Le centre
de gravité
et
le centre
de forces
ARC-2007
Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université La...
Notion de
centre de gravité
Le centre de gravité (C.G.) désigne le point d’application de la résultante
des forces de gravité ou de pesanteur. Cette f...
Si l’on suspend un objet à un fil, son centre de gravité est toujours situé à
la verticale du point de suspension (cette dr...
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Équilibre statique
Lorsque l’on se penche en avant, notre corps adopte
instinctivement une posture qui fait en sorte que...
Équilibre statique 6
Lorsqu’un danseur se tient en équilibre sur une jambe, il se place
instinctivement de manière à ce qu...
La figure ci-contre montre un
exemple spectaculaire qui
montre que le centre de gravité
d’un objet peut être situé dans le
...
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Ce jouet en plastique illustre le même principe
C.G.
Équilibre statique instable
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Lorsqu’une structure repose sur un seul
appui rotulé, l’équilibre statique des
forces n’est ...
Équilibre statique instable 10
Les funambules utilisent généralement une longue perche pour garder
leur équilibre. Comme l...
Équilibre statique stable
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Par contre, si le centre de gravité
est situé en-dessous de l’appui, on
obtient un équilibre ...
Équilibre statique stable
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La figure ci-contre
montre l’exemple
d’un jouet dont
l’équilibre semble
précaire, mais qui,
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Le Space Needle construit
à Seattle en 1962 est
l’une des structures les
plus stables jamais
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La tour de 2700 ...
Le même principe a permis la
construction des deux tours
jumelles Puerta de Europa à
Madrid en 1996.
Ces tours, hautes de ...
Stabilité d’un bâtiment 15
Pour qu’un bâtiment soit stable, il faut que son centre de gravité soit
situé à l’intérieur du ...
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Les consoles en béton armé qui ceinturent le stade olympique de Montréal ont
été conçues pour respecter cette exigence.
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Plusieurs architectes utilisent à profit la notion de centre de gravité pour concevoir
des bâtiments avec des très longs...
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Le Hyatt Capital Gate construit en 2010 à Abu Dhabi, est incliné de 18° p/r à la
verticale surpassant ainsi le record d...
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Le CCTV Tower est un bâtiment à la géométrie insolite construit à Beijing en Chine
en 2009. Ce bâtiment atteint 234 m d...
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Les contreforts dans les cathédrales gothiques servaient à ramener la
poussée des arc-boutants plus près de la vertical...
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La tour Eiffel fait 300 m de hauteur et repose sur une base carrée de
125x125m. Cette base très large est nécessaire po...
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On utilise des contrepoids pour stabiliser les grues à tour.
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Définition
Lorsqu’un corps est soumis à plusieurs forces concourantes, on peut
remplacer l’ensemble de ces forces par un...
Passerelle de Laroin
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La passerelle de Laroin, construite dans les Pyrénées
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En remplaçant les forces de tension dans les haubans par une force résultante (R),
on obtient un système de trois force...
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Le polygone des forces nous aide
à juger l’efficacité de la structure.
La figure a montre la structure
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Erasmus
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Inauguré en 1996, le pont Erasmus est un pont à haubans
de 802 m de portée. Il est devenu l’emblème de l...
Erasmus Bridge
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Si tous les câbles convergeaient vers
le point a, la force C serait excentrée
d’au point 12 m p/r au pylône au point
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Alamillo Bridge
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Le pont Alamillo a été inauguré en 1992 pour l’exposition universelle de
Séville. Le tablier de 142 m d...
32On peut remplacer les charges verticales qui sollicitent le tablier par une
charge résultante W appliqué au centre de gr...
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On peut ramener la force résultante dans les haubans (T) au niveau du pylône.
La géométrie du pylône a été choisie de m...
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Globalement, le pont a été conçu pour minimiser les efforts de flexion
à la base du pylône.
Sundial Bridge
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Calatrava, a conçu un autre pont du même type, le Sundial bridge construit en
Californie et inauguré en ...
Sundial Bridge
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Pour assurer la stabilité du pylône,
un moment de flexion M s'ajoute
aux réactions d’appui. Ce moment
est...
Sundial Bridge
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Stade olympique
de Montréal
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Le stade olympique de Montréal, inauguré en 1976 mais
dont la construction de la tour et du...
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La fondation en béton qui supporte la tour a volontairement été conçue pour
être très lourde (145 000 tonnes comparativ...
