excéder et de beaucoup le coût du système lui même. Les caractères FIABLE et MAINTENABLE ne nient le fait que la CHARGE et les UTILISATEURS peuvent avoir une influence sur l’adéquation. Certes, des profils de charges et d’utilisation peuvent apparaître sur la figure ci-contre Dans ce cadre, le coût de n’importe qu’elle présumée exercice de maintenance peut excéder et de beaucoup le coût du système lui même. Les caractères FIABLE et MAINTENABLE ne nient le fait que la CHARGE et les UTILISATEURS peuvent avoir une influence sur l’adéquation. Certes, des profils de charges et d’utilisation peuvent apparaître sur la figure ci-contre 31 31
- 32. Évaluation des performances Évaluationdes performances 28 28 32 32
- 33. Évaluation des performances Évaluationdes performances 29 29 33 33
- 34. Concepts fondamentaux Concepts fondamentaux Modélisation Pourla modélisation, le système étudié est appelé système primaire. Son modèle (équivalent) est une représentation de la réalité et est dit système secondaire. Par définition un modèle est une représentation simplifiée de la réalité. Le but majeur de cette opération c’est DÉCRIRE, PRÉDIRE, EXPLIQUER & RÉAGIR. Modélisation Pour la modélisation, le système étudié est appelé système primaire. Son modèle (équivalent) est une représentation de la réalité et est dit système secondaire. Par définition un modèle est une représentation simplifiée de la réalité. Le but majeur de cette opération c’est DÉCRIRE, PRÉDIRE, EXPLIQUER & RÉAGIR. Modélisation graphique C’est une stratégie modélisatrice des systèmes utilisant le graphique comme langage et outil de travail. Modélisation graphique C’est une stratégie modélisatrice des systèmes utilisant le graphique comme langage et outil de travail. Finalité de la modélisation Technique : fournir des spécifications claires pour produire, puis exploiter Intellectuelle : fournir au métier, une utilité dans les structures sociétales. Finalité de la modélisation Technique : fournir des spécifications claires pour produire, puis exploiter Intellectuelle : fournir au métier, une utilité dans les structures sociétales. L’Optimisation Jointure entre les deux domaines, La modélisation (Projection d’équivalent) et la Simulation (Tests & Scénarios). C’est le moyen utilisé pour allié efficacité et utilisabilité de la collecte et la supervision des observations et conceptions durant l’implantation de processesus. Les objectifs sont généralement pour des stratégies d’aide à la décision. L’Optimisation Jointure entre les deux domaines, La modélisation (Projection d’équivalent) et la Simulation (Tests & Scénarios). C’est le moyen utilisé pour allié efficacité et utilisabilité de la collecte et la supervision des observations et conceptions durant l’implantation de processesus. Les objectifs sont généralement pour des stratégies d’aide à la décision. 34 34
- 35. Les humains n’ontjamais pu résoudre les problème de leurs entourages que lorsqu’ils ont pu comprendre les tenants et aboutissant de la question. Une bonne imagination des réalités est indispensable. L’image résultante est le MODÈLE qu’on se fait avant d’entamer l’étape de la préparation de la solution. La simulation n’est que l’outil pour manipuler le modèle s’il existe. La simulation est conditionnée par l’exactitude du modèle. Ce qui signifie que une simulation basée sur un faux modèle est injustifiable et ne peut en aucun cas représentée une solution à une problématique posée. Les humains n’ont jamais pu résoudre les problème de leurs entourages que lorsqu’ils ont pu comprendre les tenants et aboutissant de la question. Une bonne imagination des réalités est indispensable. L’image résultante est le MODÈLE qu’on se fait avant d’entamer l’étape de la préparation de la solution. La simulation n’est que l’outil pour manipuler le modèle s’il existe. La simulation est conditionnée par l’exactitude du modèle. Ce qui signifie que une simulation basée sur un faux modèle est injustifiable et ne peut en aucun cas représentée une solution à une problématique posée. Modélisation & Simulation Modélisation & Simulation 35 35
- 36. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation 36 36
- 37. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil LPSolve Soit les problémes linéaires suivants : Cas réel : max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4; x1 + x2 <= 5; 2x1 - x2 >= 0; -x1 + 3x2 >= 0; x3 + x4 >= .5; x3 >= 1.1; X3 <= 10; Cas de variables entières min: -x1 -2 x2 +0.1 x3 +3 x4; r_1: +x1 +x2 <= 5; r_2: +2 x1 -x2 >= 0; r_3: -x1 +3 x2 >= 0; r_4: +x3 +x4 >= 0.5; x3 >= 1.1; int x3; Outil LPSolve Soit les problémes linéaires suivants : Cas réel : max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4; x1 + x2 <= 5; 2x1 - x2 >= 0; -x1 + 3x2 >= 0; x3 + x4 >= .5; x3 >= 1.1; X3 <= 10; Cas de variables entières min: -x1 -2 x2 +0.1 x3 +3 x4; r_1: +x1 +x2 <= 5; r_2: +2 x1 -x2 >= 0; r_3: -x1 +3 x2 >= 0; r_4: +x3 +x4 >= 0.5; x3 >= 1.1; int x3; 37 37
- 38. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil LiPS Soit les problémes linéaires suivants : Résoudre le programme linéaire suivant : max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4; x1 + x2 <= 5; 2x1 - x2 >= 0; -x1 + 3x2 >= 0; x3 + x4 >= .5; x3 >= 1.1; X3 <= 10; Outil LiPS Soit les problémes linéaires suivants : Résoudre le programme linéaire suivant : max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4; x1 + x2 <= 5; 2x1 - x2 >= 0; -x1 + 3x2 >= 0; x3 + x4 >= .5; x3 >= 1.1; X3 <= 10; 38 38
- 39. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil LiPS Soit les problémes linéaires suivants : Résoudre le programme linéaire suivant : max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4; x1 + x2 <= 5; 2x1 - x2 >= 0; -x1 + 3x2 >= 0; x3 + x4 >= .5; x3 >= 1.1; X3 <= 10; Outil LiPS Soit les problémes linéaires suivants : Résoudre le programme linéaire suivant : max: x1 + 2x2 - 4x3 -3x4; x1 + x2 <= 5; 2x1 - x2 >= 0; -x1 + 3x2 >= 0; x3 + x4 >= .5; x3 >= 1.1; X3 <= 10; 39 39
