Notion de centre de gravité et de centre de forces

1. Le centre
de gravité
et
le centre
de forces
ARC-2007
Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval

2. Notion de
centre de gravité

3. Le centre de gravité (C.G.) désigne le point d’application de la résultante
des forces de gravité ou de pesanteur. Cette force est toujours verticale et
orientée vers le bas.
3
Définition
Par définition, le centre de gravité est
donc le point d’application des
forces de pesanteur quel que soit
l’orientation de l’objet. Cela
correspond au point où le moment
de flexion causé par l’ensemble des
forces de pesanteur est nul (Σ M = 0)
C.G.
W
d
M = W x d
W
d
M = W x d

4. Si l’on suspend un objet à un fil, son centre de gravité est toujours situé à
la verticale du point de suspension (cette droite est appelée ligne
directrice). Si on suspend un objet à divers points, le centre de gravité est
donc situé à l’intersection des lignes directrices.
4
Position du centre de gravité
W
C.G.
bras de levier
mouvement
de rotation
W
W
C.G.
W
lignedirectrice
C.G.
W
W
lignedirectrice

5. 5
Équilibre statique
Lorsque l’on se penche en avant, notre corps adopte
instinctivement une posture qui fait en sorte que notre
centre de gravité soit situé à la verticale de notre point
d’appui : nos pieds.
On constate que, selon de
la posture adoptée, le
centre de gravité peut être
situé à l’extérieur du corps.
C.G.
C.G.

6. Équilibre statique 6
Lorsqu’un danseur se tient en équilibre sur une jambe, il se place
instinctivement de manière à ce que son centre de gravité soit
situé à la verticale de son point d’appui.
C.G.C.G.
C.G.

7. La figure ci-contre montre un
exemple spectaculaire qui
montre que le centre de gravité
d’un objet peut être situé dans le
vide.
7
point d’appui
À première vue on a l’impres-
sion que l’ensemble formé par la
cuillère et la fourchette «flotte»
dans les airs puisque tout son
poids semble situé à gauche du
point d’appui et n’est équilibré
que par un tout petit bout de
cure-dent (de poids négligeable)
à droite du point d’appui.
point d'appui
Un examen plus attentif montre
cependant que le centre de
gravité de l’ensemble «cuillère-
fourchette» est situé exacte-
ment au-dessus du point
d’appui ce qui assure l’équilibre
statique de l’ensemble.
C.G.

8. 8
Ce jouet en plastique illustre le même principe
C.G.

9. Équilibre statique instable
9
Lorsqu’une structure repose sur un seul
appui rotulé, l’équilibre statique des
forces n’est possible que si le centre de
gravité est situé à la verticale du point
d’appui.
On parle alors d’équilibre instable ....
W
W
mouvement
de rotationC.G.

10. Équilibre statique instable 10
Les funambules utilisent généralement une longue perche pour garder
leur équilibre. Comme la masse de la perche est située loin du centre
de gravité, un déplacement latéral de la perche de quelques cm permet
de toujours ramener le centre de gravité du funambule directement au-
dessus du fil pour préserver son équilibre.

11. Équilibre statique stable
11
Par contre, si le centre de gravité
est situé en-dessous de l’appui, on
obtient un équilibre stable car,
même si le centre de gravité est
excentré p/r à l’appui, le
mouvement de rotation aura pour
effet de ramener le centre de gravité
dans l’axe de cet appui.
W
C.G.
mouvement
de rotation
W

12. Équilibre statique stable
12
La figure ci-contre
montre l’exemple
d’un jouet dont
l’équilibre semble
précaire, mais qui,
au contraire, est en
état d’équilibre
statique stable car
son centre de gravité
est situé en-dessous
du point d’appui.

13. Le Space Needle construit
à Seattle en 1962 est
l’une des structures les
plus stables jamais
construites.
La tour de 2700 tonnes
est déposée sur une
fondation de béton de
5850 tonnes qui abaisse
son centre de gravité sous
le niveau du sol.
13

14. Le même principe a permis la
construction des deux tours
jumelles Puerta de Europa à
Madrid en 1996.
Ces tours, hautes de 115 m,
sont inclinées de 15° p/r à la
verticale ce qui constitue une
prouesse technique.
Pour stabiliser la structure, on
a construit un immense
ballast de béton (50x12,5
x10m) très lourd (15400
tonnes) en sous-sol afin
d’abaisser le centre de
gravité de la structure.
14

15. Stabilité d’un bâtiment 15
Pour qu’un bâtiment soit stable, il faut que son centre de gravité soit
situé à l’intérieur du tiers central de son appui au sol.

