Chap13 Options Et Actifs Conditionnels
- 1. Chapitre 15 – Options et actifs conditionnels
Plan
Fonctionnement des options
Utilisation des options
La parité put-call
Volatilité et valeur des options
Les modèles de détermination de prix d’option
w Modèle à deux états
w Réplication dynamique et modèle binomial
w Modèle de Black et Scholes
Autres applications de la théorie des options
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- 2. Fonctionnement des options
Ø Même principe qu’un contrat à terme
Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance
Ø Sans obligation d’achat ou de vente
Ø Option d’achat (call) ou de vente (put)
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- 3. Les options sur les marchés organisés
Ø Fait correspondre acheteurs et vendeurs
(compensation)
Ø Prix et date d’échéance sont déterminés par le
marché
Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance
Ø Sans obligation d’achat ou de vente
Ø Option d’achat (call) ou de vente (put)
Ø Portent sur les actions, sur les indices, sur tout...
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- 4. Exemple
Call Put
Prix Echéance Nombre de Cours de Positions Nombre de lots Cours de Positions
d'exercice lots négociés clôture ouvertes négociés clôture ouvertes
85,00 Juil. 0 0,00 134 0 0,00 16 367
85,00 Août 0 0,00 67 0 0,00 8 305
85,00 Sept. 0 0,00 134 90 4,00 53 489
85,00 Déc. 0 0,00 526 50 6,70 17 872
85,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 10 050
90,00 Juil. 0 0,00 12 294 1 288 1,32 36 443
90,00 Août 0 0,00 8 1 010 4,70 13 072
90,00 Sept. 0 0,00 3 046 8 6,20 39 884
90,00 Déc. 50 10,40 23 257 10 8,40 31 229
90,00 Mar. 01 0 0,00 250 0 0,00 0
95,00 Juil. 0 0,00 10 267 0 0,00 13 356
95,00 Août 10 3,00 12 217 30 7,45 3 132
95,00 Sept. 0 0,00 10 739 0 0,00 4 762
95,00 Déc. 100 8,10 1 027 0 0,00 1 863
95,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 29
100,00 Juil. 0 0,00 53 829 80 11,00 7 838
100,00 Août 0 0,00 4 882 80 12,00 8 165
100,00 Sept. 3 3,20 77 100 4 000 12,83 38 335
100,00 Déc. 0 0,00 56 093 30 000 15,92 201 995
100,00 Mar. 01 0 0,00 14 000 0 0,00 0
Extrait des cours d’option sur l’action Vivendi, 25 juillet 2000
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- 5. Valeur intrinsèque et valeur temps
Valeur intrinsèque
w Valeur d’une option si elle arrivait à expiration immédiatement
Valeur temps
w Différence entre la valeur intrinsèque et le cours de clôture
négocié
Valeur intrinsèque nulle
w L’option est dite hors de la monnaie.
Valeur intrinsèque positive
w L’option est dite dans la monnaie.
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- 6. Utilisation des options
Profil de gain d'un call
120
Gain issu de l'exercice du call
100
Le prix d’exercice est de 100.
80
60 Notons S T le prix de l’action à échéance
40
de l’option.
20
0
Profil de gain d'un put
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Cours de l'action à échéance 120
Gain issu de l'exercice du put
100
80
ØLe gain sur le call est égal au maximum 60
de [ST-100 ; 0]. Si le prix de l’action < 100, 40
le call ne vaut rien. 20
ØLe gain sur le put est égal au maximum 0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
de [100-S T ; 0]. Si le prix de l’action > 100, Cours de l'action à échéance
le put ne vaut rien.
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- 7. Taux de rentabilité d’un portefeuille:
3 stratégies différentes
Profils de gains correspondant à différentes stratégies •Tendance haussière du marché
(tendance haussière)
•1 action = 100 € / 1 option = 10 €
140
120
100% d'actions
100 100% d'options calls
Taux de rentabilité du
80 10%d'options calls •100 000 € en actions sans dividendes
portefeuille (%)
60 (100% d’actions)
40
20 •100 000 € en options (100%
0
-20
d’options)
-40
-60
•10 000 € en options et le reste en
-80 actif sans risque (10% d’options)
-100
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Cours de l'action à échéance
Il faut déterminer ses propres anticipations (l’économie croissante, stable, en
récession) et sa tolérance au risque.
