Cours maths

MATHEMATIQUES
– ANALYSE –
Réalisé par le professeur :
M.REDOUABY

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Pour votre autoformation en économie et gestion.

ANALYSE

Contenu du cours :

A. Fonctions à une variable réelle

B. Fonctions à deux variables réelles

A. Fonctions à une variable réelle

1.Introduction
a) Notion de fonction
b) Notion d’injection
c) Notion de surjection
d) Notion de bijection
e) Bijection et bijection réciproque

a) Notion de fonction

Définition
Une fonction est une relation entre deux
ensembles E et F telle que :

Ø Chaque élément de E (ensemble des
antécédents) a au plus une image dans F
(ensemble des images)

E
f F
Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
.
.
.
. .
.
.
. .
.
.
Xn .

Ym

Ø E = ensemble de départ, contient ‘n’ éléments :
X1 ; X2 ; X3 ; …. ; Xn ,
Ce sont les antécédents
Ø F = ensemble d’arrivée, contient ‘m’ éléments :
Y1 ; Y2 ; Y3 ; …., Ym
Ce sont les images

Nous avons : f (x ) = y ; f (x2) = y3 ; f (x3) = y2 ;
1 1

…….. ; f (xn) = ym

ØY1 est l’image de X1 ; X1 est l’antécédent de Y1
ØY3 est l’image de X2 ; X2 est l’antécédent de Y3
……

ØYm est l’image de Xn ; Xn est l’antécédent de Ym

Pour que f soit une fonction,
chaque élément de E doit avoir
au plus une image dans F

Exemple
f
IR IR
x 1
I

x
f est une fonction car :
"xÎIR , x a une image et une seule, sauf « 0 » qui
n’a pas d’image

Ø Ainsi, par une fonction, un
élément de E ne peut jamais avoir
plus d’une image dans F

Exemple 1
E f F
Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3

f (x ) = y ; f (x ) = y ; f (x ) = y
1 1 2 2 3 2

Exemple 2
E f F

X1
Y1
X2
X3

f (x ) = y ; f (x ) = y ; x3 n’a pas d’image
1 1 2 1
Chaque élément de E a au plus une image

Exemple 3
E f F

X1 Y1
X2 Y2
X3

f n’est pas une fonction car :
x1 a deux images Y et Y
1 2

Remarque Importante

Fonction et Application
Une application est une fonction particulière.
C’est une fonction telle que chaque antécédent
a exactement une image (s’il y a un antécédent
qui n’as pas d’image alors c’est simplement une
fonction et non une application)

Exemple 1
E
f F

Y1
X1 Y2
X2 Y3
X3 Y4
X4

Chaque antécédent a une image et une seul, f est
donc mieux qu’une fonction, c’est une application

Exemple 2
E
f F

Y1
X1 Y2
X2 Y3
X3 Y4
X4

x3 n’a pas d’image dans F, donc f n’est pas une
application, mais simplement une fonction

Exemple 3
f
IR IR
x 1
I

x
f est simplement une fonction car et non une application
car 0 n’as pas d’image

Exemple 4
f
IR IR
x I x2

f est une application car chaque élément de IR admet
une image et une seule « exactement une image »

b) Notion d’injection
« fonction injective »

Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite
injective lorsque chaque élément de F a au
plus un antécédent dans E : un antécédent ou
rien

Exemple 1
E
f F

Y1
X1 Y2
X2 Y3
X3 Y4
X4

Chaque élément de F a au plus un antécédent, f est
donc une fonction injective

Exemple 2
E
f F

Y1

X1 Y2
X2 Y3
X3
Y4

Chaque élément de F a au plus un antécédent, f est
donc une fonction injective

Exemple 3
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
X4
Y4

f n’est pas une fonction injective car :

Y1 a deux antécédents : x1 et x2

Exemple 4
IR f IR
x I x2
f n’est pas injective car :
par exemple 1 a deux antécédents +1 et -1

IR f IR
.
. .
. .
+1 1
0 0
-1 .
. .
. .
.

Par contre
IR+ g IR
x I x2
g est injective car :

Ø Si Y est négatif (Y < 0) , alors Y n’a pas d’antécédent
Ø Si Y est positif (Y ³ 0) ,Y a un seul antécédent : Y

A retenir
f est une fonction de E vers F. f est injective si
elle vérifie :

"x ;x ÎE : f (x ) = f (x ) Û x = x
1 2 1 2 1 2

C’est-à-dire : deux antécédents ont la même
image si et seulement si ils sont égaux

Remarque
f est une fonction de E vers F. Si f est
injective alors : Card E £ Card F
Card E = nombre des éléments de E

X1
X2
X3
.
E= .
. : Card E = n
.
.
.
Xn

Remarque

Méthode de la règle : Voir TD

c) Notion de surjection
« fonction surjective »

Définition
f est une fonction de E vers F. f est dite
sujective lorsque chaque élément de F a au
moins un antécédent dans E : un antécédent
ou plusieurs antécédents

« fonction surjective »

f est surjective si et seulement si :

"yÎF $xÎE / f (x) = y

Exemple 1
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
X4 Y3

Chaque élément de F a au moins un antécédent, f
est donc une fonction surjective

Exemple 2
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
X4

Chaque élément de F a au moins un antécédent, f
est donc une fonction surjective

Exemple 3
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
X4
Y4

f n’est :
Øni injective : y a deux antécédents x et x
1 1 4
Øni surjective : y4 n’a pas d’antécédent

Remarque
f est une fonction de E vers F. Si f est
surjective alors : Card E ³ Card F
Card E = nombre des éléments de E

d) Notion de bijection
« fonction bijective »
Définition
f est une fonction bijective (ou une bijection) de
E vers F si et seulement f est une application
qui est à la fois injective et surjective

C’est-à-dire chaque élément de E a une image
et une seule et chaque élément de F a un
antécédent et un seul

Exemple 1
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
X4
Y4

f est une bijection de E vers F :
Ø f est injective
Ø f est surjective

Exemple 2
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
X4
Y4

Y5

f n’est pas bijective de E vers F :
Ø f n’est pas surjective car y5 n’a pas d’antécédent

Exemple 3
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
X4

f n’est pas une bijection de E vers F :
Ø f n’est pas injective
Ø f n’est pas surjective

Exemple 4
E
f F

Y1
X1
X2 Y2
X3
Y3
X4

f n’est pas une bijection de E vers F car :
Ø f n’est pas une application : x3 n’a pas d’image

Remarque

f est une fonction de E vers F.
Si f est bijective alors :
Card E = Card F

e) bijection et bijection réciproque

E f F
f-1

E f F
X1
X2 Y1
Y2
X3 Y3
. .
.
. .
.
.
. .
. .
Xn Yn

f-1
f
x f-1
y

bijection et bijection réciproque

Comment passer de f à f-1 et inversement :

f (x) = y Û f -1(y) = x

Ainsi si:

E f F
X1
X2 Y1
Y2
X3 Y3
. .
.
. .
.
.
. .
. .
Xn Yn

alors:

F
f-1 E
X1
Y1 X2
Y2 X3
Y3 .
. .
. .
.
.
.
. .
. Xn
Yn

Relation fondamentale entre f et f -1

E f F
f-1
f
x f-1 y

"xÎE:f -1of (x) = x et "yÎF:f of -1(y) = y

Exemple
IR+ f IR+
x I x2
IR+ f-1 IR+
x I x
On a : "x ÎIR + f -1o f (x) = x 2 = x = x

et : "x ÎIR + f o f -1(x) = ( x )2 = x

Exemple
IR*+ f = ln IR
x I ln x
IR f-1 = exp IR*+
x I ex
On a : "x ÎIR*+ f -1o f (x) = eln x = x
et : "x ÎIR f o f -1(x) = ln ex = x

Remarque
Relation entre
la courbe de f et la courbe de sa réciproque f-1

ØA retenir : La courbe de f «Cf» et la courbe
de sa fonction réciproque f-1 «Cf-1» sont
symétriques par rapport à la 1ère bissectrice
(la droite d’équation y = x)

Y
2ème bissectrice Y=x

1

45° x
1

1ère bissectrice

Exemple
la courbe de ln « logarithme népérien » et la
courbe de sa réciproque exp « exponentielle »
sont symétriques par rapport à la droite y = x

Cexp Y=x

Cln

A. Fonctions à une variable réel

2. Domaine de définition

IR f IR
xI f (x )
D = íxÎIR x
ì
ï
admet une image ü ý
f ïî þ

= ïxÎIR f (x) est définie « on peut
ì
í
ï
ü
ý
î la calculer » þ

Exemples

1. Fonctions polynômiales :

f (x) = a n xn +....+ a1x + a0
fonction polynômiale (ou polynôme) de degré n

Df = IR

Fonctions polynômiales

Exemples :
• f (x) = 3x2 + x -5 ;

• f (x) = 7x3 - x 2 + x +15 ;

• f (x) = 7x5 - x 4 + x 2 - 24 ;
Pour toutes ces fonctions :
Df = IR =]- ¥;+¥[

Exemples

2. Fonctions rationnelles :

f (x ) = P(x)
Q(x)
P(x) et Q(x) sont deux polynômes

Df = xÎIR Q(x) ¹ 0ü
ì
ï
í
ï
ý
î þ

Fonctions rationnelles
Exemple :

f (x ) = 2x +1
(x -1)(x +1)
2 2

Q(x) = 0 Û (x2 -1)(x2 +1) = 0 Û x2 -1= 0
Car x 2 +1¹ 0 , ainsi :

Q(x) = 0 Û x 2 =1Û x = ±1 Þ Df = IR - ±1
ì
ï
í
ï
ü
ý
þ
î

Df =]- ¥;-1[È]-1;1[È]1;+¥[

Exemples
3. Fonctions racines (nèmes) :

f (x) = n u(x) ; n est un entier naturel non nul
n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ……….

