5 limite continuite

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  1. 1. Chapitre 5 Limites et continuit´e des fonctions num´eriques 1 Limites de fonctions num´eriques 1.1 Limite d’une fonction de variable r´eelle `a l’infini Dans un chapitre pr´ec´edent, on a d´efini ce qu’´etait la limite d’une suite. Intuitivement, une suite r´eelle ou complexe un tend vers une limite l r´eelle ou complexe lorsque : ”un est aussi pr`es qu’on veut de l quand n est suffisamment grand” (interpr´eter de mˆeme ”un tend vers +∞” et ”un tend vers −∞” pour une suite r´eelle). La notion de limite d’une fonction de variable r´eelle en +∞ est tout `a fait analogue. D´efinition 1.1.1 – Soit D, une partie de R contenant un intervalle de la forme [α, +∞[ ou ]α, +∞[, Soit f, une fonction de D dans R (on dit alors qu’on peut ´etudier f au voisinage de +∞) . On dit que f(x) tend vers l ∈ R quand x tend vers +∞ lorsque pour tout ε > 0, on peut trouver A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l| < ε. Remarques : 1. On peut remplacer x > A ⇒ |f(x) − l| < ε par f(]A, +∞[∩D) ⊂]l − ε, l + ε[ (pourquoi ?). 2. On peut aussi dire : ”|f(x) − l| < ε si x est assez grand”. Peut-on dire que plus x est grand, plus f(x) est pr`es de l ? Exemples : 1. Soit la fonction f(x) = 1√ x (rappeler son domaine de d´efinition). Expliciter {x ; f(x) ≤ 10−n} puis {x ; f(x) < 10−n} pour n ∈ N fix´e. 2. Soit la fonction g(x) = x + 1 x (rappeler son domaine de d´efinition). Si x > 102n, trouver deux d´ecimaux entre lesquels se trouve g(x). 3. Interpr´eter graphiquement. 4. V´erifier avec la d´efinition que f(x) et g(x) ont une limite quand x tend vers +∞. 77
  2. 2. 78 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E Exercice. Dans la d´efinition pr´ec´edente, quelles in´egalit´es strictes peut-on remplacer par des in´egalit´es larges sans en changer le sens ? D´efinition 1.1.2 – Soit D, une partie de R contenant un intervalle de la forme [α, +∞[ ou ]α, +∞[, Soit f, une fonction de D dans R. On dit que f(x) tend vers +∞ (resp −∞) quand x tend vers +∞ lorsque pour tout B ∈ R, on peut trouver A ∈ R tel que x > A ⇒ f(x) > B (resp. x > A ⇒ f(x) < B). Remarque : On dit aussi ”pour tout B ∈ R, on a f(x) > B si x est assez grand”, ou bien que pour tout B ∈ R, on peut trouver A ∈ R tel que f(]A, +∞[∩D) ⊂]B, +∞[, ou encore que pour A assez grand, on a f(]A, +∞[∩D) ⊂]B, +∞[. Exemples : 1. Soit la fonction f(x) = √ x (rappeler son domaine de d´efinition). Expliciter {x ; f(x) > 10n} puis {x ; f(x) ≥ 10n} pour n ∈ N fix´e. 2. Interpr´eter graphiquement. Exercice. 1. Dans la d´efinition pr´ec´edente, quelles in´egalit´es strictes peut-on remplacer par des in´egalit´es larges sans en changer le sens ? 2. Par quoi peut-on remplacer ”pour tout B ∈ R” ? 3. Peut-on dire que plus x est grand, plus f(x) est grand ? Autre exercice. 1. Imaginer les d´efinitions des limites de f(x) quand x tend vers −∞. 2. Imaginer d’autres d´efinitions des limites de f(x) quand x tend vers −∞ en con- sid´erant g(x) = f(−x). Proposition 1.1.3 – Une fonction f admet au plus une limite (finie ou infinie) quand x tend vers +∞ (resp. −∞). D´emonstration – Supposons d’abord que f(x) tende vers l et l ∈ C quand x → +∞, et q’on ait l = l . Posons ε = 1 2 |l − l|. On peut donc trouver A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l| < 1 2 |l − l|, et A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l | < 1 2 |l − l|. Alors pour x > max{A, A }, on a |l − l| ≤ |l − f(x)| + |f(x) − l| < ( 1 2 + 1 2 )|l − l| ce qui est absurde. Les autres cas sont laiss´es en exercice. Lorsqu’une telle limite existe, on peut alors la noter lim x→+∞ f(x) (resp lim x→−∞ f(x)) car c’est une valeur bien d´efinie. Th´eor`eme 1.1.4 (crit`ere par les suites)– Une fonction f admet une limite (finie ou infinie) quand x tend vers +∞ si et seulement si pour toute suite r´eelle (un), `a valeurs dans Df et tendant vers +∞, f(un) tend vers cette limite quand n tend vers l’infini.
