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Chapitre 15 – Options et actifs conditionnels

           Plan

           Fonctionnement des options
           Utilisation des options
           La parité put-call
           Volatilité et valeur des options
           Les modèles de détermination de prix d’option
             w   Modèle à deux états
             w   Réplication dynamique et modèle binomial
             w   Modèle de Black et Scholes
           Autres applications de la théorie des options
                                                         1

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2002
Fonctionnement des options




       Ø Même principe qu’un contrat à terme
             Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance


       Ø Sans obligation d’achat ou de vente

       Ø Option d’achat (call) ou de vente (put)



                                                         2

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2002
Les options sur les marchés organisés


       Ø Fait correspondre acheteurs et vendeurs
         (compensation)

       Ø Prix et date d’échéance sont déterminés par le
         marché
             Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance

       Ø Sans obligation d’achat ou de vente

       Ø Option d’achat (call) ou de vente (put)

       Ø Portent sur les actions, sur les indices, sur tout...
                                                         3

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2002
Exemple

                                                           Call                                    Put
                   Prix      Echéance    Nombre de      Cours de   Positions   Nombre de lots   Cours de     Positions
                d'exercice              lots négociés    clôture   ouvertes      négociés        clôture     ouvertes
                   85,00      Juil.            0           0,00       134            0             0,00       16 367
                   85,00      Août             0           0,00       67             0             0,00        8 305
                   85,00      Sept.            0           0,00       134           90             4,00       53 489
                   85,00      Déc.             0           0,00       526           50             6,70       17 872
                   85,00     Mar. 01           0           0,00        0             0             0,00       10 050
                   90,00      Juil.            0           0,00     12 294         1 288           1,32       36 443
                   90,00      Août             0           0,00        8           1 010           4,70       13 072
                   90,00      Sept.            0           0,00      3 046           8             6,20       39 884
                   90,00      Déc.            50          10,40     23 257          10             8,40       31 229
                   90,00     Mar. 01           0           0,00       250            0             0,00          0
                   95,00      Juil.            0           0,00     10 267           0             0,00       13 356
                   95,00      Août            10           3,00     12 217          30             7,45        3 132
                   95,00      Sept.            0           0,00     10 739           0             0,00        4 762
                   95,00      Déc.           100           8,10      1 027           0             0,00        1 863
                   95,00     Mar. 01           0           0,00        0             0             0,00         29
                  100,00      Juil.            0           0,00     53 829          80            11,00        7 838
                  100,00      Août             0           0,00      4 882          80            12,00        8 165
                  100,00      Sept.            3           3,20     77 100         4 000          12,83       38 335
                  100,00      Déc.             0           0,00     56 093        30 000          15,92      201 995
                  100,00     Mar. 01           0           0,00     14 000           0             0,00          0


               Extrait des cours d’option sur l’action Vivendi, 25 juillet 2000
                                                                    4

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15           http://www.escp-eap.net/publications/bmt                    © Christophe Thibierge - 2002
Valeur intrinsèque et valeur temps

           Valeur intrinsèque
             w   Valeur d’une option si elle arrivait à expiration immédiatement

           Valeur temps
             w   Différence entre la valeur intrinsèque et le cours de clôture
                 négocié

           Valeur intrinsèque nulle
             w   L’option est dite hors de la monnaie.

           Valeur intrinsèque positive
             w   L’option est dite dans la monnaie.

                                                         5

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2002
Utilisation des options

                                                       Profil de gain d'un call

                                        120
      Gain issu de l'exercice du call




                                        100
                                                                                                                                  Le prix d’exercice est de 100.
                                        80

                                        60                                                                                        Notons S T le prix de l’action à échéance
                                        40
                                                                                                                                  de l’option.
                                        20

                                         0
                                                                                                                                                                 Profil de gain d'un put
                                              0   20   40    60    80   100   120   140    160   180   200
                                                            Cours de l'action à échéance                                                          120




                                                                                                                 Gain issu de l'exercice du put
                                                                                                                                                  100

                                                                                                                                                  80

     ØLe gain sur le call est égal au maximum                                                                                                     60
     de [ST-100 ; 0]. Si le prix de l’action < 100,                                                                                               40
     le call ne vaut rien.                                                                                                                        20