A retenir :

• Si n est pair : Df = xÎIR u(x) ³ 0
ì
ï
í
ï
ü
ý
î þ

• Si n est impair : Df = Du

Fonctions racines (nèmes)
Exemples :

• « racine carrée » : f (x) = 2x +1
On doit avoir :
2x +1³ 0 Û x ³ -1/ 2 Þ Df =[-1/ 2;+¥[
• « racine cubique » : f (x ) = 3 2x +1
u(x) = 2x +1 définie quelque soit x donc
Df = Du = IR =]- ¥;+¥[

Exemples
4. Fonctions puissances :

f (x) = u(x)a ; a est un nombre rationnel

a = m/n
m et n sont deux entiers naturels non nuls

On écrit : f (x) = u(x)m / n = (u(x)m)1/ n

Þ f (x ) = n u (x ) m

Fonctions puissances
Exemples :

1. f (x) = (2x +1)4 / 5 ici a = 4 / 5
On a : f (x) = 5 (2x +1) 4 ; racine impaire,

on regarde alors le domaine de définition de
(2x +1)4 :

(2x +1)4 est une fonction polynômiale définie
sur IR donc : Df = IR

Fonctions puissances
Exemples :

2. f (x) = (2x +1)- 3/ 4
On a : f (x) =
1 ; racine paire,
4 (2x +1)3

on doit avoir : (2x +1)3 ³ 0 et (2x +1)3 ¹ 0
(2x +1)3 > 0 Û 2x +1> 0 Û x > -1/ 2
Df =]-1/ 2;+¥[

Exemples
5. Fonctions logarithmiques :

f (x) = ln(u(x)) ; ln désigne le logarithme népérien
Df = xÎIR u(x) > 0ü
ì
ï
í
ï
ý
î þ

Exemple : f (x) = ln(1- x 2)
ì ü
Df = xÎIR 1- x > 0
ï
í
2 ï
ý ;
ï ï
î þ
or 1- x 2 = (1- x)(1+ x) , tableau des signes

Fonctions logarithmiques

Exemple : f (x) = ln(1- x 2)
x ¥ -1 1
1-x + + 0 -

1+x - 0 + +
1-x2 - 0 + 0 -

Ainsi : Df =]-1;+1[

Exemple 2 : f (x) = ln((2x + 7)(x -5))
Df = xÎIR (2x + 7)(x -5) > 0ü
ì
ï
í
ï
ý
î þ

Tableau des signes :
x -7/2 5
2x+7 - 0 + +

x-5 - - 0 +
Produit + 0 - 0 +
Donc :
Df =]- ¥;-7 / 2[È]5;+¥[

Exemples
6. Fonctions exponentielles :

f (x ) = eu (x ) ; alors Df = Du
« l’exponentielle est toujours définie »
Exemples :

f (x) = ex + x + 2 Þ D = IR ;
2
•
f
• f (x) = e x Þ D = IR + ;
f
f (x ) = e1/(x - 2) Þ D = IR - ì2ü
ï
• í ý
f ï þ
î


3. Continuité

IÌ IR f IR
x I f (x )
f est une fonction définie sur un intervalle I de IR

3. Continuité
a) Continuité en un point a :

a droite de a
a gauche de a
a

3. Continuité

a) Continuité en un point a :

Définition : f est continue au point a lorsque :

lim f (x) = lim f (x) = f (a)
+ x ®a -
x ®a
limite à droite = limite à gauche = image de a

Exemples
ì
x ;si xÎ[0;1]
1. f (x ) =
ï
ï
í ; continuité en 1
ï
ï
î
2 - x ;si xÎ]1;2]

On a : lim f (x) = lim 2 - x = 1 =1
x ®1 + x ®1+
lim f (x) = lim x = 1 =1
x ®1 - x ®1-

et f (1) = 1 =1 ; f est donc continue au point 1

ì
ïx +1;si xÎ[0;1[
ï
2. f (x) = 2 - x;si xÎ]1;2]
ï
í ; continuité en 1
ï
ï
ï
f (1) = 3/ 2
î

On a :
lim f (x) = lim 2 - x = 2 -1=1
x ®1 + x ®1 +
lim f (x) = lim x +1=1+1= 2
x ®1 - x ®1 -
et f (1) = 3/ 2 ;
f est donc discontinue au point 1

3. Continuité

b) Continuité sur un intervalle :

Définition :

f est continue sur l’intervalle I=[a;b] lorsque f
est continue en tout point de l’intervalle ouvert
]a;b[ ; continue à gauche de b et continue à
droite de a.

• f est continue à gauche de b lorsque :
lim f (x) = f (b)
x ®b -
• f est continue à droite de a lorsque :
lim f (x) = f (a)
x ®a +

Continuité sur un intervalle [a ; b]

à droite de a à gauche de b

a x b

Exemples

1. f (x) =
x ;si xÎ[0;1]
ì
ï
ï ;
í
2 - x ;si xÎ]1;2]
ï
ï
î

f est continue sur l’intervalle [0 ; 2] car :
• f est continue en tout point de l’intervalle
]0 ; 2[ (en particulier au point 1),
• f est continue a droite de 0 et à gauche de 2.

Exemples

ì
ï x +1;si xÎ[0;1[
ï
2. f (x) = 2 - x;si xÎ]1;2] ;
ï
í
ï
ï
ï
f (1) = 3/ 2
î

f n’est pas continue sur l’intervalle [0 ; 2] car
elle discontinue au point 1

Propriétés des fonctions continues

Si f et g sont deux fonctions continues sur
un intervalle I alors :

• f + g est continue sur I
• af est continue sur I (aÎIR)
• f ´g est continue sur I
• f / g est continue sur I ( g ¹ 0 sur I )

Conséquences

• Les fonctions polynômiales sont continues
sur IR

• Les fonctions rationnelles ; racines nèmes ;
puissances ; logarithmiques et
exponentielles sont continues sur leurs
domaines de définition

bijection et bijection réciproque

I f J
f-1
f est une fonction bijective de I vers J. Si f est
continue sur l’ intervalle I alors sa fonction
réciproque f-1 est continue sur l’intervalle J
(car les courbes de f et f-1 sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y = x)

Remarque

f est continue sur l’ intervalle I
Û
sa courbe Cf est continue
« ne présente aucune coupure »
Voir TD (Exercice 2)

Théorème des Valeurs Intermédiaires
« T.V.I »

T.V.I : Si f est continue sur l’intervalle [a; b]
et f (a)´f (b) < 0 alors f s’annule sur ]a ; b[ ;
C’est-à-dire : $cÎ]a;b[ tel que : f (c) = 0

Interprétation géométrique

f(b) > 0

a b
c
I I

f(a) < 0

Ou

f(a) > 0

a b
c
I I

f(b) < 0

Exemple
Montrer que la fonction f (x) = x3 + x -3
s’annule (au moins une fois) sur [0 ; 2]

Ø La fonction f est une fonction polynomiale
donc définie et continue sur IR, en particulier
sur l’intervalle [0 ; 2]. De plus :
f (0) = -3< 0 et f (2) = 7 > 0
Donc d’après le T.V.I : $cÎ]0;2[
tel que f (c) = 0


4. Dérivabilité

IÌ IR f IR
x I f (x )
f est une fonction définie sur un intervalle I
I I I
a x0 b

a) Dérivabilité en un point x0

Définition
On dit que la fonction f est dérivable en x0 si :
f (x ) - f (x )
lim 0 existe.
x®x x-x
0 0
Cette limite « quand elle existe » est appelée :
dérivée de f au point x0 et on la note f’(x0)

Ainsi

f (x ) - f (x )
f '(x0) = lim 0
x®x x-x
0 0

A retenir :
toutes les formules de dérivation qu’on
utilise sont une conséquence directe de
cette définition.

