integration

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  1. 1. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsChapitre 11 : Intégration Terminale S N Gilbert 2011-2012 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  2. 2. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsOn sait calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un trapèze, d’unquadrilatère en général. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  3. 3. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsOn sait calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un trapèze, d’unquadrilatère en général.On peut ainsi calculer une aire délimitée par l’axe des abscisses, deuxdroites verticales, et une fonction particulière (une fonction affine). N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  4. 4. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 1On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droited’équation y = 2x). N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  5. 5. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 1On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droited’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  6. 6. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 1On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droited’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. base × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  7. 7. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 1On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droited’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. base × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  8. 8. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 1On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droited’équation y = 2x). L’aire cherchée est l’aire d’un triangle. base × hauteur 3×6 A= = = 9 unités d’aire. 2 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  9. 9. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 2On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1f (x) = − x + 4. 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  10. 10. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 2On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  11. 11. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 2On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  12. 12. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 2On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  13. 13. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 2On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= = 2 (f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  14. 14. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 2On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= = 2 (f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) (9 + 3) × 6 = 2 2 2 2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  15. 15. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsExemple 2On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droitesd’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine 1f (x) = − x + 4. 2 L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze. (BASE + base) × hauteur A= = 2 (f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) (9 + 3) × 6 = 2 2 = 18 2 2 unités d’aire. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  16. 16. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsPrésentation Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ? N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  17. 17. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsPrésentation Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ? Exemple Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  18. 18. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsLa méthode N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  19. 19. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsLa méthode On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1]. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  20. 20. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsLa méthode On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1]. On découpe l’aire en un certain nombre de rectangles et on ajoute les aires de ces rectangles. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  21. 21. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations2 possibilités Rectangles inférieurs N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  22. 22. Introduction Exemples Le problème Résumé et notations2 possibilités Rectangles inférieurs Rectangles supérieurs N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  23. 23. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéglage de la précision Comment augmenter la précision ? N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  24. 24. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  25. 25. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  26. 26. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  27. 27. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; vn désignant la somme des n rectangles supérieurs. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  28. 28. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; vn désignant la somme des n rectangles supérieurs. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  29. 29. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéglage de la précision Comment augmenter la précision ? En augmentant le nombre de rectangles. On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) : un désignant la somme des n rectangles inférieurs ; vn désignant la somme des n rectangles supérieurs. Plus n est grand, plus les 2 aires sont proches et plus on se rapproche de l’aire recherchée. voir fichier geogebra N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  30. 30. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsCalcul de un On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles inférieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire un sous la forme d’une somme et la calculer. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  31. 31. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsCalcul de un On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles inférieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire un sous la forme d’une somme et la calculer. (n − 1)(2n − 1) un = 6n2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  32. 32. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsCalcul de vn On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles supérieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire vn sous la forme d’une somme et la calculer. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  33. 33. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsCalcul de vn On a partagé l’intervalle [0; 1] en n Rectangles supérieurs intervalles. Quelle est la largeur de chaque rectangle ? Quelle est l’aire du premier rectangle ? du deuxième ? ... du dernier ? Écrire vn sous la forme d’une somme et la calculer. (n + 1)(2n + 1) un = 6n2 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  34. 34. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  35. 35. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn . N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  36. 36. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn . En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée. N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  37. 37. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsRéponse au problème Rappel de l’énoncé Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 . L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn . En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée. 1 lim un = lim vn = n→+∞ n→+∞ 3 N Gilbert Chapitre 11 : Intégration
  38. 38. Introduction Exemples Le problème Résumé et notationsA retenirSoit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et C sacourbe représentative.L’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, C , et les droitesd’équations x = a et x = b est notée : b f (x)dx. a N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

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