- 40. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil Octave Soit l’équation différentielle suivante : >> function xdot = f (x, t) > r = 0.25; > k = 1.4; > a = 1.5; > b = 0.16; > c = 0.9; > d = 0.8; > xdot(1) = r*x(1)*(1-x(1)/k)-a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1)); > xdot(2) = c*a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1))-d*x(2); > endfunction Et dont les condition initiale sont : > x0 = [1; 2]; Le paramètre t est définit par > t = linspace (0, 50, 200)'; La solution du problème est donnée par l’intergration > x = lsode ("f", x0, t); Le traçage de la fonction se fait par invocation de : > plot (t, x) Outil Octave Soit l’équation différentielle suivante : >> function xdot = f (x, t) > r = 0.25; > k = 1.4; > a = 1.5; > b = 0.16; > c = 0.9; > d = 0.8; > xdot(1) = r*x(1)*(1-x(1)/k)-a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1)); > xdot(2) = c*a*x(1)*x(2)/(1+b*x(1))-d*x(2); > endfunction Et dont les condition initiale sont : > x0 = [1; 2]; Le paramètre t est définit par > t = linspace (0, 50, 200)'; La solution du problème est donnée par l’intergration > x = lsode ("f", x0, t); Le traçage de la fonction se fait par invocation de : > plot (t, x) 40 40
- 41. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil Maxima Soit la tâche suivante : Resoudre les équation suivantes Outil Maxima Soit la tâche suivante : Resoudre les équation suivantes 41 41
- 42. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil Sage Après installation de SAGE, utiliser le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le logiciel. Taper, en ligne de comande Sage Et puis taper Sage notebook Outil Sage Après installation de SAGE, utiliser le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le logiciel. Taper, en ligne de comande Sage Et puis taper Sage notebook 42 42
- 43. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil Sage Après installation de SAGE, utiliser le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le logiciel. Taper, en ligne de comande Sage notebook f(x)=x^3+1 f(2) show(f) lim(f,x=1) lim((x^2-1)/(x-1),x=1) lim(f,x=1,dir='-'); lim(f,x=1,dir='right'); f(1) diff(f,x); derivative(f,x); f.derivative(x) derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x) show(derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x,3)) P=plot(f,(x,-1,1)) c=1/3 fprime=derivative(f,x) L(x)=fprime(c)*(x-c)+f(c) Q=plot(L,(x,-1,1), color="red", linestyle="--") P+Q Outil Sage Après installation de SAGE, utiliser le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le logiciel. Taper, en ligne de comande Sage notebook f(x)=x^3+1 f(2) show(f) lim(f,x=1) lim((x^2-1)/(x-1),x=1) lim(f,x=1,dir='-'); lim(f,x=1,dir='right'); f(1) diff(f,x); derivative(f,x); f.derivative(x) derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x) show(derivative(sinh(x^2+sqrt(x-1)),x,3)) P=plot(f,(x,-1,1)) c=1/3 fprime=derivative(f,x) L(x)=fprime(c)*(x-c)+f(c) Q=plot(L,(x,-1,1), color="red", linestyle="--") P+Q 43 43
- 44. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil Scilab Après installation de Scilab, utiliser de même le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le logiciel. Taper, en ligne de comande Scilab xdel(winsid()); f=scf(1); x=linspace(-%pi,%pi,50); y=sin(x); plot2d(x,y); Outil Scilab Après installation de Scilab, utiliser de même le fichier PDF de l’aide pour expérimenter le logiciel. Taper, en ligne de comande Scilab xdel(winsid()); f=scf(1); x=linspace(-%pi,%pi,50); y=sin(x); plot2d(x,y); 44 44
- 45. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Outil XCOS de Scilab Après lancement de Scilab, Applications | Xcos Exécuter le diagramme suivant : Outil XCOS de Scilab Après lancement de Scilab, Applications | Xcos Exécuter le diagramme suivant : 45 45
- 46. Travail dirigé Soit lesystème linéaire suivant : 1. Montrer que si on exprime les inconnues xi à partir de l’équation ayant le même indice, une méthode de calcul peut être déduite. 2. Démontrer cette action graphiquement 3. Quelle sont les difficultés qu’on peut renconter en utilisant cette stratégie 4. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur Δe déduite de chaque équation, on peut déduire une stratégie de détermination des inconnues. Formaliser le problème et discuter les formalités. Ecrire les algorithmes Travail dirigé Soit le système linéaire suivant : 1. Montrer que si on exprime les inconnues xi à partir de l’équation ayant le même indice, une méthode de calcul peut être déduite. 2. Démontrer cette action graphiquement 3. Quelle sont les difficultés qu’on peut renconter en utilisant cette stratégie 4. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur Δe déduite de chaque équation, on peut déduire une stratégie de détermination des inconnues. Formaliser le problème et discuter les formalités. Ecrire les algorithmes Modélisation & Simulation Modélisation & Simulation 46 46
- 47. Modélisation & Simulation Modélisation& Simulation Travail dirigé Soit le système linéaire suivant : 1. Montrer qu’on peut exprimer ces résultats par un polynome de degré n. 2. Déterminer l’erreur quadratique de l’estimation Δe2 3. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur quadratique Δe2 , déduite les coefficients des monômes du polynome Pn (x). Formaliser le problème et discuter les formalités. Ecrire les algorithmes Travail dirigé Soit le système linéaire suivant : 1. Montrer qu’on peut exprimer ces résultats par un polynome de degré n. 2. Déterminer l’erreur quadratique de l’estimation Δe2 3. En s’appuyant sur le calcul de l’erreur quadratique Δe2 , déduite les coefficients des monômes du polynome Pn (x). Formaliser le problème et discuter les formalités. Ecrire les algorithmes 47 47