  3. 3. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 79 D´emonstration : Cas d’une limite finie. Soit l = lim x→+∞ f(x), et soit (un) tendant vers +∞. On se donne ε > 0 quelconque et il faut montrer que les f(un) sont tous dans ]l−ε, l+ε[ sauf un nombre fini d’entre eux. Or on sait qu’il existe A ∈ R tel que x > A ⇒ |f(x) − l| < ε, et que les un sont tous sup´erieurs `a A sauf un nombre fini d’entre eux, d’o`u la conclusion. R´eciproquement, notre hypoth`ese est que f ne tend pas vers l. C’est `a dire qu’il existe un ε > 0 tel que pour tout A ∈ R, f(]A, +∞[∩D) ⊂]l − ε, l + ε[. On va construire une suite (un) tendant vers +∞ telle que f(un) ne tende pas vers l. Pour chaque n ∈ N, on peut choisir un > n tel que f(un)) ∈]l−ε, l+ε[, car f(]n, +∞[∩D) ⊂ ]l − ε, l + ε[. Aucun des f(un) n’est dans ]l − ε, l + ε[. Les autres cas sont laiss´es en exercice. Ce crit`ere s’utilise le plus souvent, dans le sens direct pour prouver par la contrapos´ee (?) l’absence de limite d’une fonction, pour d´eterminer des limites de suites, et dans l’autre sens pour d´emontrer des r´esultats de cours. exemples : 1. Red´emontrer l’unicit´e de la limite ´eventuelle d’une fonction quand x tend vers +∞. 2. Montrer que la fonction sinus n’a pas de limite en +∞. 3. D´eterminer lim n→+∞ ea2n+1 en fonction de a ∈ R. 1.2 Limite d’une fonction en un point On peut s’int´eresser au comportement d’une fonction f ”pr`es” d’un r´eel a d`es qu’il y a une suite de r´eels dans Df qui tend vers a. Dans ce cours, on va exiger une hypoth`ese plus forte qui est que Df contient un intervalle de la forme ]b, a[ (b < a), ou ]a, b[ (a < b) (ou les deux, bien sˆur). On dira qu’on peut ´etudier f au voisinage de a, ou plus pr´ecis´ement, on dira qu’on peut ´etudier f `a gauche ou `a droite de a. D´efinition 1.2.1 – Soit a ∈ R, soit f, une fonction de variable r´eelle et `a valeurs dans R, telle qu’on puisse ´etudier f au voisinage de a, et soit l ∈ R. On dit que f(x)tend vers l quand x tend vers a lorsque pour tout ε > 0, on peut trouver η > 0 tel que pour tout x ∈ Df {a}, on ait |x − a| < η ⇒ |f(x) − l| < ε. Remarques : 1. On dit aussi ”pour tout ε > 0, on a |f(x)−l| < ε si x est assez proche de a”, ou bien que pour tout ε > 0, on peut trouver η > 0 tel que f((]a−η, a[∪]a, a+η[)∩Df ) ⊂]l− ε, l+ε[, ou encore que pour η assez petit, on a f((]a−η, a[∪]a, a+η[)∩Df ) ⊂]l−ε, l+ε[. 2. Il est possible que a ne soit pas dans le domaine de d´efinition de f. 3. Peut-on dire que plus x est proche de a, plus f(x) est proche de l ? 4. On peut toujours se ramener au cas a = 0 en posant g(x) = f(x+a), et c’est souvent ce qu’on fait en pratique.