     ØLe gain sur le put est égal au maximum                                                                                                       0
                                                                                                                                                        0   20   40    60    80   100   120   140    160   180   200
     de [100-S T ; 0]. Si le prix de l’action > 100,                                                                                                                  Cours de l'action à échéance
     le put ne vaut rien.
                                                                                                             6

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15                                                http://www.escp-eap.net/publications/bmt                                                        © Christophe Thibierge - 2002
Taux de rentabilité d’un portefeuille:
                                                             3 stratégies différentes
                                    Profils de gains correspondant à différentes stratégies                •Tendance haussière du marché
                                                     (tendance haussière)
                                                                                                           •1 action = 100 € / 1 option = 10 €
                            140
                            120
                                                 100% d'actions
                            100                  100% d'options calls
   Taux de rentabilité du




                             80                  10%d'options calls                                        •100 000 € en actions sans dividendes
      portefeuille (%)




                             60                                                                            (100% d’actions)
                               40
                               20                                                                          •100 000 € en options (100%
                                0
                              -20
                                                                                                           d’options)
                              -40
                              -60
                                                                                                           •10 000 € en options et le reste en
                              -80                                                                          actif sans risque (10% d’options)
                            -100
                                      50    60       70        80       90   100 110   120 130   140 150
                                                              Cours de l'action à échéance


             Il faut déterminer ses propres anticipations (l’économie croissante, stable, en
             récession) et sa tolérance au risque.
             Minimum de rentabilité garantie dans la 3ème stratégie et pente de gain
             identique à celle d’un investissement en actions.

                                                                                                  7

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15                                           http://www.escp-eap.net/publications/bmt      © Christophe Thibierge - 2002
Stratégie Action + Put


    Ø Achat d’actions + puts de l’action

    Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’action

                                                  Profil de gain pour la stratégie action + put
                                    200
                                                     Put
                                                     Action
                                    160              Action + Put


                                    120
                                 Gain




                                        80


                                        40


                                        0
                                             0      20     40       60   80   100   120   140    160   180   200
                                                                Cours de l'action à l'échéance



                                                                         8

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Stratégie Actif sans risque + Call


    Ø Placement en actif sans risque + calls sur action.

    Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’actif sans risque.

                                           Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call
                                     200
                                                            Call
                                                            Actif sans risque
                                     160                    Actif sans risque + call



                                     120
                              Gain




                                     80



                                     40



                                      0
                                           0    20     40       60       80       100   120   140   160   180   200
                                                             Cours de l'action à l'échéance



                                                                              9

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La relation de parité put – call

        Ø   Action + put au prix d’exercice E ó Actif sans risque au
            nominal de E + call au prix d’exercice de E.
        Ø   D’après la loi du prix unique:
        S est le cours de l’action,
        E le prix d’exercice,
                                                                                      E
        P la valeur de l’option de vente (put),                      S+P=                        +C
        r le taux sans risque,                                                    (1 + r )   T

        T la durée à l’échéance de l’option
        C la valeur de l’option d’achat (call).


        Ø   Un call est composé de:                                                              E
        L’achat de l’action S,                                                    C=S−                    +P
                                                                                             (1 + r ) T
        L’emprunt réalisé pour cet achat (levier),
        L’achat d’une assurance contre le risque de baisse (put)


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Exemple 1

        Ø   S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10
        Ø   C devra être de 17.41 €

        Ø   Si le call est coté 18 €, que doit-on faire?
             ⇒ Vendre ses calls et acheter des calls synthétiques.



        Ø   Call synthétique: achat d’une action à l’aide d’un emprunt de 92.59 €. Soit
            un coût de 7.41 € pour une action + achat d’un put à 10 €.

        Ø   Bilan:
             Vente d’un call à 18 € - achat d’un call synthétique à 17.41 € = 0.59 € de
                gain.




                                                        11

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Parité put – call et implications



                                                              E
                                       C−P= S−
                                                         (1 + r ) T

     Ø   Si le cours de l’action est égal à la valeur actuelle du prix d’exercice de
         l’option, alors le prix du call est égal au prix du put.

