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Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et
                     l ’actualisation des cash-flows

                                                  Plan
              Actualisation et capitalisation
              Calculs sur le taux d’intérêt et la période
              Modalités de calcul des taux d’intérêts
                   taux simples et composés
                   taux précomptés et postcomptés
                   taux proportionnels et taux équivalents
              Inflation et fiscalité
              Application des concepts
                   Calcul d ’une annuité constante
                   Tableau d ’amortissement d ’un emprunt
                   Evaluation d ’une obligation
                                                    1
Bodie Merton - Chapitre 4           www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Capitalisation et actualisation


        Exemples :

              Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un an ?

              Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les
              6 prochaines années ?

              Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursements
              mensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ?


    « Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain »

                                                  2
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Capitalisation et actualisation


        Principe :
              Deux sommes, apparemment identiques, ne sont pas équivalentes
              si elles ne sont pas disponibles à la même date.

              L'actualisation et la capitalisation sont indispensables pour
              comparer des sommes disponibles à des dates différentes,
              afin de rechercher des équivalents à une date commune.

                   Capitalisation :            présent                    avenir

                   Actualisation :             présent                    avenir



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La capitalisation


                            100   Placé au taux i pendant une année    100(1+i)

        Exemple :
              Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué qui
              rapporte du 4% par an.
              Au bout d ’un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 €
              Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 €
              soit 1 000 (1+0,04)²


                              Les intérêts ont été capitalisés


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La capitalisation

                                  Année                        0         1                 2                       3                                   n




                                                                   1 000 × (1+4%)   1 000 × (1+4%)           1 000 × (1+4%)                    1 000 × (1+4%)
                                                                                                     2                        3                                  n
                                  Valeur                   1 000

                                                  50 000
      V aleu r fu tu re d e 1 000 à l'an n ée 0




                                                  45 000
                                                  40 000
                                                  35 000
                                                  30 000
                                                  25 000
                                                  20 000
                                                  15 000
                                                  10 000
                                                   5 000
                                                     -
                                                           0       10        20      30        40            50        60         70   80         90       100
                                                                                                         5
                                                                                                         Année
Bodie Merton - Chapitre 4                                                           www.escp-eap.net/publications/bmt                       © Christophe Thibierge - 2003
La capitalisation


        Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur
        acquise d'un montant X , capitalisée au taux i durant n
        années est égale à :



                                                                n
                            VF = X × (1 + i )



                                            6
Bodie Merton - Chapitre 4   www.escp-eap.net/publications/bmt       © Christophe Thibierge - 2003
La capitalisation

      Exemple

      En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux
      indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si
      la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en
      argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé
      annuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2001, 375
      ans après ?

      Réponse : 24$ × (1,06)375 = 74 115 785 843 (74 milliards
      115 millions 785 mille 843 dollars)
      (les indiens, généreux, ignorent les cents)
                                            7
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L ’actualisation


              Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent
              immédiatement.
                    J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire).


              Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ?
                   La somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an le
                   capital et payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an :
                                              S1 = S0 × (1 + 4%)

                                              1000
              Comme S1 = 1 000 €, on a S0 =          = 961.54€
                                            (1 + 4%)

                      S0 correspond à la valeur actuelle (VA)
                          de 1 000 € perçus dans un an.
                                         8
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L ’actualisation


        Exemple
              Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ?

              C'est une somme S0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S0 tout
              de suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, je
              peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel.
              Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doit
              être équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut donc
              déduire facilement S0 :

                                                 2000 €
              S0 ×   (1+4%)5   = 2 000 € ⇔ S0 =           = 1643.85 €
                                                (1+ 4%) 5




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L ’actualisation


        La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans n
        années est de :




                                            Xn
                              VA =                  n
                                          (1+ i )




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L’actualisation


        Exemple :

              Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord
              pour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme à
              Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en
              banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre?

              Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans :


                                    4 000           4 000
                            VA =               =          = 3 429.36 €
                                   (1+ 8%)2        1,1664

                                                   11
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Capitalisation d ’une séquence de flux

         Année               0      1        2         3                n



         Valeur             1 000 1 000 1 000 1 000                    1 000

         Valeur future à                                                        1000 × (1 + 4%) n
         l’année n


         Valeur future à                                                       1000 × (1 + 4%) n −1
         l’année n


         Valeur future à                                                              1 000
         l’année n


                                                  12
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La capitalisation
                            d’une séquence de flux

        La valeur future (en t= n) d'une série de flux
        monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la
        capitalisation de chaque élément de la série. Avec i
        constant, on obtient pour n années :



                                       n
                            VF = ∑ X t × (1 + i )n −t
                                     t =1


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Capitalisation d’une séquence de flux identiques A
                             (« annuités »)

        La formule de valeur future
                                      n
                            VF = ∑ A × (1 + i )n −t
                                     t =1
        se simplifie en


                                     (1 + i ) n − 1
                            VF = A ⋅
                                           i


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Capitalisation d’une séquence d ’annuités


        Exemple :

              Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20
              années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer
              dans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ?

