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Printemps 2010           Chap. II.   Déterminants   1




                 Chap. II.   Déterminants

                      Printemps 2010
Printemps 2010                                  Chap. II.   Déterminants         2




      1      Déterminant d'ordre                              2
                        a11     a12
      Le symbole                       est appelé déterminant d'ordre 2 de la
                        a21     a22
                                           
                              a11     a12
      matrice A =                           et est déni par
                              a21     a22

                  a11    a12
      detA =                    = a11 a22 − a12 a21 .
                  a21    a22
      Exemple 1.         :
       1 3                            2 4                         3 1
                 = 4 − 6 = −2,                  = 6 − 4 = 2,            =6−4=2
       2 4                            1 3                         4 2
      On constate alors que :
      1) Si deux rangées ( ou deux colonnes ) d'un déterminant sont
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      permutées la valeur d'un déterminant est multipliée par −1.
                                                            
                                 1 3                     1 2
      2) Si on pose A =                , t A =              . On constate que
                                 2 4                     3 4
      detA = dett A, d'où la valeur d'un déterminant est conservée lorsque
      l'on échange les colonnes et les lignes ( dans le même ordre ).


      2     Déterminant d'ordre                          3
                                       
                     a11   a12    a13
      Soit A =  a21                    , on dénit
                                       
                          a22    a23   
                 a31       a32    a33
Printemps 2010                           Chap. II.   Déterminants                          4




                   a11       a12   a13
       detA = a21            a22   a23
                   a31       a32   a33
                             a22   a23               a12   a13               a12   a13
                 = a11                   −a21                     +a31
                             a32   a33               a32   a33               a22   a23

                         mineur de a11          mineur de a21              mineur de a31
      Exemple 2.         :

                   1 3       0
                                     6 4         3 0             3 0
      detA =       2 6       4 =1          −2              −1          =
                                     0 2         0 2             6 4
              −1 0 2
      12 − 12 − 12 = −12
      Le cofacteur de l'élément de detA de la ieme ligne et la keme
                                               `                `
Printemps 2010                       Chap. II.   Déterminants                 5




      colonne est égal à (−1)i+k fois le mineur de cet élément ( c. à .d le
      déterminant d'ordre 2 obtenu en supprimant la ieme ligne et la
                                                        `

      k eme colonne ).
        `

      Remarque 1.     :
                                           a11    a13
      Le cofacteur de a22 est (−1)   2+2
                                                        .
                                           a31    a33

                                                            + −   +
      Les signes (−1)i+j forment la table suivante − + − .
                                                            + −   +
      On remarque que l'on peut écrire (1) sous la forme :
      detA = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31 où Ci1 est le cofacteur de ai1
      dans detA.
      3) Le déterminant de A, detA, peut être developpé suivant
Printemps 2010                              Chap. II.   Déterminants           6




      n'importe quelle ligne ou colonne, c'est à dire, qu'il peut être écrit
      sous la forme d'une somme de trois éléments de n'importe quelle
      ligne ( ou colonne ), chacun multiplié par son cofacteur.
      Exemple 3.     :
                     a12      a13           a11    a13            a11   a12
      detA = −a21                   + a22                 − a23
                     a32      a33           a31    a33            a31   a32
      4) Si tous les éléments d'une ligne ( ou d'une colonne ) d'un
      déterminant sont multipliés par une constante k, la valeur du
      nouveau déterminant est k fois la valeur du déterminant initial.
      Cette propriété peut être utilisée pour simplier un déterminant.
      Exemple 4.     :
         1   3   0         1        3        0             1 3 0
         2   6   4 = 2(1) 2(3) 2(2) = 2                    1 3 2 =
       −1    0 2         −1         0        2           −1   0    2
Printemps 2010                          Chap. II.   Déterminants            7




           1 3(1) 0               1 1 0                1 1       0
      2    1 3(1) 2 = 6           1 1 2 = 12           1 1       1 = −12
          −1     3(0) 2      −1     0 2              −1     0 1
      5) Si tous les éléments d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant
      sont nuls, la valeur du déterminant est nulle.
      6) Si chaque élément d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant
      est exprimé sous la forme d'un binôme, le déterminant peut être
      écrit comme somme de deux déterminants.
      Exemple 5.        :
       a1 + d1     b1   c1   a1    b1    c1     d1     b1   c1
       a2 + d2     b2   c2 = a2    b2    c2 + d2       b2   c2
       a3 + d3     b3   c3   a3    b3    c3     d3     b3   c3
      7) Si deux lignes ( ou colonnes ) d'un déterminant sont
      proportionnelles, la valeur du déterminant est nulle.
Printemps 2010                     Chap. II.   Déterminants                8