     Ø   Si le cours de l’action est supérieur à la valeur actuelle du prix d’exercice
         de l’option, alors le prix du call est supérieur au prix du put.

     Ø   Si le cours de l’action est inférieur à la valeur actuelle du prix d’exercice
         de l’option, alors le prix du put est supérieur au prix du call.


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Volatilité et valeur des options




    Ø   Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les
        gains espérés sur le put ou le call augmentent.


    Ø   Les prix respectifs du put et du call croissent en
        conséquence.




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Le modèle à deux états


           Hypothèses
           Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l’issue de l’échéance
             de l’option.
           On construit un call synthétique (action + actif sans risque)



           Exemple
           Call à 1 an : E = 100 €, cours actuel à 100 €.
           Perspectives d’évolution : + ou – 20%
           Taux sans risque : 5%




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Le modèle à deux états (suite)


           Call : dans 1 an
            Cours de l’action Gain sur le call
                    120                   20
                     80                   0

           Call synthétique
           Action financée par un emprunt. On ne peut emprunter que sur une valeur
             garantie de l’action dans 1 an, soit 80 € / 1.05 = 76.19 €.
                            Transaction             Cash-flow       Cash-flow      Cash-flow
                                                    immédiat        dans 1 an      dans 1 an
                                                                    si S = 120     si S = 80
                       Achat d’une action               -100            120            80
                  Emprunt à taux sans risque           76.19            -80           -80
                          Portefeuille total           -23.81           40            0

                                                         15

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Le modèle à deux états : ratio de couverture

        Ø   Proportion d’actions dans le                           portefeuille       qui      réplique
            exactement les recettes du call
                                              Amplitude des valeurs de l' option
                     Ratio de couverture =
                                              Amplitude des valeurs de l' action

        Ø   Dans notre exemple : ratio de couverture = 0.5
              Nous achetons une moitié d’action et empruntons 38.095 € à 5%.
                              Actif                Cash-flow       Cash-flow      Cash-flow
                                                   immédiat        dans 1 an      dans 1 an
                                                                   si S = 120     si S = 80
                              Call                                      20           0
                     Achat d’1/2 action                -50              60           40
               Emprunt au taux sans risque           38.095            -40           -40
                      Call synthétique              -11.905             20           0
                                                        16

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Le modèle à deux états : conclusion




     Ø   Évaluation du prix d’un call sans le prix du put
         correspondant



     Ø   D’après la loi du prix unique,
                 C = 0.5 S – 38.095 = 11.905 €




                                                        17

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La réplication dynamique et le modèle binomial

  Ø   Deux périodes; l’action peut monter ou baisser de 10 € à chaque période.
  Ø   Stratégie d’investissement autofinancée
       Cours actuel de l'action Cours de l'action dans 6 mois           Cours de l'action dans 1 an Valeur finale du portefeuille

                                                                                                                Vente de l'action 120
                                                                                   120 €              Remboursement de l'emprunt -100
                                                                                                                 Portefeuille total 20
                                     110 €                     Achat
                                    d'1/2 action      Emprunt de 55
                                    €       Investissement total = 10
                                                    €
        100 €              Achat
                                                                                                                Vente de l'action 100
       d'1/2 action Emprunt de 45
                                                                                   100 €              Remboursement de l'emprunt -100
       € Investissement total = 5
                                                                                                                   Portefeuille total 0
                     €
                                                90 €
                                          Vente d'1/2 action
                                     Remboursement de l'emprunt
                                      Investissement total = 0 €


                                                                                    80 €                             Portefeuille total 0



  Ø   Investissement initial = 5 € , le prix du call
                                                                         18

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Modèle de Black et Scholes

             Ø   L’investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu

            C = N ( d 1 ) S − N (d 2 ) E × e − rT

                                                                      ln( S / E) + (r + σ 2 / 2)T
                                                               d1 =
                                                                                σ T
             où :
             C = prix du call                       d 2 = d1 − σ T
             S = cours de l’action
             E = prix d’exercice de l’option
             r = taux sans risque
             T = durée jusqu’à l’échéance de l’option, en années
             σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) de l’action
             ln = logarithme népérien (ou naturel)
             e = l’exponentielle (approximativement 2,71828)
             N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard
                 dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d).