- 48. Système linéaire Système linéaire Principede proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t). Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)]. Allure de la courbe d’un SL : pour un système linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) est une droite. Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations de ses composantes sont continûment observable. Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques sont insensibles aux changements du temps. selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions indépendamment du temps. Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t). Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)]. Allure de la courbe d’un SL : pour un système linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) est une droite. Un système est continu, par opposition à un système discret, lorsque les variations de ses composantes sont continûment observable. Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques sont insensibles aux changements du temps. selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions indépendamment du temps. Un système d’équations linéaires SEL (ζ) est la composition faite de n équations linéaires : a11x1 + a12x2 + … = k1 a21x1 + a22x2 + … = k2 …. an1x1 + an2x2 + … = kn où x1, x2, … xp sont les p inconnues du système alors que k1, k2, … kn sont les n termes du second membre ou constantes et les aij sont les n*p coefficients du système ou multiplicateur des variable xi. Géométriquement (ζ), les n équations représentent les n droites en intersection dans un référentiel Rn . Un système d’équations linéaires SEL (ζ) est la composition faite de n équations linéaires : a11x1 + a12x2 + … = k1 a21x1 + a22x2 + … = k2 …. an1x1 + an2x2 + … = kn où x1, x2, … xp sont les p inconnues du système alors que k1, k2, … kn sont les n termes du second membre ou constantes et les aij sont les n*p coefficients du système ou multiplicateur des variable xi. Géométriquement (ζ), les n équations représentent les n droites en intersection dans un référentiel Rn . Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant, autour d'un point de considération finie (équilibre fonctionnel), on obtient un système linéaire qui correspond au système non linéaire. Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W. Bode (1905-1982) à la fin de la II guerre mondiale. Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin (1908-1988) et al et surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des années 1960. Un système est linéaire s’il se comporte linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant, autour d'un point de considération finie (équilibre fonctionnel), on obtient un système linéaire qui correspond au système non linéaire. Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W. Bode (1905-1982) à la fin de la II guerre mondiale. Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin (1908-1988) et al et surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des années 1960. Un système est linéaire s’il se comporte linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques. Bellman Bellman Kalman Kalman Pontryagin Pontryagin Bode Bode 48 48
- 49. Système linéaire Système linéaireConcours de droites : Linéarisation Concours de droites : Linéarisation Concours de droites : Domaine Concours de droites : Domaine Concours de courbes Cas de L’investissement/Amortissement Concours de courbes Cas de L’investissement/Amortissement La première difficultés réside en la confusion faite en comparant les SL aux SEL. Le cadre de ce cours concerne plus les SL malgré que ceux-ci peuvent être régis, dans des cas précis (économique par exemple) par des SEL. La deuxième ambiguïté touche la considération du système et du système mathématique qui lui est associé comme une seule entité. La réalité est tout à fait distincte. k étant la raideur du ressort. L’oscillation est fonction de l’environnement. Ces des système qui se manifestent proportionnellement à la cause qui est à l’origine. Dans cette même situation, Les SEL sont une forme d’écriture (modèles simplifiés, modèles linéarisés) représentant des cas d’équivalents de systèmes linéaires. C’est le cas des systèmes économiques où nous décrivons l’évolution des variables du système par une proportionnalité d’ordre 1. z=CT *X Sous des contraintes Φ(X)=b et pour lesquelles X≥0. La première difficultés réside en la confusion faite en comparant les SL aux SEL. Le cadre de ce cours concerne plus les SL malgré que ceux-ci peuvent être régis, dans des cas précis (économique par exemple) par des SEL. La deuxième ambiguïté touche la considération du système et du système mathématique qui lui est associé comme une seule entité. La réalité est tout à fait distincte. k étant la raideur du ressort. L’oscillation est fonction de l’environnement. Ces des système qui se manifestent proportionnellement à la cause qui est à l’origine. Dans cette même situation, Les SEL sont une forme d’écriture (modèles simplifiés, modèles linéarisés) représentant des cas d’équivalents de systèmes linéaires. C’est le cas des systèmes économiques où nous décrivons l’évolution des variables du système par une proportionnalité d’ordre 1. z=CT *X Sous des contraintes Φ(X)=b et pour lesquelles X≥0. 49 49