Stade olympique de Montréal
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Calcul des réactions d’appui pour les
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Exemple (suite) 43
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6 centre de gravité

  1. 1. Le centre de gravité et le centre de forces ARC-2007 Conception de structures R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  2. 2. Notion de centre de gravité
  3. 3. Le centre de gravité (C.G.) désigne le point d’application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Cette force est toujours verticale et orientée vers le bas. 3 Définition Par définition, le centre de gravité est donc le point d’application des forces de pesanteur quel que soit l’orientation de l’objet. Cela correspond au point où le moment de flexion causé par l’ensemble des forces de pesanteur est nul (Σ M = 0) C.G. W d M = W x d W d M = W x d
  4. 4. Si l’on suspend un objet à un fil, son centre de gravité est toujours situé à la verticale du point de suspension (cette droite est appelée ligne directrice). Si on suspend un objet à divers points, le centre de gravité est donc situé à l’intersection des lignes directrices. 4 Position du centre de gravité W C.G. bras de levier mouvement de rotation W W C.G. W lignedirectrice C.G. W W lignedirectrice
  5. 5. 5 Équilibre statique Lorsque l’on se penche en avant, notre corps adopte instinctivement une posture qui fait en sorte que notre centre de gravité soit situé à la verticale de notre point d’appui : nos pieds. On constate que, selon de la posture adoptée, le centre de gravité peut être situé à l’extérieur du corps. C.G. C.G.
  6. 6. Équilibre statique 6 Lorsqu’un danseur se tient en équilibre sur une jambe, il se place instinctivement de manière à ce que son centre de gravité soit situé à la verticale de son point d’appui. C.G.C.G. C.G.
  7. 7. La figure ci-contre montre un exemple spectaculaire qui montre que le centre de gravité d’un objet peut être situé dans le vide. 7 point d’appui À première vue on a l’impres- sion que l’ensemble formé par la cuillère et la fourchette «flotte» dans les airs puisque tout son poids semble situé à gauche du point d’appui et n’est équilibré que par un tout petit bout de cure-dent (de poids négligeable) à droite du point d’appui. point d'appui Un examen plus attentif montre cependant que le centre de gravité de l’ensemble «cuillère- fourchette» est situé exacte- ment au-dessus du point d’appui ce qui assure l’équilibre statique de l’ensemble. C.G.
  8. 8. 8 Ce jouet en plastique illustre le même principe C.G.
  9. 9. Équilibre statique instable 9 Lorsqu’une structure repose sur un seul appui rotulé, l’équilibre statique des forces n’est possible que si le centre de gravité est situé à la verticale du point d’appui. On parle alors d’équilibre instable .... W W mouvement de rotationC.G.
  10. 10. Équilibre statique instable 10 Les funambules utilisent généralement une longue perche pour garder leur équilibre. Comme la masse de la perche est située loin du centre de gravité, un déplacement latéral de la perche de quelques cm permet de toujours ramener le centre de gravité du funambule directement au- dessus du fil pour préserver son équilibre.
  11. 11. Équilibre statique stable 11 Par contre, si le centre de gravité est situé en-dessous de l’appui, on obtient un équilibre stable car, même si le centre de gravité est excentré p/r à l’appui, le mouvement de rotation aura pour effet de ramener le centre de gravité dans l’axe de cet appui. W C.G. mouvement de rotation W
  12. 12. Équilibre statique stable 12 La figure ci-contre montre l’exemple d’un jouet dont l’équilibre semble précaire, mais qui, au contraire, est en état d’équilibre statique stable car son centre de gravité est situé en-dessous du point d’appui.
  13. 13. Le Space Needle construit à Seattle en 1962 est l’une des structures les plus stables jamais construites. La tour de 2700 tonnes est déposée sur une fondation de béton de 5850 tonnes qui abaisse son centre de gravité sous le niveau du sol. 13
  14. 14. Le même principe a permis la construction des deux tours jumelles Puerta de Europa à Madrid en 1996. Ces tours, hautes de 115 m, sont inclinées de 15° p/r à la verticale ce qui constitue une prouesse technique. Pour stabiliser la structure, on a construit un immense ballast de béton (50x12,5 x10m) très lourd (15400 tonnes) en sous-sol afin d’abaisser le centre de gravité de la structure. 14
  15. 15. Stabilité d’un bâtiment 15 Pour qu’un bâtiment soit stable, il faut que son centre de gravité soit situé à l’intérieur du tiers central de son appui au sol.
