Cours maths

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Cours maths

  1. 1. MATHEMATIQUES – ANALYSE –Réalisé par le professeur : M.REDOUABY www.tifawt.com
  2. 2. www.tifawt.comPour votre autoformation en économie et gestion.
  3. 3. ANALYSE Contenu du cours :A. Fonctions à une variable réelleB. Fonctions à deux variables réelles
  4. 4. Séance n° 1
  5. 5. A. Fonctions à une variable réelle 1.Introduction a) Notion de fonction b) Notion d’injection c) Notion de surjection d) Notion de bijection e) Bijection et bijection réciproque
  6. 6. a) Notion de fonction Définition Une fonction est une relation entre deux ensembles E et F telle que :Ø Chaque élément de E (ensemble des antécédents) a au plus une image dans F (ensemble des images)
  7. 7. E f F Y1X1X2 Y2X3 Y3.. .. . ... .. .Xn . Ym
  8. 8. Ø E = ensemble de départ, contient ‘n’ éléments : X1 ; X2 ; X3 ; …. ; Xn , Ce sont les antécédentsØ F = ensemble d’arrivée, contient ‘m’ éléments : Y1 ; Y2 ; Y3 ; …., Ym Ce sont les imagesNous avons : f (x ) = y ; f (x2) = y3 ; f (x3) = y2 ; 1 1 …….. ; f (xn) = ym
  9. 9. ØY1 est l’image de X1 ; X1 est l’antécédent de Y1ØY3 est l’image de X2 ; X2 est l’antécédent de Y3……ØYm est l’image de Xn ; Xn est l’antécédent de Ym Pour que f soit une fonction, chaque élément de E doit avoir au plus une image dans F
  10. 10. Exemple f IR IR x 1 I xf est une fonction car :"xÎIR , x a une image et une seule, sauf « 0 » quin’a pas d’image
  11. 11. Ø Ainsi, par une fonction, un élément de E ne peut jamais avoir plus d’une image dans F
  12. 12. Exemple 1 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3f est une fonction car : f (x ) = y ; f (x ) = y ; f (x ) = y 1 1 2 2 3 2
  13. 13. Exemple 2 E f F X1 Y1 X2 X3f est une fonction car : f (x ) = y ; f (x ) = y ; x3 n’a pas d’image 1 1 2 1 Chaque élément de E a au plus une image
  14. 14. Exemple 3 E f F X1 Y1 X2 Y2 X3f n’est pas une fonction car : x1 a deux images Y et Y 1 2
  15. 15. Remarque Importante Fonction et ApplicationUne application est une fonction particulière.C’est une fonction telle que chaque antécédenta exactement une image (s’il y a un antécédentqui n’as pas d’image alors c’est simplement unefonction et non une application)
  16. 16. Exemple 1 E f F Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3 Y4 X4Chaque antécédent a une image et une seul, f estdonc mieux qu’une fonction, c’est une application
  17. 17. Exemple 2 E f F Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3 Y4 X4x3 n’a pas d’image dans F, donc f n’est pas une application, mais simplement une fonction
  18. 18. Exemple 3 f IR IR x 1 I xf est simplement une fonction car et non une application car 0 n’as pas d’image
  19. 19. Exemple 4 f IR IR x I x2f est une application car chaque élément de IR admet une image et une seule « exactement une image »
  20. 20. b) Notion d’injection « fonction injective » Définitionf est une fonction de E vers F. f est diteinjective lorsque chaque élément de F a auplus un antécédent dans E : un antécédent ourien
  21. 21. Exemple 1 E f F Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3 Y4 X4Chaque élément de F a au plus un antécédent, f estdonc une fonction injective
  22. 22. Exemple 2 E f F Y1 X1 Y2 X2 Y3 X3 Y4Chaque élément de F a au plus un antécédent, f estdonc une fonction injective
  23. 23. Exemple 3 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4f n’est pas une fonction injective car :Y1 a deux antécédents : x1 et x2
  24. 24. Exemple 4 IR f IR x I x2 f n’est pas injective car :par exemple 1 a deux antécédents +1 et -1 IR f IR . . . . . +1 1 0 0 -1 . . . . . .
  25. 25. Par contre IR+ g IR x I x2 g est injective car :Ø Si Y est négatif (Y < 0) , alors Y n’a pas d’antécédentØ Si Y est positif (Y ³ 0) ,Y a un seul antécédent : Y
  26. 26. A retenir f est une fonction de E vers F. f est injective si elle vérifie :"x ;x ÎE : f (x ) = f (x ) Û x = x 1 2 1 2 1 2 C’est-à-dire : deux antécédents ont la même image si et seulement si ils sont égaux
  27. 27. Remarquef est une fonction de E vers F. Si f estinjective alors : Card E £ Card F Card E = nombre des éléments de E X1 X2 X3 . E= . . : Card E = n . . . Xn
  28. 28. RemarqueMéthode de la règle : Voir TD
  29. 29. c) Notion de surjection « fonction surjective » Définitionf est une fonction de E vers F. f est ditesujective lorsque chaque élément de F a aumoins un antécédent dans E : un antécédentou plusieurs antécédents
  30. 30. « fonction surjective »f est surjective si et seulement si :"yÎF $xÎE / f (x) = y
  31. 31. Exemple 1 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 X4 Y3Chaque élément de F a au moins un antécédent, fest donc une fonction surjective
  32. 32. Exemple 2 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3 X4Chaque élément de F a au moins un antécédent, fest donc une fonction surjective
  33. 33. Exemple 3 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4f n’est :Øni injective : y a deux antécédents x et x 1 1 4Øni surjective : y4 n’a pas d’antécédent
  34. 34. Remarquef est une fonction de E vers F. Si f estsurjective alors : Card E ³ Card F Card E = nombre des éléments de E
  35. 35. RemarqueMéthode de la règle : Voir TD
  36. 36. d) Notion de bijection « fonction bijective » Définitionf est une fonction bijective (ou une bijection) deE vers F si et seulement f est une applicationqui est à la fois injective et surjectiveC’est-à-dire chaque élément de E a une imageet une seule et chaque élément de F a unantécédent et un seul
  37. 37. Exemple 1 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4f est une bijection de E vers F : Ø f est injective Ø f est surjective
  38. 38. Exemple 2 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 Y5f n’est pas bijective de E vers F :Ø f n’est pas surjective car y5 n’a pas d’antécédent
  39. 39. Exemple 3 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3 X4f n’est pas une bijection de E vers F : Ø f n’est pas injective Ø f n’est pas surjective
  40. 40. Exemple 4 E f F Y1 X1 X2 Y2 X3 Y3 X4f n’est pas une bijection de E vers F car :Ø f n’est pas une application : x3 n’a pas d’image
  41. 41. Remarquef est une fonction de E vers F. Si f est bijective alors : Card E = Card F
  42. 42. e) bijection et bijection réciproque E f F f-1
  43. 43. E f FX1X2 Y1 Y2X3 Y3. ... . ... .. .Xn Yn f-1 f x f-1 y
  44. 44. bijection et bijection réciproqueComment passer de f à f-1 et inversement : f (x) = y Û f -1(y) = x
  45. 45. Ainsi si: E f F X1 X2 Y1 Y2 X3 Y3 . . . . . . . . . . . Xn Yn
  46. 46. alors: F f-1 E X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 . . . . . . . . . . . Xn Yn
  47. 47. Relation fondamentale entre f et f -1 E f F f-1 f x f-1 y"xÎE:f -1of (x) = x et "yÎF:f of -1(y) = y
  48. 48. Exemple IR+ f IR+ x I x2 IR+ f-1 IR+ x I xOn a : "x ÎIR + f -1o f (x) = x 2 = x = x et : "x ÎIR + f o f -1(x) = ( x )2 = x
  49. 49. Exemple IR*+ f = ln IR x I ln x IR f-1 = exp IR*+ x I exOn a : "x ÎIR*+ f -1o f (x) = eln x = x et : "x ÎIR f o f -1(x) = ln ex = x
  50. 50. Séance n° 2
