Le document est un ouvrage de référence sur l'automatique, se concentrant sur les systèmes continus linéaires, leur analyse temporelle et fréquentielle à l'aide de la transformée de Laplace. Il explique les concepts de régulation et d'asservissement ainsi que des applications pratiques, tout en fournissant des exercices d'application et des références bibliographiques. Les systèmes sont caractérisés par leurs équations différentielles et leurs propriétés linéaires, avec une attention particulière portée à la théorie du contrôle et à l'analyse des réponses impulsionnelles.

1. 23/04/2012
Ouvrage de Référence
Discipline: Automatique I
Mekki KSOURI
Professeur à l'École Nationale d'Ingénieurs de Tunis
ESPRIT 2010-2011 Pierre BORNE
Professeur à l'École Centrale de Lille
Logiciel de Base Contenu du Cours
Chapitre I
Introduction
Chapitre II
Représentation Fréquentielle Des Systèmes Continus
Linéaires : Transformée De Laplace
Chapitre III
Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires
Chapitre IV
Approche Harmonique Des Systèmes Linéaires
Chapitre V
Analyse Des Systèmes Asservis Linéaires Continus
http://www.mathworks.com
1

2. 23/04/2012
1. Systèmes continus
Introduction Introduction 2.
linéaires
Systèmes asservis
3. Applications
Plan du Chapitre: SYSTÈMES CONTINUS
LINÉAIRES
1. Systèmes continus linéaires
Les Systèmes Continus Linéaires sont des
systèmes dont l'évolution peut être décrite par un
2. Systèmes asservis système d'équations différentielles à coefficients
constants.
3. Applications
∑ ∗ =∑ ∗ avec(m<n)
1. Systèmes continus 1. Systèmes continus
linéaires linéaires
Introduction 2. Systèmes asservis Introduction 2. Systèmes asservis
3. Applications 3. Applications
Ensemble d’éléments, en interaction
Systèmes Systèmes continus
dynamique organisés pour satisfaire
un besoin et atteindre un objectif.
Un système peut posséder plusieurs entrées (causes) et Un système est continu, par opposition à un système
plusieurs sorties (effets). Il est représenté par un bloc discret, lorsque les variations des grandeurs physiques
contenant le nom du système. sont définies à chaque instant (ils sont caractérisés par
des fonctions continues).
On parle aussi dans ce cas de système analogique.
e1(t)
e(t) Système s(t)
en(t)
2

3. 23/04/2012
1. Systèmes continus 1. Systèmes continus
Introduction 2.
linéaires
Systèmes asservis
Introduction 2.
linéaires
Systèmes asservis
3. Applications 3. Applications
Systèmes Continus Linéaires Systèmes Continus Linéaires
Proportionnalité
Un système est dit linéaire si la fonction
qui décrit son comportement est elle-
même linéaire. Cette dernière vérifie alors
les principes de proportionnalité et de
superposition.
1. Systèmes continus 1. Systèmes continus
Introduction 2.
linéaires
Systèmes asservis
Introduction 2.
linéaires
Systèmes asservis
3. Applications 3. Applications
Invariance dans le temps:
Systèmes Continus Linéaires
Superposition
Un système est dit invariant si on suppose que les
caractéristiques du système (masse, dimensions,
résistance, impédance, ...) ne varient pas au cours
du temps ("le système ne vieillit pas").
3

4. 23/04/2012
1. Systèmes continus 1. Systèmes continus
linéaires linéaires
Introduction 2. Systèmes asservis Introduction 2. Systèmes asservis
3. Applications 3. Applications
Régulation et asservissement
Régulation :
On appelle régulation, un système asservi qui doit maintenir
constante la sortie conformément à la consigne (constante)
indépendamment des perturbations.
Ex: Régulation de température
Asservissement :
On appelle asservissement, un système asservi dont la sortie doit
suivre le plus fidèlement possible la consigne(consigne variable).
Ex: suivi de trajectoire
1. Systèmes continus
1. Systèmes continus
linéaires
Introduction 2.
linéaires
Systèmes asservis
Introduction 2. Systèmes asservis
3. Applications
3. Applications
Exercice d’Application (1/ 4) Exercice d’Application (2/ 4) (Extrait de l’ouvrage de référence)
Si s1(t) est solution de l’équation:
∑ On lui applique successivement, à conditions initiales nulles les
∗ =∑ ∗ avec(m<n)
entrées suivantes :
Que peut-on dire de s1(t-τ)?
Calculer les sorties?
4