                                                                19

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15           http://www.escp-eap.net/publications/bmt             © Christophe Thibierge - 2002
Modèle de Black et Scholes



        Ø   Les déterminants du prix des options

                  Augmentation                         Call                           Put
       Du cours de l’action S                      Augmentation                      Baisse
       Du prix d’exercice E                           Baisse                      Augmentation
       De la volatilité σ                          Augmentation                   Augmentation
       De la durée à l’échéance T                  Augmentation                   Augmentation
       Du taux sans risque r                       Augmentation                      Baisse
       Des dividendes versés d                        Baisse                      Augmentation




                                                        20

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt    © Christophe Thibierge - 2002
Volatilité implicite




              Valeur qui égalise la valeur de marché de
               l’option et valeur obtenue par la formule
                       d’évaluation des options




                                                        21

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2002
Indice de volatilité du CAC 40 à 1 mois (VX1), janvier 1994 - août 2002.


               80
                                          Période d'incertitude : contrecoups de la                                                                                       Affaires Enron,
                                          crise asiatique ; inquiétudes sur une                                                                                           Worldcom. Remous sur
                                          éventuelle récession mondiale ; craintes de                                                                                     Vivendi Universal.
               70
                                          faillite en série de banques ; réunion du G7
                                          peu satisfaisante.
                                          17 septembre 1998 : consécutivement à
               60                         une déclaration du président d'Alcatel,                                                                   Attentats du 11 septembre
                                          l'action chute de près de 40%.                                                                            sur le World Trade
                                                                                                                                                    Center.
               50


               40                                                  Rebondissement de la
                                                                   crise asiatique.


               30


               20


               10


                0
                    03/01/94

                               03/07/94

                                             03/01/95

                                                        03/07/95

                                                                     03/01/96

                                                                                  03/07/96

                                                                                             03/01/97

                                                                                                        03/07/97

                                                                                                                   03/01/98

                                                                                                                              03/07/98

                                                                                                                                         03/01/99

                                                                                                                                                    03/07/99

                                                                                                                                                               03/01/00

                                                                                                                                                                           03/07/00

                                                                                                                                                                                      03/01/01

                                                                                                                                                                                                 03/07/01

                                                                                                                                                                                                            03/01/02

                                                                                                                                                                                                                       03/07/02
                 Source données : Monep - traitement C. Thibierge


                                                                                                                   22

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15                                            http://www.escp-eap.net/publications/bmt                                                                   © Christophe Thibierge - 2002
Théorie des options appliquée à la finance
                                d’entreprise

              Ø   La formule de la valeur des capitaux propres est:

                                                                            ln(V / B) + (r + σ 2 / 2)T
          CP = N (d 1 )V − N (d 2 ) B × e − rT                       d1 =
                                                                                      σ T


        où : V = valeur de l’entreprise (valeur des actifs)
                                                                       d 2 = d1 − σ T
             CP = valeur des capitaux propres
             B = valeur de remboursement de la dette à l’échéance (ici, valeur nominale de
                 l’emprunt obligataire)
             r = taux sans risque
             T = durée jusqu’à l’échéance de l’emprunt, en années
             σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) des actifs
             ln = logarithme népérien (ou naturel)
             e = l’exponentielle (approximativement 2,71828)
             N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard
                 dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d.)
                                                        23

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt          © Christophe Thibierge - 2002
Évaluation des cautions et garanties



         Ø   Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque

         Ø   Comment évaluer cette garantie ?
               On compare la valeur actuelle de la dette sans garantie à celle d’un
                emprunt sans risque qui aurait les mêmes modalités de
                remboursement.