              Il s ’agit de calculer la valeur future d ’une séquence de 20 annuités
              de 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an.

                              (1+ 10%)20 − 1         6,7275 − 1
                   VF = 100 ×                = 100 ×            = 5 727,5 €
                                   10%                  0,10


                                                  15
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Un petit récapitulatif


        Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans.
        Vous prévoyez de faire sept versements identiques
        chaque année, en commençant dans trois ans, sur un
        compte qui rapporte du 11% par an capitalisé
        annuellement. Quel doit être le montant de chaque
        versement annuel ?




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Actualisation d ’une séquence de flux

      Année                                   0        1        2          3               n



      Valeur                               1 000 1 000 1 000 1 000                      1 000

      Valeur actuelle         1 000

      Valeur actuelle         1 000
                            (1 + 4%)
      Valeur actuelle         1 000
                            (1 + 4%) 2


      Valeur actuelle         1 000
                            (1 + 4%) n
                                                      17
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Actualisation d ’une séquence de flux


        La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires
        différents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation de
        chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs
        ou négatifs
        Avec i constant, on obtient pour n années :

                                              n       Xt
                                 VA = ∑                      t
                                            t =1 (1 + i )


                                               18
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Actualisation d ’une séquence de flux identiques A
                             (« annuités »)

        La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série de
        flux monétaires :
                                 n
                                      Xt
                          VA =          ∑
                                    (1 + i )t
                               t =1


        si on pose Xt = A, se simplifie en


                                     1 − (1 + i ) − n
                            VA = A ×
                                            i
                                             19
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Actualisation d ’une séquence de flux identiques X


        Exemple :

              Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature,
              a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre banquier.
              Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 € par an,
              sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6%
              par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement,
              combien devrez-vous verser au banquier ?




                                                20
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Le coût d ’opportunité


        Taux d’emprunt ou taux de placement?

              En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le taux
              d’emprunt et le taux de placement sont identiques.

              En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des
              taux d ’emprunt et de placement différents.

              Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité.




                                                21
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Le coût d’opportunité


        Exemple :
              Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il
              s’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une
              maison. Il paie un taux d ’intérêt de 15% sur cet emprunt, et par
              ailleurs, il peut placer de l ’argent à 5%.
              Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payable
              immédiatement et une à 5 500 € payable dans un an.

                   Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation,
                   quelle offre doit-il accepter ?

                   Est-ce que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser une
                   partie de son emprunt avant l ’échéance ?
                                                  22
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Trouver le taux d ’intérêt


        Exemple:
              Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous
              investissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ce
              placement?


                   15 000 × (1 + i )10 = 30 000
                           30 000          1
                   i = 10         − 1 = 2 10 − 1 = 0 . 071773463
                           15 000
                   = 7 . 18 %


                                               23
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Trouver le taux d ’intérêt


        Formule générale :

                                             n           VF
                        VF = VA × ( 1 + i)             ⇒    = ( 1 + i)n
                                                         VA
                                                                       1
                                          VF  VF                     n
                             ⇒ ( 1 + i) =   =    n
                                          VA  VA 


                                            VF
                                         i=    −1
                                               n
                                            VA
                                                   24
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Trouver le taux d’intérêt


        Exemple :

              Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une
              obligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200
              euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte
              rémunéré.


              Quel est le taux d ’intérêt (de fait, on parlera ici de taux de
              rendement actuariel – TRA) de l’obligation ?

              De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire
              votre choix ?

                                                 25
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Trouver la durée du placement


        Exemple :

              Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million
              d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €.

              Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votre
              argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour
              acheter cet appartement ?




                                                 26
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Trouver la durée du placement


        Solution générale
                                                              VF
                            VF = VA × (1 + i ) n      ⇔          = (1 + i ) n
                                                              VA
                               ⇔
                                         VF 
                                     ln 
                                         VA 
                                                          (   n
                                                                    )
                                                = ln (1 + i ) = n × ln (1 + i )

                                              VF 
                                          ln       
                                               VA  ln (VF ) − ln (VA )
                               ⇔     n=              =
                                          ln (1 + i )        ln (1 + i )

                                           ln(VF ) − ln(VA)
                                        n=
                                               ln(1 + i )
                                                     27
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Rappel sur le logarithme


        Les propriétés suivantes sont utilisés en finance:

                            e ln( x ) = x ( x > 0 )
                            ln( e x ) = x
                            ln( x × y ) = ln( x ) + ln( y )
                            ln( x / y ) = ln( x ) − ln( y )
                            ln( y x ) = x × ln( y )
                            ln( x + y ) ≠ ln( x ) × ln( y )
                                               28
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Trouver la durée du placement


        Solution de l’exemple :

              Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million
              d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de
              l’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à
              8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet
              appartement ?
                                      100 000 
                                  ln              
                                n= 
                                        80 000 
                                                     = 2,89
                                   ln (1 + 0 ,08 )

                            Vous avez besoin d’environ trois ans
                                                   29
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Modalités de calcul des taux d’intérêts


        1. Intérêts simples et intérêts composés

              L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’il
              est proportionnel à la durée du placement.


              Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour
              fournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de la
              période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital
              de départ est alors appelée intérêts composés.




                                                 30
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Modalités de calcul des taux d’intérêts


        2. Intérêts précomptés ou post-comptés

              Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur
              montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt.


              On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont post-
              comptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la
              somme en fin de période.




                                               31
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Modalités de calcul des taux d’intérêts


        Exemple:

              Vous placez une somme d ’argent sur cinq ans à 3% par an avec
              des intérêts simples à terme échu.
              Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux
              d ’intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq
              ans?


        Exemple:
              La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux
              d ’intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu.
              Quelle est la meilleure offre?
                                               32
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Modalités de calcul des taux d’intérêts


        3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux
        équivalent et taux proportionnel

              Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Il
              existe plusieurs façons d ’appliquer un taux annuel à des périodes
              inférieures à l’année.


                    Le taux proportionnel
                    Le taux équivalent




                                                   33
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Le taux proportionnel


        Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en
        taux proportionnels. Dans ce cas, pour un placement
        d’une durée inférieure à une année, un simple pro rata
        du taux d’intérêt annuel est versé. Par exemple le taux
        proportionnel mensuel est
                                         iA
                                    im =
                                         12

        Le taux proportionnel trimestriel est
                                    iA
                               iT =
                                                 4
                                            34
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Le taux proportionnel


        Exemple :
              Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de
              12%, avec un versement mensuel des intérêts.


              Calculez le taux proportionnel mensuel.
              Calculez quel montant d ’intérêts devra être versé chaque mois.


              Si, au lieu d ’exiger le versement des intérêts chaque mois, votre
              banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et
              que le paiement se fasse au bout d ’un an, combien devrez-vous ?
              A quel taux d ’intérêt annuel cela est-il équivalent ?


                                               35
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Le taux équivalent


              Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits
              équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des
              valeurs futures identiques au terme de la même durée de
              placement.


        Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent au
        taux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante :

                                   1 + i A = (1 + im )12 ⇔
                                               1
                                              12
                            im = (1 + i A )        − 1 = 12 (1 + i A ) − 1
                                                   36
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Le taux équivalent


              Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée
              du placement.

              En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en taux
              proportionnel iprop composé en n périodes est de
                                                                n
                                            i prop
                                    iequ = 1+
                                                   −1
                                                   
                                               n 
                            Le taux équivalent est toujours supérieur
                                     au taux proportionnel.

            La différence s ’accroît avec la fréquence de capitalisation.
                                                    37
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Taux équivalent


   Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de
   i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes
              Fréquence de         Taux              Taux annuel
                                                                                      1
              capitalisation   proportionnel          équivalent              18 
                                                                        = 1 +     −1
                                                                               1 
                     1           18.00%                18.00%                       2
                                                                              18 
                                                                        = 1 +     −1
                     2            9.00%                18.81%                  2 
                                                                                      4
                                                                              18 
                                                                        = 1 +     −1
                     4            4.50%                19.25%                  4 
                                                                                    12
                                                                              18 
                    12            1.50%                19.56%           = 1 +     −1
                                                                              12 
                                                                                      52
                    52            0.35%                19.68%                 18 
                                                                        = 1 +            −1
                                                                              52 
                   365            0.05%                19.72%                  18 
                                                                                          365

                                                                        = 1 +                 −1
                                                                              365 
                                                38
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Taux équivalent

   Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé
   sur un nombre croissant de périodes

              Fréquence de     Taux annuel                               365
              capitalisation    équivalent                       18 
                                                          = 1 +              −1
                                                                365 
                   365         19.7164%
                                                                          3650
                   3650        19.7212%                          18 
                                                          = 1 +                −1
                    …                                           3650 

                  infini       19.7217%                               m
                                                                      i 
                                                          = Lim  1 +  − 1
                                                            m →∞    m 
                                                                        

                                                 Taux d ’intérêt continu         = ei − 1
                                               39
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Taux proportionnel et taux équivalent


        Exemple:

              La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an
              capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé
              mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu.

                   Quelle est la meilleure offre?




                                                    40
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Taux équivalent et taux effectif


              Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui
              vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et
              une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé
              quotidiennement (Banco).
                   En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque
                   choisissez-vous ?


              Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagez
              à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre
              argent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année.
                   Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans
                   votre prise de décision ?


                                                   41
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Taux d ’intérêt et inflation


              Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux
              généralement indiqué.
              Pour connaître l ’augmentation de votre pouvoir d ’achat dans un
              environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel.

                            1 + taux réel = 1 + taux nominal
                                           1 + taux d' inflation
              Approximation:
                  taux réel ≈ taux nominal                  - taux d' inflation

              Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal
                           et les flux réels avec le taux réel.