5. 23/04/2012
1. Systèmes continus 1. Systèmes continus
linéaires linéaires
Introduction 2. Systèmes asservis Introduction 2. Systèmes asservis
3. Applications 3. Applications
Exercice d’Application (3/ 4) Exercice d’Application (4/ 4)
Filtre Passe Bas
x1(t) x2(t) x3(t)
Déterminer la loi de mouvement 1. Déterminer la tension capacitive pour
Ve(t) est un signal sinusoïdal, une entrée de fréquence fixe.
de la sortie x3(t). d’amplitude E et de fréquence F. 2. Déterminer cette tension pour une
réglable entrée de fréquence variable.
Conclusions à Tirer: Chapitre II
Possibilité d’avoir d’autres domaines de
Représentation Fréquentielle Des Systèmes
représentation d’un signal:
Continus Linéaires : Transformée De Laplace
Temporel, Fréquentiel, etc.
1. Définition
Caractériser un système
2. Propriétés de la transformée de Laplace
Rapport Sortie-Entrée ≡ Fonction de Transfert 3. Transformées de Laplace des signaux usuels
Entrée Sortie 4. Fonction de transfert
Analyser un système
5

6. 23/04/2012
TRANSFORMÉE DE LAPLACE
Plan du Chapitre:
CHAP II 1. Définition
2. Propriétés de la transformée de Laplace
REPRÉSENTATION FRÉQUENTIELLE 3. Transformées de Laplace des signaux usuels
DES SYSTÈMES CONTINUS LINÉAIRES 4. Fonction de transfert
TRANSFORMÉE DE LAPLACE
21 22
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
Définition: Propriétés:
Elle permet une représentation simplifiée des systèmes • Linéarité: L ( αx(t ) + βy(t)) = αX ( p) + βY ( p)
linéaires dont l'évolution est régie par une équation
différentielle. ∞ • Dérivation:
− pt
V ( p) = L ( v(t)) = ∫ v(t)e dt
L ( x ( k )(t)) = p k X ( p) − p k −1 x(0 + ) − p k −2 x (1) (0 + ) − L − x ( k −1) (0 + )
0
Transformée inverse: • Intégration:
+ j∞  t

v(t ) = L-1 (V ( p)) = pt
∫ V ( p ) e dp L  ∫ x(λ )dλ  = X ( p)
 
  p
− j∞ 0
23 24
6

7. 23/04/2012
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
Propriétés: Transformées des signaux usuels:
• Théorème de la valeur initiale: x(0 + ) = lim pX ( p)
p →∞
Les signaux les plus utilisés en automatique sont
• Théorème de la valeur finale: lim x(t ) = lim pX ( p)
t →∞ p →0
• l'impulsion de Dirac
• l'échelon de position,
• Retard T: L ( x(t − T)) = e − pT
X ( p)
• l'échelon de vitesse ou rampe
∞ ∞
    • la sinusoïde.
• Convolution: L  ∫ x(τ ) y(t − τ )dτ  = L  ∫ y(τ ) x(t − τ )dτ  = X ( p)Y ( p )
   
 0   0 
25 26
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
Impulsion de Dirac δ(t–t0): Echelon:
d(t) = 0 si t ≠ 0 , Notons Γ(t) l'échelon d'amplitude unité à l'instant
t = 0:
+∞
Γ(t) = 0 pour t < 0
∫ δ (t )dt = 1
−∞ Γ(t) = 1 pour t ≥ 0
L( δ (t)) = 1 L( Γ (t)) = Γ( p) = 1
L( δ (t − t )) = e
0
−t0 p
p
27 28
7