      Exemple 6.      :
       1    2 2
       1    2 3 =0
       1    2 1
      8) La valeur d'un déterminant est conservée si l'on ajoute à une
      ligne ( ou à une colonne ) une combinaison des autres lignes ( ou
      colonnes ).
      Exemple 7.      :
           1 1    0             1 1 0
                       C1 +C3
                      −−−−→
                      −−−−
           1 1    1       =     2 1 1 = −1
       −1     0   1             0 0 1
           C +C
      − − − 3→ signie que l'on a ajouté la colonne C3 à la colonne C1 .
       − 1− −
      Cette dernière propriété permet de simplier énormément les
Printemps 2010                         Chap. II.   Déterminants                9




      calculs, elle permet de réduire le calcul d'un déterminant d'ordre 3
      au calcul d'un seul déterminant d'ordre 2.
      Exemple 8.      :
                 3   −1       2
      Calculer 6 −2 4
                 1        7   3

       3   −1    2                0   −1   2
                     C1 +C2 −C3
                     −−−−→
                     −−−−                            −1 2
       6   −2    4        =       0   −2   4 =5              = 5(−4 + 4) = 0
                                                     −2 4
       1     7 3                  5    7 3
      Remarque 2.      :
      La ligne ( ou colonne ) dans laquelle seront eectués les calculs ne
      doit pas être multipliée par des scalaires. La multiplication par un
      scalaire λ reviendrait à multiplier le déterminant par λ.
      Exemple 9. :
Printemps 2010                          Chap. II.   Déterminants                  10




       1   2                0 2                         1 2
                                  = −2,   alors que
                 2L1 −L2
                 −−−→
                 −−−                                          = −1
       2   3                1 3                         2 3


      3        Déterminant d'ordre                    n
                      a11   a12   ...   a1n
                      a21   a22   ...   a2n
      Le symbole       .                  .   est appelé déterminant d'ordre n.
                       .
                       .                  .
                                          .
                      an1   an2   ...   ann
      Pour n = 1, ça signie a11 .
      Pour n ≥ 2, ça signie la somme des produits des éléments de
      n'importe quelle ligne ou colonne par leurs cofacteurs respectifs
      c'est à dire
Printemps 2010                         Chap. II.   Déterminants               11




        a11      a12   ...   a1n
        a21      a22   ...   a2n
          .
          .                   .
                              .
                                   =    ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
          .                   .
                                        ( i = 1, 2 . . . , ou n )
        an1      an2   . . . ann
        ou                         = a1k C1k + a2k C2k + . . . + ank Cnk
                                  ( k = 1, 2 . . . , ou n )
      Le déterminant d'ordre n est alors déni en fonction de n
      déterminants d'ordre (n − 1), chacun est à son tour, déni en
      fonction de (n − 1) déterminants d'ordre (n − 2) et ainsi de suite,
      nalement on aboutit aux déterminants d'ordre 2.
      Remarque 3.     :
      Les propriétés 1) jusqu'à 8) restent valables pour un déterminant
      d'ordre n.
      Pour calculer la valeur d'un déterminant, on développera suivant la
Printemps 2010                                     Chap. II.   Déterminants                   12




      ligne ou colonne où il y a le plus de zéros.
      Exemple 10. :

         1       1       1       −3                        0        1     1   −3
         1       1   −3            1      C1 +C2 +C3 +C4
                                           −−−−→
                                           −−−−            0        1   −3       1
                                               =                                     =0
         1      −3       1         1                       0    −3        1      1
       −3        1       1         1                       0        1     1      1

       sin2 α    sin2 β          sin2 γ                         1         1          1
                                                L1 +L2
            2        2                2      −−−−→
                                             −−−−
       cos α     cos β           cos γ            =        cos2 α       cos2 β   cos2 γ = 0
          1          1             1                            1         1          1
      Remarque 4.            :
      1) det(A + B) = detA + detB en général.
      2) det(AB) = (detA)(detB)
      3) det(A−1 ) = (detA)−1 où A−1 désigne l'inverse de A.
Printemps 2010                       Chap. II.   Déterminants                    13