- 50. Système linéaire Système linéaire Formalisation x1+ x2+x3 ≤ 100 6*x1 + 2*x2 + 3*x3 ≤ 450 3*x2 + x3 ≤ 150 X3 ≤ 60 X ≥ 0 condition économique Total bénéfice à maximiser (en DA). Donc, Z=81*x1 +90*x2 + 70*x3 Modélisation graphique Nous remarquons que les plans dictées par le concours des équations des contraintes AX=b (une fois saturées) délimitent un domaine (Ω) qui contient la solution du problème posé. x1 + x2+x3 = 100 : la plan α 6*x1 + 2*x2 + 3*x3 = 450 : la plan β 3*x2 + x3 = 150 : la plan γ X3 = 60 : la plan δ Le domaine représente la région volumique dans laquelle se trouve le point Zopt = {x1 opt , x2 opt , x3 opt }qui équivaut à la valeur de zmax. Selon le module SOLVEUR d’excel de Microsoft les résultats sont : {50, 50,0} et le bénéfice total Zopt est égal à 8550 DA. Le nombre d’unités à produire de type C est égal à 0, ceci veut dire que c’est pas profitable d’en produire. Formalisation x1 + x2+x3 ≤ 100 6*x1 + 2*x2 + 3*x3 ≤ 450 3*x2 + x3 ≤ 150 X3 ≤ 60 X ≥ 0 condition économique Total bénéfice à maximiser (en DA). Donc, Z=81*x1 +90*x2 + 70*x3 Modélisation graphique Nous remarquons que les plans dictées par le concours des équations des contraintes AX=b (une fois saturées) délimitent un domaine (Ω) qui contient la solution du problème posé. x1 + x2+x3 = 100 : la plan α 6*x1 + 2*x2 + 3*x3 = 450 : la plan β 3*x2 + x3 = 150 : la plan γ X3 = 60 : la plan δ Le domaine représente la région volumique dans laquelle se trouve le point Zopt = {x1 opt , x2 opt , x3 opt }qui équivaut à la valeur de zmax. Selon le module SOLVEUR d’excel de Microsoft les résultats sont : {50, 50,0} et le bénéfice total Zopt est égal à 8550 DA. Le nombre d’unités à produire de type C est égal à 0, ceci veut dire que c’est pas profitable d’en produire. Modélisation graphique du SL Modélisation graphique du SL Résultats du problème sous Excel Résultats du problème sous Excel Modélisation graphique du SL Modélisation graphique du SL 50 50
- 51. Système linéaire Système linéaire Méthodede Simplexe Soit à optimiser, par la méthode Simplexe la fonction objectif Z = CT .X sous les contraintes 1(X) ≤ b1, 2(X) = b2 et 3(X) ≥ b3 X≥0 (condition économique), b1 b2 b3 = b : vecteur second membre Les i sont les fonction contraintes d’inégalités i [1,m]. Une écriture condensée de la forme (PL) : Z = CT .X s.c. (X) ≤ b X≥0 Est toujours possible. Solution réalisable Par addition / soustraction de quantités si à chaque équation contrainte, nous obtenons la forme aisée suivante (forme PL1) : Z = CT .X s.c. ’(X, si) = ’(X’) = b avec X’=X si. X≥0 Si nous considérons N, l’ensemble des indices des variables de X, on peut toujours choisir m variables parmi n. Ces dernières formerons la solution SUPPOSEE du problème. N = {1, 2, 3, …, n} Avec les m indices parmi n, nous construirons un ensemble β dit BASE REALISABLE. Méthode de Simplexe Soit à optimiser, par la méthode Simplexe la fonction objectif Z = CT .X sous les contraintes 1(X) ≤ b1, 2(X) = b2 et 3(X) ≥ b3 X≥0 (condition économique), b1 b2 b3 = b : vecteur second membre Les i sont les fonction contraintes d’inégalités i [1,m]. Une écriture condensée de la forme (PL) : Z = CT .X s.c. (X) ≤ b X≥0 Est toujours possible. Solution réalisable Par addition / soustraction de quantités si à chaque équation contrainte, nous obtenons la forme aisée suivante (forme PL1) : Z = CT .X s.c. ’(X, si) = ’(X’) = b avec X’=X si. X≥0 Si nous considérons N, l’ensemble des indices des variables de X, on peut toujours choisir m variables parmi n. Ces dernières formerons la solution SUPPOSEE du problème. N = {1, 2, 3, …, n} Avec les m indices parmi n, nous construirons un ensemble β dit BASE REALISABLE. Modélisation graphique du SL Modélisation graphique du SL 51 51
- 52. Système linéaire Système linéaire Méthodede Simplexe D’où, une solution réalisable est la considération des variable de la base réalisable comme solution possible au problème tel qu’il a été décrit (forme PL1), les variables considérées sont appelées variables de base. Par contre, le complément de β dans N noté β=(N-β) comprend des variables dites variables hors-base. Le problème est alors décrit par : Zβ = CB T .Xβ B.Xβ = b Xβ≥0 Avec Xβ=0 et CBC, Zβ = Fonction objectif pour une base β. B est la matrice de passage formée par les colonne relatives aux variable de base seulement et elle représente le complément à A formée par les coefficients des . La solution recherchée est donnée par Xβ = B-1 b. Formulation du Simplexe Le problème ainsi formulé résulte d’une image globale donnée par : Z = Zβ + Zβ = CB T .Xβ + CB T .Xβ B.Xβ + B.Xβ = b Xβ ≥ 0 et Xβ ≥ 0 Dans l’équation de Z nous substituons X par son expression et nous aurons : Z = CB T .B-1 b + CB T .Xβ Si nous choisissons xi β par défaut et par la même occasion, nous sous-estimons une autre xj β, nous commettons une erreur donnée par : - yi ordonée de xi et égale à bi/aij , j étant la colonne de xi alors i β. yimin=Min{yi; i β} - cBj quantité dite coùt marginal de la variable xj notée j. jmax=Max{j, j β} La correction de cette erreur d’estimation est reprise ans l’Algorithme du Simplexe. Méthode de Simplexe D’où, une solution réalisable est la considération des variable de la base réalisable comme solution possible au problème tel qu’il a été décrit (forme PL1), les variables considérées sont appelées variables de base. Par contre, le complément de β dans N noté β=(N-β) comprend des variables dites variables hors-base. Le problème est alors décrit par : Zβ = CB T .Xβ B.Xβ = b Xβ≥0 Avec Xβ=0 et CBC, Zβ = Fonction objectif pour une base β. B est la matrice de passage formée par les colonne relatives aux variable de base seulement et elle représente le complément à A formée par les coefficients des . La solution recherchée est donnée par Xβ = B-1 b. Formulation du Simplexe Le problème ainsi formulé résulte d’une image globale donnée par : Z = Zβ + Zβ = CB T .Xβ + CB T .Xβ B.Xβ + B.Xβ = b Xβ ≥ 0 et Xβ ≥ 0 Dans l’équation de Z nous substituons X par son expression et nous aurons : Z = CB T .B-1 b + CB T .Xβ Si nous choisissons xi β par défaut et par la même occasion, nous sous-estimons une autre xj β, nous commettons une erreur donnée par : - yi ordonée de xi et égale à bi/aij , j étant la colonne de xi alors i β. yimin=Min{yi; i β} - cBj quantité dite coùt marginal de la variable xj notée j. jmax=Max{j, j β} La correction de cette erreur d’estimation est reprise ans l’Algorithme du Simplexe. 52 52