                                                42
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T aux d ’intérêt et fiscalité


              L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour
              les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de
              votre placement.
              Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt)
              représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé
              l’impôt sur cette rémunération.



                            Taux d’intérêt après impôt =
             Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition)



                                                43
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Taux d’intérêt et fiscalité


        Exemple :

              Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus.
              Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel.

                   Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement ?




                                                   44
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Prélude à l’annuité constante


        Exemple :

              Vous voulez créer un fonds qui vous procure 1 000 euros par an
              pendant quatre ans, date à laquelle il ne restera plus rien.
              Combien devez-vous placer initialement dans ce fonds si le taux
              d’intérêt est de 10% par an ?

                   Réfléchissez au moyen de résoudre ce problème de mathématiques
                   financières.




                                                 45
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L’annuité constante


        Exemple :

              Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.
              Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines
              années, avec 5 annuités identiques.

                   Quelle est la valeur d ’une annuité ?




                                                   46
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L’annuité constante


                      0           1         2          3          4       5


                                 A         A          A          A        A

       Valeur actuelle des remboursements ?

                                                1 − (1 + i ) − n
                                       VA = A ⋅
                                                      i


                            On connaît VA (10 000) et on cherche A.
                                                     47
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Formule de l ’annuité constante


                                                 i
                                     A=M ⋅
                                           1 − (1 + i ) − n

        Avec A = annuité constante
                    M = Montant emprunté
                    i = taux d ’intérêt par période
                    n = nombre de périodes



                                                 48
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Application


              Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel.
              Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines
              années, avec 5 annuités identiques.

                   Quelle est la valeur d ’une annuité ?



                               i                       0,08
                   A=M ⋅              −n
                                         = 10 000.            −5
                                                                 = 2 504,56
                         1 − (1 + i )              1 − (1,08)




                                                   49
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Amortissement d ’un emprunt


        Exemple :

              Vous empruntez 300 000 F pour payer vos frais annuels de
              scolarité ainsi que quelques dépenses somptuaires. Le
              remboursement se fait par annuités constantes sur les 4
              prochaines années, au taux - préférentiel - de 5.43% hors
              assurance, soit 10.60% tout compris.

                   Bâtissez le tableau d'amortissement de l'emprunt.




                                                  50
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Calcul de l’annuité constante


                             i                        0,106
                 A=M ⋅              −n
                                       = 300 000.             −4
                                                                 = 95 873,33
                       1 − (1 + i )               1 − (1,106)




                                                51
Bodie Merton - Chapitre 4        www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Tableau d ’amortissement


                                                       Intérêts =
                                                Capital initial x 8%


          Echéance Capital initial   annuité globale dont intérêts   remboursement Reste à
                                                                     en principal  rembourser
               1       300 000,00     95 873,33       31 800,00        64 073,33    235 926,67
               2                      95 873,33
               3                      95 873,33
               4                      95 873,33




                                     Répartition de l ’annuité entre
                                     intérêts et remboursement en
                                                  capital
                                                        52
Bodie Merton - Chapitre 4               www.escp-eap.net/publications/bmt         © Christophe Thibierge - 2003
Tableau d ’amortissement

          Echéance Capital initial    annuité globale dont intérêts   remboursement        Reste à
                                                                      en principal         rembourser
               1       300 000,00      95 873,33       31 800,00        64 073,33           235 926,67
               2       235 926,67      95 873,33       25 008,23        70 865,11           165 061,56
               3       165 061,56      95 873,33       17 496,53        78 376,81           86 684,75
               4       86 684,75       95 873,33        9 188,58        86 684,75              0,00




                                                                                      Validation

           Echéance Capital initial   annuité globale dont intérêts    Part des intérêts   Reste à
                                                                        dans l'annuité     rembourser
                1       300 000,00      95 873,33       31 800,00           33,2%           299 999,67
                2       299 999,67      95 873,33       25 008,23           26,1%           299 999,41
                3       299 999,41      95 873,33       17 496,53           18,2%           299 999,22
                4       299 999,22      95 873,33        9 188,58            9,6%           299 999,13



                                                         53
Bodie Merton - Chapitre 4                www.escp-eap.net/publications/bmt             © Christophe Thibierge - 2003
Amortissement d ’un emprunt



              Vous négociez un remboursement non point sur 4 ans, mais sur 50
              ans.

                   Quel sera le capital restant dû à l'issue du 25ème versement ?
                   Commentez.




                                                   54
Bodie Merton - Chapitre 4           www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Chi va piano va sano


              Vous voulez acheter une voiture de 20 000 euros et vous hésitez
              entre deux modes de financement :
              soit vous empruntez la somme totale au taux de 4% annuel,
              soit on vous réduit le prix de 1 500 euros et vous empruntez le
              reste à votre banque au taux de 9,5% par an.
              Les deux emprunts sont remboursables par mensualités
              constantes sur trois ans.

                   Quel financement choisissez-vous ?