Minimum de rentabilité garantie dans la 3ème stratégie et pente de gain
identique à celle d’un investissement en actions.
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- 8. Stratégie Action + Put
Ø Achat d’actions + puts de l’action
Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’action
Profil de gain pour la stratégie action + put
200
Put
Action
160 Action + Put
120
Gain
80
40
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Cours de l'action à l'échéance
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- 9. Stratégie Actif sans risque + Call
Ø Placement en actif sans risque + calls sur action.
Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’actif sans risque.
Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call
200
Call
Actif sans risque
160 Actif sans risque + call
120
Gain
80
40
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Cours de l'action à l'échéance
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- 10. La relation de parité put – call
Ø Action + put au prix d’exercice E ó Actif sans risque au
nominal de E + call au prix d’exercice de E.
Ø D’après la loi du prix unique:
S est le cours de l’action,
E le prix d’exercice,
E
P la valeur de l’option de vente (put), S+P= +C
r le taux sans risque, (1 + r ) T
T la durée à l’échéance de l’option
C la valeur de l’option d’achat (call).
Ø Un call est composé de: E
L’achat de l’action S, C=S− +P
(1 + r ) T
L’emprunt réalisé pour cet achat (levier),
L’achat d’une assurance contre le risque de baisse (put)
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- 11. Exemple 1
Ø S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10
Ø C devra être de 17.41 €
Ø Si le call est coté 18 €, que doit-on faire?
⇒ Vendre ses calls et acheter des calls synthétiques.
Ø Call synthétique: achat d’une action à l’aide d’un emprunt de 92.59 €. Soit
un coût de 7.41 € pour une action + achat d’un put à 10 €.
Ø Bilan:
Vente d’un call à 18 € - achat d’un call synthétique à 17.41 € = 0.59 € de
gain.
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- 12. Parité put – call et implications
E
C−P= S−
(1 + r ) T
Ø Si le cours de l’action est égal à la valeur actuelle du prix d’exercice de
l’option, alors le prix du call est égal au prix du put.
Ø Si le cours de l’action est supérieur à la valeur actuelle du prix d’exercice
de l’option, alors le prix du call est supérieur au prix du put.
Ø Si le cours de l’action est inférieur à la valeur actuelle du prix d’exercice
de l’option, alors le prix du put est supérieur au prix du call.
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- 13. Volatilité et valeur des options
Ø Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les
gains espérés sur le put ou le call augmentent.
Ø Les prix respectifs du put et du call croissent en
conséquence.
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- 14. Le modèle à deux états
Hypothèses
Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l’issue de l’échéance
de l’option.
On construit un call synthétique (action + actif sans risque)
Exemple
Call à 1 an : E = 100 €, cours actuel à 100 €.
Perspectives d’évolution : + ou – 20%
Taux sans risque : 5%
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- 15. Le modèle à deux états (suite)
Call : dans 1 an
Cours de l’action Gain sur le call
120 20
80 0
Call synthétique
Action financée par un emprunt. On ne peut emprunter que sur une valeur
garantie de l’action dans 1 an, soit 80 € / 1.05 = 76.19 €.
Transaction Cash-flow Cash-flow Cash-flow
immédiat dans 1 an dans 1 an
si S = 120 si S = 80
Achat d’une action -100 120 80
Emprunt à taux sans risque 76.19 -80 -80
Portefeuille total -23.81 40 0
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- 16. Le modèle à deux états : ratio de couverture
Ø Proportion d’actions dans le portefeuille qui réplique
exactement les recettes du call
Amplitude des valeurs de l' option
Ratio de couverture =
Amplitude des valeurs de l' action
Ø Dans notre exemple : ratio de couverture = 0.5
Nous achetons une moitié d’action et empruntons 38.095 € à 5%.
Actif Cash-flow Cash-flow Cash-flow
immédiat dans 1 an dans 1 an
si S = 120 si S = 80
Call 20 0
Achat d’1/2 action -50 60 40
Emprunt au taux sans risque 38.095 -40 -40
Call synthétique -11.905 20 0
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- 17. Le modèle à deux états : conclusion
Ø Évaluation du prix d’un call sans le prix du put
correspondant
Ø D’après la loi du prix unique,
C = 0.5 S – 38.095 = 11.905 €
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- 18. La réplication dynamique et le modèle binomial
Ø Deux périodes; l’action peut monter ou baisser de 10 € à chaque période.
