Le document est un cours de mathématiques destiné aux élèves de cinquième, centré sur le repérage des nombres relatifs, leurs propriétés de symétrie, et l'addition de ces nombres. Il aborde des concepts tels que les droits graduées, les repères, et des applications historiques et pratiques de ces notions. Plusieurs exemples illustrent comment représenter les nombres relatifs sur un axe et les liens entre ces concepts mathématiques et des situations réelles.

1. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Cours de mathématiques
Chapitre 3 Nombres relatifs - Repérage - Comparaison
X. GARDEIL
21 janvier 2014
Cinquième de collège Collège de Bozel (Savoie)

2. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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3. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Pour introduire la notion de nombre relatif on va traiter deux
exemples : la fresque historique et les températures.
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4. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.1. Un peu d’histoire
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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5. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.1. Un peu d’histoire
Tracé d’une fresque historique avec plusieurs dates avant et
après JC. On amène ensuite les questions suivantes.
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6. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.1. Un peu d’histoire
Tracé d’une fresque historique avec plusieurs dates avant et
après JC. On amène ensuite les questions suivantes.
Quand a eu lieu tel évènement ?
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7. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.1. Un peu d’histoire
Tracé d’une fresque historique avec plusieurs dates avant et
après JC. On amène ensuite les questions suivantes.
Quand a eu lieu tel évènement ?
Que s’est-il passé 100 ans après tel évènement ?
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8. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.1. Un peu d’histoire
Tracé d’une fresque historique avec plusieurs dates avant et
après JC. On amène ensuite les questions suivantes.
Quand a eu lieu tel évènement ?
Que s’est-il passé 100 ans après tel évènement ?100 ans
avant tel autre ?
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9. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.1. Un peu d’histoire
Tracé d’une fresque historique avec plusieurs dates avant et
après JC. On amène ensuite les questions suivantes.
Quand a eu lieu tel évènement ?
Que s’est-il passé 100 ans après tel évènement ?100 ans
avant tel autre ?
Combien d’années y a-t-il eu entre tel et tel évènements ?
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10. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.1. Un peu d’histoire
Tracé d’une fresque historique avec plusieurs dates avant et
après JC. On amène ensuite les questions suivantes.
Quand a eu lieu tel évènement ?
Que s’est-il passé 100 ans après tel évènement ?100 ans
avant tel autre ?
Combien d’années y a-t-il eu entre tel et tel évènements ?
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11. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.2. Une histoire d’esquimaux
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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12. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.2. Une histoire d’esquimaux
On dessine un thermomètre et on donne un relevé de
température météo du coin. On leur demande comment
représenter ces températures sur un axe.
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13. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.2. Une histoire d’esquimaux
On dessine un thermomètre et on donne un relevé de
température météo du coin. On leur demande comment
représenter ces températures sur un axe.
Dessin d’un axe.
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14. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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15. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
Définition
Chaque point d’une droite graduée est repéré par son
abscisse. Ce point représente un nombre relatif.
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16. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
Définition
Chaque point d’une droite graduée est repéré par son
abscisse. Ce point représente un nombre relatif.
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17. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
Définition
Chaque point d’une droite graduée est repéré par son
abscisse. Ce point représente un nombre relatif.
Dessin d’une droite graduée et d’une série de points.
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18. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
Définition
Chaque point d’une droite graduée est repéré par son
abscisse. Ce point représente un nombre relatif.
Dessin d’une droite graduée et d’une série de points.
Définition
Deux nombres opposés sont deux nombres dont la partie
numérique est la même mais dont le signe est différent.
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19. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
Définition
Chaque point d’une droite graduée est repéré par son
abscisse. Ce point représente un nombre relatif.
Dessin d’une droite graduée et d’une série de points.
Définition
Deux nombres opposés sont deux nombres dont la partie
numérique est la même mais dont le signe est différent.
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20. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
Définition
Chaque point d’une droite graduée est repéré par son
abscisse. Ce point représente un nombre relatif.
Dessin d’une droite graduée et d’une série de points.
Définition
Deux nombres opposés sont deux nombres dont la partie
numérique est la même mais dont le signe est différent.
Exemple
Ex : 2,7 et -2,7 sont deux nombres opposés.
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21. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
1.3. Repérage sur une droite graduée
Propriété
Si on représente deux nombres sur une droite graduée, ils
seront symétriques l’un de l’autre.
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22. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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23. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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24. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
Définitions
Un repère est formé de deux droites graduées,
perpendiculaires.
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25. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
Définitions
Un repère est formé de deux droites graduées,
perpendiculaires.
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26. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
Définitions
Un repère est formé de deux droites graduées,
perpendiculaires.
L’axe des abscisses est horizontal et il est gradué dans le
sens d’écriture.
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27. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
Définitions
Un repère est formé de deux droites graduées,
perpendiculaires.
L’axe des abscisses est horizontal et il est gradué dans le
sens d’écriture.
L’axe des ordonnées est vertical et il est gradué du bas
vers le haut.
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28. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
Définitions
Un repère est formé de deux droites graduées,
perpendiculaires.
L’axe des abscisses est horizontal et il est gradué dans le
sens d’écriture.
L’axe des ordonnées est vertical et il est gradué du bas
vers le haut.
L’origine du repère est le point d’intersection des deux
droites graduées.
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29. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
Définitions
Un repère est formé de deux droites graduées,
perpendiculaires.
L’axe des abscisses est horizontal et il est gradué dans le
sens d’écriture.
L’axe des ordonnées est vertical et il est gradué du bas
vers le haut.
L’origine du repère est le point d’intersection des deux
droites graduées.
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30. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.1. Le repère
Exemple
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31. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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32. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
Définition
Un couple de nombres est l’ensemble de deux nombres que
l’on écrit d’une certaine façon : (45; 82)
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33. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
Définition
Un couple de nombres est l’ensemble de deux nombres que
l’on écrit d’une certaine façon : (45; 82)
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34. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
Définition
Un couple de nombres est l’ensemble de deux nombres que
l’on écrit d’une certaine façon : (45; 82)
Ce couple de nombres représente un point dans un repère.
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35. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
Définition
Un point est repéré par ses coordonnées dans un repère. Ses
deux coordonnées, abscisse et ordonnée sont données par un
couple de nombres.
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36. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
Définition
Un point est repéré par ses coordonnées dans un repère. Ses
deux coordonnées, abscisse et ordonnée sont données par un
couple de nombres.
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37. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
Définition
Un point est repéré par ses coordonnées dans un repère. Ses
deux coordonnées, abscisse et ordonnée sont données par un
couple de nombres.
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38. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
2.2. Le repérage
Exemple
Dans le repère ci-dessus le point A a comme coordonnées le
couple (2, −3)
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39. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
Cinquième de collège Collège de Bozel (Savoie)

40. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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41. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
Propriété
Si
A’ est le symétrique du point A par rapport à l’axe des
abscisses
Alors
Les abscisses de A et A’ sont les mêmes
Les ordonnées de A et A’ sont opposées
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42. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
Cinquième de collège Collège de Bozel (Savoie)

43. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
Propriété
Si
A’ est le symétrique du point A par rapport à l’axe des
ordonnées
Alors
Les ordonnées de A et A’ sont les mêmes
Les abscisses de A et A’ sont opposées
Cinquième de collège Collège de Bozel (Savoie)

44. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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45. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 1 :
Pour additionner 2 nombres relatifs de même signe, on garde le
signe commun et on additionne les parties numériques.
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46. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 1 :
Pour additionner 2 nombres relatifs de même signe, on garde le
signe commun et on additionne les parties numériques.
Exemple
(−5) + (−12) = −17
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47. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 2 :
Pour additionner 2 nombres relatifs de signes différents, on
garde le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique
et on soustrait les parties numériques (plus grande - plus
petite).
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48. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 2 :
Pour additionner 2 nombres relatifs de signes différents, on
garde le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique
et on soustrait les parties numériques (plus grande - plus
petite).
Exemple
(−5) + (+12) = +7
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49. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 3 :
Lorsqu’on additionne un nombre et son opposé, le résultat est
égal à zéro.
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50. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 3 :
Lorsqu’on additionne un nombre et son opposé, le résultat est
égal à zéro.
Exemple
(−13) + (+13) = 0
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51. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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52. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 1 :
Pour soustraire un nombre relatif, il faut additionner son
opposé.
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53. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété 1 :
Pour soustraire un nombre relatif, il faut additionner son
opposé.
Exemple
(−5) − (−12) = (−5) + (+12) = 7
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54. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
I. Repérage sur une droite graduée
1.1. Un peu d’histoire
1.2. Une histoire d’esquimaux
1.3. Repérage sur une droite graduée
II. Repérage dans un repère
2.1. Le repère
2.2. Le repérage
III. Les propriétés de symétrie
3.1. Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
3.2. Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
IV. Addition des nombres relatifs
V. Soustraction des nombres relatifs
VI. La règle des signes
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55. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Propriété :
Lorsqu’on effectue des opérations avec les relatifs il peut
arriver de se trouver dans l’une des 4 situations suivantes :
−4 − (−2)
−4 + (+2)
−4 + (−2)
−4 − (+2)
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56. I. Repérage sur une droite graduée II. Repérage dans un repère III. Les propriétés de symétrie IV. Addition des nombres relatifs
Dans ces cas on simplifiera les écritures de la manière
suivante :
−4 − (−2) = −4 + 2 = −2
−4 + (+2) = −4 + 2 = −2
−4 + (−2) = −4 − 2 = −6
−4 − (+2) = −4 − 2 = −6
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