Exemples

1. Pourquoi la dérivée d’une constante est
égale à 0 ?

On pose : f (x) = C , soit x0ÎIR

IR
I
x0

f (x ) - f (x )
f '(x0) = lim 0
x®x x-x
0 0

= lim C-C = 0
x ® x x-x
0 0
Ainsi : "x0ÎIR, f '(x0) = 0
Ou encore (en notant x au lieu de x0) :
"xÎIR, f '(x) = 0

Exemples

2. Pourquoi : (ax2 + bx + c)'= 2ax + b
On pose : f (x) = ax 2 + bx + c , soit x0ÎIR
I
x0

f (x ) - f (x )
f '(x0) = lim 0
x®x x-x
0 0

Donc :
(ax 2
+ bx + c) - (ax + bx + c)
2
= lim 0 0
x®x x-x
0 0
a (x 2
- x ) + b(x - x )
2
= lim 0 0
x®x x-x
0 0
= lim a(x + x0) + b = a(x0 + x0) + b
x®x
0
= 2ax0 + b

Ainsi :

"x ÎIR, f '(x ) = 2ax + b
0 0 0
"xÎIR, f '(x) = 2ax + b
finalement :

f (x) = ax2 + bx + c Þ f '(x) = 2ax + b

Exemples
æ ö'
ç1÷ 1
3. Pourquoi : ç ÷ =-
ç ÷ 2
çx÷
è ø x
On pose : f (x) =
1 , soit x0ÎIR*
x
f (x ) - f (x )
f '(x0) = lim 0
x®x x-x
0 0

Donc :
1- 1 x0 -x
x x0 xx 0
f '(x0) = lim = lim
x®x x-x0 x®x x-x0
0 0
- (x - x 0 ) 1
= lim = lim -
x ® x xx (x - x ) x ® x xx 0
0 0 0 0
1 Þ f '(x ) = - 1
=- 2 0 2
x0 x0

finalement :

"x ÎIR*, f '(x ) = - 1
0 0 x 2
0

"xÎIR*, f '(x) = - 1
2
x
ØLes formules qui suivront sont aussi
conséquence directe de la définition
précédente :

b) Mémento du petit dériveur

fonction fonction dérivée
ax+b a

xa ( aÎQ ) axa -1

x 1 /2 x

lnx 1/x

ex ex

Sin x Cos x

Cos x -Sin x

tanx 1+ tan2x

Plus général : (u désigne une fonction)

au+b au’

ua ( aÎQ ) au'´ua -1

u u' /2 u

lnu u'/u

eu u'éu

Sin u u'Ćos u

Cos u -u'´Sin u

tanu (1+ tan2u)ú'

Sans oublier, lorsque la fonction se présente
sous forme de « blocs », qu’on a :

u+ v u'+v'

u´v u'v+uv'

u/v (u'v-uv')/v2

uov (u'ov)´v'

Exercice
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

2x
1. f(x) = 2
x -1
2. f(x) = ln(x 2 + x - 3)
3. f(x) = x eSinx
5 (x +1)3
4. f(x) =
5. f(x) =(x 2 +1)2/15

c) Dérivabilité sur un intervalle

Définition
Une fonction f est dérivable sur l’intervalle
[a ; b] si elle est dérivable en tout point
de [a ; b]

Exemples

1. f (x ) = x définie et continue sur [0;+¥[

f '(x) = 1 définie pour xÎ]0;+¥[
2 x
Donc la fonction f n’est pas dérivable sur
[0;+¥[ car f n’est pas dérivable en 0, mais
dérivable seulement sur l’intervalle ]0;+¥[

Exemples

2. f (x ) = 3 x -1 définie et continue IR

Question :
f est-elle dérivable sur l’intervalle [0 ; 2] ?

f (x ) = 3 x -1 = (x -1)1/ 3 Þ f '(x) = 1 (x -1)- 2 / 3
3

f '(x) = 1
C’est-à-dire :
33 (x -1) 2

f '(x) = 1
3 (x -1)
3 2

donc f n’est pas dérivable en x = 1, et par
conséquent f n’est pas dérivable sur l’intervalle
[0 ; 2]

Remarques
1. f est dérivable en x0 Þ f est continue en x0

2. f est dérivable sur [a ; b] Þ f est continue
sur [a ; b]

Donc « contraposée »

3. f est discontinue en x0 Þ f n’est pas
dérivable en x0

4. f est discontinue sur [a ; b] Þ f n’est pas
dérivable sur [a ; b]

Contraposée : pÞ q Û non q Þ non p

la fonction f n’est pas dérivable en x0
car elle est discontinue en x0

x0

Exercice « Corrigé »
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
2x Þ f '(x) = - 2(x +1)
2
1. f(x) = 2
x -1 (x -1)
2 2

ln(x 2 + x -3) Þ f 'x) = 2x +1
2. f(x) =
x + x -3
2

3. f(x) = x eSinx
Þ f '(x) = 1 eSinx + x CosxeSinx
2 x

Exercice « Corrigé »

4. f(x) = 5 (x +1)3 = (x +1)3 / 5
Þ f '(x) = 3
55 (x +1) 2

5. f(x) = (x 2 +1)2/15
Þ f '(x) = 4x
1515 (x 2 +1)13

Théorème de Rolle
Théorème :
Si f est une fonction continue sur l’intervalle
[a ; b] ; dérivable sur l’intervalle ouvert ]a ; b[
et : f (a) = f (b) alors :

$cÎ]a;b[ tel que f '(c) = 0

f’(c) = 0

f(a) = f(b)

a I b
c

Il y a au moins un point de la courbe
où la tangente est horizontale

Remarque
Les hypothèses du Théorème de Rolle :
a) f est continue sur [a ; b]
b) f est dérivable sur ]a ; b[
c) f(a) = f(b)
sont nécessaires.

Exemple
Peut-on appliquer le Théorème de Rolle
à la fonction :

f (x) =1- (x -1)
3 2

sur l’intervalle [0 ; 2] ?

Réponse
a) f (x) =1- 3 (x -1) 2
: la racine cubique
« racine impaire » est définie sur IR, donc

Df = IR
• f est la somme d’une fonction constante
«1» et d’une fonction racine « - 3 (x -1) 2 »
donc continue sur son domaine de définition IR,
en particulier f est continue sur l’intervalle [0 ; 2]

Réponse
b) f (0) =1- (0 -1)
3 2 =1- 3 1 = 0

f (2) =1- (2 -1)
3 2 =1- 3 1 = 0

ainsi f(0) = f(2)

Réponse
c) Dérivabilité de f sur l’intervalle ]0 ; 2[

f (x) =1- 3 (x -1) =1- (x -1)2 / 3
2

Þ f '(x) = - 2
33 x -1
Ø f n’est pas dérivable en x = 1 « f’(1) n’est
pas définie », donc f n’est pas dérivable
sur l’intervalle ]0 ; 2[

Conclusion
On ne peut pas appliquer le Théorème de

Rolle à la fonction f (x) =1- 3 (x -1) 2

sur l’intervalle [0 ; 2] car l’hypothèse de
dérivabilité n’est pas vérifiée !!!

Voir Exercice 5, Série de TD

Théorème des accroissements finis
« T.A.F »
Théorème : Si f est une fonction :
a) continue sur [a ; b]
b) dérivable sur ]a ; b[

alors : $cÎ]a;b[ tel que :

f (b) - f (a) = (b - a)f '(c)

2ème version « T.A.F »



f (b) - f (a) = f '(c)
b -a

3ème version « T.A.F »
… premier développement limité


f (b) = f (a) + (b - a)f '(c)

Remarque : Pourquoi on dit :
accroissements finis ?
Comme f (b) - f (a) = (b - a)f '(c)
« 1ère version »

Si la dérivée première « f’ » est une fonction

bornée : f '(x) £ M sur l’intervalle considéré,
alors on a : f (b) - f (a) £ M(b - a)

Ainsi, si l’ordre de grandeur de f’ est fixé,
les accroissements de la fonction f « f(b)-
f(a) » sont bornés « finis »


$cÎ]a;b[ f (b) - f (a) = f '(c)
tel que
b -a

Veut dire : Il y a au moins un point de la courbe
où la tangente est parallèle au segment AB


B

A

a c b

Il y a au moins un point de la courbe
où la tangente est parallèle au segment
AB

Conséquences

f est une fonction continue et dérivable sur
l’intervalle [a ; b] :
• Si f’(x)=0 ( "xÎ[a;b] ) alors f est constante

• Si f’(x) ³0 ( "xÎ[a;b]) alors f est croissante

• Si f’(x) £ 0 ( "xÎ[a;b]) alors f est décroissante

… sur l’intervalle [a ; b]

Preuve
a x c y b
I I I I I

Soient x et y deux nombres quelconques
de l’intervalle [a ; b] tels que : x£ y

• Si f’(x)=0 ("xÎ[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F :

f (y) - f (x) = (y - x)f '(c) = (y - x)´0 = 0
Þ f (y) = f (x) : f est donc constante sur
l’intervalle [a ; b]

Preuve

• Si f’(x) ³ 0 ("xÎ[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F :

f (y) - f (x) = (y - x)f '(c) ³ 0

y - xcar0:
³ f '(c) ³et Þ f (y) ³ f (x)
0
f est donc croissante sur l’intervalle [a ; b]

Preuve

• Si f’(x) £ 0 ("xÎ[a;b] ), dans ce cas ; T.A.F :

f (y) - f (x) = (y - x)f '(c) £ 0

y - xcar0:
³ f '(c) £et Þ f (y) £ f (x)
0
f est donc décroissante sur l’intervalle [a ; b]


5. Calcul de limites
« Règle de l’HOSPITAL »

Exemple : lim Sinx = ?
x®0 x
Problème : lorsque x ® 0 :

Sinx ® 0 et x ® 0

La forme indéterminée 0 =?
0
Exemples :

1. x2 = lim x = 0;
lim x
x®0 x®0

2. lim 2x = lim 1 = ±¥ ;
x®0 x x®0 x
3. lim 5x = 5 .
x®0 x

La forme indéterminée

Nous avons une forme indéterminée
lorsqu’on ne peut pas prévoir le résultat
d’avance.
Les formes indéterminées :
0 = ? ; ¥ = ? ; ¥ -¥ = ? ;
0 ¥ 0´¥ =?