      4     Applications


      4.1        Calcul de l'inverse d'une matrice carrée

                 d'ordre   n

      On rappelle qu'une matrice carrée d'ordre n A est inversible s'il
      existe B d'ordre n telle que AB = BA = I où I est la matrice unité
      d'ordre n, c'est à dire la matrice diagonale dont les éléments
      diagonaux sont tous égaux à 1.
      Critère :    A est inversible si detA = 0.
      Une fois assuré que A est inversible, on calcule son inverse à l'aide
      de la formule suivante : A−1 = detA (adjA) où (adjA) désigne
                                           1

      l'adjoint classique de A c'est à dire la matrice t [Cij ] où Cij désigne
      la matrice des cofacteurs de A.
      Exemple 11.      :
Printemps 2010                             Chap. II.   Déterminants                    14



                                
                 2    3 −4
                            
      A= 0
                    −4    2 
                             
          1          −1    5

                 2    3    −4                   0        5 −14
                                     L1 −2L3
                                 −−−−→
                                 −−−−                                    5   −14
      detA = 0       −4      2         =        0      −4        2 =               =
                                                                        −4    2
                 1   −1      5                  1      −1        5
      −46 = 0,donc A est inversible.
      Déterminons les 9 cofacteurs de A
                 −4 2                               0 2
       C11 =              = −18,       C12 = −                  =2
                 −1 5                               1 5

                 0   −4                           3     −4
       C13 =              = 4,       C21 = −                    = −11
                 1   −1                        −1           5
Printemps 2010                              Chap. II.   Déterminants         15




                  2       −4                      2          3
       C22 =                   = 14,   C23 = −                   =5
                  1        5                      1     −1

                      3    −4                            2       −4
       C31 =                       = −10,   C32 = −                   = −4
                  −4           2                         0        2
                  2        3
       C33 =                   = −8
                  0   −4
                                                 
                        −18          −11    −10
          −1
                      
                    1 
                                               
      A        = − 46    2            14   −4 
                                               
                          4             5   −8
Printemps 2010                      Chap. II.   Déterminants                 16




      4.2        Résolution de systèmes linéaires ( Méthode

                 de Cramer )


      Un système d'équations, AX = b, où A est une matrice carrée
      d'ordre n, peut être résolu à l'aide des déterminants, lorsque
      detA = 0.
                                               
                       x                    b1
                      1 
                      .                       . , alors
      Si on pose X =  .  et b =              . 
                                                 
                       .        
                                               . 
                       xn                   bn
      xi =     1
                     + C2i b2 + . . . + Cni bn ] = detA detBi où Bi est la
             detA [C1i b1
                                                     1

      matrice obtenue en remplaçant la ieme colonne de A par b.
                                           `

      Exemple 12.       :
      Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système :
Printemps 2010                                   Chap. II.   Déterminants          17



      
      
      
            x1                     + 3x3            = 2
          −x1         + 2x2         + 2x3            = 3
      
      
                            x2      + 4x3            = 5
      
                                   
                      1 0       3
                                 
      A =  −1 2
                               2 
                                  
             0 1                4

                      1 0 3                           1 0 3
                                        L2 +L1
                                    −−−−→
                                    −−−−
      detA = −1            2 2            =           0 2 5 =3
                      0 1 4                           0 1 4

                  2    0    3             2 0          3
      x1 =   1
             3    3    2    2 =     1
                                    3   −7       0    −6 = 1 [−(−12 + 21)] = −3.
                                                           3

                  5    1    4             5 1          4
Printemps 2010                        Chap. II.   Déterminants               18




                  1 2       3       1 2 3
      x2 =   1
             3   −1   3 2 =     1
                                3   0 5 5 =       −5
                                                  3       .
                  0 5       4       0 5 4

                  1 0       2       1 0 2
      x3 =   1
             3   −1   2 3 =     1
                                3   0 2 5 =       5
                                                  3   .
                  0 1       5       0 1 5
      Remarque 5.       :
      La méthode de Gauss pour les systèmes et celle des matrices
      élémentaires pour le calcul de l'inverse demeurent les plus ecaces.