8. 23/04/2012
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
Echelon retardé: Réponse indicielle unitaire d'un processus:
C’est la réponse à une entrée de type échelon unité en
partant de conditions initiales nulles.
−t0 p
L ( Γ(t − t )) = e
0
p
SYSTÈME
29 30
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
Rampe: Signal sinusoïdal:
v(t) = 0 pour t < 0
v(t) = a.t pour t ≥ 0 v(t) = 0 pour t < 0
v(t) = sin(w t) pour t > 0
ω
L ( v (t)) =
p2 + ω 2
31 32
8

9. 23/04/2012
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
Considérons une équation différentielle de la D’où: Y(p) = F(p) U(p)
forme :
a0y + a1y(1) + a2y(2) + …+ an–1y(n–1) + y(n) = b0 + b1 p + ... + bm p m
F ( p) =
a0 + a1 p + ... + an−1 p n −1 + p n
b0u + b1u(1) +…+bmu(m)
L Y ( p) b0 + b1 p + ... + bm p m
=
U ( p ) a 0 + a1 p + ... + a n −1 p n −1 + p n y(t) = L–1(F(p) U(p))
33 34
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
b0 + b1 p + ... + bm p m
F ( p) = Si u(t) = δ(t) ; U(p) = δ (p) = 1
a0 + a1 p + ... + an−1 p n −1 + p n
alors Y(p) = F(p)
b0 + b1 p + ... + bm p m = 0 a0 + a1 p + ... + an −1 p n −1 + p n = 0 La fonction de transfert d'un processus est donc la
transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle.
35 36
9

10. 23/04/2012
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
37 38
1. Définition 1. Définition
2. Propriétés 2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert 4. Fonction de transfert
Calculer la réponse indicielle à un échelon d'amplitude Calculer les réponses indicielles unitaires des systèmes
a du système de transmittance : de transmittances (MATLAB):
Y 1
=
U 1+τ p
en partant de la condition initiale y(0) = y0.
39 40
10

11. 23/04/2012
1. Définition
2. Propriétés
Transformée de Laplace 3. Transformées de Laplace
des signaux usuels
4. Fonction de transfert
Discipline : Automatique I
Chapitre III :
On considère le système d'équations suivant :
Étude Temporelle Des
Systèmes Continus Linéaires
On demande d'écrire l'équation différentielle reliant y à
u en éliminant y1.
ESPRIT 2010-2011
41
Références Bibliographiques et Netographie Introduction
Automatique des systèmes continus, C. SUEUR, P. VANHEEGHE, P.
[AUT97] Plan du Chapitre:
BORNE, 1997, Editions TECHNIP, Paris.
[WEB10] http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/equadiff.html 1. Cas général
Ouvrages à consulter: 2. Systèmes du premier ordre
1. Régulation industrielle, Problèmes résolus, M. Ksouri, P. Borne, 1997, 3. Systèmes du deuxième ordre
Editions TECHNIP, Paris.
2. Automatique de base, P. Siarry, 1989, Ellipses.
ESPRIT 43 44
11

12. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
4
3
Mise en équation d’un système continu linéaire d’ordre quelconque Résultat ( =0 ∀ 6 ∈ 80. . * + 1 :)
3
<8 : = > ∑B @ A ∗ > A
AC
e(t)
Système
s(t) H p =<8 =
: ? >
= ∑F D E∗ > E
EC
But à atteindre
∑ ∗ =∑ ∗ avec(m<n) Déterminer l’évolution temporelle de la sortie: s(t)
Soit dans le domaine symbolique de Laplace
Principe général
Rappel
« Le comportement temporel d'un système d'ordre quelconque
f t *u t Fp=
$ !" # s'étudie en décomposant sa fonction de transfert en éléments
%
simples et en superposant les effets de l'entrée envisagée sur chacun
g(t)= G p =pk*F p -∑0!1 )
*+,+1 ∗ , 0/ d'entre eux. » [AUT97]
2 %
ESPRIT 45 ESPRIT 46
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Système du premier ordre?
dy
Un système continu linéaire d’entrée x et de sortie y est dit du τ. + y = K .x
dt
premier ordre s’il est régi par une équation différentielle à
coefficients constants du type: En passant au domaine de Laplace :
dy
→ p.Y ( p ) − Y (0)
dy dt
τ. + y = K .x
dt y → Y ( p)
x → X ( p)
τ : Constante de temps du système (homogène à un temps)
L’équation devient:
K : Gain statique du système (gain en régime permanent)
τ . pY ( p ) − τ .Y (0) + Y ( p ) = K . X ( p)
47
12

13. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
u
Réponse du système en utilisant la transformée de Laplace : Réponse indicielle unitaire:
En tenant compte des CI: τ . pY ( p ) − τ .Y (0) + Y ( p ) = K . X ( p) 1
Entrée: Echelon unitaire t
K τ
Y ( p) = X ( p) + Y (0) t≤0 0 Si t ≤0
D’où : 1 + τp 1 + τp 0
u (t ) = 
Si L 
U ( p) =  1
1 Si tf0 Si tf0
p

K τ
L-1 y (t ) = L −1[ X ( p)] + L −1[ Y (0)] K K K .τ
1 + τp 1+τ.p d’où : Y ( p ) = H ( p).U ( p) = = −
p(1 + τ . p ) p (1 + τ . p)
Réponse du Sys. Réponse forcée Réponse libre
Kτ t
Résultat de l’action de sollicitation x=0 y (t ) = K .u (t ) − . e −τ .u (t )
τ
Étude Temporelle 1. Cas général
Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus
2.
3.
Systèmes du premier ordre
Systèmes du deuxième ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Conditions initiales nulles:
dy
τ . + y = K .x
L τ . pY ( p ) + Y ( p) = K . X ( p )
dt On appelle réponse indicielle, la réponse temporelle
à un échelon pour un système linéaire initialement au
Y ( p) repos. Cette réponse se compose de deux parties, la
Fonction de transfert: H ( p) =
X ( p) première correspond au régime transitoire, la seconde
D’où la fonction de transfert d’un Sys. 1er ordre s’écrit : au régime permanent.
K
H ( p) =
1+τ.p
1
Elle admet un pôle simple: −
τ
13

14. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Réponse indicielle unitaire:
Exercice d’application:
−
t Soit le système mécanique présenté comme suit:
Réponse: y (t ) = K (1 − e τ )u (t ) pour t>0
Masse M 1) En appliquant le PFD, déterminer
y(t)
l’équation différentielle reliant la
K u(t) r vitesse de déplacement de la masse M
τ : constante du temps F r
et la force F .
Quel est l’ordre de ce système?
tr: Temps de stabilisation
à 5% de la valeur finale r 2) Donner l’expression de la fonction de
r f transfert correspondante notée G(p).
tr ≈ 3.τ F :Force appliquée
t r
τ tr 3) On donne: M= 500 Kg ; f=5 ; F= 10N
Pour un échelon non unitaire de valeur E, le système se stabilise en K.E: f :Force de frottement
r r Calculer la constante du temps τ et le
f = − h.v gain statique K de ce système.
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Mise en situation
Système de second ordre (m=0; n=2)
G H
=
Pulsation propre/
I H J∗ H
J
4 K∗ H4 Pulsation naturelle Réponse indicielle d’un système continu linéaire de second ordre
J
G H LM
=
I H HJ4JNM H 4M J
Coefficient Domaine Temporel ∑J ∗ =b0*e(t)
Gain statique d’amortissement
J
G(H) LM
Domaine de Laplace I H
= HJ4JNM H4M J
55 ESPRIT 56
14

15. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Tableau Récapitulatif
Méthodologie de résolution
VWBDEFX YX Z Signe de ∆ Sh Régime
T(p) = p 2 / 2ξ ω 0 p / ω 0 2 ξ >1 ∆>0 Deux solutions Apériodique
réelles
ξ =1 ∆=0 Racine double Critique
∆′ = 2ξ 2 ω 0 2 -2ω 0 2 0<ξ [ 1 ∆ [ 0 Deux racines Pseudopériodique
= 2ω 0 2 (ξ 2 -1) complexes
conjuguées
ξ =0 ∆<0 Deux racines Oscillatoire
Soit Sh={p/ T(p)=0} imaginaires pures
conjuguées
57 ESPRIT 58
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Régime Apériodique (ξ >1) Régime Apériodique (suite)
Sh={(p1, p2)∈ ]} Décomposition de S(p) en éléments simples
p1=- ^ _ 0 / _ ^ 2 +1; p 2=- ^_0 / _ ^ 2 +1 S(p) = H(p)E(p)
ef%b i%
(p1>p2) =
gb4bhf%g4f%b g
1 1 j k1 kb
On pose p1=- et p2=- = / /
a1 ab g g!g1 g!gb
• Déterminons les coefficients α, β1 et β2
1 a !a
p1p2=a a = _ 0 2 p1/p2= + 2 ^ _ 0 p1-p2= a a b = 2_0 ^ 2 +1
1
1 b 1 b
o =p*S(p)| = qr0
p=0
ESPRIT 59 ESPRIT 60
15

16. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Régime Apériodique (suite) Régime Apériodique (suite)
b j k1 kb
tu v -1
s 1 = (p-p1)S(p) | = " ("% !"% ) S(p)= /
g g!g1
/
g!gb
L {}
p=p1 1 1 b
a1babt u % b v % o=qr0
= (ab!a1) z z
s(t)=[α / β 1 e ! { | / β 2 e ! { } ]u(t)
tu b
v w1 q r 0
s 2 = (p-p2)S(p) | = " ("% !"% ) s1 =
(w2 + w1)
p=p2 b b 1
a ba1t u b v
= b (a !a% ) % 1 z z
1 b
w2 q r 0 s(t)=KE0[1 / [ τ 1 e ! { | + τ 2 e ! { } ]]u(t)
s2 = (€b!€1)
(w1 + w2)
ESPRIT 61 ESPRIT 62
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Régime Apériodique (suite) Régime Apériodique (suite)
Calcul des dérivées temporelles successives Propriétés graphiques particulières
z z
1
s(t)=KE0[1 / [ τ 1e !{| + τ 2 e ! { } ]]u(t) Valeur Initiale s(0) = 0 (s(0)=,ƒ„ )…()))
$
(€b!€1)
KE0 z z Valeur Finale s(∞) = KE0 (s(∞)=,ƒ„ )…()))
s’(t)=(€ !€ ) [ e ! { } + e ! { | ]u(t) %
b 1
Tangente Horizontale ∆: ˆ = ‰ Š 0 / ‰(0)
z z
KE0 ! ! ∆: ˆ =0
s’’(t)=€ € (€ !€ ) [ τ 2 e {| + τ 1e {} ]u(t)
1 b b 1
ESPRIT 63 ESPRIT 64
16

17. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Régime Apériodique (suite) Régime Apériodique (suite)
Allure de la courbe traduisant les variations temporelles du signal de sortie
Point d’Inflexion M(TM, SM)/ {s’’(TM)=0 et SM=s(t=TM)}
b Œ Œ
‹ ! !
b =0 w2 •| + w1 •} =0
aa a
TM = a 1 b Ln(ab)
!a b 1 1
•‘ •‘
1
SM = s(t=TM)=KE0[1 + [ τ 1e ! {| + τ 2 e ! { } ]]
(€b!€1)
ESPRIT 65 ESPRIT 66
1. Cas général 1. Cas général
Exercice Récapitulatif (1/2) 2.
3.
Systèmes du premier ordre
Systèmes du deuxième ordre Exercice Récapitulatif (2/2) 2.
3.
Systèmes du premier ordre
Systèmes du deuxième ordre
Présentation du système physique Enoncé de l’exercice
F Ө Appliquer le principe fondamental de la dynamique relatif aux champs des moments au
centre du gravité du système, c.-à-d. au point G.
C
F Transformer l’équation dans le domaine symbolique de Laplace.
G
Déterminer le coefficient d’amortissement ξ, la pulsation propre ω0 et le gain statique.
J
Donner l’allure de l’évolution temporelle de Ө(t) pour une excitation indicielle de courte
durée.
L/4 L/4
K K Caractéristiques du système
Corrigé de l’exercice
J: Moment d’inertie du système
F: Effort d’excitation
C: Frottement visqueux
L: Longueur de la poutre
L/2 L/2
K: Raideur du ressort
’: Angle d’excitation
ESPRIT 67 ESPRIT 68
17

18. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général
Exemple d’un modèle électrique (cas d’un MCC) 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires
ESPRIT 69 70
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
De la même façon, on montre que:
 −
t
−
t

 τ e τ1 − τ 2 e τ 2 
ξ>1 y (t ) = k  1 − 1
τ1 −τ2


 

 
  t − t

ξ=1 y(t ) = k 1 − 1 + e τ
  τ


 
 1 
ξ<1 y (t ) = k 1 − e −ζ ωnt sin(ω p t + ϕ ) 
 1−ζ 2 
 
1−ζ 2
ϕ = arctg = arccosζ
ζ 71 72
18

19. 23/04/2012
Étude Temporelle 1. Cas général Étude Temporelle 1. Cas général
2. Systèmes du premier ordre 2. Systèmes du premier ordre
Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre Des Systèmes Continus 3. Systèmes du deuxième ordre
Linéaires Linéaires
Pour ξ < 1, l'instant t1 du premier dépassement D1, s'appelle Différents cas d'excitation [WEB10]
temps de pic ( tp).
ζπ
−
y max − y ( ∞ )
2 ζπ
1− ζ 2 D
D1 (%) = =e 1− ζ 2
1
= e
y (∞ ) D 2
π 2π
t = t2 −t1 =
p
ω p ωp
Pour ξ = 0.7, le temps de pic est le plus court et le système admet un seul
dépassement, inférieur à 4% de la réponse finale.
73 ESPRIT 74
Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires Application N°1:
Calculer les réponses indicielles unitaires des
systèmes suivants :
Applications
1
H1(p) =
p(1+ p)(1+2p)
75 76
19

20. 23/04/2012
Application N°3: (Système à Déphasage Non
Application N°2:
Minimale)
Calculer la réponse impulsionnelle unitaire des On considère le système de transmittance :
systèmes suivants :
1− p
H ( p) =
(1 + p )(1 + 2 p )
1
H 1 ( p) =
(
(0.5 + p) p 2 + p + 1 ) Calculer et représenter sa réponse indicielle unitaire.
Préciser la valeur de la dérivée à l'origine. Conclure.
77 78
Application N°4: Application N°5:
On considère le filtre RC suivant : Les courbes des figures suivantes correspondent à
des réponses indicielles unitaires de systèmes
d'ordre inférieur à 3. On demande d'identifier dans
chaque cas le système correspondant.
Le condensateur étant initialement déchargé, on ferme
l'interrupteur K à l'instant t = 0. Calculer et représenter la
sortie y(t). préciser la valeur en régime permanent de
l'amplitude du signal y.
79 80
20

21. 23/04/2012
Application N°5 (Suite): Application N°5 (Suite): :
81 82
Application N°5 (Suite): : Application N°5 (Suite): :
83 84
21