  51. 51. Remarque Relation entre la courbe de f et la courbe de sa réciproque f-1ØA retenir : La courbe de f «Cf» et la courbede sa fonction réciproque f-1 «Cf-1» sontsymétriques par rapport à la 1ère bissectrice(la droite d’équation y = x)
  52. 52. Y2ème bissectrice Y=x 1 45° x 11ère bissectrice
  53. 53. Exemple la courbe de ln « logarithme népérien » et lacourbe de sa réciproque exp « exponentielle »sont symétriques par rapport à la droite y = x Cexp Y=x Cln
  54. 54. A. Fonctions à une variable réel 2. Domaine de définition IR f IR xI f (x ) D = íxÎIR x ì ï admet une image ü ý f ïî þ = ïxÎIR f (x) est définie « on peut ì í ï ü ý î la calculer » þ
  55. 55. Exemples1. Fonctions polynômiales : f (x) = a n xn +....+ a1x + a0fonction polynômiale (ou polynôme) de degré n Df = IR
  56. 56. Fonctions polynômiales Exemples :• f (x) = 3x2 + x -5 ;• f (x) = 7x3 - x 2 + x +15 ;• f (x) = 7x5 - x 4 + x 2 - 24 ;Pour toutes ces fonctions : Df = IR =]- ¥;+¥[
  57. 57. Exemples2. Fonctions rationnelles : f (x ) = P(x) Q(x) P(x) et Q(x) sont deux polynômes Df = xÎIR Q(x) ¹ 0ü ì ï í ï ý î þ
  58. 58. Fonctions rationnelles Exemple : f (x ) = 2x +1 (x -1)(x +1) 2 2Q(x) = 0 Û (x2 -1)(x2 +1) = 0 Û x2 -1= 0Car x 2 +1¹ 0 , ainsi :Q(x) = 0 Û x 2 =1Û x = ±1 Þ Df = IR - ±1 ì ï í ï ü ý þ î Df =]- ¥;-1[È]-1;1[È]1;+¥[
  59. 59. Exemples3. Fonctions racines (nèmes) : f (x) = n u(x) ; n est un entier naturel non nul n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ……….A retenir :• Si n est pair : Df = xÎIR u(x) ³ 0 ì ï í ï ü ý î þ• Si n est impair : Df = Du
  60. 60. Fonctions racines (nèmes) Exemples :• « racine carrée » : f (x) = 2x +1On doit avoir : 2x +1³ 0 Û x ³ -1/ 2 Þ Df =[-1/ 2;+¥[• « racine cubique » : f (x ) = 3 2x +1 u(x) = 2x +1 définie quelque soit x donc Df = Du = IR =]- ¥;+¥[
  61. 61. Exemples4. Fonctions puissances : f (x) = u(x)a ; a est un nombre rationnel a = m/n m et n sont deux entiers naturels non nulsOn écrit : f (x) = u(x)m / n = (u(x)m)1/ n Þ f (x ) = n u (x ) m
  62. 62. Fonctions puissances Exemples :1. f (x) = (2x +1)4 / 5 ici a = 4 / 5 On a : f (x) = 5 (2x +1) 4 ; racine impaire,on regarde alors le domaine de définition de(2x +1)4 :(2x +1)4 est une fonction polynômiale définiesur IR donc : Df = IR
  63. 63. Fonctions puissances Exemples :2. f (x) = (2x +1)- 3/ 4On a : f (x) = 1 ; racine paire, 4 (2x +1)3on doit avoir : (2x +1)3 ³ 0 et (2x +1)3 ¹ 0 (2x +1)3 > 0 Û 2x +1> 0 Û x > -1/ 2 Df =]-1/ 2;+¥[
  64. 64. Exemples5. Fonctions logarithmiques :f (x) = ln(u(x)) ; ln désigne le logarithme népérien Df = xÎIR u(x) > 0ü ì ï í ï ý î þExemple : f (x) = ln(1- x 2) ì üDf = xÎIR 1- x > 0 ï í 2 ï ý ; ï ï î þ or 1- x 2 = (1- x)(1+ x) , tableau des signes
  65. 65. Fonctions logarithmiquesExemple : f (x) = ln(1- x 2) x ¥ -1 1 1-x + + 0 -1+x - 0 + +1-x2 - 0 + 0 - Ainsi : Df =]-1;+1[
  66. 66. Exemple 2 : f (x) = ln((2x + 7)(x -5)) Df = xÎIR (2x + 7)(x -5) > 0ü ì ï í ï ý î þTableau des signes : x -7/2 5 2x+7 - 0 + + x-5 - - 0 + Produit + 0 - 0 +Donc : Df =]- ¥;-7 / 2[È]5;+¥[
  67. 67. Exemples6. Fonctions exponentielles : f (x ) = eu (x ) ; alors Df = Du « l’exponentielle est toujours définie »Exemples : f (x) = ex + x + 2 Þ D = IR ; 2• f• f (x) = e x Þ D = IR + ; f f (x ) = e1/(x - 2) Þ D = IR - ì2ü ï• í ý f ï þ î
  68. 68. A. Fonctions à une variable réel 3. Continuité IÌ IR f IR x I f (x )f est une fonction définie sur un intervalle I de IR
  69. 69. 3. Continuitéa) Continuité en un point a : a droite de a a gauche de a a
  70. 70. 3. Continuitéa) Continuité en un point a :Définition : f est continue au point a lorsque : lim f (x) = lim f (x) = f (a) + x ®a - x ®alimite à droite = limite à gauche = image de a
  71. 71. Exemples ì x ;si xÎ[0;1]1. f (x ) = ï ï í ; continuité en 1 ï ï î 2 - x ;si xÎ]1;2]On a : lim f (x) = lim 2 - x = 1 =1 x ®1 + x ®1+ lim f (x) = lim x = 1 =1 x ®1 - x ®1- et f (1) = 1 =1 ; f est donc continue au point 1
  72. 72. ì ïx +1;si xÎ[0;1[ ï2. f (x) = 2 - x;si xÎ]1;2] ï í ; continuité en 1 ï ï ï f (1) = 3/ 2 îOn a : lim f (x) = lim 2 - x = 2 -1=1 x ®1 + x ®1 + lim f (x) = lim x +1=1+1= 2 x ®1 - x ®1 - et f (1) = 3/ 2 ; f est donc discontinue au point 1
  73. 73. 3. Continuitéb) Continuité sur un intervalle : Définition :f est continue sur l’intervalle I=[a;b] lorsque fest continue en tout point de l’intervalle ouvert]a;b[ ; continue à gauche de b et continue àdroite de a.
  74. 74. • f est continue à gauche de b lorsque : lim f (x) = f (b) x ®b -• f est continue à droite de a lorsque : lim f (x) = f (a) x ®a +
  75. 75. Continuité sur un intervalle [a ; b] à droite de a à gauche de ba x b
  76. 76. Exemples 1. f (x) = x ;si xÎ[0;1] ì ï ï ; í 2 - x ;si xÎ]1;2] ï ï îf est continue sur l’intervalle [0 ; 2] car :• f est continue en tout point de l’intervalle ]0 ; 2[ (en particulier au point 1),• f est continue a droite de 0 et à gauche de 2.
  77. 77. Exemples ì ï x +1;si xÎ[0;1[ ï2. f (x) = 2 - x;si xÎ]1;2] ; ï í ï ï ï f (1) = 3/ 2 îf n’est pas continue sur l’intervalle [0 ; 2] car elle discontinue au point 1
  78. 78. Séance n° 3
  79. 79. Propriétés des fonctions continues Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I alors :• f + g est continue sur I• af est continue sur I (aÎIR)• f ´g est continue sur I• f / g est continue sur I ( g ¹ 0 sur I )
  80. 80. Conséquences• Les fonctions polynômiales sont continues sur IR• Les fonctions rationnelles ; racines nèmes ; puissances ; logarithmiques et exponentielles sont continues sur leurs domaines de définition
  81. 81. bijection et bijection réciproque I f J f-1f est une fonction bijective de I vers J. Si f estcontinue sur l’ intervalle I alors sa fonctionréciproque f-1 est continue sur l’intervalle J(car les courbes de f et f-1 sont symétriques parrapport à la droite d’équation y = x)
  82. 82. Remarque f est continue sur l’ intervalle I Û sa courbe Cf est continue« ne présente aucune coupure » Voir TD (Exercice 2)
  83. 83. Théorème des Valeurs Intermédiaires « T.V.I »T.V.I : Si f est continue sur l’intervalle [a; b]et f (a)´f (b) < 0 alors f s’annule sur ]a ; b[ ;C’est-à-dire : $cÎ]a;b[ tel que : f (c) = 0
  84. 84. Interprétation géométrique f(b) > 0 a b c I I f(a) < 0
  85. 85. Ouf(a) > 0 a b c I I f(b) < 0
  86. 86. ExempleMontrer que la fonction f (x) = x3 + x -3s’annule (au moins une fois) sur [0 ; 2]Ø La fonction f est une fonction polynomialedonc définie et continue sur IR, en particuliersur l’intervalle [0 ; 2]. De plus : f (0) = -3< 0 et f (2) = 7 > 0Donc d’après le T.V.I : $cÎ]0;2[ tel que f (c) = 0
  87. 87. A. Fonctions à une variable réel 4. Dérivabilité IÌ IR f IR x I f (x ) f est une fonction définie sur un intervalle I I I I a x0 b
  88. 88. a) Dérivabilité en un point x0 DéfinitionOn dit que la fonction f est dérivable en x0 si : f (x ) - f (x ) lim 0 existe. x®x x-x 0 0Cette limite « quand elle existe » est appelée : dérivée de f au point x0 et on la note f’(x0)
  89. 89. Ainsi f (x ) - f (x ) f (x0) = lim 0 x®x x-x 0 0 A retenir :toutes les formules de dérivation qu’onutilise sont une conséquence directe de cette définition.