  16. 16. 16 Les consoles en béton armé qui ceinturent le stade olympique de Montréal ont été conçues pour respecter cette exigence.
  17. 17. 17 Plusieurs architectes utilisent à profit la notion de centre de gravité pour concevoir des bâtiments avec des très longs porte-à-faux qui semblent défier les lois de la gravité. Le Rohner Port Building, construit en Autriche en 2000 par l’agence Baumschager Eberle, en constitue un bel exemple.
  18. 18. 18 Le Hyatt Capital Gate construit en 2010 à Abu Dhabi, est incliné de 18° p/r à la verticale surpassant ainsi le record d’inclinaison jusqu’alors détenu par les tours Puerta de Europa. Ses concepteurs ont soigneusement étudié la structure pour faire en sorte que son centre de gravité demeure à l’intérieur du tiers central.
  19. 19. 19 Le CCTV Tower est un bâtiment à la géométrie insolite construit à Beijing en Chine en 2009. Ce bâtiment atteint 234 m de hauteur et doit sa stabilité à un contrôle minutieux de la position de son centre de gravité.
  20. 20. 20 Les contreforts dans les cathédrales gothiques servaient à ramener la poussée des arc-boutants plus près de la verticale de manière à ce que la force transmise au sol demeure à l’intérieur du tiers central de l’appui.
  21. 21. 21 La tour Eiffel fait 300 m de hauteur et repose sur une base carrée de 125x125m. Cette base très large est nécessaire pour assurer l’équilibre statique de la tour.
  22. 22. 22 On utilise des contrepoids pour stabiliser les grues à tour.
  23. 23. Notion de centre de forces
  24. 24. 24 Définition Lorsqu’un corps est soumis à plusieurs forces concourantes, on peut remplacer l’ensemble de ces forces par une force résultante qui s’applique en un point de l’espace nommé le centre de forces qui est similaire au centre de gravité à la seule exception que les forces impliquées ne sont pas nécessairement des forces de gravité. Ces notions de centre de forces et de force résultante sont souvent très utiles lors de la conception d’un bâtiment car elles permettent de mieux comprendre le cheminement des charges et de choisir des géométries qui, du point de vue structural, sont plus efficaces.
  25. 25. Passerelle de Laroin 25 La passerelle de Laroin, construite dans les Pyrénées françaises en 202, fait 110 m de portée et son tablier est supporté par 16 haubans suspendus à un pylône en forme de V inversé de 20 m de hauteur.
  26. 26. 26 En remplaçant les forces de tension dans les haubans par une force résultante (R), on obtient un système de trois forces concourantes (R, T et C) qui convergent au point a.
  27. 27. 27 Le polygone des forces nous aide à juger l’efficacité de la structure. La figure a montre la structure originale où le pylône est vertical. La figure b montre qu’en inclinant le pylône vers l’avant, on réduit légèrement la force R mais on augmente les forces C et T. La figure c montre qu’en inclinant le pylône vers l’arrière, on réduit très légèrement la force T mais on augmente les forces R et C. La figure d montre qu’en augmentant la hauteur du pylône, on réduit les forces R, T er C.
  28. 28. Erasmus Bridge 28 Inauguré en 1996, le pont Erasmus est un pont à haubans de 802 m de portée. Il est devenu l’emblème de la ville de Rotterdam grâce à la forme particulière de son pylône central haut de 139 m qui lui a valu le surnom «le cygne».
  29. 29. Erasmus Bridge 29
  30. 30. 30 Si tous les câbles convergeaient vers le point a, la force C serait excentrée d’au point 12 m p/r au pylône au point de cassure et un grand effort de flexion serait généré à cet endroit. En répartissant les câble sur toute la partie supérieure du pylône, la ligne d’action de la force C est presque entièrement à l’intérieur du pylône ce qui réduit considérablement les efforts de flexion.
  31. 31. Alamillo Bridge 31 Le pont Alamillo a été inauguré en 1992 pour l’exposition universelle de Séville. Le tablier de 142 m de portée est supporté par un pylône de 134 m de hauteur incliné a 58° p/r à l’horizontale. Ce pylône est constitué d’un caisson en acier rempli de béton pour augmenter son poids.