La forme indéterminée 0 =?
0
Pour la forme indéterminée 0 = ? , on peut
0
utiliser la Règle de l’Hospital :

R-H : Si lim f (x) = lim g(x) = 0
x®a x®a

lim f (x) = lim f '(x)
alors x®a x®a g'(x)
g(x)

Exemples
1. lim Sinx = ?
x®0 x
Règle de l’Hospital :
lim Sinx = lim Cosx = Cos0 =1
x®0 x x®0 1

Exemples
2. lim ln x = ?
x®1x -1
lim ln x = lim 1/ x =1/1=1
x®1x -1 x®1 1

Exemples
3. lim ex -1= ?
x®0+ x2
lim+ ex -1=
x®0 x2
0
lim+ ex = e = 1 = +¥
x®0 2x 0+ 0+

Remarque
La règle de l’Hospital est un outil
puissant pour le calcul des limites.
Elle peut être utilisée plusieurs fois
de suite.

Exemples
4.
lim ex - x -1= ?
x®0 x 2
Règle de l’Hospital « 1ère fois »:
= lim ex -1
x®0 2x
Règle de l’Hospital « 2ème fois »:
0
= lim ex = e = 1
x®0 2 2 2

Exemples
5. lim sin x - x - x3 = ?
x®0+ x4
Règle de l’Hospital « 1ère fois »:

= lim+ Cosx -1-3x2
x®0 4x3
= lim+ -Sinx -6x
x®0 12x2

Exemples

= lim+ -Cosx -6 = -7 = -¥
x®0 24x 0 +


6. Dérivées d’ordre supérieur;
Formule de Taylor
Développements limités

Dérivées d’ordre supérieur

La dérivée d’ordre n (on dit aussi : la
dérivée nème) s’obtient en dérivant f n
fois :

f on f’ on f’’ on f(3)
dérive dérive dérive
on on f(n)
dérive dérive

Exemples
1. f (x) = ln x

• f '(x) =1/ x ;
• f ''(x) = -1/ x2 ;
• f (3)(x) = 2 / x3 ; …;

• f (n)(x) = (-1)n +1(n -1)!/ x n

Exemples
2. f (x) = ex
• f '(x) = ex ;

• f ''(x) = ex ;…;

• f (n)(x) = ex

Utilisation de la dérivée
seconde « f’’ »
Convexité & Concavité

f on f’ on f’’
dérive dérive

Convexité

Définition
Une fonction f est dite convexe sur
l’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf sur
l’intervalle [a ; b] est au dessus de toutes ses
tangentes


a b

fonction convexe :
la courbe est au dessus de ses tangentes

Concavité

Définition
Une fonction f est dite concave sur
l’intervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf sur
l’intervalle [a ; b] est au dessous de toutes
ses tangentes


a b

fonction concave :
la courbe est au dessous de ses tangentes

Convexité

Théorème
Si f ''(x) ³ 0 ceci "xÎ[a;b] , alors
la fonction f est convexe sur l’intervalle [a ;
b]

Concavité

Théorème
Si f ''(x) £ 0 ceci "xÎ[a;b] , alors
la fonction f est concave sur l’intervalle [a ;
b]

Exemples
Étudier la convexité des fonction
suivantes sur leurs domaines de
définition :

1. f (x) = ln x ;

2. f (x) = ex

1. f (x) = ln x ;

f (x) = ln x Þ f '(x) =1/ x
Þ f ''(x) = -1/ x2 avec xÎD = IR*+
f
ainsi "xÎD on a f ''(x) < 0
f
La fonction « ln » est concave sur IR*+


lnx

1

La courbe de « ln » est concave
sur IR*+

2. f (x) = ex ;

f ''(x) = ex > 0 ceci "xÎDf = IR

La fonction « exp » est convexe sur IR

exp

1

La courbe de « exp »
est convexe sur IR

Exercice
Étudier la convexité des fonctions suivantes
sur leurs domaines de définition :

1. f (x) = x ;

2. f (x) =1/ x ;

3. f (x) = 3 x ;

4. f (x) = x3 -3x2 + x -5

Dérivées d’ordre supérieur
Formule de Taylor

f(b)

f(a)

a b
Question fondamentale en Analyse :
Connaissant la valeur de f au point a, peut-on
donner une estimation de f(b) ???

Exemple « Météo »

24°

21°

Mardi Dimanche

Connaissant la température enregistrée Mardi,
peut-on prévoir la température de Dimanche
prochain ???

Réponse « Taylor »
f(b)

f(a)
a b

On peut donner une valeur approchée de f(b),
à condition de connaître f(a)…mais aussi :

f’(a) ; f’’(a) ; f(3)(a) ; f(4)(a) ; …. ; f(n)(a) ; …

A savoir :

Notre estimation de f(b) est meilleure lorsque :

Ø n est grand

Ø b est proche de a
proches
I I
a b

Exemple « Météo »

?
22°

21°
Mardi Mercredi Dimanche

Connaissant la température de Mardi, il est
plus simple de prévoir la température de
Mercredi « proche de Mardi » que celle de
Dimanche « loin de Mardi »

La « fameuse » Formule de Taylor
Théorème : Si f est une fonction dérivable
à l’ordre n+1 alors :

f (b) = f (a) + (b - a)f '(a) + (b - a) f ''(a) +
2

2!
n
(b - a) f (3)(a) +...+ (b - a) f (n)(a) +
3

3! n!
n +1
(b - a) f (n +1) (c) avec cÎ]a;b[
(n +1)! I I I
a c b

Développements limités : a=0 et b=x
Théorème : Si f est une fonction dérivable
à l’ordre n+1 alors :
2 3
f (x) = f (0) + xf '(0) + x f ''(0) + x f (3)(0) +
2! 3!
n n +1
...+ x f (n)(0) + x f (n +1)(c)
n! (n +1)!

avec cÎ]0; x[ c x
I I

Notation de Young
Formule de Taylor-Young
2 3
f (x) = f (0) + xf '(0) + x f ''(0) + x f (3)(0) +
2! 3!
n
x f (n)(0) + x ne(x)
...+
n!
avec e(x) =
x f (n +1)(c)
(n +1)!

Remarque
1. e(x) ® 0 lorsque x ® 0
2. e(x) n’est pas une fonction, c’est une
manière symbolique d’écrire : quantité qui
tend vers 0 avec x. Donc :
e
Ø La différence de deux (x) n’est pas 0
e
mais un (x) , prendre par exemple x 2
et x3
e e
Ø Le produit de deux (x) est un (x)

Quelques
Développements limités importants
1. f (x) = ex ; La formule de Taylor-Young
donne :
2 n
e x = e0 + xe0 + x e0 +...+ x e0 + x ne(x)
2! n!
Ainsi :
2 n
(D1) e x =1+ x + x +...+ x + x ne(x)
2! n!

c’est-à-dire : pour x proche de 0
2 n
e x »1+ x + x +...+ x
2! n!
Exemple :

e 0,1 »1+ 0,1+ 0,01+...
2
e- 0,1 »1- 0,1+ 0,01-...
2

1 = (1- x)-1
2. f (x) = :
1- x
La formule de Taylor-Young donne :
• f (0) =1 ;

• f '(x) = -1´(1- x)- 2 ´(-1) Þ f '(0) =1 ;

• f ''(x) = -2´(1- x)- 3´(-1) Þ f ''(0) = 2! ;
• f (3) ( x) = -6´(1- x)- 4 ´(-1) Þ f (3) (0) = 3!
;

• ...f (n)(0) = n! on obtient ainsi :

1 =1+ x + x 2 + x3 +...+ x n + x ne(x)
(D2)
1- x
En remplaçant x par –x on obtient : (D3)
1 =1- x + x 2 - x3 +...+ (-1)n x n + x ne(x)
1+ x
En intégrant D3 on obtient : (D4)
2 3 n
x x (-1)
ln(1+ x) = x - + + ...+ x n +1 + x n +1e(x)
2 3 (n +1)!

Application : calcul de limites
Exemple :
1

Calculer lim (1+ x) x
x ®0

1 1 1 (x + xe(x))
ln(1+ x)
Ø (1+ x) x = e x =ex
Développement limité (D4) à l’ordre 1

Calcul de limites
Ainsi :
1
(1+ e(x))
lim (1+ x) x = lim e =e1=e
x ®0 x ®0

car e(x) ® 0

Calcul de limites
« Exercice »
Calculer :
1) x )
1. lim x(e - (1+ ;
x ® +¥ x
lim (1+ 5) x
2. ;
x ® +¥ x

lim (1+ 1 ) 3x
3. ;
x ® +¥ x
(x cos x -sin x)
4. lim ; 2
x ® 0 e x -1- x - x
2

corrigé
1. lim x(e - (1+
1) x ) = ?
x ® +¥ x
1)
x x ln(1+
On a : (1+ 1 ) = e x
x
Or lorsque x ® +¥ alors 1 ®0
x

1 ) = 1 - 1 + 1 e( 1 )
Or ln(1+ 2 2
x x 2x x x
Développement limité (D4) à l’ordre 2 !!