         Ø   Valeur de la garantie = Valeur avec garantie – Valeur sans
             garantie




                                                        24

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2002
Autres applications de la théorie des options



         Ø   Renégociation de taux d’intérêt d’emprunt

         Ø   Crédit-bail

         Ø   Options de choix d’investissement:
               Option de démarrage ou d’abandon d’un projet
               Option de sous-traitance…




                                                        25

Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15   http://www.escp-eap.net/publications/bmt   © Christophe Thibierge - 2002

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Chap13 Options Et Actifs Conditionnels

  • 1. Chapitre 15 – Options et actifs conditionnels Plan Fonctionnement des options Utilisation des options La parité put-call Volatilité et valeur des options Les modèles de détermination de prix d’option w Modèle à deux états w Réplication dynamique et modèle binomial w Modèle de Black et Scholes Autres applications de la théorie des options 1 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 2. Fonctionnement des options Ø Même principe qu’un contrat à terme Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance Ø Sans obligation d’achat ou de vente Ø Option d’achat (call) ou de vente (put) 2 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 3. Les options sur les marchés organisés Ø Fait correspondre acheteurs et vendeurs (compensation) Ø Prix et date d’échéance sont déterminés par le marché Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance Ø Sans obligation d’achat ou de vente Ø Option d’achat (call) ou de vente (put) Ø Portent sur les actions, sur les indices, sur tout... 3 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 4. Exemple Call Put Prix Echéance Nombre de Cours de Positions Nombre de lots Cours de Positions d'exercice lots négociés clôture ouvertes négociés clôture ouvertes 85,00 Juil. 0 0,00 134 0 0,00 16 367 85,00 Août 0 0,00 67 0 0,00 8 305 85,00 Sept. 0 0,00 134 90 4,00 53 489 85,00 Déc. 0 0,00 526 50 6,70 17 872 85,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 10 050 90,00 Juil. 0 0,00 12 294 1 288 1,32 36 443 90,00 Août 0 0,00 8 1 010 4,70 13 072 90,00 Sept. 0 0,00 3 046 8 6,20 39 884 90,00 Déc. 50 10,40 23 257 10 8,40 31 229 90,00 Mar. 01 0 0,00 250 0 0,00 0 95,00 Juil. 0 0,00 10 267 0 0,00 13 356 95,00 Août 10 3,00 12 217 30 7,45 3 132 95,00 Sept. 0 0,00 10 739 0 0,00 4 762 95,00 Déc. 100 8,10 1 027 0 0,00 1 863 95,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 29 100,00 Juil. 0 0,00 53 829 80 11,00 7 838 100,00 Août 0 0,00 4 882 80 12,00 8 165 100,00 Sept. 3 3,20 77 100 4 000 12,83 38 335 100,00 Déc. 0 0,00 56 093 30 000 15,92 201 995 100,00 Mar. 01 0 0,00 14 000 0 0,00 0 Extrait des cours d’option sur l’action Vivendi, 25 juillet 2000 4 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 5. Valeur intrinsèque et valeur temps Valeur intrinsèque w Valeur d’une option si elle arrivait à expiration immédiatement Valeur temps w Différence entre la valeur intrinsèque et le cours de clôture négocié Valeur intrinsèque nulle w L’option est dite hors de la monnaie. Valeur intrinsèque positive w L’option est dite dans la monnaie. 5 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 6. Utilisation des options Profil de gain d'un call 120 Gain issu de l'exercice du call 100 Le prix d’exercice est de 100. 80 60 Notons S T le prix de l’action à échéance 40 de l’option. 20 0 Profil de gain d'un put 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de l'action à échéance 120 Gain issu de l'exercice du put 100 80 ØLe gain sur le call est égal au maximum 60 de [ST-100 ; 0]. Si le prix de l’action < 100, 40 le call ne vaut rien. 20 ØLe gain sur le put est égal au maximum 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 de [100-S T ; 0]. Si le prix de l’action > 100, Cours de l'action à échéance le put ne vaut rien. 6 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 7. Taux de rentabilité d’un portefeuille: 3 stratégies différentes Profils de gains correspondant à différentes stratégies •Tendance haussière du marché (tendance haussière) •1 action = 100 € / 1 option = 10 € 140 120 100% d'actions 100 100% d'options calls Taux de rentabilité du 80 10%d'options calls •100 000 € en actions sans dividendes portefeuille (%) 60 (100% d’actions) 40 20 •100 000 € en options (100% 0 -20 d’options) -40 -60 •10 000 € en options et le reste en -80 actif sans risque (10% d’options) -100 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Cours de l'action à échéance Il faut déterminer ses propres anticipations (l’économie croissante, stable, en récession) et sa tolérance au risque. Minimum de rentabilité garantie dans la 3ème stratégie et pente de gain identique à celle d’un investissement en actions. 