  32. 32. 32On peut remplacer les charges verticales qui sollicitent le tablier par une charge résultante W appliqué au centre de gravité (i.e. au centre de la portée). Les forces W, C et T forme un ensemble de trois forces concourantes. On constate que les forces C et T sont considérablement plus élévées que la force W.
  33. 33. 33 On peut ramener la force résultante dans les haubans (T) au niveau du pylône. La géométrie du pylône a été choisie de manière à ce que le centre de gravité du pylône coïncide avec le point d’application de la charge T et que son poids (Wpyl) soit ajusté de manière à ce que la force résultante R soit orientée dans l’axe du pylône pour ne transmettre qu’un effort axial aux fondations. Le pylône est formé d’un caisson hexagonal en acier de 8 x12 m qui a été rempli de béton pour l’alourdir.
  34. 34. 34 Globalement, le pont a été conçu pour minimiser les efforts de flexion à la base du pylône.
  35. 35. Sundial Bridge 35 Calatrava, a conçu un autre pont du même type, le Sundial bridge construit en Californie et inauguré en 2004. La portée principale de 150 m se compare à celle du Pont Alamillo mais il est 5 fois moins large et son pylône est deux fois moins haut. Contrairement à ce dernier, il n’a pas été alourdi pour équilibrer les charges du tablier ce qui génère des efforts de flexion importants.
  36. 36. Sundial Bridge 36 Pour assurer la stabilité du pylône, un moment de flexion M s'ajoute aux réactions d’appui. Ce moment est égal au produit de la force résultante par son bras de levier (M = R x e). Puisque le bras de levier est très grand (e ≃ 25 m), cet effort est très important et, pour y résister sans transmettre de contraintes excessives au sol de fondation, la base du pylône doit être élargie pour atteindre une largeur de plus de 30 m.
  37. 37. Sundial Bridge 37
  38. 38. Stade olympique de Montréal 38 Le stade olympique de Montréal, inauguré en 1976 mais dont la construction de la tour et du toit rétractable ne fut achevée qu'en 1987, constitue un autre exemple où l'efficacité structurale a été sacrifiée aux dépens de l'expression formelle de l'ouvrage
  39. 39. 39 La fondation en béton qui supporte la tour a volontairement été conçue pour être très lourde (145 000 tonnes comparativement à 8000 tonnes pour la tour elle-même) pour deux raisons: 1°) abaisser le centre de gravité de l'ouvrage pour accroître sa stabilité et 2°) rapprocher la force résultante R de la verticale pour réduire son excentricité (e) p/r au point d'appui. Malgré tout, la force R demeure excentrée de plusieurs dizaines de mètres p/r au point d'appui ce qui génère un effort de flexion gigantesque (M = R x e). Pour résister à cet effort, la tour s'élargit à son base pout atteindre une largeur maximale qui est égale à sa hauteur (175 m).
  40. 40. Stade olympique de Montréal 40
  41. 41. 41 Calcul des réactions d’appui pour les structures supportant des charges réparties Les charges réparties peuvent être remplacées par une force résultante appliquée au centre de gravité avant de faire le calcul des réactions d’appui. La plupart des charges réparties adoptent un profil rectangulaire au triangulaire. Les figures ci-dessous montrent la position du centre de gravité d’un rectangle et d’un triangle. le centre de gravité d’un rectangle est situé au centre géométrique cg le centre de gravité d’un triangle est situé au tiers des côtés cg
  42. 42. Exemple 42 On veut calculer les réactions d’appui de la poutre illustrée ci-contre. Pour pouvoir remplacer la charge répartie par une charge résultante, il faut connaître la position du centre de gravité. Comme le profil de la charge est relativement complexe, on peut simplifier l’analyse en décomposant cette charge répartie en deux composantes: l’une rectangulaire, l’autre triangulaire. C’est le principe de superposition. Principe de superposition on décompose la charge
  43. 43. Exemple (suite) 43 on remplace les charges réparties par des charges résultantes La charge rectangulaire est remplacée par une charge F égale à: qui est placée au centre le la poutre (i.e. le centre de gravité du rectangle). La charge triangulaire est remplacée par une charge F égale à: qui est placé à 1,5 m de l’extrémité droite de poutre (i.e. le centre de gravité du rectangle).
  44. 44. Exemple (suite) 44 La somme des moments p/r au point a nous donne que: La somme des forces verticales donne que:

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