- 53. Système linéaire Système linéaire Méthodede Simplexe (Algorithme) Après la construction du PL2 à partir de PL0 et PL1 Zβ = CB T .Xβ B.Xβ = b Xβ≥0 Nous choisirons b sachant que la solution est donnée par Xβ = B-1 b. On forme xβ à partir des m variables d’écart si introduite lors de la construction de β. Les coût marginaux des variables hors base est alors prise j=cj. On forme le tableau T={tij} Dans ce qui suivra, nous appliquerons les deux critère de G. Dantzig (1914-2005) Cas d’une minimisation 1. Si tous les Dj sont négatifs ou nuls, le problème converge, on s’arrête. 2. Calculer jmax=Max{j, j β} la colonne correspondante est relative à la variable entrante notée jo. 3. Calculer l’ordonné minimal yimin=Min{yi; i β} et par suite l’indice de la variable de base à faire sortir io. 4. L’intersection de la colonne jo et de la ligne io donnera la position du pivot aio,jo. Toute la ligne io de la matrice A est alors divisée par celui-ci (Réduction de Gauss-Jordan ). 5. Les autres lignes sont transformées selon la formule suivante : Le tableau T est remplacé par sa résultante T’ après ces transformations et on revient vers l’étape 1). La méthode du Simplexe, des tableaux est la plus commode et simple à utiliser, implémenté sous forme code informatique à déployer pour une exécution Stand-Alone ou à travers des Applets Java. Méthode de Simplexe (Algorithme) Après la construction du PL2 à partir de PL0 et PL1 Zβ = CB T .Xβ B.Xβ = b Xβ≥0 Nous choisirons b sachant que la solution est donnée par Xβ = B-1 b. On forme xβ à partir des m variables d’écart si introduite lors de la construction de β. Les coût marginaux des variables hors base est alors prise j=cj. On forme le tableau T={tij} Dans ce qui suivra, nous appliquerons les deux critère de G. Dantzig (1914-2005) Cas d’une minimisation 1. Si tous les Dj sont négatifs ou nuls, le problème converge, on s’arrête. 2. Calculer jmax=Max{j, j β} la colonne correspondante est relative à la variable entrante notée jo. 3. Calculer l’ordonné minimal yimin=Min{yi; i β} et par suite l’indice de la variable de base à faire sortir io. 4. L’intersection de la colonne jo et de la ligne io donnera la position du pivot aio,jo. Toute la ligne io de la matrice A est alors divisée par celui-ci (Réduction de Gauss-Jordan ). 5. Les autres lignes sont transformées selon la formule suivante : Le tableau T est remplacé par sa résultante T’ après ces transformations et on revient vers l’étape 1). La méthode du Simplexe, des tableaux est la plus commode et simple à utiliser, implémenté sous forme code informatique à déployer pour une exécution Stand-Alone ou à travers des Applets Java. George Dantzig George Dantzig Tableau T du Simplexe à transformer en T’ Tableau T du Simplexe à transformer en T’ Camille Jordan 1838-1922 Camille Jordan 1838-1922 Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Carl Friedrich Gauss 1777-1855 1 1 1 , 1 1 , 1 * ' ' n j et m i si sauf n j et m i pour t t t t o o ij j i ij ij 1 1 1 , 1 1 , 1 * ' ' n j et m i si sauf n j et m i pour t t t t o o ij j i ij ij o o o o j i j i j i t t t / ' o o ij j i ij ij t t t t a on n j et m i pour * ' ' 1 1 o o ij j i ij ij t t t t a on n j et m i pour * ' ' 1 1 53 53
- 54. Système linéaire Système linéaire GeorgeDantzig George Dantzig Tableau T du Simplexe à transformer en T’ Tableau T du Simplexe à transformer en T’ Camille Jordan 1838-1922 Camille Jordan 1838-1922 Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Carl Friedrich Gauss 1777-1855 54 54
- 55. Système linéaire Système linéaire Méthodede Simplexe Maximize p = 81x +90y + 70z subject to x + y + t <= 100 x + y + t + s1 + 0.s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 100 6x + 2y + 3t <= 450 6x + 2y + 3t + 0.s1 + s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 450 3y + t <= 150 3y + t + 0.s1 + 0.s2 + s3 + 0.s4 <= 150 t <= 60 t + 0.s1 + 0.s2 + 0.s3 + s4 <= 60 X,y,t ≥ 0 (x=x1, y=x2 et t=x3) si variable d’écart, β0 : base initiale = {s1, s2, s3, s4} Tableau #1 x y t s1 s2 s3 s4 p 1 1 1 1 0 0 0 0 100 6 2 3 0 1 0 0 0 450 0 3 1 0 0 1 0 0 150 0 0 1 0 0 0 1 0 60 -81 -90 -70 0 0 0 0 1 0 j≤0 donc on continue, on fait sortir s3 (ord=150/3ordmin) et entrer y (jmax=|-90|) Tableau #2, β1 : base 1= {s1, s2, y, s4} x y t s1 s2 s3 s4 p 1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50 6 0 2.33 0 1 -0.667 0 0 350 0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50 0 0 1 0 0 0 1 0 60 -81 0 -40 0 0 30 0 1 4500 j≤0 donc on continue, on fait sortir s1 (ord=50/1ordmin) et entrer x (jmax=|-80|) Tableau #3, β2 : base initiale = {x, s2, y, s4} x y t s1 s2 s3 s4 p 1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50 0 0 -1.67 -6 1 1.33 0 0 50 0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50 0 0 1 0 0 0 1 0 60 0 0 14 81 0 3 0 1 8550, j≥0 donc convergence, d’où x=x1=50, y=x2=50 et t=x3=0 alors Zopt=8550 Méthode de Simplexe Maximize p = 81x +90y + 70z subject to x + y + t <= 100 x + y + t + s1 + 0.s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 100 6x + 2y + 3t <= 450 6x + 2y + 3t + 0.s1 + s2 + 0.s3 + 0.s4 <= 450 3y + t <= 150 3y + t + 0.s1 + 0.s2 + s3 + 0.s4 <= 150 t <= 60 t + 0.s1 + 0.s2 + 0.s3 + s4 <= 60 X,y,t ≥ 0 (x=x1, y=x2 et t=x3) si variable d’écart, β0 : base initiale = {s1, s2, s3, s4} Tableau #1 x y t s1 s2 s3 s4 p 1 1 1 1 0 0 0 0 100 6 2 3 0 1 0 0 0 450 0 3 1 0 0 1 0 0 150 0 0 1 0 0 0 1 0 60 -81 -90 -70 0 0 0 0 1 0 j≤0 donc on continue, on fait sortir s3 (ord=150/3ordmin) et entrer y (jmax=|-90|) Tableau #2, β1 : base 1= {s1, s2, y, s4} x y t s1 s2 s3 s4 p 1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50 6 0 2.33 0 1 -0.667 0 0 350 0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50 0 0 1 0 0 0 1 0 60 -81 0 -40 0 0 30 0 1 4500 j≤0 donc on continue, on fait sortir s1 (ord=50/1ordmin) et entrer x (jmax=|-80|) Tableau #3, β2 : base initiale = {x, s2, y, s4} x y t s1 s2 s3 s4 p 1 0 0.667 1 0 -0.333 0 0 50 0 0 -1.67 -6 1 1.33 0 0 50 0 1 0.333 0 0 0.333 0 0 50 0 0 1 0 0 0 1 0 60 0 0 14 81 0 3 0 1 8550, j≥0 donc convergence, d’où x=x1=50, y=x2=50 et t=x3=0 alors Zopt=8550 55 55
- 56.