7 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 8. Stratégie Action + Put Ø Achat d’actions + puts de l’action Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’action Profil de gain pour la stratégie action + put 200 Put Action 160 Action + Put 120 Gain 80 40 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de l'action à l'échéance 8 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 9. Stratégie Actif sans risque + Call Ø Placement en actif sans risque + calls sur action. Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’actif sans risque. Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call 200 Call Actif sans risque 160 Actif sans risque + call 120 Gain 80 40 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de l'action à l'échéance 9 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 10. La relation de parité put – call Ø Action + put au prix d’exercice E ó Actif sans risque au nominal de E + call au prix d’exercice de E. Ø D’après la loi du prix unique: S est le cours de l’action, E le prix d’exercice, E P la valeur de l’option de vente (put), S+P= +C r le taux sans risque, (1 + r ) T T la durée à l’échéance de l’option C la valeur de l’option d’achat (call). Ø Un call est composé de: E L’achat de l’action S, C=S− +P (1 + r ) T L’emprunt réalisé pour cet achat (levier), L’achat d’une assurance contre le risque de baisse (put) 10 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 11. Exemple 1 Ø S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10 Ø C devra être de 17.41 € Ø Si le call est coté 18 €, que doit-on faire? ⇒ Vendre ses calls et acheter des calls synthétiques. Ø Call synthétique: achat d’une action à l’aide d’un emprunt de 92.59 €. Soit un coût de 7.41 € pour une action + achat d’un put à 10 €. Ø Bilan: Vente d’un call à 18 € - achat d’un call synthétique à 17.41 € = 0.59 € de gain. 11 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 12. Parité put – call et implications E C−P= S− (1 + r ) T Ø Si le cours de l’action est égal à la valeur actuelle du prix d’exercice de l’option, alors le prix du call est égal au prix du put. Ø Si le cours de l’action est supérieur à la valeur actuelle du prix d’exercice de l’option, alors le prix du call est supérieur au prix du put. Ø Si le cours de l’action est inférieur à la valeur actuelle du prix d’exercice de l’option, alors le prix du put est supérieur au prix du call. 12 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 13. Volatilité et valeur des options Ø Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les gains espérés sur le put ou le call augmentent. Ø Les prix respectifs du put et du call croissent en conséquence. 13 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 14. Le modèle à deux états Hypothèses Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l’issue de l’échéance de l’option. On construit un call synthétique (action + actif sans risque) Exemple Call à 1 an : E = 100 €, cours actuel à 100 €. Perspectives d’évolution : + ou – 20% Taux sans risque : 5% 14 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 15. Le modèle à deux états (suite) Call : dans 1 an Cours de l’action Gain sur le call 120 20 80 0 Call synthétique Action financée par un emprunt. On ne peut emprunter que sur une valeur garantie de l’action dans 1 an, soit 80 € / 1.05 = 76.19 €. Transaction Cash-flow Cash-flow Cash-flow immédiat dans 1 an dans 1 an si S = 120 si S = 80 Achat d’une action -100 120 80 Emprunt à taux sans risque 76.19 -80 -80 Portefeuille total -23.81 40 0 15 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 16. Le modèle à deux états : ratio de couverture Ø Proportion d’actions dans le portefeuille qui réplique exactement les recettes du call Amplitude des valeurs de l' option Ratio de couverture = Amplitude des valeurs de l' action Ø Dans notre exemple : ratio de couverture = 0.5 Nous achetons une moitié d’action et empruntons 38.095 € à 5%. Actif Cash-flow Cash-flow Cash-flow immédiat dans 1 an dans 1 an si S = 120 si S = 80 Call 20 0 Achat d’1/2 action -50 60 40 Emprunt