                                                  55
Bodie Merton - Chapitre 4          www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Evaluation d ’une obligation


        Définition :
        Une obligation est un titre de dette, émis par une
        société ou par l’Etat, avec les caractéristiques
        suivantes :
              montant emprunté (nominal)

              taux d ’intérêt (taux nominal)

              modalité de paiement des intérêts (coupons)

              échéance (ou maturité)



                                                 56
Bodie Merton - Chapitre 4         www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Evaluation d ’une obligation


        Exemple :
        Emission d ’un emprunt obligataire avec les
        caractéristiques suivantes :

              nominal 1000 euros
              taux nominal 5,625%
              échéance 5 ans
              paiement des coupons chaque année
              remboursement à l ’échéance




                                                57
Bodie Merton - Chapitre 4        www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003
Evaluation d ’une obligation


               0                1           2            3            4        5


                              56,25 56,25 56,25 56,25                          56,25
                                                                               + 1 000
          Si le taux du marché obligataire est à 5,625% :
                                 56,25        56,25                  56,25         1 000
                       VA =             +               + ... +              +
                              1 + 5,625% (1 + 5,625%) 2         (1 + 5,625%)5 (1 + 5,625%)5
                                      5         1           1 000
                            = 56,25 ⋅ ∑              k
                                                         +            5
                                     k =1(1 + 5,625%)  (1 + 5,625%)

                                      1 − (1 + 5,625%) −5        1 000
                            = 56,25 ⋅                     +               =?
                                            5,625%          (1 + 5,625%)5
                                                        58
Bodie Merton - Chapitre 4                www.escp-eap.net/publications/bmt         © Christophe Thibierge - 2003
Evaluation d ’une obligation

              0              1       2             3              4                  5


                            56,25 56,25 56,25 56,25                                  56,25
                                                                                    + 1 000
          Si le taux du marché obligataire passe à 6%,
          comment va évoluer la valeur actuelle de
          l ’obligation ?        56,25  56,25     56,25                                              1 000
                                         VA =            +                + ... +               +
                                                1 + 6%       (1 + 6%) 2             (1 + 6%)5       (1 + 6%)5
                                                       5       1      1 000
                                            = 56,25 ⋅ ∑           k
                                                                      +        5
                                                      k =1(1 + 6%)  (1 + 6%)

                                                      1 − (1 + 6%) −5     1 000
                                            = 56,25 ⋅                 +          5
                                                                                   =?
                                                 59
                                                             6%         (1 + 6%)
Bodie Merton - Chapitre 4          www.escp-eap.net/publications/bmt                     © Christophe Thibierge - 2003
Evaluation d ’une obligation



             Quand les taux montent, le cours des obligations
             ordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement.

              Explication en terme de Valeur Actuelle

              Explication en terme de bon sens




                                                60
Bodie Merton - Chapitre 4        www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2003

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Chap 1 Valeur Argent Et Cash Flows Transparents