16. 16
Les consoles en béton armé qui ceinturent le stade olympique de Montréal ont
été conçues pour respecter cette exigence.

17. 17
Plusieurs architectes utilisent à profit la notion de centre de gravité pour concevoir
des bâtiments avec des très longs porte-à-faux qui semblent défier les lois de la
gravité. Le Rohner Port Building, construit en Autriche en 2000 par l’agence
Baumschager Eberle, en constitue un bel exemple.

18. 18
Le Hyatt Capital Gate construit en 2010 à Abu Dhabi, est incliné de 18° p/r à la
verticale surpassant ainsi le record d’inclinaison jusqu’alors détenu par les tours
Puerta de Europa. Ses concepteurs ont soigneusement étudié la structure pour
faire en sorte que son centre de gravité demeure à l’intérieur du tiers central.

19. 19
Le CCTV Tower est un bâtiment à la géométrie insolite construit à Beijing en Chine
en 2009. Ce bâtiment atteint 234 m de hauteur et doit sa stabilité à un contrôle
minutieux de la position de son centre de gravité.

20. 20
Les contreforts dans les cathédrales gothiques servaient à ramener la
poussée des arc-boutants plus près de la verticale de manière à ce que
la force transmise au sol demeure à l’intérieur du tiers central de l’appui.

21. 21
La tour Eiffel fait 300 m de hauteur et repose sur une base carrée de
125x125m. Cette base très large est nécessaire pour assurer l’équilibre
statique de la tour.

22. 22
On utilise des contrepoids pour stabiliser les grues à tour.

23. Notion de
centre de forces

24. 24
Définition
Lorsqu’un corps est soumis à plusieurs forces concourantes, on peut
remplacer l’ensemble de ces forces par une force résultante qui
s’applique en un point de l’espace nommé le centre de forces qui est
similaire au centre de gravité à la seule exception que les forces
impliquées ne sont pas nécessairement des forces de gravité.
Ces notions de centre de forces et de force résultante sont souvent
très utiles lors de la conception d’un bâtiment car elles permettent de
mieux comprendre le cheminement des charges et de choisir des
géométries qui, du point de vue structural, sont plus efficaces.

25. Passerelle de Laroin
25
La passerelle de Laroin, construite dans les Pyrénées
françaises en 202, fait 110 m de portée et son tablier
est supporté par 16 haubans suspendus à un pylône
en forme de V inversé de 20 m de hauteur.

26. 26
En remplaçant les forces de tension dans les haubans par une force résultante (R),
on obtient un système de trois forces concourantes (R, T et C) qui convergent au
point a.

27. 27
Le polygone des forces nous aide
à juger l’efficacité de la structure.
La figure a montre la structure
originale où le pylône est vertical.
La figure b montre qu’en inclinant
le pylône vers l’avant, on réduit
légèrement la force R mais on
augmente les forces C et T.
La figure c montre qu’en inclinant
le pylône vers l’arrière, on réduit
très légèrement la force T mais on
augmente les forces R et C.
La figure d montre qu’en
augmentant la hauteur du pylône,
on réduit les forces R, T er C.

28. Erasmus
Bridge
28
Inauguré en 1996, le pont Erasmus est un pont à haubans
de 802 m de portée. Il est devenu l’emblème de la ville de
Rotterdam grâce à la forme particulière de son pylône
central haut de 139 m qui lui a valu le surnom «le cygne».

29. Erasmus Bridge
29

30. 30
Si tous les câbles convergeaient vers
le point a, la force C serait excentrée
d’au point 12 m p/r au pylône au point
de cassure et un grand effort de flexion
serait généré à cet endroit.
En répartissant les câble sur toute la partie
supérieure du pylône, la ligne d’action de
la force C est presque entièrement à
l’intérieur du pylône ce qui réduit
considérablement les efforts de flexion.

31. Alamillo Bridge
31
Le pont Alamillo a été inauguré en 1992 pour l’exposition universelle de
Séville. Le tablier de 142 m de portée est supporté par un pylône de 134
m de hauteur incliné a 58° p/r à l’horizontale. Ce pylône est constitué
d’un caisson en acier rempli de béton pour augmenter son poids.