au taux sans risque 38.095 -40 -40 Call synthétique -11.905 20 0 16 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 17. Le modèle à deux états : conclusion Ø Évaluation du prix d’un call sans le prix du put correspondant Ø D’après la loi du prix unique, C = 0.5 S – 38.095 = 11.905 € 17 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 18. La réplication dynamique et le modèle binomial Ø Deux périodes; l’action peut monter ou baisser de 10 € à chaque période. Ø Stratégie d’investissement autofinancée Cours actuel de l'action Cours de l'action dans 6 mois Cours de l'action dans 1 an Valeur finale du portefeuille Vente de l'action 120 120 € Remboursement de l'emprunt -100 Portefeuille total 20 110 € Achat d'1/2 action Emprunt de 55 € Investissement total = 10 € 100 € Achat Vente de l'action 100 d'1/2 action Emprunt de 45 100 € Remboursement de l'emprunt -100 € Investissement total = 5 Portefeuille total 0 € 90 € Vente d'1/2 action Remboursement de l'emprunt Investissement total = 0 € 80 € Portefeuille total 0 Ø Investissement initial = 5 € , le prix du call 18 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 19. Modèle de Black et Scholes Ø L’investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu C = N ( d 1 ) S − N (d 2 ) E × e − rT ln( S / E) + (r + σ 2 / 2)T d1 = σ T où : C = prix du call d 2 = d1 − σ T S = cours de l’action E = prix d’exercice de l’option r = taux sans risque T = durée jusqu’à l’échéance de l’option, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) de l’action ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l’exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d). 19 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 20. Modèle de Black et Scholes Ø Les déterminants du prix des options Augmentation Call Put Du cours de l’action S Augmentation Baisse Du prix d’exercice E Baisse Augmentation De la volatilité σ Augmentation Augmentation De la durée à l’échéance T Augmentation Augmentation Du taux sans risque r Augmentation Baisse Des dividendes versés d Baisse Augmentation 20 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 21. Volatilité implicite Valeur qui égalise la valeur de marché de l’option et valeur obtenue par la formule d’évaluation des options 21 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 22. Indice de volatilité du CAC 40 à 1 mois (VX1), janvier 1994 - août 2002. 80 Période d'incertitude : contrecoups de la Affaires Enron, crise asiatique ; inquiétudes sur une Worldcom. Remous sur éventuelle récession mondiale ; craintes de Vivendi Universal. 70 faillite en série de banques ; réunion du G7 peu satisfaisante. 17 septembre 1998 : consécutivement à 60 une déclaration du président d'Alcatel, Attentats du 11 septembre l'action chute de près de 40%. sur le World Trade Center. 50 40 Rebondissement de la crise asiatique. 30 20 10 0 03/01/94 03/07/94 03/01/95 03/07/95 03/01/96 03/07/96 03/01/97 03/07/97 03/01/98 03/07/98 03/01/99 03/07/99 03/01/00 03/07/00 03/01/01 03/07/01 03/01/02 03/07/02 Source données : Monep - traitement C. Thibierge 22 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 23. Théorie des options appliquée à la finance d’entreprise Ø La formule de la valeur des capitaux propres est: ln(V / B) + (r + σ 2 / 2)T CP = N (d 1 )V − N (d 2 ) B × e − rT d1 = σ T où : V = valeur de l’entreprise (valeur des actifs) d 2 = d1 − σ T CP = valeur des capitaux propres B = valeur de remboursement de la dette à l’échéance (ici, valeur nominale de l’emprunt obligataire) r = taux sans risque T = durée jusqu’à l’échéance de l’emprunt, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) des actifs ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l’exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d.) 23 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 24. Évaluation des cautions et garanties Ø Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque Ø Comment évaluer cette garantie ? On compare la valeur actuelle de la dette sans garantie à celle d’un emprunt sans risque qui aurait les mêmes modalités de remboursement. Ø Valeur de la garantie = Valeur avec garantie – Valeur sans garantie 24 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  • 25. Autres applications de la théorie des options Ø Renégociation de taux d’intérêt d’emprunt Ø Crédit-bail Ø Options de choix d’investissement: Option de démarrage ou d’abandon d’un projet Option de sous-traitance… 25 Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002