22. 23/04/2012
Chapitre IV
Approche harmonique des systèmes linéaires
1. Principe CHAP IV
2. Systèmes du premier ordre
3. Systèmes du deuxième ordre
ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS
LINÉAIRES CONTINUS
85 86
ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2. Schéma fonctionnel et FT
LINÉAIRES CONTINUS 3. Performances des SAL
Plan du Chapitre:
Définition:
1. Définition d’un système asservi Un système asservi est un système dont une variable
de sortie suit plus précisément que possible une
variable d’entrée dite consigne, quelque soit l’effet des
2. Schéma fonctionnel et Fonction de transfert perturbations extérieures.
On parle de: Régulation
3. Performances d’un système asservi Poursuite
87
C’est un système qui fonctionne en boucle fermée 88
22

23. 23/04/2012
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
systèmes à retour unitaire: systèmes à retour non unitaire:
Fonction de transfert en Boucle fermée
Fonction de transfert en Boucle Fermée
89 90
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
Prise en compte des perturbations: Pour assurer le bon fonctionnement d’un système
asservi, il faut garantir les 3 performances:
Stabilité
Précision
Fonction de transfert en Boucle fermée Rapidité
91 92
23

24. 23/04/2012
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
• Définition de la STABILITE: • Stabilité des systèmes asservis:
C’est la propriété physique selon laquelle, un système Un système est stable si à une entrée finie correspond
écarté de sa position d’équilibre initiale par une une sortie finie:
sollicitation extérieure, revient à sa position initiale dès
que cette perturbation cesse.
93 94
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
Un système est dit stable si toutes les racines de son
Plusieurs méthodes existent pour vérifier la stabilité équation caractéristique sont à parties réelles
des systèmes asservis et qui peuvent s’effectuer dans le strictement négatives
domaine temporel ou fréquentiel (Bode, Nyquist,…)
Remarque:
Remarque: On a besoin de connaitre les pôles du
système pour l’analyse de stabilité.
95 96
24

25. 23/04/2012
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
On appelle critère de Routh un critère algébrique
permettant d’évaluer la stabilité d’un système sans
connaitre ses pôles, à partir des coefficients du
dénominateur D(p) de sa fonction de transfert en
boucle fermée (FTBF).
97 98
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
H(p) est la fonction de transfert du système bouclé:
Enoncé du critère:
Le système est stable si et seulement si
tous les termes de la première colonne sont strictement positifs
99 100
25

26. 23/04/2012
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
Exemple1 : Exemple 2:
G(p)=
Changement de signe
système instable
101 102
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
• Précision des systèmes asservis:
Exemple 3:
La précision est caractérisée par l’erreur permanente, qui est
permanente
la différence entre la consigne et la sortie du système obtenue.
Le système est d’autant précis que cet écart tend vers 0.
Pour l’étude de la précision statique d’un système asservi,
nous allons, pour une entrée bien définie, déterminer l’erreur
qui en résultera.
103 104
26

27. 23/04/2012
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
• Précision des systèmes asservis: • Précision des systèmes asservis:
Erreur Statique (Erreur en régime permanent):
L’écart en régime permanent est la limite quand t tend vers
l’infini de e(t)-s(t).
ε ∞ = lim ˜ = +‰
→$
105 106
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
• Précision des systèmes asservis: • Précision des systèmes asservis:
Nous supposerons pour la suite que le système est stable, donc nous pouvons
utilisez le théorème de la valeur finale:
On le voit l’erreur statique dépend de la nature de l’entrée mais aussi de la fonction
de transfert en boucle ouverte.
107
Nous allons dans la suite étudier l’erreur indicielle d’un système asservi. 108
27

28. 23/04/2012
1. Définition d’un SAL 1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
• Précision des systèmes asservis: • Précision des systèmes asservis:
Réponse indicielle: erreur indicielle: Réponse indicielle: erreur indicielle:
109 110
1. Définition d’un SAL
Analyse des SAL 2.
3.
Schéma fonctionnel et FT
Performances des SAL
• Précision des systèmes asservis:
111
28