  90. 90. Exemples1. Pourquoi la dérivée d’une constante est égale à 0 ? On pose : f (x) = C , soit x0ÎIR IR I x0
  91. 91. f (x ) - f (x ) f (x0) = lim 0 x®x x-x 0 0 = lim C-C = 0 x ® x x-x 0 0Ainsi : "x0ÎIR, f (x0) = 0Ou encore (en notant x au lieu de x0) : "xÎIR, f (x) = 0
  92. 92. Exemples2. Pourquoi : (ax2 + bx + c)= 2ax + bOn pose : f (x) = ax 2 + bx + c , soit x0ÎIR I x0 f (x ) - f (x ) f (x0) = lim 0 x®x x-x 0 0
  93. 93. Donc : (ax 2 + bx + c) - (ax + bx + c) 2= lim 0 0 x®x x-x 0 0 a (x 2 - x ) + b(x - x ) 2= lim 0 0 x®x x-x 0 0= lim a(x + x0) + b = a(x0 + x0) + b x®x 0= 2ax0 + b
  94. 94. Ainsi : "x ÎIR, f (x ) = 2ax + b 0 0 0Ou encore (en notant x au lieu de x0) : "xÎIR, f (x) = 2ax + bfinalement : f (x) = ax2 + bx + c Þ f (x) = 2ax + b
  95. 95. Exemples æ ö ç1÷ 13. Pourquoi : ç ÷ =- ç ÷ 2 çx÷ è ø x On pose : f (x) = 1 , soit x0ÎIR* x f (x ) - f (x ) f (x0) = lim 0 x®x x-x 0 0
  96. 96. Donc : 1- 1 x0 -x x x0 xx 0f (x0) = lim = lim x®x x-x0 x®x x-x0 0 0 - (x - x 0 ) 1 = lim = lim - x ® x xx (x - x ) x ® x xx 0 0 0 0 0 1 Þ f (x ) = - 1 =- 2 0 2 x0 x0
  97. 97. finalement : "x ÎIR*, f (x ) = - 1 0 0 x 2 0 Ou encore (en notant x au lieu de x0) : "xÎIR*, f (x) = - 1 2 xØLes formules qui suivront sont aussiconséquence directe de la définitionprécédente :
  98. 98. b) Mémento du petit dériveur fonction fonction dérivée ax+b a xa ( aÎQ ) axa -1 x 1 /2 x lnx 1/x
  99. 99. fonction fonction dérivée ex ex Sin x Cos x Cos x -Sin x tanx 1+ tan2x
  100. 100. Plus général : (u désigne une fonction) fonction fonction dérivée au+b au’ ua ( aÎQ ) au´ua -1 u u /2 u lnu u/u
  101. 101. fonction fonction dérivée eu u´eu Sin u u´Cos u Cos u -u´Sin u tanu (1+ tan2u)´u
  102. 102. Sans oublier, lorsque la fonction se présente sous forme de « blocs », qu’on a : fonction fonction dérivée u+ v u+v u´v uv+uv u/v (uv-uv)/v2 uov (uov)´v
  103. 103. ExerciceCalculer les dérivées des fonctions suivantes : 2x1. f(x) = 2 x -12. f(x) = ln(x 2 + x - 3)3. f(x) = x eSinx 5 (x +1)34. f(x) =5. f(x) =(x 2 +1)2/15
  104. 104. c) Dérivabilité sur un intervalle DéfinitionUne fonction f est dérivable sur l’intervalle[a ; b] si elle est dérivable en tout pointde [a ; b]
  105. 105. Exemples1. f (x ) = x définie et continue sur [0;+¥[ f (x) = 1 définie pour xÎ]0;+¥[ 2 xDonc la fonction f n’est pas dérivable sur[0;+¥[ car f n’est pas dérivable en 0, maisdérivable seulement sur l’intervalle ]0;+¥[
  106. 106. Exemples 2. f (x ) = 3 x -1 définie et continue IR Question : f est-elle dérivable sur l’intervalle [0 ; 2] ?f (x ) = 3 x -1 = (x -1)1/ 3 Þ f (x) = 1 (x -1)- 2 / 3 3 f (x) = 1 C’est-à-dire : 33 (x -1) 2
  107. 107. f (x) = 1 3 (x -1) 3 2donc f n’est pas dérivable en x = 1, et parconséquent f n’est pas dérivable sur l’intervalle[0 ; 2]
  108. 108. Remarques1. f est dérivable en x0 Þ f est continue en x02. f est dérivable sur [a ; b] Þ f est continue sur [a ; b]
  109. 109. Donc « contraposée »3. f est discontinue en x0 Þ f n’est pas dérivable en x04. f est discontinue sur [a ; b] Þ f n’est pas dérivable sur [a ; b]Contraposée : pÞ q Û non q Þ non p
  110. 110. la fonction f n’est pas dérivable en x0 car elle est discontinue en x0 x0
  111. 111. Séance n° 4
  112. 112. Exercice « Corrigé »Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 2x Þ f (x) = - 2(x +1) 21. f(x) = 2 x -1 (x -1) 2 2 ln(x 2 + x -3) Þ f x) = 2x +12. f(x) = x + x -3 23. f(x) = x eSinx Þ f (x) = 1 eSinx + x CosxeSinx 2 x
  113. 113. Exercice « Corrigé »4. f(x) = 5 (x +1)3 = (x +1)3 / 5 Þ f (x) = 3 55 (x +1) 25. f(x) = (x 2 +1)2/15 Þ f (x) = 4x 1515 (x 2 +1)13
  114. 114. Théorème de Rolle Théorème :Si f est une fonction continue sur l’intervalle[a ; b] ; dérivable sur l’intervalle ouvert ]a ; b[et : f (a) = f (b) alors : $cÎ]a;b[ tel que f (c) = 0
  115. 115. Interprétation géométrique f’(c) = 0f(a) = f(b) a I b c Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est horizontale
  116. 116. RemarqueLes hypothèses du Théorème de Rolle : a) f est continue sur [a ; b] b) f est dérivable sur ]a ; b[ c) f(a) = f(b)sont nécessaires.
  117. 117. ExemplePeut-on appliquer le Théorème de Rolleà la fonction : f (x) =1- (x -1) 3 2sur l’intervalle [0 ; 2] ?
  118. 118. Réponsea) f (x) =1- 3 (x -1) 2 : la racine cubique « racine impaire » est définie sur IR, donc Df = IR• f est la somme d’une fonction constante«1» et d’une fonction racine « - 3 (x -1) 2 »donc continue sur son domaine de définition IR,en particulier f est continue sur l’intervalle [0 ; 2]
  119. 119. Réponseb) f (0) =1- (0 -1) 3 2 =1- 3 1 = 0 f (2) =1- (2 -1) 3 2 =1- 3 1 = 0 ainsi f(0) = f(2)
  120. 120. Réponsec) Dérivabilité de f sur l’intervalle ]0 ; 2[ f (x) =1- 3 (x -1) =1- (x -1)2 / 3 2 Þ f (x) = - 2 33 x -1Ø f n’est pas dérivable en x = 1 « f’(1) n’est pas définie », donc f n’est pas dérivable sur l’intervalle ]0 ; 2[
  121. 121. Conclusion On ne peut pas appliquer le Théorème deRolle à la fonction f (x) =1- 3 (x -1) 2sur l’intervalle [0 ; 2] car l’hypothèse dedérivabilité n’est pas vérifiée !!!Voir Exercice 5, Série de TD
  122. 122. Théorème des accroissements finis « T.A.F »Théorème : Si f est une fonction : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ alors : $cÎ]a;b[ tel que : f (b) - f (a) = (b - a)f (c)
  123. 123. 2ème version « T.A.F »Théorème : Si f est une fonction : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ alors : $cÎ]a;b[ tel que : f (b) - f (a) = f (c) b -a
  124. 124. 3ème version « T.A.F »… premier développement limitéThéorème : Si f est une fonction : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ alors : $cÎ]a;b[ tel que : f (b) = f (a) + (b - a)f (c)
  125. 125. Remarque : Pourquoi on dit : accroissements finis ?Comme f (b) - f (a) = (b - a)f (c) « 1ère version »Si la dérivée première « f’ » est une fonctionbornée : f (x) £ M sur l’intervalle considéré,alors on a : f (b) - f (a) £ M(b - a)
  126. 126. Ainsi, si l’ordre de grandeur de f’ est fixé,les accroissements de la fonction f « f(b)-f(a) » sont bornés « finis »
  127. 127. Interprétation géométrique $cÎ]a;b[ f (b) - f (a) = f (c) tel que b -aVeut dire : Il y a au moins un point de la courbeoù la tangente est parallèle au segment AB
  128. 128. Interprétation géométrique B A a c b Il y a au moins un point de la courbeoù la tangente est parallèle au segment AB
  129. 129. Conséquences f est une fonction continue et dérivable sur l’intervalle [a ; b] :• Si f’(x)=0 ( "xÎ[a;b] ) alors f est constante• Si f’(x) ³0 ( "xÎ[a;b]) alors f est croissante• Si f’(x) £ 0 ( "xÎ[a;b]) alors f est décroissante … sur l’intervalle [a ; b]
  130. 130. Preuve a x c y b I I I I I Soient x et y deux nombres quelconques de l’intervalle [a ; b] tels que : x£ y• Si f’(x)=0 ("xÎ[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) - f (x) = (y - x)f (c) = (y - x)´0 = 0 Þ f (y) = f (x) : f est donc constante sur l’intervalle [a ; b]
  131. 131. Preuve• Si f’(x) ³ 0 ("xÎ[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) - f (x) = (y - x)f (c) ³ 0 y - xcar0: ³ f (c) ³et Þ f (y) ³ f (x) 0 f est donc croissante sur l’intervalle [a ; b]
  132. 132. Preuve• Si f’(x) £ 0 ("xÎ[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) - f (x) = (y - x)f (c) £ 0 y - xcar0: ³ f (c) £et Þ f (y) £ f (x) 0 f est donc décroissante sur l’intervalle [a ; b]
  133. 133. A. Fonctions à une variable réel 5. Calcul de limites « Règle de l’HOSPITAL »Exemple : lim Sinx = ? x®0 xProblème : lorsque x ® 0 : Sinx ® 0 et x ® 0
  134. 134. La forme indéterminée 0 =? 0 Exemples :1. x2 = lim x = 0; lim x x®0 x®02. lim 2x = lim 1 = ±¥ ; x®0 x x®0 x3. lim 5x = 5 . x®0 x
  135. 135. La forme indéterminéeNous avons une forme indéterminéelorsqu’on ne peut pas prévoir le résultatd’avance. Les formes indéterminées :0 = ? ; ¥ = ? ; ¥ -¥ = ? ;0 ¥ 0´¥ =?