  • 1. Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps et l ’actualisation des cash-flows Plan Actualisation et capitalisation Calculs sur le taux d’intérêt et la période Modalités de calcul des taux d’intérêts taux simples et composés taux précomptés et postcomptés taux proportionnels et taux équivalents Inflation et fiscalité Application des concepts Calcul d ’une annuité constante Tableau d ’amortissement d ’un emprunt Evaluation d ’une obligation 1 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 2. Capitalisation et actualisation Exemples : Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un an ? Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les 6 prochaines années ? Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursements mensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ? « Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain » 2 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 3. Capitalisation et actualisation Principe : Deux sommes, apparemment identiques, ne sont pas équivalentes si elles ne sont pas disponibles à la même date. L'actualisation et la capitalisation sont indispensables pour comparer des sommes disponibles à des dates différentes, afin de rechercher des équivalents à une date commune. Capitalisation : présent avenir Actualisation : présent avenir 3 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 4. La capitalisation 100 Placé au taux i pendant une année 100(1+i) Exemple : Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué qui rapporte du 4% par an. Au bout d ’un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 € Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 € soit 1 000 (1+0,04)² Les intérêts ont été capitalisés 4 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 5. La capitalisation Année 0 1 2 3 n 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%) 2 3 n Valeur 1 000 50 000 V aleu r fu tu re d e 1 000 à l'an n ée 0 45 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 - 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 5 Année Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 6. La capitalisation Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur acquise d'un montant X , capitalisée au taux i durant n années est égale à : n VF = X × (1 + i ) 6 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 7. La capitalisation Exemple En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé annuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2001, 375 ans après ? Réponse : 24$ × (1,06)375 = 74 115 785 843 (74 milliards 115 millions 785 mille 843 dollars) (les indiens, généreux, ignorent les cents) 7 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 8. L ’actualisation Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent immédiatement. J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire). Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ? La somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an le capital et payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an : S1 = S0 × (1 + 4%) 1000 Comme S1 = 1 000 €, on a S0 = = 961.54€ (1 + 4%) S0 correspond à la valeur actuelle (VA) de 1 000 € perçus dans un an. 8 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 9. L ’actualisation Exemple Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ? C'est une somme S0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S0 tout de suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, je peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel. Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doit être équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut donc déduire facilement S0 : 2000 € S0 × (1+4%)5 = 2 000 € ⇔ S0 = = 1643.85 € (1+ 4%) 5 9 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 10. L ’actualisation La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans n années est de : Xn VA = n (1+ i ) 10 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 11. L’actualisation Exemple : Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord pour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme à Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre? Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans : 4 000 4 000 VA = = = 3 429.36 € (1+ 8%)2 1,1664 11 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 12. Capitalisation d ’une séquence de flux Année 0 1 2 3 n Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 Valeur future à 1000 × (1 + 4%) n l’année n Valeur future à 1000 × (1 + 4%) n −1 l’année n Valeur future à 1 000 l’année n 12 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 13. La capitalisation d’une séquence de flux La valeur future (en t= n) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la capitalisation de chaque élément de la série. Avec i constant, on obtient pour n années : n VF = ∑ X t × (1 + i )n −t t =1 13 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 14. Capitalisation d’une séquence de flux identiques A (« annuités ») La formule de valeur future n VF = ∑ A × (1 + i )n −t t =1 se simplifie en (1 + i ) n − 1 VF = A ⋅ i 14 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 15. Capitalisation d’une séquence d ’annuités Exemple : Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20 années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer dans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ? Il s ’agit de calculer la valeur future d ’une séquence de 20 annuités de 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an. (1+ 10%)20 − 1 6,7275 − 1 VF = 100 × = 100 × = 5 727,5 € 10% 0,10 15 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 16. Un petit récapitulatif Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans. Vous prévoyez de faire sept versements identiques chaque année, en commençant dans trois ans, sur un compte qui rapporte du 11% par an capitalisé annuellement. Quel doit être le montant de chaque versement annuel ? 16 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 17. Actualisation d ’une séquence de flux Année 0 1 2 3 n Valeur 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 Valeur actuelle 1 000 Valeur actuelle 1 000 (1 + 4%) Valeur actuelle 1 000 (1 + 4%) 2 Valeur actuelle 1 000 (1 + 4%) n 17 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 18. Actualisation d ’une séquence de flux La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation de chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs ou négatifs Avec i constant, on obtient pour n années : n Xt VA = ∑ t t =1 (1 + i ) 18 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 19. Actualisation d ’une séquence de flux identiques A (« annuités ») La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires : n Xt VA = ∑ (1 + i )t t =1 si on pose Xt = A, se simplifie en 1 − (1 + i ) − n VA = A × i 19 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 20. Actualisation d ’une séquence de flux identiques X Exemple : Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature, a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre banquier. Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 € par an, sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement de 6% par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement, combien devrez-vous verser au banquier ? 