Remarque :
1
Ø C’est qui joue le rôle de x ici, car
x
1 ® 0 donc 1 est proche de 0
x x

Ainsi :
x( 1 - 1 + 1 e( 1 ))
(1+ 1 )x = e x 2x 2 x 2 x
x
1- 1 + 1 e( 1 )
2x x x
=e
- 1 + 1 e( 1 )
1 2x x x
= e ´e

Or pour t proche de 0 ( t® 0) on a :
t
e =1+ t + te(t)
Développement limité (D1) à l’ordre 1 !!

Donc : ( t = -1/ 2x )
- 1 + 1 e( 1 )
2x x x 1 + 1 e( 1 )
e =1-
2x x x

Par conséquent :

(1+ 1 ) x = e1 ´(1- 1 + 1 e( 1 ))
x 2x x x
= e- e + 1 e( 1 )
2x x x
finalement :

x(e -(1+ 1 )x ) = x( e + 1 e( 1 ))
x 2x x x

C’est-à-dire :
x(e -(1+ 1 )x ) = e + e( 1 ))
x 2 x
Conclusion
lim x(e -(1+ 1 )x ) = e
x ® +¥ x 2

Car lim e( 1 ) = lim e(t) = 0
x ® +¥ x t ® 0

5) x
2. lim (1+ :
x ® +¥ x
x ln(1+ 5)
On a : (1+ 5) x = e x
x
Or : ln( +
1 5) = 5 + 1 e( 1 )
x x x x

Car
5 ® 0 lorsque x ® +¥
x

x( 5 + 1 e( 1 ))
Donc :
(1+ 5) x = e x x x
x

5+ e( 1)
C’est-à-dire : (1+
5) x = e x
x
lim (1+ 5) x = e 5
Ainsi :
x ® +¥ x

lim e( 1 ) = lim e(t) = 0
Car
x ® +¥ x t ® 0

1 ) 3x
3. lim (1+ :
x ® +¥ x
3x ln(1+ 1)
On a : (1+ 1 ) 3x = e x
x
Or : ln(1+ 1 ) = 1 + 1 e( 1 )
x x x x

Car
1 ® 0 lorsque x ® +¥
x

3x( 1 + 1 e( 1 ))
Donc :
(1+ 1 ) 3x = e x x x
x

3+ e( 1)
C’est-à-dire : (1+
1 ) 3x = e x
x
lim (1+ 1 ) 3x = e 3
Ainsi :
x ® +¥ x
lim e( 1 ) = lim e(t) = 0
Car
x ® +¥ x t ® 0

Remarque
Refaire le calcul des 3 limites
précédente en posant « au début » :

t= 1
x

4. lim (x cos x -sin x) :
2
x ® 0 e x -1- x - x
2

Nous avons besoin des développements
limités de Cos x et Sin x à l’ordre 3, car
le dénominateur montre qu’il faut
développer la fonction ex à l’ordre 3

Développements limités à l’ordre 3
de Cos x et Sin x

1. f (x) = Cosx La formule de Taylor-Young à
;
l’ordre 3 donne :
2
Cosx = Cos0 + xCos'0 + x Cos''0
2!
3
+ x Cos (3) 0 + x3e(x)
3!

Or : Cos0 =1 ;
Cos'0 = -Sin0 = 0
Cos''0 = -Cos0 = -1
Cos(3)0 = Sin0 = 0
2
Donc : Cosx =1+ 0x - x + 0x3 + x3e(x)
2
2
C’est-à-dire : Cosx =1- x + x3e(x)
2

De même pour la fonction Sinus

1. f (x) = Sinx La formule de Taylor-Young à
;
l’ordre 3 donne :
2
Sinx = Sin0 + xSin'0 + x Sin''0
2!
3
+ x Sin (3) 0 + x3e(x)
3!

Or : Sin0 = 0 ;
Sin'0 = Cos0 =1
Sin''0 = -Sin0 = 0
Sin(3) 0 = -Cos0 = -1
Donc :
2 3
x ´0 + ´-1+ x3e(x)
x
Sinx = 0 + x´1+
2 6
3
C’est-à-dire : Sinx = x - x + x3e(x)
6

x cos x -sin x =
Par conséquent : 2
x
e -1- x - x
2

x(1- x 2 / 2) -(x - x 3 / 6) + x 3e(x)

x 3 / 6+ x 3e(x)

Nous avons utiliser le D. L. de ex à l’ordre 3

-x 3 / 3+ x 3e(x) -1/ 3+ e(x)
= =
x 3 / 6 + x 3e(x) 1/ 6 + e(x)

Ainsi :
lim (x cos x -sin x) = -2
2
x ® 0 e x -1- x - x
2

2ème Partie du Cours

B. Fonctions à deux
variables réelles

Exemples introductifs
I. Une entreprise commercialise 3 produits :
A, B et C. Le prix de vente unitaire du
produit A est 12 DH, celui du produit B est
15 DH et celui du produit C est 22 DH.
ØOn vend une quantité x du produit A, une
quantité y du produit B et une quantité z du
produit C. La recette R(x ; y ; z) est donnée
par :
R(x ; y ; z) = 12x + 15y + 22 z
La recette de cet exemple est une fonction
de 3 variables x, y et z

II. Une entreprise fabrique 2 produits A et B.
Si x désigne la quantité fabriquée de A et
y celle de B, la recette escomptée lors de
la vente de x articles de A et de y articles
de B est donnée par :
R(x , y) = -3x2 -2y2 +220x +140y
Ø Le coût d’une unité de A (respectivement
de B) qu’on note CA (respectivement CB)
dépend des quantités x et y comme suit :
CA = 2x +y et CB = x +3y

a. Exprimer en fonction de x et de y le coût
c(x , y) de fabrication de x unités de A et
de y unités de B.
Ø C(x , y) = x CA + y CB
= x (2x +y) + y (x +3y)
= 2x2 +3y2 +2xy
On obtient une fonction de 2 variables x et y

b. Exprimer le bénéfice B(x , y) réalisé lors de
la vente de x articles de A et de y articles de
B.
Ø B(x , y) = R(x , y) – c(x , y)
= (-3x2 -2y2 +220x +140y) – (2x2 +3y2 +2xy)
= -5x2 -5y2 -2xy +220x +140y

le bénéfice est une fonction de 2 variables x et y

Exemples de fonctions à
plusieurs variables
a. f (x, y) = xe y + yex : 2 variables

b. f (x, y) =
x + y +100 : 2 variables
y x
c. f (x, y) = x3 + y3 -3xy : 2 variables

Exemples de fonctions à
plusieurs variables

d. f (x, y, z) = xyz - x +5 y +3z : 3 var

e. f ( x, y, z) = ln(x2 + y2 - 4z) :3 var

f. f ( x, y, z,t) = x3 + y2 - z + t :4 var

Remarque
1. Dans le cas de n variables ( n³ 5 ), on
peut noter les variables :
x1 , x2 , x3 , … , xn
la fonction f est notée dans ce cas :

f(x1 , x2 , x3 , … , xn)

Remarque

2. On s’intéresse dans le cadre de ce cours
aux fonctions de deux variables x et y

(x, y)ÎIR´IR ®f (x, y)

1. Domaine de définition

D f Ì IR´ IR f IR
( x, y) I f ( x, y)
Le domaine de définition est
un domaine du plan IR2
(IR2 = IR x IR)

y

Le plan IR2
x


Df

2
Df Ì IR

Exemples
1. f (x, y) = x2 + y2 - xy - 2x + y :

Ø "xÎIR et "yÎIR on a :

f (x, y) est définie (on peut la calculer)
2
Donc D = IR´IR = IR
f
x y

D = IR´IR
f
le plan tout
entier

Exemples
2. f (x, y) = x ln(y) + y2 +3 :

Ø on doit avoir y> 0 pour que f (x, y)
soit définie, donc
D = IR´]0,+¥[
f
x y

y

D
f
x

la moitié
supérieure
du plan
Sans l’axe Ox

Exemples
3. f (x, y) = ln(x) + ln(y) +1 :
Ø On doit avoir : x >0 et y> 0
pour que f (x, y) soit définie
Donc D =]0,+¥[´]0,+¥[
f
x y


D
f
¼ du plan
Sans les axes

Remarque
à réviser :
Ø Équation d’une droite dans le plan IR2 :
Une droite partage le plan en 3 zones…..
Ø Équation d’un cercle dans le plan IR2 :
Un cercle partage le plan en 3 zones…..