- 57. Système non linéaire Systèmenon linéaire Les sciences Physiques s’adaptent aux ressemblance des systèmes non linéaires, contrairement à ceux dits linéaire. Ces derniers, sont des cas de systèmes qui ne satisfont pas aux principes de la superposition, ce qui indique, que la réponse d'un système non linéaire n’est pas directement proportionnelle à la ressource donnée en entrée. Alors qu’en mathématiques, les systèmes d'équations non linéaires sont des écritures dans lesquelles les inconnues apparaissent comme des variables d'un polynôme de degré supérieur à un ou dans l'argument d'une fonction qui n’est pas un polynôme de degré un. Les systèmes non linéaires sont généralement des descriptions plus ou moins justifiées. Le système dans lequel (par opposition aux systèmes linéaires) l'effet des facteurs externes ne sont pas purement additive, et peuvent même avoir des effets perturbateurs. Les systèmes non linéaires ne peuvent pas être décomposées en plusieurs parties et réassemblés autour du même contexte, et ne varient pas en fonction d'un changement dans une entrée. La plupart des processus économiques et/ou de société sont non linéaires où l'analyse mathématique (à quelques exceptions près) est incapable de fournir des solutions générales. En d'autres termes, dans un système d'équations non linéaires, l'équation (s) de la sortie ne peut pas être écrite comme une combinaison linéaire des variables inconnues. En général, le comportement d'un système non linéaire est régit par un système d'équations non linéaires. Les sciences Physiques s’adaptent aux ressemblance des systèmes non linéaires, contrairement à ceux dits linéaire. Ces derniers, sont des cas de systèmes qui ne satisfont pas aux principes de la superposition, ce qui indique, que la réponse d'un système non linéaire n’est pas directement proportionnelle à la ressource donnée en entrée. Alors qu’en mathématiques, les systèmes d'équations non linéaires sont des écritures dans lesquelles les inconnues apparaissent comme des variables d'un polynôme de degré supérieur à un ou dans l'argument d'une fonction qui n’est pas un polynôme de degré un. Les systèmes non linéaires sont généralement des descriptions plus ou moins justifiées. Le système dans lequel (par opposition aux systèmes linéaires) l'effet des facteurs externes ne sont pas purement additive, et peuvent même avoir des effets perturbateurs. Les systèmes non linéaires ne peuvent pas être décomposées en plusieurs parties et réassemblés autour du même contexte, et ne varient pas en fonction d'un changement dans une entrée. La plupart des processus économiques et/ou de société sont non linéaires où l'analyse mathématique (à quelques exceptions près) est incapable de fournir des solutions générales. En d'autres termes, dans un système d'équations non linéaires, l'équation (s) de la sortie ne peut pas être écrite comme une combinaison linéaire des variables inconnues. En général, le comportement d'un système non linéaire est régit par un système d'équations non linéaires. 57 57
- 58. Système non linéaire Systèmenon linéaire Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors *s(t) est la réponse à l'entrée *e(t). λ λ Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)]. Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas une droite. Un système SNL est continu, par opposition à un SNL dit discret, lorsque les variations de ses composantes sont continûment observable dans le cadre de son domaine de définition δ. Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques sont insensibles aux changements du temps. selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions indépendamment du temps. Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors *s(t) est la réponse à l'entrée *e(t). λ λ Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)]. Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas une droite. Un système SNL est continu, par opposition à un SNL dit discret, lorsque les variations de ses composantes sont continûment observable dans le cadre de son domaine de définition δ. Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques sont insensibles aux changements du temps. selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions indépendamment du temps. Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition faite de m équations non-linéaires : f1(X) = 1(X) f2(X) = 2(X) …. fm(X) = m(X) où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1, 2, … n sont les m fonctions du second membre, elles même dépendantes de X. Géométriquement, les m équations représentent les m courbes (α, β, …) en intersection dans un référentiel Rn . Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition faite de m équations non-linéaires : f1(X) = 1(X) f2(X) = 2(X) …. fm(X) = m(X) où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1, 2, … n sont les m fonctions du second membre, elles même dépendantes de X. Géométriquement, les m équations représentent les m courbes (α, β, …) en intersection dans un référentiel Rn . Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (cas de systèmes linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie (situation ou état du système), on obtient un système linéaire qui correspond à une approximation grossière du système non linéaire d’origine. Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode (1905-1982) à la fin de la IIème guerre mondiale. Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988) surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des années 1960. Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (cas de systèmes linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie (situation ou état du système), on obtient un système linéaire qui correspond à une approximation grossière du système non linéaire d’origine. Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode (1905-1982) à la fin de la IIème guerre mondiale. Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988) surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des années 1960. Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques. Bode Bode Bellman Bellman Kalman Kalman Pontryagin Pontryagin 58 58
- 59. Système non linéaire Systèmenon linéaire Cas de l’équation f(u)=u3 − u − 1 = 0 Cas de l’équation f(u)=u3 − u − 1 = 0 Pr. Edward Lorenz (1917-2008), professeur en mathématiques, MIT Pr. Edward Lorenz (1917-2008), professeur en mathématiques, MIT Le Pr. Edward Lorenz est le père de la théorie du chaos. Il observa le phénomène en 1961 et est à l’origine de la découverte de ce qui s'appellera plus tard la théorie du chaos par hasard, à la suite de calculs menés pour des prévisions dans le domaine de la météo. le simple battement d'ailes d'un papillon au Brésil pourrait déclencher une tornade au Texas Le Pr. Edward Lorenz est le père de la théorie du chaos. Il observa le phénomène en 1961 et est à l’origine de la découverte de ce qui s'appellera plus tard la théorie du chaos par hasard, à la suite de calculs menés pour des prévisions dans le domaine de la météo. le simple battement d'ailes d'un papillon au Brésil pourrait déclencher une tornade au Texas La forme d’équation donnée par : f (X) = C Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire vérifiant les condition de superposition et de proportionnalité. L'équation est dite homogène si C = 0. Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X peut être toute composante du système sensible mathématiquement (nombre, vecteur, fonction, … etc.), et l’expression de f(X) peut avoir littéralement beaucoup de formes, une forme récurrente, l'intégrale ou différentielle avec association de contraintes (telles que les valeurs initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport à X, le résultat sera une équation différentielle. Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire donnée par a.x3 +b.x-3=0 Une équation non linéaire itérative est toujours la résultante d’une écriture de type : u(k+1) = g(u(k) ) Une équation différentielle, quant à elle est donnée par du/dx=-A*u3 . La forme d’équation donnée par : f (X) = C Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire vérifiant les condition de superposition et de proportionnalité. L'équation est dite homogène si C = 0. Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X peut être toute composante du système sensible mathématiquement (nombre, vecteur, fonction, … etc.), et l’expression de f(X) peut avoir littéralement beaucoup de formes, une forme récurrente, l'intégrale ou différentielle avec association de contraintes (telles que les valeurs initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport à X, le résultat sera une équation différentielle. Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire donnée par a.x3 +b.x-3=0 Une équation non linéaire itérative est toujours la résultante d’une écriture de type : u(k+1) = g(u(k) ) Une équation différentielle, quant à elle est donnée par du/dx=-A*u3 . Attracteur étrange de Lorenz Attracteur étrange de Lorenz 59 59