20 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 21. Le coût d ’opportunité Taux d’emprunt ou taux de placement? En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le taux d’emprunt et le taux de placement sont identiques. En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des taux d ’emprunt et de placement différents. Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité. 21 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 22. Le coût d’opportunité Exemple : Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il s’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une maison. Il paie un taux d ’intérêt de 15% sur cet emprunt, et par ailleurs, il peut placer de l ’argent à 5%. Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payable immédiatement et une à 5 500 € payable dans un an. Si Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation, quelle offre doit-il accepter ? Est-ce que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser une partie de son emprunt avant l ’échéance ? 22 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 23. Trouver le taux d ’intérêt Exemple: Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous investissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ce placement? 15 000 × (1 + i )10 = 30 000 30 000 1 i = 10 − 1 = 2 10 − 1 = 0 . 071773463 15 000 = 7 . 18 % 23 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 24. Trouver le taux d ’intérêt Formule générale : n VF VF = VA × ( 1 + i) ⇒ = ( 1 + i)n VA 1 VF  VF n ⇒ ( 1 + i) = = n VA  VA  VF i= −1 n VA 24 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 25. Trouver le taux d’intérêt Exemple : Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une obligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200 euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte rémunéré. Quel est le taux d ’intérêt (de fait, on parlera ici de taux de rendement actuariel – TRA) de l’obligation ? De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire votre choix ? 25 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 26. Trouver la durée du placement Exemple : Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ? 26 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 27. Trouver la durée du placement Solution générale VF VF = VA × (1 + i ) n ⇔ = (1 + i ) n VA ⇔  VF  ln   VA  ( n )  = ln (1 + i ) = n × ln (1 + i )  VF  ln   VA  ln (VF ) − ln (VA ) ⇔ n=  = ln (1 + i ) ln (1 + i ) ln(VF ) − ln(VA) n= ln(1 + i ) 27 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 28. Rappel sur le logarithme Les propriétés suivantes sont utilisés en finance: e ln( x ) = x ( x > 0 ) ln( e x ) = x ln( x × y ) = ln( x ) + ln( y ) ln( x / y ) = ln( x ) − ln( y ) ln( y x ) = x × ln( y ) ln( x + y ) ≠ ln( x ) × ln( y ) 28 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 29. Trouver la durée du placement Solution de l’exemple : Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million d ’euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de l’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet appartement ?  100 000  ln   n=  80 000  = 2,89 ln (1 + 0 ,08 ) Vous avez besoin d’environ trois ans 29 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 30. Modalités de calcul des taux d’intérêts 1. Intérêts simples et intérêts composés L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’il est proportionnel à la durée du placement. Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour fournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de la période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital de départ est alors appelée intérêts composés. 30 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 31. Modalités de calcul des taux d’intérêts 2. Intérêts précomptés ou post-comptés Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt. On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont post- comptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la somme en fin de période. 31 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 32. Modalités de calcul des taux d’intérêts Exemple: Vous placez une somme d ’argent sur cinq ans à 3% par an avec des intérêts simples à terme échu. Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux d ’intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq ans? Exemple: La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux d ’intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu. Quelle est la meilleure offre? 32 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 33. Modalités de calcul des taux d’intérêts 3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux équivalent et taux proportionnel Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Il existe plusieurs façons d ’appliquer un taux annuel à des périodes inférieures à l’année. Le taux proportionnel Le taux équivalent 33 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 34. Le taux proportionnel Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en taux proportionnels. Dans ce cas, pour un placement d’une durée inférieure à une année, un simple pro rata du taux d’intérêt annuel est versé. Par exemple le taux proportionnel mensuel est iA im = 12 Le taux proportionnel trimestriel est iA iT = 4 34 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 35. Le taux proportionnel Exemple : Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de 12%, avec un versement mensuel des intérêts. Calculez le taux proportionnel mensuel. Calculez quel montant d ’intérêts devra être versé chaque mois. Si, au lieu d ’exiger le versement des intérêts chaque mois, votre banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et que le paiement se fasse au bout d ’un an, combien devrez-vous ? A quel taux d ’intérêt annuel cela est-il équivalent ? 35 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 36. Le taux équivalent Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des valeurs futures identiques au terme de la même durée de placement. Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent au taux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante : 1 + i A = (1 + im )12 ⇔ 1 12 im = (1 + i A ) − 1 = 12 (1 + i A ) − 1 36 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 37. Le taux équivalent Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée du placement. En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en taux proportionnel iprop composé en n périodes est de n  i prop iequ = 1+   −1   n  Le taux équivalent est toujours supérieur au taux proportionnel. La différence s ’accroît avec la fréquence de capitalisation. 37 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 38. Taux équivalent Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes Fréquence de Taux Taux annuel 1 capitalisation proportionnel équivalent  18  = 1 +  −1  1  1 18.00% 18.00% 2  18  = 1 +  −1 2 9.00% 18.81%  2  4  18  = 1 +  −1 4 4.50% 19.25%  4  12  18  12 1.50% 19.56% = 1 +  −1  12  52 52 0.35% 19.68%  18  = 1 +  −1  52  365 0.05% 19.72%  18  365 = 1 +  −1  365  38 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 39. Taux équivalent Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes Fréquence de Taux annuel 365 capitalisation équivalent  18  = 1 +  −1  365  365 19.7164% 3650 3650 19.7212%  18  = 1 +  −1 …  3650  infini 19.7217%  m i  = Lim  1 +  − 1 m →∞  m    Taux d ’intérêt continu = ei − 1 39 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 40. Taux proportionnel et taux équivalent Exemple: La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu. Quelle est la meilleure offre? 