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  • 1. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 1 Chap. II. Déterminants Printemps 2010
  • 2. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 2 1 Déterminant d'ordre 2 a11 a12 Le symbole est appelé déterminant d'ordre 2 de la a21 a22   a11 a12 matrice A =   et est déni par a21 a22 a11 a12 detA = = a11 a22 − a12 a21 . a21 a22 Exemple 1. : 1 3 2 4 3 1 = 4 − 6 = −2, = 6 − 4 = 2, =6−4=2 2 4 1 3 4 2 On constate alors que : 1) Si deux rangées ( ou deux colonnes ) d'un déterminant sont
  • 3. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 3 permutées la valeur d'un déterminant est multipliée par −1.     1 3 1 2 2) Si on pose A =  , t A =  . On constate que 2 4 3 4 detA = dett A, d'où la valeur d'un déterminant est conservée lorsque l'on échange les colonnes et les lignes ( dans le même ordre ). 2 Déterminant d'ordre 3   a11 a12 a13 Soit A =  a21 , on dénit    a22 a23  a31 a32 a33
  • 4. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 4 a11 a12 a13 detA = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a22 a23 a12 a13 a12 a13 = a11 −a21 +a31 a32 a33 a32 a33 a22 a23 mineur de a11 mineur de a21 mineur de a31 Exemple 2. : 1 3 0 6 4 3 0 3 0 detA = 2 6 4 =1 −2 −1 = 0 2 0 2 6 4 −1 0 2 12 − 12 − 12 = −12 Le cofacteur de l'élément de detA de la ieme ligne et la keme ` `
  • 5. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 5 colonne est égal à (−1)i+k fois le mineur de cet élément ( c. à .d le déterminant d'ordre 2 obtenu en supprimant la ieme ligne et la ` k eme colonne ). ` Remarque 1. : a11 a13 Le cofacteur de a22 est (−1) 2+2 . a31 a33 + − + Les signes (−1)i+j forment la table suivante − + − . + − + On remarque que l'on peut écrire (1) sous la forme : detA = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31 où Ci1 est le cofacteur de ai1 dans detA. 3) Le déterminant de A, detA, peut être developpé suivant
  • 6. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 6 n'importe quelle ligne ou colonne, c'est à dire, qu'il peut être écrit sous la forme d'une somme de trois éléments de n'importe quelle ligne ( ou colonne ), chacun multiplié par son cofacteur. Exemple 3. : a12 a13 a11 a13 a11 a12 detA = −a21 + a22 − a23 a32 a33 a31 a33 a31 a32 4) Si tous les éléments d'une ligne ( ou d'une colonne ) d'un déterminant sont multipliés par une constante k, la valeur du nouveau déterminant est k fois la valeur du déterminant initial. Cette propriété peut être utilisée pour simplier un déterminant. Exemple 4. : 1 3 0 1 3 0 1 3 0 2 6 4 = 2(1) 2(3) 2(2) = 2 1 3 2 = −1 0 2 −1 0 2 −1 0 2
  • 7. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 7 1 3(1) 0 1 1 0 1 1 0 2 1 3(1) 2 = 6 1 1 2 = 12 1 1 1 = −12 −1 3(0) 2 −1 0 2 −1 0 1 5) Si tous les éléments d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant sont nuls, la valeur du déterminant est nulle. 6) Si chaque élément d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant est exprimé sous la forme d'un binôme, le déterminant peut être écrit comme somme de deux déterminants. Exemple 5. : a1 + d1 b1 c1 a1 b1 c1 d1 b1 c1 a2 + d2 b2 c2 = a2 b2 c2 + d2 b2 c2 a3 + d3 b3 c3 a3 b3 c3 d3 b3 c3 7) Si deux lignes ( ou colonnes ) d'un déterminant sont proportionnelles, la valeur du déterminant est nulle.
  • 8. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 8 Exemple 6. : 1 2 2 1 2 3 =0 1 2 1 8) La valeur d'un déterminant est conservée si l'on ajoute à une ligne ( ou à une colonne ) une combinaison des autres lignes ( ou colonnes ). Exemple 7. : 1 1 0 1 1 0 C1 +C3 −−−−→ −−−− 1 1 1 = 2 1 1 = −1 −1 0 1 0 0 1 C +C − − − 3→ signie que l'on a ajouté la colonne C3 à la colonne C1 . − 1− − Cette dernière propriété permet de simplier énormément les
  • 9. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 9 calculs, elle permet de réduire le calcul d'un déterminant d'ordre 3 au calcul d'un seul déterminant d'ordre 2. Exemple 8. : 3 −1 2 Calculer 6 −2 4 1 7 3 3 −1 2 0 −1 2 C1 +C2 −C3 −−−−→ −−−− −1 2 6 −2 4 = 0 −2 4 =5 = 5(−4 + 4) = 0 −2 4 1 7 3 5 7 3 Remarque 2. : La ligne ( ou colonne ) dans laquelle seront eectués les calculs ne doit pas être multipliée par des scalaires. La multiplication par un scalaire λ reviendrait à multiplier le déterminant par λ. Exemple 9. :