Voir TD

Exercice
Voir Exercice 1
« TD, Partie 2 »

2. Courbes de niveaux &
Sections
a) Courbes de niveaux :
Ø Ce sont des sous ensembles du
domaines de définition D.
Ø Elles correspondent à des coupes
horizontales de la surface z = f(x , y)
projetées sur le domaine de définition
D.

a) Courbes de niveaux
Définition
Ø La courbe de niveau k, notée Ck ou Nk,
est l’ensemble des points du domaine de
définition D tels que leur image f(x , y) est
égale à k :
C = (x, y)ÎD /f (x, y) = k
ì
ï
í
ü
ï
ý
k ï
î ï
þ

Exemple
• f (x, y) = y - x2 :

2
Ø D = IR
f

Ø La Courbe de niveau k : On cherche les
couples (x , y) du domaine de définition IR2
tels que :
f (x, y) = k

f (x, y) = k Û y - x2 = k Û y = x2 + k
La Courbe de niveau k est la parabole
d’équation y = x 2 + k :
Ø C0 : (k=0) parabole d’équation y= x 2

Ø C1 :(k=1) // // y = x2 +1
Ø C-1 :(k=-1) // // y = x2 -1

b) Sections ou « abaques »

Ø Elles correspondent à des coupes
verticales de la surface z = f(x , y)

q Sections selon x

Ø On fixe x : ( x = k ) et on trace la
courbe z = f(k , y) dans le plan Oyz
z

y

q Sections selon y

Ø On fixe y : ( y = k ) et on trace la
courbe z = f(x , k) dans le plan Oxz
z

x

Exemple
• f (x, y) = ln(xy) :

Ø Domaine de définition :
xy > 0 Û x > 0 et y> 0 ou x < 0 et y< 0
D =]- ¥,0[´]- ¥,0[È]0,+¥[´]0,+¥[
f


D
f

Section selon x = 1

Ø On fixe x : ( x = 1 ) et on trace la
courbe : z = f(1 , y) = ln y (y>0)
dans le plan Oyz
z z=ln y

y

Section selon y = -1

Ø On fixe y : ( y = -1 ) et on trace la
courbe : z = f(x , -1) = ln -x (x<0)
dans le plan Oxz
z
z=ln -x

x

3. Dérivées partielles premières

Ø 1 ère notation :
f(x , y)
Selon x Selon y

f’x(x,y) f’y(x,y)
Deux dérivées partielles premières

2ème notation
¶ : Se prononce « d rond »
f(x , y)
Selon x

¶f (x, y) ¶f (x, y)
¶x ¶y

Règle de base
Les premiers pas…dans le calcul différentiel

Lorsqu’on dérive par rapport à
une variable, l’autre variable
est supposée constante

Dérivées partielle première

par rapport à x

f ( x, y ) - f ( x , y )
f x ( x0, y0) = lim
' 0 0 0
x® x x- x
0 0

x est variable et tend vers x0,
alors que y est fixé : y = y0

Dérivées partielle première

par rapport à y

f ( x , y) - f ( x , y )
f y ( x0, y0) = lim
' 0 0 0
y® y y- y
0 0

x est fixé : x = x0 alors que y est
variable et tend vers y0

Remarque
Lorsqu’on calcule une dérivée
partielle, on utilise les règles de
dérivation d’une fonction d’une
variable réelle
« car une des deux variable est fixée »

Exemples
1. f (x, y) = x2 + xy + y4 +3 :
Selon x Selon y

f x (x, y) = 2x + y
' f y(x, y) = x + 4y3
'

Exemples
2. f (x, y) = xe y + x 2y :

Selon x Selon y

' (x, y) = ey + 2xy f y(x, y) = xey + x2
fx '

Exemples
3. f (x, y) = x3 + y3 -3xy :
Selon x Selon y

f x (x, y) = 3x2 -3y f y(x, y) = 3y2 -3x
' '

Dérivées partielles premières

f (x , y)
Selon x Selon y

f’x (x , y) f’y (x , y)

fonctions de 2 variables

Une dérivée partielle est une
fonction de deux variables x et y,
on peut alors la dériver à son tour!

Schème de dérivation
f(x , y)
x y

f’x(x,y) f’y(x,y)
x y x y

f’’xx(x,y) f’’xy(x,y) f’’yx(x,y) f’’yy(x,y)
quatre dérivées partielles secondes

Dérivées partielles secondes
ou d’ordre 2
f’’xx : On dérive f 2 fois par rapport à x

f’’xy : On dérive f par rapport à x ensuite
par rapport à y « dérivée croisée »

: On dérive f par rapport à y ensuite
f’’yx par rapport à x « dérivée croisée »

f’’yy : On dérive f 2 fois par rapport à y

Exercice
Ø Calculer les dérivées partielles
premières et secondes des
fonctions suivantes :
1. f (x, y) = 3x 2y - xy3 - x - y ;

2. f (x, y) = x ln y + yln x ;

3. f (x, y) = 2 2 ;
x +y

1. f (x, y) = 3x2y - xy3 - x - y :
x y

f x ( x, y) = 6 xy - y3 -1
' f y ( x, y) = 3x2 - 3xy2 -1
'

x y x
y
f xy ( x, y) = f yx ( x, y) = 6 x - 3 y 2
'' ''

f xx ( x, y) = 6 y
'' f yy ( x, y) = -6xy
''

Remarque : f xy = f yx
'' ''

2. f (x, y) = x ln y + yln x :
x y

f x ( x, y) = ln y + y / x
' f y ( x, y) = x / y + ln x
'

x y x
y
f xy ( x, y) = f yx ( x, y) =1/ x +1/ y
'' ''

f xx ( x, y) = - y / x2
'' f yy ( x, y) = - x / y 2
''

Remarque : f xy = f yx
'' ''

3. f ( x, y) = x 2 + y 2 :
x y

' ( x, y) = x / x 2 + y 2 f ' ( x, y) = y / x 2 + y 2
fx y
y x
x y
'' = f '' = - xy / ( x 2 + y 2 )3
f xy yx
'' = y 2 / ( x 2 + y 2 )3
f xx f yy = x2 / ( x 2 + y 2 )3
''

Remarque
a) Théorème de Schwartz
Si f est une fonction «de classe C2»
alors les dérivées secondes croisées
sont égales : f '' = f ''
xy yx
Ø Toutes les fonctions économiques
considérées dans ce cours vérifient le
Théorème de Schwartz

Remarque
b) Une fonction de deux variables
admet :
1. 2 dérivées partielles d’ordre 1 « premières »
2. 4 dérivées partielles d’ordre 2
3. 8 dérivées partielles d’ordre 3
4. 16 dérivées partielles d’ordre 4 … etc
n. 2n dérivées partielles d’ordre n

4. Quelques définitions

a) Les fonctions homogènes :
Définition
f est homogène de degré k lorsque :
"(x, y)ÎD et "a > 0
f
f (ax,ay) =a k f (x, y)

Exemples
1. f (x, y) = 5x2 y - xy2 :

Soit a > 0 , on a :
f (ax,ay) = 5(ax)2(ay) -(ax)(ay)2
Þ f (ax,ay) = 5a 3x2 y -a 3xy2
=a 3(5x2 y - xy2) =a 3 f ( x, y)
f est homogène de degré 3

xy
2. f ( x, y) = 2 2 :
x -y

Soit a > 0 , on a :
(ax)(ay) xy
f (ax,ay) = =
2 2 2 2 2 2
a x -a y x -y
Þ f (ax,ay) = f ( x, y) =a 0 f (x, y)

y
3. f ( x, y) = 5 5 :
x +y

Soit a > 0 , on a :
ay y
f (ax,ay) = =a - 4
5 5 5 5 5 5
a x +a y x +y

Þ f (ax,ay) =a - 4 f (x, y)
f est homogène de degré -4

4. f (x, y) = xy + x + y +1 :

Soit a > 0 , on a :
f (ax,ay) =a 2 xy +ax +ay +1
Si on prend par exemple a = 2 et x =1, y =1
On obtient : f (2´1 2´1 = f (2,2) = 9
, )
f (1,1) = 4Þ f (2´1,2´1) ¹ 2´ f (1,1)
f n’est pas une fonction homogène

Règle Pratique

Pour montrer que f est homogène (ou non
homogène), on peut utiliser :
Ø La définition
ou
Ø Le Théorème d’Euler

Théorème d’Euler

f est homogène de degré k
Û
xf x(x, y) + yf y (x, y) = k ´ f (x, y)
' '

Exemple
f (x, y) = 5x2 y - xy2
x y

f x ( x, y) =10xy - y 2
' f y ( x, y) = 5x2 - 2xy
'

On a : xf x ( x, y) + yf y ( x, y) =15x2 y -3xy2
' '

Þ xf x( x, y) + yf y ( x, y) = 3 f ( x, y)
' '


b) Elasticités
1. Cas d’une fonction d’une variable :

L’élasticité de f est par définition :
x xf '(x)
E = e( f , x) =
f f (x)

Exemple
f (x) = x2 + x - 2
On a :
xf '( x) x(2x +1) 2x + x
2
e( f , x) = = =
f ( x) x + x - 2 x + x - 2
2 2

5
Exemple : e( f ,2) =
2

2. Cas d’une fonction de deux variables
f (x , y)

f’x (x , y) f’y (x , y)
' '
xf ( x, y) yf ( x, y)
e( f , x) = x e( f , y) = y
f ( x, y) f ( x, y)
Elasticité partielle Elasticité partielle
par rapport à x par rapport à y

Exemples
1. f (x, y) = 5x2 y - xy2 :
x

f x ( x, y) =10xy - y 2
'

'
xf ( x, y) 10x 2 y - xy 2
e( f , x) = x =
f ( x, y) 5x y - xy
2 2

f (x, y) = 5x2 y - xy2
y

f y ( x, y) = 5x2 - 2xy
'

'
yf ( x, y)
e( f , y) = y = 5x y - 2xy
2 2

f ( x, y) 5x y - xy
2 2

Ainsi
f (x, y) = 5x2 y - xy2
x y

e( f , x) =
10x y - xy e( f , y) = 5x y - 2xy
2 2 2 2

5x y - xy
2 2
5x y - xy
2 2

Exemple : x = 1 ; y = 1
e( f , x) = 9 / 4 et e( f , y) = 3/ 4

Exemples
2. f (x, y) = x0,01y0,99 :
x

f x ( x, y) = 0,01x- 0,99 y0,99
'