  136. 136. La forme indéterminée 0 =? 0Pour la forme indéterminée 0 = ? , on peut 0utiliser la Règle de l’Hospital :R-H : Si lim f (x) = lim g(x) = 0 x®a x®a lim f (x) = lim f (x) alors x®a x®a g(x) g(x)
  137. 137. Exemples1. lim Sinx = ? x®0 x Règle de l’Hospital : lim Sinx = lim Cosx = Cos0 =1x®0 x x®0 1
  138. 138. Exemples2. lim ln x = ? x®1x -1 Règle de l’Hospital : lim ln x = lim 1/ x =1/1=1 x®1x -1 x®1 1
  139. 139. Exemples3. lim ex -1= ? x®0+ x2 Règle de l’Hospital : lim+ ex -1= x®0 x2 0 lim+ ex = e = 1 = +¥ x®0 2x 0+ 0+
  140. 140. Remarque La règle de l’Hospital est un outilpuissant pour le calcul des limites.Elle peut être utilisée plusieurs fois de suite.
  141. 141. Exemples4. lim ex - x -1= ? x®0 x 2 Règle de l’Hospital « 1ère fois »: = lim ex -1 x®0 2x Règle de l’Hospital « 2ème fois »: 0 = lim ex = e = 1 x®0 2 2 2
  142. 142. Exemples5. lim sin x - x - x3 = ? x®0+ x4 Règle de l’Hospital « 1ère fois »: = lim+ Cosx -1-3x2 x®0 4x3 Règle de l’Hospital « 2ème fois »: = lim+ -Sinx -6x x®0 12x2
  143. 143. ExemplesRègle de l’Hospital « 3ème fois »:= lim+ -Cosx -6 = -7 = -¥ x®0 24x 0 +
  144. 144. Séance n° 5
  145. 145. A. Fonctions à une variable réel 6. Dérivées d’ordre supérieur; Formule de Taylor Développements limités
  146. 146. Dérivées d’ordre supérieurLa dérivée d’ordre n (on dit aussi : ladérivée nème) s’obtient en dérivant f nfois : f on f’ on f’’ on f(3) dérive dérive dérive on on f(n) dérive dérive
  147. 147. Exemples1. f (x) = ln x• f (x) =1/ x ;• f (x) = -1/ x2 ;• f (3)(x) = 2 / x3 ; …;• f (n)(x) = (-1)n +1(n -1)!/ x n
  148. 148. Exemples2. f (x) = ex• f (x) = ex ;• f (x) = ex ;…;• f (n)(x) = ex
  149. 149. Utilisation de la dérivée seconde « f’’ »Convexité & Concavité f on f’ on f’’ dérive dérive
  150. 150. Convexité DéfinitionUne fonction f est dite convexe surl’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf surl’intervalle [a ; b] est au dessus de toutes sestangentes
  151. 151. Interprétation géométrique a b fonction convexe :la courbe est au dessus de ses tangentes
  152. 152. Concavité DéfinitionUne fonction f est dite concave surl’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf surl’intervalle [a ; b] est au dessous de toutesses tangentes
  153. 153. Interprétation géométrique a b fonction concave :la courbe est au dessous de ses tangentes
  154. 154. Convexité ThéorèmeSi f (x) ³ 0 ceci "xÎ[a;b] , alorsla fonction f est convexe sur l’intervalle [a ;b]
  155. 155. Concavité ThéorèmeSi f (x) £ 0 ceci "xÎ[a;b] , alorsla fonction f est concave sur l’intervalle [a ;b]
  156. 156. ExemplesÉtudier la convexité des fonctionsuivantes sur leurs domaines dedéfinition :1. f (x) = ln x ;2. f (x) = ex
  157. 157. 1. f (x) = ln x ; f (x) = ln x Þ f (x) =1/ xÞ f (x) = -1/ x2 avec xÎD = IR*+ fainsi "xÎD on a f (x) < 0 fLa fonction « ln » est concave sur IR*+
  158. 158. Interprétation géométrique lnx 1 La courbe de « ln » est concave sur IR*+
  159. 159. 2. f (x) = ex ; f (x) = ex > 0 ceci "xÎDf = IRLa fonction « exp » est convexe sur IR
  160. 160. Interprétation géométrique exp 1La courbe de « exp »est convexe sur IR
  161. 161. ExerciceÉtudier la convexité des fonctions suivantessur leurs domaines de définition :1. f (x) = x ;2. f (x) =1/ x ;3. f (x) = 3 x ;4. f (x) = x3 -3x2 + x -5
  162. 162. Dérivées d’ordre supérieur Formule de Taylor f(b) f(a) a b Question fondamentale en Analyse :Connaissant la valeur de f au point a, peut-ondonner une estimation de f(b) ???
  163. 163. Exemple « Météo » 24° 21° Mardi DimancheConnaissant la température enregistrée Mardi,peut-on prévoir la température de Dimancheprochain ???
  164. 164. Réponse « Taylor » f(b) f(a) a bOn peut donner une valeur approchée de f(b),à condition de connaître f(a)…mais aussi :f’(a) ; f’’(a) ; f(3)(a) ; f(4)(a) ; …. ; f(n)(a) ; …
  165. 165. A savoir :Notre estimation de f(b) est meilleure lorsque :Ø n est grandØ b est proche de a proches I I a b
  166. 166. Exemple « Météo » ? 22° 21° Mardi Mercredi DimancheConnaissant la température de Mardi, il estplus simple de prévoir la température deMercredi « proche de Mardi » que celle deDimanche « loin de Mardi »
  167. 167. La « fameuse » Formule de TaylorThéorème : Si f est une fonction dérivableà l’ordre n+1 alors :f (b) = f (a) + (b - a)f (a) + (b - a) f (a) + 2 2! n (b - a) f (3)(a) +...+ (b - a) f (n)(a) + 3 3! n! n +1 (b - a) f (n +1) (c) avec cÎ]a;b[ (n +1)! I I I a c b
  168. 168. Développements limités : a=0 et b=xThéorème : Si f est une fonction dérivableà l’ordre n+1 alors : 2 3f (x) = f (0) + xf (0) + x f (0) + x f (3)(0) + 2! 3! n n +1 ...+ x f (n)(0) + x f (n +1)(c) n! (n +1)! avec cÎ]0; x[ c x I I
  169. 169. Notation de Young Formule de Taylor-Young 2 3f (x) = f (0) + xf (0) + x f (0) + x f (3)(0) + 2! 3! n x f (n)(0) + x ne(x) ...+ n! avec e(x) = x f (n +1)(c) (n +1)!
  170. 170. Remarque1. e(x) ® 0 lorsque x ® 02. e(x) n’est pas une fonction, c’est une manière symbolique d’écrire : quantité qui tend vers 0 avec x. Donc : e Ø La différence de deux (x) n’est pas 0 e mais un (x) , prendre par exemple x 2 et x3 e e Ø Le produit de deux (x) est un (x)
  171. 171. Quelques Développements limités importants1. f (x) = ex ; La formule de Taylor-Young donne : 2 n e x = e0 + xe0 + x e0 +...+ x e0 + x ne(x) 2! n! Ainsi : 2 n (D1) e x =1+ x + x +...+ x + x ne(x) 2! n!
  172. 172. c’est-à-dire : pour x proche de 0 2 n e x »1+ x + x +...+ x 2! n! Exemple : e 0,1 »1+ 0,1+ 0,01+... 2 e- 0,1 »1- 0,1+ 0,01-... 2
  173. 173. 1 = (1- x)-1 2. f (x) = : 1- xLa formule de Taylor-Young donne :• f (0) =1 ;• f (x) = -1´(1- x)- 2 ´(-1) Þ f (0) =1 ;• f (x) = -2´(1- x)- 3´(-1) Þ f (0) = 2! ;• f (3) ( x) = -6´(1- x)- 4 ´(-1) Þ f (3) (0) = 3! ;• ...f (n)(0) = n! on obtient ainsi :
  174. 174. 1 =1+ x + x 2 + x3 +...+ x n + x ne(x) (D2) 1- x En remplaçant x par –x on obtient : (D3) 1 =1- x + x 2 - x3 +...+ (-1)n x n + x ne(x)1+ x En intégrant D3 on obtient : (D4) 2 3 n x x (-1)ln(1+ x) = x - + + ...+ x n +1 + x n +1e(x) 2 3 (n +1)!