- 60. Système non linéaire Systèmenon linéaire Problème type : Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations optimales de localisation. La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des activités contractées et en cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une manière optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question. Formalisation D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai de l’antenne principale ap(m) xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne. dij = ([(xj-xi)2 +(yj-yi)2 ]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m) S=Σdij 2 : Somme des distances à minimiser Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques) Modélisation graphique Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire. Problème type : Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations optimales de localisation. La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des activités contractées et en cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une manière optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question. Formalisation D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai de l’antenne principale ap(m) xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne. dij = ([(xj-xi)2 +(yj-yi)2 ]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m) S=Σdij 2 : Somme des distances à minimiser Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques) Modélisation graphique Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire. Représentation graphique du problème de la localisation optimale des antennes. Représentation graphique du problème de la localisation optimale des antennes. Exemple d’antenne utilisées pour les GSM. Exemple d’antenne utilisées pour les GSM. 60 60
- 61. Système non linéaire Systèmenon linéaire Formalisation Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk/(k[1, n]) définit dans un domaine D résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}. On définit par : F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C est l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on parle de problème non linéaire contraint. Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D. Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la forme d’un développement de Taylor et dont la forme est : F(X0+ΔX0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0) D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite Nabla F, Gradient du système de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor, regroupe les dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à . Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n. De ce fait on garde seulement la partie; F(X0+X0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0) 0 Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0 0 [F(X)X=Xo].X0 - F(X0) Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0 - F(X0) d’où X0 - [J(X0)]-1 .F(X0) et X = X0+X0. Formalisation Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk/(k[1, n]) définit dans un domaine D résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}. On définit par : F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C est l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on parle de problème non linéaire contraint. Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D. Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la forme d’un développement de Taylor et dont la forme est : F(X0+ΔX0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0) D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite Nabla F, Gradient du système de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor, regroupe les dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à . Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n. De ce fait on garde seulement la partie; F(X0+X0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0) 0 Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0 0 [F(X)X=Xo].X0 - F(X0) Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0 - F(X0) d’où X0 - [J(X0)]-1 .F(X0) et X = X0+X0. 61 61
- 62. Système non linéaire Systèmenon linéaire Formalisation Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons : f(x) = 0 f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’ (x0) .h, avec h=(x-x0). x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’ Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première approximation de la solution, alors, par récurrence h est recalculer de manière à corriger (par une quantité h f(x0)/(f(x0))’) pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution. De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice Jacobéenne du système. X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1 .F(X0)]) La formule de récurence donne les estimés successifs; Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1 .F(Xk)]) Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1). ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de de J est Jacobéen (|J(X)|). Formalisation Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons : f(x) = 0 f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’ (x0) .h, avec h=(x-x0). x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’ Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première approximation de la solution, alors, par récurrence h est recalculer de manière à corriger (par une quantité h f(x0)/(f(x0))’) pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution. De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice Jacobéenne du système. X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1 .F(X0)]) La formule de récurence donne les estimés successifs; Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1 .F(Xk)]) Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1). ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de de J est Jacobéen (|J(X)|). 62 62
- 63. Système non linéaire Systèmenon linéaire L’algorithme NR est donné par : Demander X0, 1. Mettre k=0 2. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée) 3. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer 4. Répéter a) Xk=Xk+1 b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1 .F(Xk)]) 5. Tant que Xk≥ 6. Afficher Xk+1 La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …) L’algorithme NR est donné par : Demander X0, 1. Mettre k=0 2. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée) 3. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer 4. Répéter a) Xk=Xk+1 b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1 .F(Xk)]) 5. Tant que Xk≥ 6. Afficher Xk+1 La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …) Isaac NEWTON (1642 −1727) Isaac NEWTON (1642 −1727) Joseph Raphson (1648-1715) Joseph Raphson (1648-1715) 63 63