'
xf ( x, y) 0,01x 0,01 y 0,99
e( f , x) = x = = 0,01
0,01 0,99
f ( x, y) x y

f (x, y) = x0,01y0,99
y

f y ( x, y) = 0,99 x0,01y - 0,01
'

'
yf ( x, y) 0,01 0,99
e( f , y) = y = 0,99x y = 0,99
0,01 0,99
f ( x, y) x y

Ainsi
f (x, y) = x0,01y0,99
x y

e( f , x) = 0,01 e( f , y) = 0,99

D’une manière générale

f (x, y) = kxa yb
x y

e( f , x) =a e( f , y) = b


c) Différentielle totale

Définition

La différentielle totale de f au point
(x0 , y0) avec les accroissements dx et dy
est la quantité :

df ( x ,y )
= f x( x0, y0)´ dx + f y ( x0, y0)´ dy
' '
0 0

Exemple

f (x, y) = x2 y + xy2 = xy(x + y)
ØCalculer la différentielle totale de f au
point (20,30) avec les accroissements
dx = 1 et dy = -1

Réponse
df (20,30) = f x(20,30)´1+ f y (20,30)´(-1)
' '

Or :
Ø f,x ( x, y) = 2xy + y2 Þ f x (20,30) = 2100
' '

Ø f y,( x, y) = x2 + 2xy Þ f y (20,30) =1600
' '

Þ df (20,30) = 2100´1+1600´(-1) = 500

Interprétation
(x0+dx,y0+dy)
dy
dx
(x0,y0)
Question :
Lorsque x subit une légère variation dx
«ou Dx» (on passe de x0 à x0 +dx) et y subit
une légère variation dy «ouDy » (on passe de
y0 à y0 +dy) , de combien varie la fonction
f « Df = ?» ?

Réponse
1. Calcul direct :
Df = f ( x0 + dx, y0 + dy) - f ( x0, y0)

2. Valeur approchée :
Df @ df
(x , y )
0 0

Exemple
Soit la fonction U (appelée fonction d’utilité)
donnée par :
U (x, y) = x1/ 3 y2 / 3
Ø Calculer U(x,y) pour x=8 et y=1

Ø De combien varie la fonction d’utilité U
si x augmente de dx=0,1 et y diminue de
dy=0,01
(Utiliser deux méthodes)

Réponse
1. Calcul direct :
On a :
x0 = 8 ; y0 =1 ; dx = 0,1 ; dy = -0,01
DU =U ( x0 + dx; y0 + dy) -U ( x0; y0 )
=U (8,1;0,99) -U (8;1)
= 3 8,1´3 0,99 - 2 = -0,00511..
2

Réponse
2. Valeur approchée :
DU @ dU (8,1)
dx = 0,1
ì
ï
avec les accroissements í
dy = -0,01
ï
î

dU (8,1) =U x (8,1)´ 0,1+U 'y (8,1)´ (-0,01)
'

' ( x, y) = 1 x- 2 / 3 y 2 / 3 ÞU x (8,1) = 1 ;
ØU x '
3 12
ØU
'y ( x, y) = 2 x1/ 3 y -1/ 3 ÞU 'y (8,1) = 4 ;
3 3
Donc : dU (8,1) =1/12´ (0,1) + 4 / 3´ (-0,01)

C’est-à-dire : dU (8,1) = -0,005

On obtient ainsi : DU @ -0,005

Quelques Interprétations
Economiques

Variation &
Variation relative

Exemple
Ø Le salaire S d’un employé a été
augmenté de 1300 DH
On parle ici de variation du Salaire :
DS =1300
Le nouveau salaire est :
S '= S + DS = S +1300

Exemple
Ø Le salaire S d’un employé a été
augmenté de 5% : Þ DS = 5%´ S
On parle ici de variation relative du
Salaire : DS =5%
S
Le nouveau salaire est :
S '= S + DS = S + 0,05´ S =1,05´ S

A. Cas d’une fonction
« économique » d’une variable

q Variation de f :
On rappelle que :
f ( x) - f ( x )
f '( x0 ) = lim 0
x® x x - x0
0

Lorsque x ® x0 ; f ( x) ® f ( x0 ) (f est continue)
On note : df = f ( x) - f ( x0 ) et dx = x - x0
que l’on appelle respectivement différentielle
de f et différentielle de x, on a donc :
df
f '( x) = ou encore df = f '( x)´dx
dx
Exemples : 1
• f ( x) = x Þ df = dx ;
2 x
1 1 .
• f ( x) = Þ df = - dx
x 2
x

Notations
dx : Variation infiniment petite de x

df : Variation infiniment petite de f

Dx : Variation très petite « faible» de x
Df : Variation très petite « faible» de f

En pratique
si la variation Dx que subit x est faible :
la variation subit par la fonction f est faible
et on a :
Df @ f '(x)´Dx
Remarque : dans la formule df = f '( x)´dx
nous avons remplacé :

dx par Dx et df par Df

Exemple

Ø Le coût global de la fabrication d’un
bien en quantité x est donnée par la
formule :
C(x) = 250 - x2
Pour une quantité x=10 (par exemple) :

C(10) = 250 -100 =150

Ø Calculons l’écart (de 2 façons différentes)
résultant d’une augmentation Dx =1

1) Calcul direct :
C(11)=250-112 =250-121=129
donc
DC = C(11) - C(10) =129 -150 = -21

2) Valeur approchée : en appliquant la
formule :
DC @ C'( x)´ Dx
On obtient :

C'( x) = -2x Þ DC @ (-20)´(1)
DC @ -20

A retenir
• Si x subit une faible variation Dx , une
valeur approchée de la variation Df de f
est donnée par la formule :
Df @ f '(x)´Dx

q Variation relative
Df
On a : Df @ f '( x)´ Dx Û f '( x) @
Dx
Ø L’élasticité de f au point x est :
Df Df
x
e( f , x) =
xf '( x)
@ Dx Þ e( f , x) @ f
f ( x) f ( x) Dx
x

Elasticité de f au point x :
Df
f Df @ e( f , x)´ Dx
e( f , x) @
Dx Û f x
x
Df
représente la variation relative de f
f
Dx représente la variation relative de x
x

Exemple
f(x) représente une fonction économique
dépendant de la quantité x d’un bien
distribué.
Ø On suppose connaitre la valeur de f pour
une quantité x=1000 et que l’élasticité en
x=1000 est : e(f,1000) = 5.

Exemple
Ø La quantité distribuée à baissé de 2%
(980 unités ont été distribuées au lieu de 1000),

cela entrainera une variation relative de f :
Df @ e( f , x)´ Dx = 5´ -2% = -10%
f x
f a baissé d’environ 10%

A retenir
• Si x subit une faible variation relative
Dx/ x , une valeur approchée de la
variation relative de f est donnée par
la formule : Df Dx
@ e( f , x)´
f x
e( f , x) désigne l’élasticité de f au point x

B. Cas d’une fonction
« économique » de deux
variables
q Variation de f :
Nous avons vu que : Df @ df
( x0 , y0 )
C’est-à-dire :
Df @ f x ( x0, y0 )´ dx + f y ( x0, y0 )´ dy
' '

En pratique : si la variation Dx que subit
x est faible et la variation Dy que subit
y est faible : la variation subit par la
fonction f est faible et on a :
Df @ f x ( x0, y0 )´ Dx + f y ( x0, y0 )´ Dy
' '

Voir exemple précédent
« paragraphe 4 c) : différentielle totale »

A retenir
• Si x subit une faible variation Dx
et y subit une faible variation Dy ,
une valeur approchée de la variation
de f est donnée par la formule :

Df @ f x ( x0, y0 )´ Dx + f y ( x0, y0 )´ Dy
' '

q Variation relative

On a : Df @ f x ( x, y)´ Dx + f y ( x, y)´ Dy
' '

Ø En divisant par f(x,y) :

' ( x, y) ' ( x, y)
Df @ x f
´ Dx +
f
y ´ Dy
f f ( x, y) f ( x, y)

Ø On fait apparaître les variations
relatives de x et de y :
' ( x, y) ' ( x, y)
Df @ x
xf
´
Dx + y
yf
´
Dy
f f ( x, y) x f ( x, y) y

Þ Df @ e( f , x)´ Dx + e( f , y)´ Dy
f x y

Variation relative de f
Df @ e( f , x)´ Dx + e( f , y)´ Dy
f x y
Df représente la variation relative de f
f
Dx et Dy représentent les variations relatives
x y de x et de y

e( f , x) et e( f , y) représentent les élasticités
partielles par rapport à x et à y

Exemple
f(x,y) représente une fonction
économique dépendant de deux
quantités x et y de deux biens fabriqués.
Ø On suppose connaitre la valeur de f pour
une quantité x=1000 et y=500. Supposons
aussi que les élasticités partielles en x=1000
et y=500 sont : e(f , x) = 5 et e(f , y) = 3

Exemple
Ø Suite à un incident technique, la fabrication
des deux biens a légèrement varié : x a
diminué de 4% et y a augmenté de 5%.
Quelle variation cela entrainera sur la fonction
économique f ?
Df @ 5´ (-4%) + 3´5% = -5%
f
la fonction économique f subira une baisse
d’environ 5%

A retenir
• Si x subit une faible variation relative
Dx/ x et y subit une faible variation
relative Dy/ y , une valeur approchée
de la variation relative de f est donnée
par la formule :
Df @ e( f , x)´ Dx + e( f , y)´ Dy
f x y

Fin de
l’interprétation
Economique

Suite du Cours


d) Hessien de f
Rappel : déterminant d’ordre 2
a c
= ad -bc
b d

Définition

Le Hessien de f au point (x , y)
est la quantité :
''
f xx ( x, y) ''
f xy ( x, y)
H ( x, y) =
f ''
f yx ( x, y) ''
f yy (x, y)

Exemple
Ø Soit la fonction f (x, y) = x2 y - xy3
Calculer le Hessien de f aux points (0;0),
(1;2) et (-2;1)

f (x, y) = x2 y - xy3
x y

f x ( x, y) = 2 xy - y3
' f y ( x, y) = x 2 - 3xy 2
'

x y x
y
f xy ( x, y) = f yx ( x, y) = 2 x - 3 y 2
'' ''

f xx ( x, y) = 2 y
'' f yy ( x, y) = -6xy
''

Donc Le Hessien de f au point (x , y) est
donné par :

2y 2x -3 y 2
H (x, y) =
f 2x -3 y 2 - 6xy

Ainsi
0 0
Ø H f (0,0) = = 0-0 = 0
;
0 0
4 -10
Ø H (1,2) = = -48 -100 =;-148
f -10 -12
2 -7
Ø H (-2,1) = = 24 - 49 = -25
;
f -7 12

5. Optimisation
Ou
Recherche d’Extrema

Remarque

Maximum
« MAX »
Extrema
Ou Ou

Extrémums Minimum
« MIN »

Problème

Soit f(x , y) une fonction de deux variables
définie sur un domaine D
(( x, y)ÎD Ì IR2 )
Ø On cherche les couples (x , y)
qui rendent f maximale ou minimale

Extrémum local ou global
Plus grand

Plus petit
Max
global Max
local
Max
local Min
local Max
Min Min local
local global

Ø Un maximum global (s’il existe) est
un point (x0,y0) du domaine D qui vérifie :
"(x, y)ÎD : f (x, y) £ f (x0, y0)
Ø Un minimum global (s’il existe) est
un point (x0,y0) du domaine D qui vérifie :
"(x, y)ÎD : f (x, y) ³ f (x0, y0)

a) Extrémums ”locaux” libres

On checrche les extrémums “locaux”
de la fonction f sachant qu’il n y a aucune
contrainte sur les variables x et y :
on dit que les variables x et y sont
indépendantes ou libres

Ø On parle alors d’éxtrémums libres
de la fonction f sur le domaine D

Méthode à suivre
I. Etape 1 : Recherche des candidats
Remarque : On dit aussi points critiques ou
points stationnaires

Ø Ce sont les couples (x , y) solutions du
système : ì
ï
ï
ï
'
f x(x, y) =0
S: 'ï
í

f y(x, y) =0
ï
ï
ï
ï
î

On doit résoudre le système S “ étape un
peu difficile !” et donner ses solutions :
(x0 , y0) ; (x1 , y1) ; (x2 , y2) ; etc...

Ø Les couples (x0 , y0) ; (x1 , y1) ; (x2 ,
y2) ... sont les candidats ( ...pour être
extrémums), ou les points critiques de la
fonction f
(on dit aussi : points stationnaires de f )

II. Etape 2
Nature des candidats

Max

Min

II. Etape 2
Ni Max
Point-selle
Ni Min

II. Etape 2
Ni Max
Col
Ni Min

Etape 2 : Nature des candidats

Ø On calcule le Hessien de f pour chaque
candidat.
Soit (x0 , y0) un candidat issu de l’étape 1 :

''
f xx (x0, y0) ''
f xy (x0, y0)
H (x0, y0) =
f ''
f yx (x0, y0) ''
f yy (x0, y0)


qSi Hf (x0 , y0) <0Þ pas d’extrémum en (x 0 , y0)

« Ni Max ni Min »

Il s’agit d’un Col ou un point-selle en (x0 , y0)

qSi Hf (x0 , y0) >0Þ f présente un extrémum
en (x0 , y0)

Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, on
regarde le signe de la dérivée seconde par
rapport à x (ou par rapport à y) :

Ø Si f xx(x0, y0)<0 :
''
f présente un Maximum en (x0 , y0)
Ø Si f xx(x0, y0) >0 :
''
f présente un Minimum en (x0 , y0)

3ème cas : On ne peut pas conclure

q Si Hf (x0 , y0) = 0 :

Dans ce cas, on ne peut rien conclure

Remarque : Dans ce cas, on peut faire appel à
d’autres méthodes : Des estimations locales
de la fonction au voisinage du point (x0 , y0)
par exemple. Voir «TD : Partie 2 - Exercice 3»

Exemple 1
Soit la fonction :
f ( x, y) = -3x2 - 4 y 2 -3xy + 69x + 93 y
Ø Trouver les extrémums « locaux » de
la fonction f

Réponse
Ø On doit résoudre le système :
ì
'
f x(x, y) =0 Û -6x -3y +69 =0
ï
ï
ï
ì
ï
ï

S: ' ï
í
ï
í

-8 y -3x +93= 0
f y(x, y) =0
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
î

Û 6x +3y = 69 Û x = 7
ì ì
ï ï
ï ï

3x +8 y =93 y =9
í í
ï ï
ï ï
î î

Nous avons un seul candidat : le couple (7 , 9)

Réponse
II. Etape 2 : Nature des candidats
On calcule le Hessien de f au point (7 , 9) :

''
f xx ( x, y) ''
f xy ( x, y)
H ( x, y) =
f ''
f yx ( x, y) ''
f yy (x, y)
-6 -3
Þ H (x, y) = = 39
f
-3 -8

Réponse
Le Hessien de f ne dépend ici de (x , y), nous
avons alors au point (7 , 9) :

Þ H (7,9) = 39 > 0
f
f présente donc un extrémum au point (7 , 9)
Pour savoir s’il s’agit d’un Max ou d’un Min, on
regarde le signe de la dérivée seconde par
rapport à x :

Réponse
f xx (x, y) = -6 Þ f xx (7,9) = -6 < 0
'' ''
f présente donc un Maximum « local » au
point (7 , 9)
Ø La valeur de ce maximum est :

f (7,9) = 660

Exemple 2
Soit la fonction :
f ( x, y) = 3xy - x3 - y3
Ø Trouver les extrémums « locaux » de
la fonction f


Ø On doit résoudre le système :
ì
ï
'
f x(x, y) =0 ì
3( y - x2) = 0
Û
ï ï
ï

S: 'ï
í
ï
ï
í

f y(x, y) =0 3(x - y2) = 0
ï ï
ï ï
ï ï
ï î
î
ì
2
y = x2 Û y = x
ì ï

Û
ï ï
ï
ï ï
ï
í í

x = y2
ï
ï
ï
î
ï
2 2
x = (x ) = x
ï
ï
4
ï
î

Etape 1 : Recherche des candidats

ì
2
y = x2 Û y = x
ï

Û
ì
ï ï

ØS ï
í
ï
ï
í

x - x4 = 0
ï
ï
î
3
x(1- x ) = 0
ï
ï
ï
ï
î

ì

Û y=x Û x = 0..ou.. x =1
ï
ï
2 ì
ï
ì
ï
ï ï ï

y =0 y =1
í í í

x = 0..ou..x =1
ï ï ï
ï ï
î ï
î
ï
î

Nous avons ici deux candidats (0 , 0) et (1, 1)

On calcule le Hessien de f aux points (0,0), (1,1) :
- 6x 3
H f ( x, y) =
3 -6y
0 3
Ø H f (0,0) = = -9 < 0 Þ pas d’extrémum
3 0 en (0,0)

-6 3
Ø H f (1,1) = = 36 - 9 =pas d’ 0 Þ
27 >
3 -6
Extrémum en (1,1)

Réponse
On regarde le signe de la dérivée seconde de f
par rapport à x au point (1 , 1) :

f xx (x, y) = -6x Þ f xx (1,1) = -6 < 0
'' ''
f présente donc un Maximum « local » au
point (1 , 1)
Ø La valeur de ce maximum est :
f (1,1) =1

Séance n° 11
« Dernière Séance »

b) Extrémums ”locaux” liés

On checrche les extrémums “locaux”
de la fonction f sachant que les variables
x et y sont liées par une équation
appelée “contrainte”

Contrainte : g (x, y) = 0

Ø On parle alors d’éxtrémums de
la fonction f sur le domaine D liés par la
contrainte g ( x, y) = 0

Ø Le problème est plus simple que
celui des extrémums libres :

Max
Max
z Min

Surface
z=f(x , y)

x
Df

y (x , y) vérifiant la contrainte

Max
Max
z

Min

x

g ( x, y) = 0
y

Deux méthodes :
I. Méthode de substitution
Ou
II. Méthode du multiplicateur
de Lagrange

I. Méthode de substitution

Ø A partir de la contrainte g (x, y) = 0 ,
on exprime y en fonction de x (ou x en
fonction de y) et on remplace dans la
fonction f (x , y)
Ø On obtient alors une fonction d’une
variable réelle :
on cherche ses extrémums

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