  175. 175. Application : calcul de limites Exemple : 1 Calculer lim (1+ x) x x ®0 1 1 1 (x + xe(x)) ln(1+ x)Ø (1+ x) x = e x =ex Développement limité (D4) à l’ordre 1
  176. 176. Calcul de limitesAinsi : 1 (1+ e(x))lim (1+ x) x = lim e =e1=ex ®0 x ®0 car e(x) ® 0
  177. 177. Séance n° 6
  178. 178. Calcul de limites « Exercice »Calculer : 1) x )1. lim x(e - (1+ ; x ® +¥ x lim (1+ 5) x2. ; x ® +¥ x
  179. 179. lim (1+ 1 ) 3x3. ; x ® +¥ x (x cos x -sin x)4. lim ; 2 x ® 0 e x -1- x - x 2
  180. 180. corrigé1. lim x(e - (1+ 1) x ) = ? x ® +¥ x 1) x x ln(1+On a : (1+ 1 ) = e x xOr lorsque x ® +¥ alors 1 ®0 x
  181. 181. 1 ) = 1 - 1 + 1 e( 1 )Or ln(1+ 2 2 x x 2x x x Développement limité (D4) à l’ordre 2 !! Remarque : 1Ø C’est qui joue le rôle de x ici, car x 1 ® 0 donc 1 est proche de 0 x x
  182. 182. Ainsi : x( 1 - 1 + 1 e( 1 )) (1+ 1 )x = e x 2x 2 x 2 x x 1- 1 + 1 e( 1 ) 2x x x =e - 1 + 1 e( 1 ) 1 2x x x = e ´e
  183. 183. Or pour t proche de 0 ( t® 0) on a : t e =1+ t + te(t) Développement limité (D1) à l’ordre 1 !!Donc : ( t = -1/ 2x ) - 1 + 1 e( 1 ) 2x x x 1 + 1 e( 1 ) e =1- 2x x x
  184. 184. Par conséquent : (1+ 1 ) x = e1 ´(1- 1 + 1 e( 1 )) x 2x x x = e- e + 1 e( 1 ) 2x x xfinalement : x(e -(1+ 1 )x ) = x( e + 1 e( 1 )) x 2x x x
  185. 185. C’est-à-dire : x(e -(1+ 1 )x ) = e + e( 1 )) x 2 x Conclusion lim x(e -(1+ 1 )x ) = e x ® +¥ x 2Car lim e( 1 ) = lim e(t) = 0 x ® +¥ x t ® 0
  186. 186. 5) x 2. lim (1+ : x ® +¥ x x ln(1+ 5)On a : (1+ 5) x = e x xOr : ln( + 1 5) = 5 + 1 e( 1 ) x x x x Développement limité (D4) à l’ordre 1
  187. 187. Car 5 ® 0 lorsque x ® +¥ x x( 5 + 1 e( 1 ))Donc : (1+ 5) x = e x x x x
  188. 188. 5+ e( 1)C’est-à-dire : (1+ 5) x = e x x lim (1+ 5) x = e 5Ainsi : x ® +¥ x lim e( 1 ) = lim e(t) = 0Car x ® +¥ x t ® 0
  189. 189. 1 ) 3x 3. lim (1+ : x ® +¥ x 3x ln(1+ 1)On a : (1+ 1 ) 3x = e x xOr : ln(1+ 1 ) = 1 + 1 e( 1 ) x x x x Développement limité (D4) à l’ordre 1
  190. 190. Car 1 ® 0 lorsque x ® +¥ x 3x( 1 + 1 e( 1 ))Donc : (1+ 1 ) 3x = e x x x x
  191. 191. 3+ e( 1)C’est-à-dire : (1+ 1 ) 3x = e x x lim (1+ 1 ) 3x = e 3Ainsi : x ® +¥ x lim e( 1 ) = lim e(t) = 0Car x ® +¥ x t ® 0
  192. 192. Remarque Refaire le calcul des 3 limitesprécédente en posant « au début » : t= 1 x
  193. 193. 4. lim (x cos x -sin x) : 2 x ® 0 e x -1- x - x 2Nous avons besoin des développementslimités de Cos x et Sin x à l’ordre 3, car le dénominateur montre qu’il faut développer la fonction ex à l’ordre 3
  194. 194. Développements limités à l’ordre 3 de Cos x et Sin x1. f (x) = Cosx La formule de Taylor-Young à ;l’ordre 3 donne : 2 Cosx = Cos0 + xCos0 + x Cos0 2! 3 + x Cos (3) 0 + x3e(x) 3!
  195. 195. Or : Cos0 =1 ; Cos0 = -Sin0 = 0 Cos0 = -Cos0 = -1 Cos(3)0 = Sin0 = 0 2Donc : Cosx =1+ 0x - x + 0x3 + x3e(x) 2 2C’est-à-dire : Cosx =1- x + x3e(x) 2
  196. 196. De même pour la fonction Sinus1. f (x) = Sinx La formule de Taylor-Young à ;l’ordre 3 donne : 2 Sinx = Sin0 + xSin0 + x Sin0 2! 3 + x Sin (3) 0 + x3e(x) 3!
  197. 197. Or : Sin0 = 0 ; Sin0 = Cos0 =1 Sin0 = -Sin0 = 0 Sin(3) 0 = -Cos0 = -1Donc : 2 3 x ´0 + ´-1+ x3e(x) xSinx = 0 + x´1+ 2 6 3C’est-à-dire : Sinx = x - x + x3e(x) 6
  198. 198. x cos x -sin x =Par conséquent : 2 x e -1- x - x 2 x(1- x 2 / 2) -(x - x 3 / 6) + x 3e(x) x 3 / 6+ x 3e(x)Nous avons utiliser le D. L. de ex à l’ordre 3
  199. 199. -x 3 / 3+ x 3e(x) -1/ 3+ e(x)= = x 3 / 6 + x 3e(x) 1/ 6 + e(x) Ainsi : lim (x cos x -sin x) = -2 2 x ® 0 e x -1- x - x 2
  200. 200. 2ème Partie du CoursB. Fonctions à deux variables réelles
  201. 201. Exemples introductifsI. Une entreprise commercialise 3 produits : A, B et C. Le prix de vente unitaire du produit A est 12 DH, celui du produit B est 15 DH et celui du produit C est 22 DH.ØOn vend une quantité x du produit A, unequantité y du produit B et une quantité z duproduit C. La recette R(x ; y ; z) est donnéepar : R(x ; y ; z) = 12x + 15y + 22 z La recette de cet exemple est une fonction de 3 variables x, y et z
  202. 202. Exemples introductifsII. Une entreprise fabrique 2 produits A et B. Si x désigne la quantité fabriquée de A et y celle de B, la recette escomptée lors de la vente de x articles de A et de y articles de B est donnée par : R(x , y) = -3x2 -2y2 +220x +140yØ Le coût d’une unité de A (respectivement de B) qu’on note CA (respectivement CB) dépend des quantités x et y comme suit : CA = 2x +y et CB = x +3y
  203. 203. Exemples introductifsa. Exprimer en fonction de x et de y le coût c(x , y) de fabrication de x unités de A et de y unités de B. Ø C(x , y) = x CA + y CB = x (2x +y) + y (x +3y) = 2x2 +3y2 +2xyOn obtient une fonction de 2 variables x et y
  204. 204. Exemples introductifsb. Exprimer le bénéfice B(x , y) réalisé lors de la vente de x articles de A et de y articles de B.Ø B(x , y) = R(x , y) – c(x , y) = (-3x2 -2y2 +220x +140y) – (2x2 +3y2 +2xy) = -5x2 -5y2 -2xy +220x +140yle bénéfice est une fonction de 2 variables x et y
  205. 205. Séance n° 7
  206. 206. Exemples de fonctions à plusieurs variablesa. f (x, y) = xe y + yex : 2 variablesb. f (x, y) = x + y +100 : 2 variables y xc. f (x, y) = x3 + y3 -3xy : 2 variables
  207. 207. Exemples de fonctions à plusieurs variablesd. f (x, y, z) = xyz - x +5 y +3z : 3 vare. f ( x, y, z) = ln(x2 + y2 - 4z) :3 varf. f ( x, y, z,t) = x3 + y2 - z + t :4 var
  208. 208. Remarque1. Dans le cas de n variables ( n³ 5 ), on peut noter les variables : x1 , x2 , x3 , … , xn la fonction f est notée dans ce cas : f(x1 , x2 , x3 , … , xn)
  209. 209. Remarque2. On s’intéresse dans le cadre de ce cours aux fonctions de deux variables x et y (x, y)ÎIR´IR ®f (x, y)
  210. 210. 1. Domaine de définitionD f Ì IR´ IR f IR ( x, y) I f ( x, y) Le domaine de définition est un domaine du plan IR2 (IR2 = IR x IR)
  211. 211. Interprétation géométrique y Le plan IR2 x
  212. 212. Interprétation géométrique Df 2 Df Ì IR
  213. 213. Exemples1. f (x, y) = x2 + y2 - xy - 2x + y :Ø "xÎIR et "yÎIR on a : f (x, y) est définie (on peut la calculer) 2 Donc D = IR´IR = IR f x y
  214. 214. Interprétation géométriqueD = IR´IR f le plan tout entier
  215. 215. Exemples2. f (x, y) = x ln(y) + y2 +3 :Ø on doit avoir y> 0 pour que f (x, y) soit définie, donc D = IR´]0,+¥[ f x y
  216. 216. Interprétation géométrique y D f x la moitié supérieure du planSans l’axe Ox
  217. 217. Exemples3. f (x, y) = ln(x) + ln(y) +1 :Ø On doit avoir : x >0 et y> 0 pour que f (x, y) soit définie Donc D =]0,+¥[´]0,+¥[ f x y
  218. 218. Interprétation géométrique D f ¼ du plan Sans les axes
  219. 219. Remarque à réviser :Ø Équation d’une droite dans le plan IR2 : Une droite partage le plan en 3 zones…..Ø Équation d’un cercle dans le plan IR2 : Un cercle partage le plan en 3 zones….. Voir TD
  220. 220. Exercice Voir Exercice 1« TD, Partie 2 »
  221. 221. 2. Courbes de niveaux & Sections a) Courbes de niveaux :Ø Ce sont des sous ensembles du domaines de définition D.Ø Elles correspondent à des coupes horizontales de la surface z = f(x , y) projetées sur le domaine de définition D.