Ø Stratégie d’investissement autofinancée
Cours actuel de l'action Cours de l'action dans 6 mois Cours de l'action dans 1 an Valeur finale du portefeuille
Vente de l'action 120
120 € Remboursement de l'emprunt -100
Portefeuille total 20
110 € Achat
d'1/2 action Emprunt de 55
€ Investissement total = 10
€
100 € Achat
Vente de l'action 100
d'1/2 action Emprunt de 45
100 € Remboursement de l'emprunt -100
€ Investissement total = 5
Portefeuille total 0
€
90 €
Vente d'1/2 action
Remboursement de l'emprunt
Investissement total = 0 €
80 € Portefeuille total 0
Ø Investissement initial = 5 € , le prix du call
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- 19. Modèle de Black et Scholes
Ø L’investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu
C = N ( d 1 ) S − N (d 2 ) E × e − rT
ln( S / E) + (r + σ 2 / 2)T
d1 =
σ T
où :
C = prix du call d 2 = d1 − σ T
S = cours de l’action
E = prix d’exercice de l’option
r = taux sans risque
T = durée jusqu’à l’échéance de l’option, en années
σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) de l’action
ln = logarithme népérien (ou naturel)
e = l’exponentielle (approximativement 2,71828)
N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard
dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d).
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- 20. Modèle de Black et Scholes
Ø Les déterminants du prix des options
Augmentation Call Put
Du cours de l’action S Augmentation Baisse
Du prix d’exercice E Baisse Augmentation
De la volatilité σ Augmentation Augmentation
De la durée à l’échéance T Augmentation Augmentation
Du taux sans risque r Augmentation Baisse
Des dividendes versés d Baisse Augmentation
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- 21. Volatilité implicite
Valeur qui égalise la valeur de marché de
l’option et valeur obtenue par la formule
d’évaluation des options
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- 22. Indice de volatilité du CAC 40 à 1 mois (VX1), janvier 1994 - août 2002.
80
Période d'incertitude : contrecoups de la Affaires Enron,
crise asiatique ; inquiétudes sur une Worldcom. Remous sur
éventuelle récession mondiale ; craintes de Vivendi Universal.
70
faillite en série de banques ; réunion du G7
peu satisfaisante.
17 septembre 1998 : consécutivement à
60 une déclaration du président d'Alcatel, Attentats du 11 septembre
l'action chute de près de 40%. sur le World Trade
Center.
50
40 Rebondissement de la
crise asiatique.
30
20
10
0
03/01/94
03/07/94
03/01/95
03/07/95
03/01/96
03/07/96
03/01/97
03/07/97
03/01/98
03/07/98
03/01/99
03/07/99
03/01/00
03/07/00
03/01/01
03/07/01
03/01/02
03/07/02
Source données : Monep - traitement C. Thibierge
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- 23. Théorie des options appliquée à la finance
d’entreprise
Ø La formule de la valeur des capitaux propres est:
ln(V / B) + (r + σ 2 / 2)T
CP = N (d 1 )V − N (d 2 ) B × e − rT d1 =
σ T
où : V = valeur de l’entreprise (valeur des actifs)
d 2 = d1 − σ T
CP = valeur des capitaux propres
B = valeur de remboursement de la dette à l’échéance (ici, valeur nominale de
l’emprunt obligataire)
r = taux sans risque
T = durée jusqu’à l’échéance de l’emprunt, en années
σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) des actifs
ln = logarithme népérien (ou naturel)
e = l’exponentielle (approximativement 2,71828)
N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard
dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d.)
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- 24. Évaluation des cautions et garanties
Ø Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque
Ø Comment évaluer cette garantie ?
On compare la valeur actuelle de la dette sans garantie à celle d’un
emprunt sans risque qui aurait les mêmes modalités de
remboursement.
Ø Valeur de la garantie = Valeur avec garantie – Valeur sans
garantie
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- 25. Autres applications de la théorie des options
Ø Renégociation de taux d’intérêt d’emprunt
Ø Crédit-bail
Ø Options de choix d’investissement:
Option de démarrage ou d’abandon d’un projet
Option de sous-traitance…
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