40 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 41. Taux équivalent et taux effectif Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé quotidiennement (Banco). En vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque choisissez-vous ? Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagez à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre argent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année. Comment allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans votre prise de décision ? 41 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 42. Taux d ’intérêt et inflation Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux généralement indiqué. Pour connaître l ’augmentation de votre pouvoir d ’achat dans un environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel. 1 + taux réel = 1 + taux nominal 1 + taux d' inflation Approximation: taux réel ≈ taux nominal - taux d' inflation Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal et les flux réels avec le taux réel. 42 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 43. T aux d ’intérêt et fiscalité L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de votre placement. Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt) représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé l’impôt sur cette rémunération. Taux d’intérêt après impôt = Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition) 43 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 44. Taux d’intérêt et fiscalité Exemple : Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus. Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel. Quel est le taux de rémunération effectif de votre placement ? 44 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 45. Prélude à l’annuité constante Exemple : Vous voulez créer un fonds qui vous procure 1 000 euros par an pendant quatre ans, date à laquelle il ne restera plus rien. Combien devez-vous placer initialement dans ce fonds si le taux d’intérêt est de 10% par an ? Réfléchissez au moyen de résoudre ce problème de mathématiques financières. 45 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 46. L’annuité constante Exemple : Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel. Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines années, avec 5 annuités identiques. Quelle est la valeur d ’une annuité ? 46 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 47. L’annuité constante 0 1 2 3 4 5 A A A A A Valeur actuelle des remboursements ? 1 − (1 + i ) − n VA = A ⋅ i On connaît VA (10 000) et on cherche A. 47 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 48. Formule de l ’annuité constante i A=M ⋅ 1 − (1 + i ) − n Avec A = annuité constante M = Montant emprunté i = taux d ’intérêt par période n = nombre de périodes 48 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 49. Application Votre banquier vous prête 10 000 euros au taux de 8% annuel. Vous devrez rembourser cette somme sur les 5 prochaines années, avec 5 annuités identiques. Quelle est la valeur d ’une annuité ? i 0,08 A=M ⋅ −n = 10 000. −5 = 2 504,56 1 − (1 + i ) 1 − (1,08) 49 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 50. Amortissement d ’un emprunt Exemple : Vous empruntez 300 000 F pour payer vos frais annuels de scolarité ainsi que quelques dépenses somptuaires. Le remboursement se fait par annuités constantes sur les 4 prochaines années, au taux - préférentiel - de 5.43% hors assurance, soit 10.60% tout compris. Bâtissez le tableau d'amortissement de l'emprunt. 50 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 51. Calcul de l’annuité constante i 0,106 A=M ⋅ −n = 300 000. −4 = 95 873,33 1 − (1 + i ) 1 − (1,106) 51 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 52. Tableau d ’amortissement Intérêts = Capital initial x 8% Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à en principal rembourser 1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67 2 95 873,33 3 95 873,33 4 95 873,33 Répartition de l ’annuité entre intérêts et remboursement en capital 52 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 53. Tableau d ’amortissement Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts remboursement Reste à en principal rembourser 1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 64 073,33 235 926,67 2 235 926,67 95 873,33 25 008,23 70 865,11 165 061,56 3 165 061,56 95 873,33 17 496,53 78 376,81 86 684,75 4 86 684,75 95 873,33 9 188,58 86 684,75 0,00 Validation Echéance Capital initial annuité globale dont intérêts Part des intérêts Reste à dans l'annuité rembourser 1 300 000,00 95 873,33 31 800,00 33,2% 299 999,67 2 299 999,67 95 873,33 25 008,23 26,1% 299 999,41 3 299 999,41 95 873,33 17 496,53 18,2% 299 999,22 4 299 999,22 95 873,33 9 188,58 9,6% 299 999,13 53 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 54. Amortissement d ’un emprunt Vous négociez un remboursement non point sur 4 ans, mais sur 50 ans. Quel sera le capital restant dû à l'issue du 25ème versement ? Commentez. 54 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 55. Chi va piano va sano Vous voulez acheter une voiture de 20 000 euros et vous hésitez entre deux modes de financement : soit vous empruntez la somme totale au taux de 4% annuel, soit on vous réduit le prix de 1 500 euros et vous empruntez le reste à votre banque au taux de 9,5% par an. Les deux emprunts sont remboursables par mensualités constantes sur trois ans. Quel financement choisissez-vous ? 55 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 56. Evaluation d ’une obligation Définition : Une obligation est un titre de dette, émis par une société ou par l’Etat, avec les caractéristiques suivantes : montant emprunté (nominal) taux d ’intérêt (taux nominal) modalité de paiement des intérêts (coupons) échéance (ou maturité) 56 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 57. Evaluation d ’une obligation Exemple : Emission d ’un emprunt obligataire avec les caractéristiques suivantes : nominal 1000 euros taux nominal 5,625% échéance 5 ans paiement des coupons chaque année remboursement à l ’échéance 57 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 58. Evaluation d ’une obligation 0 1 2 3 4 5 56,25 56,25 56,25 56,25 56,25 + 1 000 Si le taux du marché obligataire est à 5,625% : 56,25 56,25 56,25 1 000 VA = + + ... + + 1 + 5,625% (1 + 5,625%) 2 (1 + 5,625%)5 (1 + 5,625%)5  5 1  1 000 = 56,25 ⋅ ∑ k + 5  k =1(1 + 5,625%)  (1 + 5,625%) 1 − (1 + 5,625%) −5 1 000 = 56,25 ⋅ + =? 5,625% (1 + 5,625%)5 58 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 59. Evaluation d ’une obligation 0 1 2 3 4 5 56,25 56,25 56,25 56,25 56,25 + 1 000 Si le taux du marché obligataire passe à 6%, comment va évoluer la valeur actuelle de l ’obligation ? 56,25 56,25 56,25 1 000 VA = + + ... + + 1 + 6% (1 + 6%) 2 (1 + 6%)5 (1 + 6%)5  5 1  1 000 = 56,25 ⋅ ∑ k + 5  k =1(1 + 6%)  (1 + 6%) 1 − (1 + 6%) −5 1 000 = 56,25 ⋅ + 5 =? 59 6% (1 + 6%) Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003
  • 60. Evaluation d ’une obligation Quand les taux montent, le cours des obligations ordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement. Explication en terme de Valeur Actuelle Explication en terme de bon sens 60 Bodie Merton - Chapitre 4 www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2003