  222. 222. a) Courbes de niveaux DéfinitionØ La courbe de niveau k, notée Ck ou Nk, est l’ensemble des points du domaine de définition D tels que leur image f(x , y) est égale à k : C = (x, y)ÎD /f (x, y) = k ì ï í ü ï ý k ï î ï þ
  223. 223. Exemple • f (x, y) = y - x2 : 2Ø D = IR fØ La Courbe de niveau k : On cherche les couples (x , y) du domaine de définition IR2 tels que : f (x, y) = k
  224. 224. f (x, y) = k Û y - x2 = k Û y = x2 + kLa Courbe de niveau k est la paraboled’équation y = x 2 + k :Ø C0 : (k=0) parabole d’équation y= x 2Ø C1 :(k=1) // // y = x2 +1Ø C-1 :(k=-1) // // y = x2 -1
  225. 225. b) Sections ou « abaques »Ø Elles correspondent à des coupes verticales de la surface z = f(x , y)
  226. 226. q Sections selon xØ On fixe x : ( x = k ) et on trace la courbe z = f(k , y) dans le plan Oyz z y
  227. 227. q Sections selon yØ On fixe y : ( y = k ) et on trace la courbe z = f(x , k) dans le plan Oxz z x
  228. 228. Exemple • f (x, y) = ln(xy) :Ø Domaine de définition : xy > 0 Û x > 0 et y> 0 ou x < 0 et y< 0 D =]- ¥,0[´]- ¥,0[È]0,+¥[´]0,+¥[ f
  229. 229. Interprétation géométrique D f
  230. 230. Section selon x = 1Ø On fixe x : ( x = 1 ) et on trace la courbe : z = f(1 , y) = ln y (y>0) dans le plan Oyz z z=ln y y
  231. 231. Section selon y = -1Ø On fixe y : ( y = -1 ) et on trace la courbe : z = f(x , -1) = ln -x (x<0) dans le plan Oxz z z=ln -x x
  232. 232. 3. Dérivées partielles premières Ø 1 ère notation : f(x , y) Selon x Selon y f’x(x,y) f’y(x,y) Deux dérivées partielles premières
  233. 233. 2ème notation¶ : Se prononce « d rond » f(x , y) Selon x ¶f (x, y) ¶f (x, y) ¶x ¶y
  234. 234. Règle de baseLes premiers pas…dans le calcul différentiel Lorsqu’on dérive par rapport à une variable, l’autre variable est supposée constante
  235. 235. Dérivées partielle première par rapport à x f ( x, y ) - f ( x , y )f x ( x0, y0) = lim 0 0 0 x® x x- x 0 0 x est variable et tend vers x0, alors que y est fixé : y = y0
  236. 236. Dérivées partielle première par rapport à y f ( x , y) - f ( x , y )f y ( x0, y0) = lim 0 0 0 y® y y- y 0 0 x est fixé : x = x0 alors que y est variable et tend vers y0
  237. 237. Remarque Lorsqu’on calcule une dérivée partielle, on utilise les règles de dérivation d’une fonction d’une variable réelle« car une des deux variable est fixée »
  238. 238. Exemples 1. f (x, y) = x2 + xy + y4 +3 : Selon x Selon yf x (x, y) = 2x + y f y(x, y) = x + 4y3
  239. 239. Exemples 2. f (x, y) = xe y + x 2y : Selon x Selon y (x, y) = ey + 2xy f y(x, y) = xey + x2fx
  240. 240. Exemples 3. f (x, y) = x3 + y3 -3xy : Selon x Selon yf x (x, y) = 3x2 -3y f y(x, y) = 3y2 -3x
  241. 241. Séance n° 8
  242. 242. Dérivées partielles premières f (x , y) Selon x Selon y f’x (x , y) f’y (x , y) fonctions de 2 variables
  243. 243. Une dérivée partielle est une fonction de deux variables x et y,on peut alors la dériver à son tour!
  244. 244. Schème de dérivation f(x , y) x y f’x(x,y) f’y(x,y) x y x yf’’xx(x,y) f’’xy(x,y) f’’yx(x,y) f’’yy(x,y) quatre dérivées partielles secondes
  245. 245. Dérivées partielles secondes ou d’ordre 2f’’xx : On dérive f 2 fois par rapport à xf’’xy : On dérive f par rapport à x ensuite par rapport à y « dérivée croisée » : On dérive f par rapport à y ensuitef’’yx par rapport à x « dérivée croisée »f’’yy : On dérive f 2 fois par rapport à y
  246. 246. ExerciceØ Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes : 1. f (x, y) = 3x 2y - xy3 - x - y ; 2. f (x, y) = x ln y + yln x ; 3. f (x, y) = 2 2 ; x +y
  247. 247. 1. f (x, y) = 3x2y - xy3 - x - y : x y f x ( x, y) = 6 xy - y3 -1 f y ( x, y) = 3x2 - 3xy2 -1 x y x y f xy ( x, y) = f yx ( x, y) = 6 x - 3 y 2 f xx ( x, y) = 6 y f yy ( x, y) = -6xy Remarque : f xy = f yx
  248. 248. 2. f (x, y) = x ln y + yln x : x y f x ( x, y) = ln y + y / x f y ( x, y) = x / y + ln x x y x y f xy ( x, y) = f yx ( x, y) =1/ x +1/ y f xx ( x, y) = - y / x2 f yy ( x, y) = - x / y 2 Remarque : f xy = f yx
  249. 249. 3. f ( x, y) = x 2 + y 2 : x y ( x, y) = x / x 2 + y 2 f ( x, y) = y / x 2 + y 2fx y y x x y = f = - xy / ( x 2 + y 2 )3 f xy yx = y 2 / ( x 2 + y 2 )3f xx f yy = x2 / ( x 2 + y 2 )3
  250. 250. Remarquea) Théorème de Schwartz Si f est une fonction «de classe C2»alors les dérivées secondes croiséessont égales : f = f xy yxØ Toutes les fonctions économiques considérées dans ce cours vérifient le Théorème de Schwartz
  251. 251. Remarqueb) Une fonction de deux variables admet :1. 2 dérivées partielles d’ordre 1 « premières »2. 4 dérivées partielles d’ordre 23. 8 dérivées partielles d’ordre 34. 16 dérivées partielles d’ordre 4 … etcn. 2n dérivées partielles d’ordre n
  252. 252. 4. Quelques définitionsa) Les fonctions homogènes : Définition f est homogène de degré k lorsque : "(x, y)ÎD et "a > 0 f f (ax,ay) =a k f (x, y)
  253. 253. Exemples1. f (x, y) = 5x2 y - xy2 : Soit a > 0 , on a :f (ax,ay) = 5(ax)2(ay) -(ax)(ay)2 Þ f (ax,ay) = 5a 3x2 y -a 3xy2 =a 3(5x2 y - xy2) =a 3 f ( x, y) f est homogène de degré 3
  254. 254. xy 2. f ( x, y) = 2 2 : x -y Soit a > 0 , on a : (ax)(ay) xy f (ax,ay) = = 2 2 2 2 2 2 a x -a y x -yÞ f (ax,ay) = f ( x, y) =a 0 f (x, y) f est homogène de degré 0
  255. 255. y 3. f ( x, y) = 5 5 : x +y Soit a > 0 , on a : ay yf (ax,ay) = =a - 4 5 5 5 5 5 5 a x +a y x +y Þ f (ax,ay) =a - 4 f (x, y) f est homogène de degré -4
  256. 256. 4. f (x, y) = xy + x + y +1 : Soit a > 0 , on a : f (ax,ay) =a 2 xy +ax +ay +1Si on prend par exemple a = 2 et x =1, y =1 On obtient : f (2´1 2´1 = f (2,2) = 9 , ) f (1,1) = 4Þ f (2´1,2´1) ¹ 2´ f (1,1) f n’est pas une fonction homogène
  257. 257. Règle PratiquePour montrer que f est homogène (ou nonhomogène), on peut utiliser : Ø La définition ou Ø Le Théorème d’Euler
  258. 258. Théorème d’Euler f est homogène de degré k Ûxf x(x, y) + yf y (x, y) = k ´ f (x, y)