- 64. Système non linéaire Systèmenon linéaire De même, la méthode du Gradient nous expose l’algorithme suivant : 1. GradPasFixe(f, x0, Pas, tolérance) 2. x ← x0 3. Tant que : || f(x)|| > tolérance ∇ 4. x ← x − Pas* f(x) ∇ 5. Retourner x ------------------------------------------------------ 6. GradPasOpt(f, x0, pas, tolérance) 7. x ← x0 8. Tant que : || f(x)||> tolérance ∇ 9. u = − f(x) ∇ 10. Calculer le pas optimal p* 11. x ← x + p*.u 12. Retourner x L’algorithme du gradient à pas optimal combine la stratégie de Cauchy pour la détermination de la direction de descente avec, à chaque étape, une recherche du pas optimal minimisant : (t) = f(x + t.u) ϕ , où : u = − f(x) ∇ est la direction de descente au point x De même, la méthode du Gradient nous expose l’algorithme suivant : 1. GradPasFixe(f, x0, Pas, tolérance) 2. x ← x0 3. Tant que : || f(x)|| > tolérance ∇ 4. x ← x − Pas* f(x) ∇ 5. Retourner x ------------------------------------------------------ 6. GradPasOpt(f, x0, pas, tolérance) 7. x ← x0 8. Tant que : || f(x)||> tolérance ∇ 9. u = − f(x) ∇ 10. Calculer le pas optimal p* 11. x ← x + p*.u 12. Retourner x L’algorithme du gradient à pas optimal combine la stratégie de Cauchy pour la détermination de la direction de descente avec, à chaque étape, une recherche du pas optimal minimisant : (t) = f(x + t.u) ϕ , où : u = − f(x) ∇ est la direction de descente au point x Augustin Louis Cauchy (1789 −1857) Augustin Louis Cauchy (1789 −1857) Processus de convergence des valeurs de x vers la solution x* Processus de convergence des valeurs de x vers la solution x* 64 64
- 65. Système non linéaire Systèmenon linéaire Formalisation Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme : L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier. Résoudre : F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction de Lagrange L pour les mêmes raisons. Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si : L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues L/j = 0, pour j [1, m], m étant le nombre de contraintes Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la détermination du gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum. Formalisation Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme : L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier. Résoudre : F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction de Lagrange L pour les mêmes raisons. Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si : L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues L/j = 0, pour j [1, m], m étant le nombre de contraintes Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la détermination du gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum. Joseph-Louis Lagrange (1739-1813) Joseph-Louis Lagrange (1739-1813) 65 65
- 66. Système non linéaire Systèmenon linéaire Simulation Comment construire une boîte avec la même forme que dans la figure avec un volume V0 fixe de telle sorte que la quantité de matière utilisée sera minimale ? Selon le modèle demandé de l’emballage, on remarque que les face de côtés sont de surface égale à 2.(a.c + b.c) alors celles du haut et du bas sont de 2.2.(a.b) d’où : F(a, b, c) = 2.a.c + 2.b.c + 4.a.b Le matériau (carton emballage) utilisé doit être de valeur minimal donc : g(a,b,c)=a.b.c=V0, avec V0 constante. Selon Lagrange, nous écrivons : L(a,b,c,) = (2.a.c + 2.b.c + 4.a.b) + .(a.b.c - V0), a,b, et c ≥ 0 La solution est b = a et c = 2.a d’où a = b = (c/2) = (V0/2)^(1/3) Simulation Comment construire une boîte avec la même forme que dans la figure avec un volume V0 fixe de telle sorte que la quantité de matière utilisée sera minimale ? Selon le modèle demandé de l’emballage, on remarque que les face de côtés sont de surface égale à 2.(a.c + b.c) alors celles du haut et du bas sont de 2.2.(a.b) d’où : F(a, b, c) = 2.a.c + 2.b.c + 4.a.b Le matériau (carton emballage) utilisé doit être de valeur minimal donc : g(a,b,c)=a.b.c=V0, avec V0 constante. Selon Lagrange, nous écrivons : L(a,b,c,) = (2.a.c + 2.b.c + 4.a.b) + .(a.b.c - V0), a,b, et c ≥ 0 La solution est b = a et c = 2.a d’où a = b = (c/2) = (V0/2)^(1/3) Par transformation des équations nous obtenons Par transformation des équations nous obtenons 66 66
- 67. Système non linéaire Systèmenon linéaire 67 67 Mainframe Mitra 125 Carte perforée Listing
- 68. Système non linéaire Systèmenon linéaire 68 68 Pour l’analyse des résultats issus d’une expérience, nous avons recours aux ajustements des points obtenus par une forme commune. Cette investigation est pratiquée afin de comprendre l’évolution du phénomène. Beaucoup de types d’ajustements existent. Ajustement linéaire Y = a*X+b Ajustement non linéaire : ajustement exponentiel : Y= e λ α*X ajustement logarithmique : Y=a*ln(X)+b ajustement polynomial, par ex : Y=a*X2 +b*X+c. Ei étant l’erreur commise en évaluant Y par Y’ Y : Estimation par un polynôme Y’ : Valeur donnée par l’expérience. ∑ i=1 n ei→≃0
- 69. Système non linéaire Systèmenon linéaire 69 69 S=∑ i=1 n ei 2 =∑ i=1 n [ yi− yi]² S=∑ i=1 n ei 2 =∑ i=1 n [ yi− yi]² S est donc à minimiser, on cherche la plus petite valeur de S tel que les écarts entre y et y soient aussi petits que possible. Yi = P2(x) = a0 +a1 *x+a2 *x2 pour que S soit minimale il faut que : Si on définit le facteur rxy par cov(x,y)/sx *sy Et sx 2 =(1/n) (x Σ i -x)2 et sy 2 =(1/n)Σ(yi -y)2 cov(x,y) = (1/n) (x Σ i -x)(yi -y) On définit un coefficient de validation de l’ajustement par R2 =rxy *rxy Cette quantité est d’autant grande (tend vers 1), plus l’ajustement pratiqué est valable S est donc à minimiser, on cherche la plus petite valeur de S tel que les écarts entre y et y soient aussi petits que possible. Yi = P2(x) = a0 +a1 *x+a2 *x2 pour que S soit minimale il faut que : Si on définit le facteur rxy par cov(x,y)/sx *sy Et sx 2 =(1/n) (x Σ i -x)2 et sy 2 =(1/n)Σ(yi -y)2 cov(x,y) = (1/n) (x Σ i -x)(yi -y) On définit un coefficient de validation de l’ajustement par R2 =rxy *rxy Cette quantité est d’autant grande (tend vers 1), plus l’ajustement pratiqué est valable δS δa0 =0 δS δa0 =0 δS δa1 =0 δS δa1 =0 δ S δa2 =0 δ S δa2 =0
- 70. Système discrêt Système discrêt Pourcertains spécialistes, la signification de système discrêt est restreinte à des phénomènes mettant en jeu des informations qui ne sont prises en compte que pour des valeurs précises de la variable indépendante. Souvent, celle-ci est le temps; l'information n'est donc recueillie qu'à des moments précis. Elle peut être aussi l'espace, ou toute autre grandeur qui puisse se diviser en segments d'une dimension arbitraire. En général ces segments sont égaux et constituent la période d'échantillonnage. Un système discret est un ensemble qui introduit une relation entre des variables d'entrée et des variables de sortie, dans lequel ces variables ne peuvent avoir qu'un nombre fini de valeurs, par opposition à un système continu, dans lequel entre deux valeurs de variables, d'entrée ou de sortie, on peut toujours supposer une valeur intermédiaire. Un système est discontinu s'il existe au moins deux valeurs entre lesquelles il n'existe pas d'intermédiaire. Un système discret est discontinu à chacune de ses valeurs, tant d'entrée que de sortie. Pour certains spécialistes, la signification de système discrêt est restreinte à des phénomènes mettant en jeu des informations qui ne sont prises en compte que pour des valeurs précises de la variable indépendante. Souvent, celle-ci est le temps; l'information n'est donc recueillie qu'à des moments précis. Elle peut être aussi l'espace, ou toute autre grandeur qui puisse se diviser en segments d'une dimension arbitraire. En général ces segments sont égaux et constituent la période d'échantillonnage. Un système discret est un ensemble qui introduit une relation entre des variables d'entrée et des variables de sortie, dans lequel ces variables ne peuvent avoir qu'un nombre fini de valeurs, par opposition à un système continu, dans lequel entre deux valeurs de variables, d'entrée ou de sortie, on peut toujours supposer une valeur intermédiaire. Un système est discontinu s'il existe au moins deux valeurs entre lesquelles il n'existe pas d'intermédiaire. Un système discret est discontinu à chacune de ses valeurs, tant d'entrée que de sortie. 70 70
- 71. Références L.-V. Bertallanfy, ‘GeneralSystem Theory’, Edition MASSON, 1972. 71 71