32. 32On peut remplacer les charges verticales qui sollicitent le tablier par une
charge résultante W appliqué au centre de gravité (i.e. au centre de la
portée).
Les forces W, C et T forme un ensemble de trois forces concourantes. On
constate que les forces C et T sont considérablement plus élévées que la
force W.

33. 33
On peut ramener la force résultante dans les haubans (T) au niveau du pylône.
La géométrie du pylône a été choisie de manière à ce que le centre de gravité
du pylône coïncide avec le point d’application de la charge T et que son poids
(Wpyl) soit ajusté de manière à ce que la force résultante R soit orientée dans
l’axe du pylône pour ne transmettre qu’un effort axial aux fondations.
Le pylône est formé d’un caisson hexagonal en acier de 8 x12 m qui a été
rempli de béton pour l’alourdir.

34. 34
Globalement, le pont a été conçu pour minimiser les efforts de flexion
à la base du pylône.

35. Sundial Bridge
35
Calatrava, a conçu un autre pont du même type, le Sundial bridge construit en
Californie et inauguré en 2004. La portée principale de 150 m se compare à
celle du Pont Alamillo mais il est 5 fois moins large et son pylône est deux fois
moins haut. Contrairement à ce dernier, il n’a pas été alourdi pour équilibrer les
charges du tablier ce qui génère des efforts de flexion importants.

36. Sundial Bridge
36
Pour assurer la stabilité du pylône,
un moment de flexion M s'ajoute
aux réactions d’appui. Ce moment
est égal au produit de la force
résultante par son bras de levier
(M = R x e). Puisque le bras de
levier est très grand (e ≃ 25 m), cet
effort est très important et, pour y
résister sans transmettre de
contraintes excessives au sol de
fondation, la base du pylône doit
être élargie pour atteindre une
largeur de plus de 30 m.

37. Sundial Bridge
37

38. Stade olympique
de Montréal
38
Le stade olympique de Montréal, inauguré en 1976 mais
dont la construction de la tour et du toit rétractable ne
fut achevée qu'en 1987, constitue un autre exemple où
l'efficacité structurale a été sacrifiée aux dépens de
l'expression formelle de l'ouvrage

39. 39
La fondation en béton qui supporte la tour a volontairement été conçue pour
être très lourde (145 000 tonnes comparativement à 8000 tonnes pour la tour
elle-même) pour deux raisons: 1°) abaisser le centre de gravité de l'ouvrage pour
accroître sa stabilité et 2°) rapprocher la force résultante R de la verticale pour
réduire son excentricité (e) p/r au point d'appui. Malgré tout, la force R demeure
excentrée de plusieurs dizaines de mètres p/r au point d'appui ce qui génère un
effort de flexion gigantesque (M = R x e). Pour résister à cet effort, la tour
s'élargit à son base pout atteindre une largeur maximale qui est égale à sa
hauteur (175 m).

40. Stade olympique de Montréal
40

41. 41
Calcul des réactions d’appui pour les
structures supportant des charges réparties
Les charges réparties peuvent être remplacées par une force résultante appliquée
au centre de gravité avant de faire le calcul des réactions d’appui.
La plupart des charges réparties adoptent un profil rectangulaire au triangulaire. Les
figures ci-dessous montrent la position du centre de gravité d’un rectangle et d’un
triangle.
le centre de gravité d’un rectangle
est situé au centre géométrique
cg
le centre de gravité d’un triangle
est situé au tiers des côtés
cg

42. Exemple 42
On veut calculer les réactions
d’appui de la poutre illustrée
ci-contre.
Pour pouvoir remplacer la
charge répartie par une charge
résultante, il faut connaître la
position du centre de gravité.
Comme le profil de la charge
est relativement complexe, on
peut simplifier l’analyse en
décomposant cette charge
répartie en deux composantes:
l’une rectangulaire, l’autre
triangulaire. C’est le principe
de superposition.
Principe de superposition
on décompose la charge

43. Exemple (suite) 43
on remplace les charges
réparties par des charges
résultantes
La charge rectangulaire est
remplacée par une charge F
égale à:
qui est placée au centre le la
poutre (i.e. le centre de gravité
du rectangle).
La charge triangulaire est
remplacée par une charge F
égale à:
qui est placé à 1,5 m de
l’extrémité droite de poutre (i.e.
le centre de gravité du
rectangle).

44. Exemple (suite) 44
La somme des moments p/r au point a
nous donne que:
La somme des forces verticales donne que: