Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et                     l ’actualisation des cash-flows                   ...
Capitalisation et actualisation        Exemples :              Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans u...
Capitalisation et actualisation        Principe :              Deux sommes, apparemment identiques, ne sont pas équivalent...
La capitalisation                            100   Placé au taux i pendant une année    100(1+i)        Exemple :         ...
La capitalisation                                  Année                        0         1                 2             ...
La capitalisation        Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur        acquise dun montant X , capitalisée au...
La capitalisation      Exemple      En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux      indiens pour des colifichet...
L ’actualisation              Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent              immédiatement.   ...
L ’actualisation        Exemple              Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ?              Cest une somme S0...
L ’actualisation        La valeur actuelle VA dun montant Xn versé dans n        années est de :                          ...
L’actualisation        Exemple :              Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord         ...
Capitalisation d ’une séquence de flux         Année               0      1        2         3                n         Va...
La capitalisation                            d’une séquence de flux        La valeur future (en t= n) dune série de flux  ...
Capitalisation d’une séquence de flux identiques A                             (« annuités »)        La formule de valeur ...
Capitalisation d’une séquence d ’annuités        Exemple :              Si vous placez 100 euros chaque année pendant les ...
Un petit récapitulatif        Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans.        Vous prévoyez de faire sept ver...
Actualisation d ’une séquence de flux      Année                                   0        1        2          3         ...
Actualisation d ’une séquence de flux        La valeur actuelle (en t= 0) dune série de flux monétaires        différents ...
Actualisation d ’une séquence de flux identiques A                             (« annuités »)        La formule de valeur ...
Actualisation d ’une séquence de flux identiques X        Exemple :              Il y a deux ans, un de vos oncles éloigné...
Le coût d ’opportunité        Taux d’emprunt ou taux de placement?              En général le calcul d’une valeur actuelle...
Le coût d’opportunité        Exemple :              Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il      ...
Trouver le taux d ’intérêt        Exemple:              Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous   ...
Trouver le taux d ’intérêt        Formule générale :                                             n           VF           ...
Trouver le taux d’intérêt        Exemple :              Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une   ...
Trouver la durée du placement        Exemple :              Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million    ...
Trouver la durée du placement        Solution générale                                                              VF    ...
Rappel sur le logarithme        Les propriétés suivantes sont utilisés en finance:                            e ln( x ) = ...
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Modalités de calcul des taux d’intérêts        2. Intérêts précomptés ou post-comptés              Les intérêts sont à ter...
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Modalités de calcul des taux d’intérêts        3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux        équivalent et ta...
Le taux proportionnel        Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en        taux proportionnels. Dans ce cas, ...
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Le taux équivalent              Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits              équivalent...
Le taux équivalent              Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée              du placeme...
Taux équivalent   Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de   i=18% par an, capitalisé sur un nombre croi...
Taux équivalent   Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé   sur un nombre croissant de ...
Taux proportionnel et taux équivalent        Exemple:              La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an ...
Taux équivalent et taux effectif              Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui              ...
Taux d ’intérêt et inflation              Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux              génér...
T aux d ’intérêt et fiscalité              L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour           ...
Taux d’intérêt et fiscalité        Exemple :              Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus.              Vous placez...
Prélude à l’annuité constante        Exemple :              Vous voulez créer un fonds qui vous procure 1 000 euros par an...
L’annuité constante        Exemple :              Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.            ...
L’annuité constante                      0           1         2          3          4       5                            ...
Formule de l ’annuité constante                                                 i                                     A=M ...
Application              Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.              Vous devrez rembourser ...
Amortissement d ’un emprunt        Exemple :              Vous empruntez 300 000 F pour payer vos frais annuels de        ...
Calcul de l’annuité constante                             i                        0,106                 A=M ⋅            ...
Tableau d ’amortissement                                                       Intérêts =                                 ...
Tableau d ’amortissement          Echéance Capital initial    annuité globale dont intérêts   remboursement        Reste à...
Amortissement d ’un emprunt              Vous négociez un remboursement non point sur 4 ans, mais sur 50              ans....
Chi va piano va sano              Vous voulez acheter une voiture de 20 000 euros et vous hésitez              entre deux ...
Evaluation d ’une obligation        Définition :        Une obligation est un titre de dette, émis par une        société ...
Evaluation d ’une obligation        Exemple :        Emission d ’un emprunt obligataire avec les        caractéristiques s...
Evaluation d ’une obligation               0                1           2            3            4        5              ...
Evaluation d ’une obligation              0              1       2             3              4                  5        ...
Evaluation d ’une obligation             Quand les taux montent, le cours des obligations             ordinaires (« à coup...
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Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents

  1. 1. Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et l ’actualisation des cash-flows Plan Actualisation et capitalisation Calculs sur le taux d’intérêt et la période Modalités de calcul des taux d’intérêts taux simples et composés taux précomptés et postcomptés taux proportionnels et taux équivalents Inflation et fiscalité Application des concepts Calcul d ’une annuité constante Tableau d ’amortissement d ’un emprunt Evaluation d ’une obligation 1Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  2. 2. Capitalisation et actualisation Exemples : Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un an ? Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les 6 prochaines années ? Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursements mensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ? « Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain » 2Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  3. 3. Capitalisation et actualisation Principe : Deux sommes, apparemment identiques, ne sont pas équivalentes si elles ne sont pas disponibles à la même date. Lactualisation et la capitalisation sont indispensables pour comparer des sommes disponibles à des dates différentes, afin de rechercher des équivalents à une date commune. Capitalisation : présent avenir Actualisation : présent avenir 3Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  4. 4. La capitalisation 100 Placé au taux i pendant une année 100(1+i) Exemple : Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué qui rapporte du 4% par an. Au bout d ’un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 € Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 € soit 1 000 (1+0,04)² Les intérêts ont été capitalisés 4Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  5. 5. La capitalisation Année 0 1 2 3 n 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 2 3 n Valeur 1 000 50 000 V aleu r fu tu re d e 1 000 à lan n ée 0 45 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 - 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 5 AnnéeBodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  6. 6. La capitalisation Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur acquise dun montant X , capitalisée au taux i durant n années est égale à : n VF = X × (1 + i ) 6Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  7. 7. La capitalisation Exemple En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé annuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2001, 375 ans après ? Réponse : 24$ × (1,06)375 = 74 115 785 843 (74 milliards 115 millions 785 mille 843 dollars) (les indiens, généreux, ignorent les cents) 7Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  8. 8. L ’actualisation Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent immédiatement. J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire). Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ? La somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an le capital et payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an : S1 = S0 × (1 + 4%) 1000 Comme S1 = 1 000 €, on a S0 = = 961.54€ (1 + 4%) S0 correspond à la valeur actuelle (VA) de 1 000 € perçus dans un an. 8Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  9. 9. L ’actualisation Exemple Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ? Cest une somme S0 telle quil mest indifférent de recevoir S0 tout de suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, je peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel. Dans cinq ans, jobtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doit être équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut donc déduire facilement S0 : 2000 € S0 × (1+4%)5 = 2 000 € ⇔ S0 = = 1643.85 € (1+ 4%) 5 9Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  10. 10. L ’actualisation La valeur actuelle VA dun montant Xn versé dans n années est de : Xn VA = n (1+ i ) 10Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  11. 11. L’actualisation Exemple : Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord pour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme à Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre? Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans : 4 000 4 000 VA = = = 3 429.36 € (1+ 8%)2 1,1664 11Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  12. 12. Capitalisation d ’une séquence de flux Année 0 1 2 3 n Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 Valeur future à 1000 × (1 + 4%) n l’année n Valeur future à 1000 × (1 + 4%) n −1 l’année n Valeur future à 1 000 l’année n 12Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  13. 13. La capitalisation d’une séquence de flux La valeur future (en t= n) dune série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la capitalisation de chaque élément de la série. Avec i constant, on obtient pour n années : n VF = ∑ X t × (1 + i )n −t t =1 13Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  14. 14. Capitalisation d’une séquence de flux identiques A (« annuités ») La formule de valeur future n VF = ∑ A × (1 + i )n −t t =1 se simplifie en (1 + i ) n − 1 VF = A ⋅ i 14Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  15. 15. Capitalisation d’une séquence d ’annuités Exemple : Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20 années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer dans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ? Il s ’agit de calculer la valeur future d ’une séquence de 20 annuités de 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an. (1+ 10%)20 − 1 6,7275 − 1 VF = 100 × = 100 × = 5 727,5 € 10% 0,10 15Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  16. 16. Un petit récapitulatif Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans. Vous prévoyez de faire sept versements identiques chaque année, en commençant dans trois ans, sur un compte qui rapporte du 11% par an capitalisé annuellement. Quel doit être le montant de chaque versement annuel ? 16Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  17. 17. Actualisation d ’une séquence de flux Année 0 1 2 3 n Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 Valeur actuelle 1 000 Valeur actuelle 1 000 (1 + 4%) Valeur actuelle 1 000 (1 + 4%) 2 Valeur actuelle 1 000 (1 + 4%) n 17Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  18. 18. Actualisation d ’une séquence de flux La valeur actuelle (en t= 0) dune série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de lactualisation de chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs ou négatifs Avec i constant, on obtient pour n années : n Xt VA = ∑ t t =1 (1 + i ) 18Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  19. 19. Actualisation d ’une séquence de flux identiques A (« annuités ») La formule de valeur actuelle (en t= 0) dune série de flux monétaires : n Xt VA = ∑ (1 + i )t t =1 si on pose Xt = A, se simplifie en 1 − (1 + i ) − n VA = A × i 19Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  20. 20. Actualisation d ’une séquence de flux identiques X Exemple : Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature, a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre banquier. Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 € par an, sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6% par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement, combien devrez-vous verser au banquier ? 20Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  21. 21. Le coût d ’opportunité Taux d’emprunt ou taux de placement? En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le taux d’emprunt et le taux de placement sont identiques. En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des taux d ’emprunt et de placement différents. Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité. 21Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  22. 22. Le coût d’opportunité Exemple : Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il s’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une maison. Il paie un taux d ’intérêt de 15% sur cet emprunt, et par ailleurs, il peut placer de l ’argent à 5%. Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payable immédiatement et une à 5 500 € payable dans un an. Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation, quelle offre doit-il accepter ? Est-ce que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser une partie de son emprunt avant l ’échéance ? 22Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  23. 23. Trouver le taux d ’intérêt Exemple: Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous investissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ce placement? 15 000 × (1 + i )10 = 30 000 30 000 1 i = 10 − 1 = 2 10 − 1 = 0 . 071773463 15 000 = 7 . 18 % 23Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  24. 24. Trouver le taux d ’intérêt Formule générale : n VF VF = VA × ( 1 + i) ⇒ = ( 1 + i)n VA 1 VF  VF n ⇒ ( 1 + i) = = n VA  VA  VF i= −1 n VA 24Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  25. 25. Trouver le taux d’intérêt Exemple : Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une obligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200 euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte rémunéré. Quel est le taux d ’intérêt (de fait, on parlera ici de taux de rendement actuariel – TRA) de l’obligation ? De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire votre choix ? 25Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  26. 26. Trouver la durée du placement Exemple : Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ? 26Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  27. 27. Trouver la durée du placement Solution générale VF VF = VA × (1 + i ) n ⇔ = (1 + i ) n VA ⇔  VF  ln   VA  ( n )  = ln (1 + i ) = n × ln (1 + i )  VF  ln   VA  ln (VF ) − ln (VA ) ⇔ n=  = ln (1 + i ) ln (1 + i ) ln(VF ) − ln(VA) n= ln(1 + i ) 27Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  28. 28. Rappel sur le logarithme Les propriétés suivantes sont utilisés en finance: e ln( x ) = x ( x > 0 ) ln( e x ) = x ln( x × y ) = ln( x ) + ln( y ) ln( x / y ) = ln( x ) − ln( y ) ln( y x ) = x × ln( y ) ln( x + y ) ≠ ln( x ) × ln( y ) 28Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  29. 29. Trouver la durée du placement Solution de l’exemple : Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de l’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ?  100 000  ln   n=  80 000  = 2,89 ln (1 + 0 ,08 ) Vous avez besoin d’environ trois ans 29Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  30. 30. Modalités de calcul des taux d’intérêts 1. Intérêts simples et intérêts composés L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’il est proportionnel à la durée du placement. Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour fournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de la période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital de départ est alors appelée intérêts composés. 30Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  31. 31. Modalités de calcul des taux d’intérêts 2. Intérêts précomptés ou post-comptés Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt. On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont post- comptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la somme en fin de période. 31Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  32. 32. Modalités de calcul des taux d’intérêts Exemple: Vous placez une somme d ’argent sur cinq ans à 3% par an avec des intérêts simples à terme échu. Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux d ’intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq ans? Exemple: La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux d ’intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu. Quelle est la meilleure offre? 32Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  33. 33. Modalités de calcul des taux d’intérêts 3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux équivalent et taux proportionnel Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Il existe plusieurs façons d ’appliquer un taux annuel à des périodes inférieures à l’année. Le taux proportionnel Le taux équivalent 33Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  34. 34. Le taux proportionnel Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en taux proportionnels. Dans ce cas, pour un placement d’une durée inférieure à une année, un simple pro rata du taux d’intérêt annuel est versé. Par exemple le taux proportionnel mensuel est iA im = 12 Le taux proportionnel trimestriel est iA iT = 4 34Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  35. 35. Le taux proportionnel Exemple : Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de 12%, avec un versement mensuel des intérêts. Calculez le taux proportionnel mensuel. Calculez quel montant d ’intérêts devra être versé chaque mois. Si, au lieu d ’exiger le versement des intérêts chaque mois, votre banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et que le paiement se fasse au bout d ’un an, combien devrez-vous ? A quel taux d ’intérêt annuel cela est-il équivalent ? 35Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  36. 36. Le taux équivalent Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des valeurs futures identiques au terme de la même durée de placement. Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent au taux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante : 1 + i A = (1 + im )12 ⇔ 1 12 im = (1 + i A ) − 1 = 12 (1 + i A ) − 1 36Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  37. 37. Le taux équivalent Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée du placement. En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en taux proportionnel iprop composé en n périodes est de n  i prop iequ = 1+   −1   n  Le taux équivalent est toujours supérieur au taux proportionnel. La différence s ’accroît avec la fréquence de capitalisation. 37Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  38. 38. Taux équivalent Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes Fréquence de Taux Taux annuel 1 capitalisation proportionnel équivalent  18  = 1 +  −1  1  1 18.00% 18.00% 2  18  = 1 +  −1 2 9.00% 18.81%  2  4  18  = 1 +  −1 4 4.50% 19.25%  4  12  18  12 1.50% 19.56% = 1 +  −1  12  52 52 0.35% 19.68%  18  = 1 +  −1  52  365 0.05% 19.72%  18  365 = 1 +  −1  365  38Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  39. 39. Taux équivalent Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes Fréquence de Taux annuel 365 capitalisation équivalent  18  = 1 +  −1  365  365 19.7164% 3650 3650 19.7212%  18  = 1 +  −1 …  3650  infini 19.7217%  m i  = Lim  1 +  − 1 m →∞  m    Taux d ’intérêt continu = ei − 1 39Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  40. 40. Taux proportionnel et taux équivalent Exemple: La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu. Quelle est la meilleure offre? 40Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  41. 41. Taux équivalent et taux effectif Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé quotidiennement (Banco). En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque choisissez-vous ? Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagez à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre argent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année. Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans votre prise de décision ? 41Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  42. 42. Taux d ’intérêt et inflation Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux généralement indiqué. Pour connaître l ’augmentation de votre pouvoir d ’achat dans un environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel. 1 + taux réel = 1 + taux nominal 1 + taux d inflation Approximation: taux réel ≈ taux nominal - taux d inflation Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal et les flux réels avec le taux réel. 42Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  43. 43. T aux d ’intérêt et fiscalité L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de votre placement. Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt) représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé l’impôt sur cette rémunération. Taux d’intérêt après impôt = Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition) 43Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  44. 44. Taux d’intérêt et fiscalité Exemple : Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus. Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel. Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement ? 44Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  45. 45. Prélude à l’annuité constante Exemple : Vous voulez créer un fonds qui vous procure 1 000 euros par an pendant quatre ans, date à laquelle il ne restera plus rien. Combien devez-vous placer initialement dans ce fonds si le taux d’intérêt est de 10% par an ? Réfléchissez au moyen de résoudre ce problème de mathématiques financières. 45Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  46. 46. L’annuité constante Exemple : Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel. Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines années, avec 5 annuités identiques. Quelle est la valeur d ’une annuité ? 46Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  47. 47. L’annuité constante 0 1 2 3 4 5 A A A A A Valeur actuelle des remboursements ? 1 − (1 + i ) − n VA = A ⋅ i On connaît VA (10 000) et on cherche A. 47Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  48. 48. Formule de l ’annuité constante i A=M ⋅ 1 − (1 + i ) − n Avec A = annuité constante M = Montant emprunté i = taux d ’intérêt par période n = nombre de périodes 48Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  49. 49. Application Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel. Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines années, avec 5 annuités identiques. Quelle est la valeur d ’une annuité ? i 0,08 A=M ⋅ −n = 10 000. −5 = 2 504,56 1 − (1 + i ) 1 − (1,08) 49Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  50. 50. Amortissement d ’un emprunt Exemple : Vous empruntez 300 000 F pour payer vos frais annuels de scolarité ainsi que quelques dépenses somptuaires. Le remboursement se fait par annuités constantes sur les 4 prochaines années, au taux - préférentiel - de 5.43% hors assurance, soit 10.60% tout compris. Bâtissez le tableau damortissement de lemprunt. 50Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  51. 51. Calcul de l’annuité constante i 0,106 A=M ⋅ −n = 300 000. −4 = 95 873,33 1 − (1 + i ) 1 − (1,106) 51Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  52. 52. Tableau d ’amortissement Intérêts = Capital initial x 8% Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à en principal rembourser 1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67 2 95 873,33 3 95 873,33 4 95 873,33 Répartition de l ’annuité entre intérêts et remboursement en capital 52Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  53. 53. Tableau d ’amortissement Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à en principal rembourser 1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67 2 235 926,67 95 873,33 25 008,23 70 865,11 165 061,56 3 165 061,56 95 873,33 17 496,53 78 376,81 86 684,75 4 86 684,75 95 873,33 9 188,58 86 684,75 0,00 Validation Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts Part des intérêts Reste à dans lannuité rembourser 1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 33,2% 299 999,67 2 299 999,67 95 873,33 25 008,23 26,1% 299 999,41 3 299 999,41 95 873,33 17 496,53 18,2% 299 999,22 4 299 999,22 95 873,33 9 188,58 9,6% 299 999,13 53Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  54. 54. Amortissement d ’un emprunt Vous négociez un remboursement non point sur 4 ans, mais sur 50 ans. Quel sera le capital restant dû à lissue du 25ème versement ? Commentez. 54Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  55. 55. Chi va piano va sano Vous voulez acheter une voiture de 20 000 euros et vous hésitez entre deux modes de financement : soit vous empruntez la somme totale au taux de 4% annuel, soit on vous réduit le prix de 1 500 euros et vous empruntez le reste à votre banque au taux de 9,5% par an. Les deux emprunts sont remboursables par mensualités constantes sur trois ans. Quel financement choisissez-vous ? 55Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  56. 56. Evaluation d ’une obligation Définition : Une obligation est un titre de dette, émis par une société ou par l’Etat, avec les caractéristiques suivantes : montant emprunté (nominal) taux d ’intérêt (taux nominal) modalité de paiement des intérêts (coupons) échéance (ou maturité) 56Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  57. 57. Evaluation d ’une obligation Exemple : Emission d ’un emprunt obligataire avec les caractéristiques suivantes : nominal 1000 euros taux nominal 5,625% échéance 5 ans paiement des coupons chaque année remboursement à l ’échéance 57Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  58. 58. Evaluation d ’une obligation 0 1 2 3 4 5 56,25 56,25 56,25 56,25 56,25 + 1 000 Si le taux du marché obligataire est à 5,625% : 56,25 56,25 56,25 1 000 VA = + + ... + + 1 + 5,625% (1 + 5,625%) 2 (1 + 5,625%)5 (1 + 5,625%)5  5 1  1 000 = 56,25 ⋅ ∑ k + 5  k =1(1 + 5,625%)  (1 + 5,625%) 1 − (1 + 5,625%) −5 1 000 = 56,25 ⋅ + =? 5,625% (1 + 5,625%)5 58Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  59. 59. Evaluation d ’une obligation 0 1 2 3 4 5 56,25 56,25 56,25 56,25 56,25 + 1 000 Si le taux du marché obligataire passe à 6%, comment va évoluer la valeur actuelle de l ’obligation ? 56,25 56,25 56,25 1 000 VA = + + ... + + 1 + 6% (1 + 6%) 2 (1 + 6%)5 (1 + 6%)5  5 1  1 000 = 56,25 ⋅ ∑ k + 5  k =1(1 + 6%)  (1 + 6%) 1 − (1 + 6%) −5 1 000 = 56,25 ⋅ + 5 =? 59 6% (1 + 6%)Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  60. 60. Evaluation d ’une obligation Quand les taux montent, le cours des obligations ordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement. Explication en terme de Valeur Actuelle Explication en terme de bon sens 60Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003

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