  • 10. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 10 1 2 0 2 1 2 = −2, alors que 2L1 −L2 −−−→ −−− = −1 2 3 1 3 2 3 3 Déterminant d'ordre n a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n Le symbole . . est appelé déterminant d'ordre n. . . . . an1 an2 ... ann Pour n = 1, ça signie a11 . Pour n ≥ 2, ça signie la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne ou colonne par leurs cofacteurs respectifs c'est à dire
  • 11. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 11 a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . . = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin . . ( i = 1, 2 . . . , ou n ) an1 an2 . . . ann ou = a1k C1k + a2k C2k + . . . + ank Cnk ( k = 1, 2 . . . , ou n ) Le déterminant d'ordre n est alors déni en fonction de n déterminants d'ordre (n − 1), chacun est à son tour, déni en fonction de (n − 1) déterminants d'ordre (n − 2) et ainsi de suite, nalement on aboutit aux déterminants d'ordre 2. Remarque 3. : Les propriétés 1) jusqu'à 8) restent valables pour un déterminant d'ordre n. Pour calculer la valeur d'un déterminant, on développera suivant la
  • 12. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 12 ligne ou colonne où il y a le plus de zéros. Exemple 10. : 1 1 1 −3 0 1 1 −3 1 1 −3 1 C1 +C2 +C3 +C4 −−−−→ −−−− 0 1 −3 1 = =0 1 −3 1 1 0 −3 1 1 −3 1 1 1 0 1 1 1 sin2 α sin2 β sin2 γ 1 1 1 L1 +L2 2 2 2 −−−−→ −−−− cos α cos β cos γ = cos2 α cos2 β cos2 γ = 0 1 1 1 1 1 1 Remarque 4. : 1) det(A + B) = detA + detB en général. 2) det(AB) = (detA)(detB) 3) det(A−1 ) = (detA)−1 où A−1 désigne l'inverse de A.
  • 13. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 13 4 Applications 4.1 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n On rappelle qu'une matrice carrée d'ordre n A est inversible s'il existe B d'ordre n telle que AB = BA = I où I est la matrice unité d'ordre n, c'est à dire la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1. Critère : A est inversible si detA = 0. Une fois assuré que A est inversible, on calcule son inverse à l'aide de la formule suivante : A−1 = detA (adjA) où (adjA) désigne 1 l'adjoint classique de A c'est à dire la matrice t [Cij ] où Cij désigne la matrice des cofacteurs de A. Exemple 11. :
  • 14. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 14   2 3 −4   A= 0  −4 2   1 −1 5 2 3 −4 0 5 −14 L1 −2L3 −−−−→ −−−− 5 −14 detA = 0 −4 2 = 0 −4 2 = = −4 2 1 −1 5 1 −1 5 −46 = 0,donc A est inversible. Déterminons les 9 cofacteurs de A −4 2 0 2 C11 = = −18, C12 = − =2 −1 5 1 5 0 −4 3 −4 C13 = = 4, C21 = − = −11 1 −1 −1 5
  • 15. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 15 2 −4 2 3 C22 = = 14, C23 = − =5 1 5 1 −1 3 −4 2 −4 C31 = = −10, C32 = − = −4 −4 2 0 2 2 3 C33 = = −8 0 −4   −18 −11 −10 −1  1   A = − 46  2 14 −4   4 5 −8
  • 16. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 16 4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) Un système d'équations, AX = b, où A est une matrice carrée d'ordre n, peut être résolu à l'aide des déterminants, lorsque detA = 0.     x b1  1   .  . , alors Si on pose X =  .  et b =  .     .    .  xn bn xi = 1 + C2i b2 + . . . + Cni bn ] = detA detBi où Bi est la detA [C1i b1 1 matrice obtenue en remplaçant la ieme colonne de A par b. ` Exemple 12. : Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système :
  • 17. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 17     x1 + 3x3 = 2 −x1 + 2x2 + 2x3 = 3   x2 + 4x3 = 5    1 0 3   A =  −1 2  2   0 1 4 1 0 3 1 0 3 L2 +L1 −−−−→ −−−− detA = −1 2 2 = 0 2 5 =3 0 1 4 0 1 4 2 0 3 2 0 3 x1 = 1 3 3 2 2 = 1 3 −7 0 −6 = 1 [−(−12 + 21)] = −3. 3 5 1 4 5 1 4
  • 18. Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 18 1 2 3 1 2 3 x2 = 1 3 −1 3 2 = 1 3 0 5 5 = −5 3 . 0 5 4 0 5 4 1 0 2 1 0 2 x3 = 1 3 −1 2 3 = 1 3 0 2 5 = 5 3 . 0 1 5 0 1 5 Remarque 5. : La méthode de Gauss pour les systèmes et celle des matrices élémentaires pour le calcul de l'inverse demeurent les plus ecaces.