  259. 259. Exemple f (x, y) = 5x2 y - xy2 x y f x ( x, y) =10xy - y 2 f y ( x, y) = 5x2 - 2xy On a : xf x ( x, y) + yf y ( x, y) =15x2 y -3xy2 Þ xf x( x, y) + yf y ( x, y) = 3 f ( x, y) f est homogène de degré 3
  260. 260. 4. Quelques définitions b) Elasticités1. Cas d’une fonction d’une variable : L’élasticité de f est par définition : x xf (x) E = e( f , x) = f f (x)
  261. 261. Exemple f (x) = x2 + x - 2On a : xf ( x) x(2x +1) 2x + x 2e( f , x) = = = f ( x) x + x - 2 x + x - 2 2 2 5 Exemple : e( f ,2) = 2
  262. 262. 2. Cas d’une fonction de deux variables f (x , y) f’x (x , y) f’y (x , y) xf ( x, y) yf ( x, y)e( f , x) = x e( f , y) = y f ( x, y) f ( x, y) Elasticité partielle Elasticité partielle par rapport à x par rapport à y
  263. 263. Exemples 1. f (x, y) = 5x2 y - xy2 : x f x ( x, y) =10xy - y 2 xf ( x, y) 10x 2 y - xy 2e( f , x) = x = f ( x, y) 5x y - xy 2 2
  264. 264. f (x, y) = 5x2 y - xy2 y f y ( x, y) = 5x2 - 2xy yf ( x, y)e( f , y) = y = 5x y - 2xy 2 2 f ( x, y) 5x y - xy 2 2
  265. 265. Ainsi f (x, y) = 5x2 y - xy2 x ye( f , x) = 10x y - xy e( f , y) = 5x y - 2xy 2 2 2 2 5x y - xy 2 2 5x y - xy 2 2 Exemple : x = 1 ; y = 1 e( f , x) = 9 / 4 et e( f , y) = 3/ 4
  266. 266. Exemples 2. f (x, y) = x0,01y0,99 : x f x ( x, y) = 0,01x- 0,99 y0,99 xf ( x, y) 0,01x 0,01 y 0,99e( f , x) = x = = 0,01 0,01 0,99 f ( x, y) x y
  267. 267. f (x, y) = x0,01y0,99 y f y ( x, y) = 0,99 x0,01y - 0,01 yf ( x, y) 0,01 0,99e( f , y) = y = 0,99x y = 0,99 0,01 0,99 f ( x, y) x y
  268. 268. Ainsi f (x, y) = x0,01y0,99 x ye( f , x) = 0,01 e( f , y) = 0,99
  269. 269. D’une manière générale f (x, y) = kxa yb x ye( f , x) =a e( f , y) = b
  270. 270. Séance n° 9
  271. 271. 4. Quelques définitionsc) Différentielle totale
  272. 272. Définition La différentielle totale de f au point(x0 , y0) avec les accroissements dx et dyest la quantité : df ( x ,y ) = f x( x0, y0)´ dx + f y ( x0, y0)´ dy 0 0
  273. 273. Exemple f (x, y) = x2 y + xy2 = xy(x + y)ØCalculer la différentielle totale de f aupoint (20,30) avec les accroissements dx = 1 et dy = -1
  274. 274. Réponsedf (20,30) = f x(20,30)´1+ f y (20,30)´(-1) Or :Ø f,x ( x, y) = 2xy + y2 Þ f x (20,30) = 2100 Ø f y,( x, y) = x2 + 2xy Þ f y (20,30) =1600 Þ df (20,30) = 2100´1+1600´(-1) = 500
  275. 275. Interprétation (x0+dx,y0+dy) dy dx (x0,y0) Question :Lorsque x subit une légère variation dx«ou Dx» (on passe de x0 à x0 +dx) et y subitune légère variation dy «ouDy » (on passe dey0 à y0 +dy) , de combien varie la fonctionf « Df = ?» ?
  276. 276. Réponse 1. Calcul direct :Df = f ( x0 + dx, y0 + dy) - f ( x0, y0) 2. Valeur approchée : Df @ df (x , y ) 0 0
  277. 277. ExempleSoit la fonction U (appelée fonction d’utilité)donnée par : U (x, y) = x1/ 3 y2 / 3Ø Calculer U(x,y) pour x=8 et y=1Ø De combien varie la fonction d’utilité Usi x augmente de dx=0,1 et y diminue dedy=0,01 (Utiliser deux méthodes)
  278. 278. Réponse 1. Calcul direct :On a : x0 = 8 ; y0 =1 ; dx = 0,1 ; dy = -0,01 DU =U ( x0 + dx; y0 + dy) -U ( x0; y0 ) =U (8,1;0,99) -U (8;1) = 3 8,1´3 0,99 - 2 = -0,00511.. 2
  279. 279. Réponse 2. Valeur approchée : DU @ dU (8,1) dx = 0,1 ì ï avec les accroissements í dy = -0,01 ï îdU (8,1) =U x (8,1)´ 0,1+U y (8,1)´ (-0,01)
  280. 280. ( x, y) = 1 x- 2 / 3 y 2 / 3 ÞU x (8,1) = 1 ;ØU x 3 12ØU y ( x, y) = 2 x1/ 3 y -1/ 3 ÞU y (8,1) = 4 ; 3 3Donc : dU (8,1) =1/12´ (0,1) + 4 / 3´ (-0,01)C’est-à-dire : dU (8,1) = -0,005On obtient ainsi : DU @ -0,005
  281. 281. Quelques Interprétations Economiques Variation & Variation relative
  282. 282. ExempleØ Le salaire S d’un employé a étéaugmenté de 1300 DHOn parle ici de variation du Salaire : DS =1300Le nouveau salaire est : S = S + DS = S +1300
  283. 283. ExempleØ Le salaire S d’un employé a étéaugmenté de 5% : Þ DS = 5%´ SOn parle ici de variation relative duSalaire : DS =5% SLe nouveau salaire est : S = S + DS = S + 0,05´ S =1,05´ S
  284. 284. A. Cas d’une fonction « économique » d’une variableq Variation de f :On rappelle que : f ( x) - f ( x ) f ( x0 ) = lim 0 x® x x - x0 0
  285. 285. Lorsque x ® x0 ; f ( x) ® f ( x0 ) (f est continue)On note : df = f ( x) - f ( x0 ) et dx = x - x0que l’on appelle respectivement différentiellede f et différentielle de x, on a donc : df f ( x) = ou encore df = f ( x)´dx dxExemples : 1 • f ( x) = x Þ df = dx ; 2 x 1 1 . • f ( x) = Þ df = - dx x 2 x
  286. 286. Notationsdx : Variation infiniment petite de xdf : Variation infiniment petite de fDx : Variation très petite « faible» de xDf : Variation très petite « faible» de f
  287. 287. En pratiquesi la variation Dx que subit x est faible :la variation subit par la fonction f est faibleet on a : Df @ f (x)´DxRemarque : dans la formule df = f ( x)´dxnous avons remplacé : dx par Dx et df par Df
  288. 288. ExempleØ Le coût global de la fabrication d’un bien en quantité x est donnée par la formule : C(x) = 250 - x2 Pour une quantité x=10 (par exemple) : C(10) = 250 -100 =150
  289. 289. Ø Calculons l’écart (de 2 façons différentes) résultant d’une augmentation Dx =1 1) Calcul direct : C(11)=250-112 =250-121=129 donc DC = C(11) - C(10) =129 -150 = -21
  290. 290. 2) Valeur approchée : en appliquant la formule : DC @ C( x)´ Dx On obtient : C( x) = -2x Þ DC @ (-20)´(1) DC @ -20
  291. 291. A retenir• Si x subit une faible variation Dx , unevaleur approchée de la variation Df de fest donnée par la formule : Df @ f (x)´Dx
  292. 292. q Variation relative Df On a : Df @ f ( x)´ Dx Û f ( x) @ DxØ L’élasticité de f au point x est : Df Df x e( f , x) = xf ( x) @ Dx Þ e( f , x) @ f f ( x) f ( x) Dx x
  293. 293. Elasticité de f au point x : Df f Df @ e( f , x)´ Dxe( f , x) @ Dx Û f x x Df représente la variation relative de f f Dx représente la variation relative de x x
  294. 294. Exemplef(x) représente une fonction économique dépendant de la quantité x d’un bien distribué.Ø On suppose connaitre la valeur de f pourune quantité x=1000 et que l’élasticité enx=1000 est : e(f,1000) = 5.
  295. 295. Exemple Ø La quantité distribuée à baissé de 2%(980 unités ont été distribuées au lieu de 1000), cela entrainera une variation relative de f : Df @ e( f , x)´ Dx = 5´ -2% = -10% f x f a baissé d’environ 10%
  296. 296. A retenir• Si x subit une faible variation relative Dx/ x , une valeur approchée de lavariation relative de f est donnée parla formule : Df Dx @ e( f , x)´ f x e( f , x) désigne l’élasticité de f au point x
  297. 297. B. Cas d’une fonction « économique » de deux variablesq Variation de f :Nous avons vu que : Df @ df ( x0 , y0 )C’est-à-dire : Df @ f x ( x0, y0 )´ dx + f y ( x0, y0 )´ dy
  298. 298. En pratique : si la variation Dx que subitx est faible et la variation Dy que subity est faible : la variation subit par lafonction f est faible et on a : Df @ f x ( x0, y0 )´ Dx + f y ( x0, y0 )´ Dy Voir exemple précédent « paragraphe 4 c) : différentielle totale »
  299. 299. A retenir• Si x subit une faible variation Dxet y subit une faible variation Dy ,une valeur approchée de la variationde f est donnée par la formule : Df @ f x ( x0, y0 )´ Dx + f y ( x0, y0 )´ Dy
  300. 300. q Variation relativeOn a : Df @ f x ( x, y)´ Dx + f y ( x, y)´ Dy Ø En divisant par f(x,y) : ( x, y) ( x, y) Df @ x f ´ Dx + f y ´ Dy f f ( x, y) f ( x, y)
  301. 301. Ø On fait apparaître les variationsrelatives de x et de y : ( x, y) ( x, y) Df @ x xf ´ Dx + y yf ´ Dy f f ( x, y) x f ( x, y) y Þ Df @ e( f , x)´ Dx + e( f , y)´ Dy f x y
  302. 302. Variation relative de f Df @ e( f , x)´ Dx + e( f , y)´ Dy f x y Df représente la variation relative de f fDx et Dy représentent les variations relatives x y de x et de ye( f , x) et e( f , y) représentent les élasticités partielles par rapport à x et à y
  303. 303. Exemple f(x,y) représente une fonctionéconomique dépendant de deuxquantités x et y de deux biens fabriqués. Ø On suppose connaitre la valeur de f pour une quantité x=1000 et y=500. Supposons aussi que les élasticités partielles en x=1000 et y=500 sont : e(f , x) = 5 et e(f , y) = 3
  304. 304. ExempleØ Suite à un incident technique, la fabricationdes deux biens a légèrement varié : x adiminué de 4% et y a augmenté de 5%.Quelle variation cela entrainera sur la fonctionéconomique f ? Df @ 5´ (-4%) + 3´5% = -5% f la fonction économique f subira une baisse d’environ 5%
  305. 305. A retenir• Si x subit une faible variation relative Dx/ x et y subit une faible variationrelative Dy/ y , une valeur approchéede la variation relative de f est donnéepar la formule : Df @ e( f , x)´ Dx + e( f , y)´ Dy f x y
  306. 306. Fin del’interprétation EconomiqueSuite du Cours
  307. 307. Séance n° 10
  308. 308. 4. Quelques définitions d) Hessien de f Rappel : déterminant d’ordre 2 a c = ad -bc b d
  309. 309. Définition Le Hessien de f au point (x , y)est la quantité : f xx ( x, y) f xy ( x, y)H ( x, y) = f f yx ( x, y) f yy (x, y)
  310. 310. ExempleØ Soit la fonction f (x, y) = x2 y - xy3Calculer le Hessien de f aux points (0;0),(1;2) et (-2;1)
  311. 311. f (x, y) = x2 y - xy3 x y f x ( x, y) = 2 xy - y3 f y ( x, y) = x 2 - 3xy 2 x y x y f xy ( x, y) = f yx ( x, y) = 2 x - 3 y 2 f xx ( x, y) = 2 y f yy ( x, y) = -6xy
  312. 312. Donc Le Hessien de f au point (x , y) estdonné par : 2y 2x -3 y 2 H (x, y) = f 2x -3 y 2 - 6xy
  313. 313. Ainsi 0 0Ø H f (0,0) = = 0-0 = 0 ; 0 0 4 -10Ø H (1,2) = = -48 -100 =;-148 f -10 -12 2 -7Ø H (-2,1) = = 24 - 49 = -25 ; f -7 12
  314. 314. 5. Optimisation OuRecherche d’Extrema
  315. 315. Remarque Maximum « MAX »Extrema Ou OuExtrémums Minimum « MIN »
  316. 316. ProblèmeSoit f(x , y) une fonction de deux variablesdéfinie sur un domaine D (( x, y)ÎD Ì IR2 )Ø On cherche les couples (x , y) qui rendent f maximale ou minimale
  317. 317. Extrémum local ou global Plus grand Plus petit Max global Max localMaxlocal Min local Max Min Min local local global
  318. 318. Ø Un maximum global (s’il existe) estun point (x0,y0) du domaine D qui vérifie : "(x, y)ÎD : f (x, y) £ f (x0, y0)Ø Un minimum global (s’il existe) estun point (x0,y0) du domaine D qui vérifie : "(x, y)ÎD : f (x, y) ³ f (x0, y0)
  319. 319. a) Extrémums ”locaux” libres On checrche les extrémums “locaux”de la fonction f sachant qu’il n y a aucune contrainte sur les variables x et y : on dit que les variables x et y sont indépendantes ou libres
  320. 320. Ø On parle alors d’éxtrémums libres de la fonction f sur le domaine D
  321. 321. Méthode à suivreI. Etape 1 : Recherche des candidatsRemarque : On dit aussi points critiques oupoints stationnairesØ Ce sont les couples (x , y) solutions dusystème : ì ï ï ï f x(x, y) =0 S: ï í f y(x, y) =0 ï ï ï ï î
  322. 322. On doit résoudre le système S “ étape unpeu difficile !” et donner ses solutions : (x0 , y0) ; (x1 , y1) ; (x2 , y2) ; etc...Ø Les couples (x0 , y0) ; (x1 , y1) ; (x2 ,y2) ... sont les candidats ( ...pour êtreextrémums), ou les points critiques de lafonction f (on dit aussi : points stationnaires de f )
  323. 323. II. Etape 2Nature des candidats Max Min
  324. 324. II. Etape 2Nature des candidats Ni Max Point-selle Ni Min
  325. 325. II. Etape 2Nature des candidats Ni Max Col Ni Min
  326. 326. Etape 2 : Nature des candidatsØ On calcule le Hessien de f pour chaquecandidat. Soit (x0 , y0) un candidat issu de l’étape 1 : f xx (x0, y0) f xy (x0, y0)H (x0, y0) = f f yx (x0, y0) f yy (x0, y0)
  327. 327. Etape 2 : Nature des candidatsqSi Hf (x0 , y0) <0Þ pas d’extrémum en (x 0 , y0) « Ni Max ni Min » Il s’agit d’un Col ou un point-selle en (x0 , y0)qSi Hf (x0 , y0) >0Þ f présente un extrémum en (x0 , y0)
  328. 328. Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, on regarde le signe de la dérivée seconde par rapport à x (ou par rapport à y) :Ø Si f xx(x0, y0)<0 : f présente un Maximum en (x0 , y0)Ø Si f xx(x0, y0) >0 : f présente un Minimum en (x0 , y0)
  329. 329. 3ème cas : On ne peut pas conclureq Si Hf (x0 , y0) = 0 : Dans ce cas, on ne peut rien conclureRemarque : Dans ce cas, on peut faire appel àd’autres méthodes : Des estimations localesde la fonction au voisinage du point (x0 , y0)par exemple. Voir «TD : Partie 2 - Exercice 3»
  330. 330. Exemple 1 Soit la fonction :f ( x, y) = -3x2 - 4 y 2 -3xy + 69x + 93 y Ø Trouver les extrémums « locaux » de la fonction f
  331. 331. RéponseI. Etape 1 : Recherche des candidatsØ On doit résoudre le système : ì f x(x, y) =0 Û -6x -3y +69 =0 ï ï ï ì ï ïS: ï í ï í -8 y -3x +93= 0 f y(x, y) =0 ï ï ï ï ï ï ï î î Û 6x +3y = 69 Û x = 7 ì ì ï ï ï ï 3x +8 y =93 y =9 í í ï ï ï ï î îNous avons un seul candidat : le couple (7 , 9)
  332. 332. RéponseII. Etape 2 : Nature des candidats On calcule le Hessien de f au point (7 , 9) : f xx ( x, y) f xy ( x, y) H ( x, y) = f f yx ( x, y) f yy (x, y) -6 -3 Þ H (x, y) = = 39 f -3 -8
  333. 333. RéponseLe Hessien de f ne dépend ici de (x , y), nousavons alors au point (7 , 9) : Þ H (7,9) = 39 > 0 f f présente donc un extrémum au point (7 , 9)Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, onregarde le signe de la dérivée seconde parrapport à x :
  334. 334. Réponse f xx (x, y) = -6 Þ f xx (7,9) = -6 < 0 f présente donc un Maximum « local » au point (7 , 9)Ø La valeur de ce maximum est : f (7,9) = 660
  335. 335. Exemple 2Soit la fonction : f ( x, y) = 3xy - x3 - y3Ø Trouver les extrémums « locaux » dela fonction f
  336. 336. I. Etape 1 : Recherche des candidatsØ On doit résoudre le système : ì ï f x(x, y) =0 ì 3( y - x2) = 0 Û ï ï ï S: ï í ï ï í f y(x, y) =0 3(x - y2) = 0 ï ï ï ï ï ï ï î î ì 2 y = x2 Û y = x ì ï Û ï ï ï ï ï ï í í x = y2 ï ï ï î ï 2 2 x = (x ) = x ï ï 4 ï î

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