  4. 4. 80 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E Exercice. Imaginer la d´efinition de ”f(x) tend vers +∞ (resp. −∞) quand x tend vers a”. Exemple : Montrer que √ x tend vers 1 quand x tend vers 1. Dans ce cas et comme pour beaucoup de fonctions usuelles, la limite est la valeur de la fonction au point consid´er´e (ici en 1), et on peut mˆeme dire que plus x est pr`es de 1, plus √ x est pr`es de 1. Il y a bien sˆur des cas moins ´evidents, par exemple lorsque la fonction n’est pas ”naturellement” d´efinie en a, comme dans le cas d’un quotient f(x) g(x) en un point o`u g s’annule. Proposition 1.2.2 – Une fonction f admet au plus une limite (finie ou infinie) quand x tend vers a. La preuve est calqu´ee sur celle de la proposition 1.1.3. Lorsqu’une telle limite existe, on peut alors la noter lim x→a f(x) car c’est une valeur bien d´efinie. De mˆeme, le crit`ere par les suites 1.1.4 est encore valable : Th´eor`eme 1.2.3 – Une fonction f qu’on peut ´etudier au voisinage de a admet une limite (finie ou infinie) quand x tend vers a si et seulement si pour toute suite r´eelle (un), `a valeurs dans Df et tendant vers a, f(un) tend vers cette limite quand n tend vers l’infini. Preuve : s’inspirer de celle de 1.1.4. Exercice. Montrer que la fonction f(x) = sin( 1 x ) n’a pas de limite quand x → 0(on consid`erera des suites prenant leurs valeurs dans{ 2 kπ , k ∈ Z∗}). Parfois il est bienvenu d’´etudier s´epar´ement le comportement d’une fonction `a gauche et `a droite d’un point a ∈ R. On introduit donc les notions de limite `a gauche et de limite `a droite : D´efinition 1.2.4 – Une fonction f admet une limite (finie ou infinie) `a gauche de a ∈ R lorsque Df contient un intervalle Ig de la forme ]b, a[ (b < a), et que la restriction de f `a Ig admet cette mˆeme limite en a. On note alors cette limite lim x→a− f(x). Exercice. D´efinir de mˆeme la limite `a droite, et v´erifier que si on pose g(x) = f(a − x), on a lim x→a+ f(x) = lim x→0− g(x) lorsque l’une des deux existe. Remarques 1. Si f admet en a une limite `a gauche et une limite `a droite, alors si ces limites sont ´egales, c’est la limite de f en a; et si elles sont diff´erentes, alors f n’admet pas de limite en a. 2. Si on peut ´etudier f `a gauche (resp.`a droite) de a et que f n’admet pas de limite `a gauche (resp. `a droite) en a, alors f n’admet pas de limite en a.
  5. 5. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 81 Exemple : Etudier f(x) = 1 E(x) au voisinage de 0. Proposition 1.2.5 fonctions croissantes et major´ees– Toute fonction f d´efinie sur un intervalle ]a, b[, croissante et major´ee admet une limite finie en b. Cela vous rappelle-t-il un autre r´esultat ? La preuve est sous forme d’exercice : 1. Montrer que si f est constante sur un intervalle de la forme ]b−η, b[, on a le r´esultat. Dans ce qui suit, on supposera que ce n’est pas le cas. 2. Soit M, un majorant de f(]a, b[), soit c ∈]a, b[, posons I0 = [f(c), M] = [r0, s0]. On pose t0 = r0 + s0 2 . Montrer que pour η assez petit, l’un exactement des intervalles [r0, t0] et [t0, s0] contient f(]b − η, b[). On appelle I1 = [r1, s1] celui des deux qui a cette propri´et´e. 3. Construire une suite d’intervalles emboˆıt´es (In) ayant la propri´et´e pr´ec´edente et dont la largeur tend vers 0 (dichotomie sur l’ensemble d’arriv´ee). 4. Montrer que le nombre commun `a tous les In est la limite de f(x) quand x tend vers b. 1.3 R`egles de calcul Des r`egles de calcul pour les suites, on tire les r`egles suivantes : Proposition 1.3.1 – On se place dans l’un des trois cas suivants : • les fonctions f et g sont d´efinies pour x assez grand et x tend vers +∞. • les fonctions f et g sont d´efinies pour −x assez grand et x tend vers −∞. • Soit I, un intervalle non r´eduit `a un point tel que a ∈ I et soit f et g telles que Df ∩ Dg contienne I {a}, et x tend vers a ∈ R. On a alors (l et l d´esignent des r´eels) : (i) Si f(x) tend vers l et g(x) tend vers l alors (f + g)(x) tend vers l + l . (ii) Dans R, si f(x) tend vers l ou tend vers +∞ (resp. −∞) et g(x) tend vers +∞ (resp. −∞) alors (f + g)(x) tend vers +∞ (resp. −∞). (iii) Si f(x) tend vers l et g(x) tend vers l alors (fg)(x) tend vers ll . (iv) Si f(x) tend vers l > 0 ou tend vers +∞ et g(x) tend vers +∞ alors (fg)(x) tend vers +∞. (v) Si f(x) tend vers l = 0 alors 1 f(x) tend vers 1 l . (vi) Si f(x) tend vers ±∞ alors 1 f(x) tend vers 0. (vii) Dans R, si f(x) tend vers 0 par valeurs strictement sup´erieures (resp. inf´erieures) alors 1 f(x) tend vers +∞ (resp. −∞). Preuve de (i) quand x tend vers a: Soit (un)n∈N, une suite `a valeurs dans Df ∩ Dg et qui tend vers a. Alors la suite (f(un)) converge vers l et la suite (g(un)) converge vers l , donc la suite ((f + g)(un)) converge vers l + l . Le th´eor`eme 1.2.3 permet de conclure.
  6. 6. 82 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E Preuve de (iv) lorsque f(x) tend vers l = 0 quand x tend vers +∞ : Remarquons qu’il existe un intervalle de la forme ]β, +∞[ sur lequel 1 f est d´efinie . Soit maintenant (un)n∈N, une suite `a valeurs dans D1 f et qui tend vers +∞. Alors la suite 1 f(un) n∈N est bien d´efinie. Etc. Application : Si f(x) tend vers l < 0 et g(x) tend vers −∞ quand x tend vers a, que peut-on dire de g f ? Exercice. Soit a ∈ R, soit f, g, h et ϕ quatre fonctions d´efinies sur R v´erifiant : lim x→a f(x) = l, lim x→a g(x) = +∞, h et ϕ n’ont pas de limite en a. Que peut-on dire des ´eventuelles limites en a de f + h, g + h et h + ϕ ? Proposition 1.3.2 passage `a la limite dans les in´egalit´es Les fonctions f, g et h sont `a valeurs r´eelles, et ont mˆeme domaine de d´efinition pour simplifier l’´enonc´e. On consid`ere successivement les cas o`u x tend vers ±∞ ou a ∈ R. (i) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim f(x) = +∞ alors lim g(x) = +∞. (ii) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim g(x) = −∞ alors lim f(x) = −∞. (iii) Si ∀x , f(x) ≤ g(x) et lim f(x) = l, lim g(x) = l alors l ≤ l . (iv) Si ∀x , f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) et lim f(x) = lim g(x) = l alors limn→+∞ h(x) = l. Ceci se prouve ais´ement par le crit`ere des suites. Le (iv), appel´e parfois lemme des gen- darmes a pour variante l’´enonc´e suivant : Lemme 1.3.3 Soit f et g d´efinies sur le mˆeme ensemble. On suppose que pour tout x, 0 ≤ |f(x)| ≤ g(x), et lim g(x) = 0. Alors lim f(x) = 0. Lorsque le comportement de g est connu, on dit que c’est une fonction de r´ef´erence. Exercice. 1. Montrer que ces deux ´enonc´es sont effectivement ´equivalents. 2. Montrer directement le nouvel ´enonc´e avec la d´efinition de la limite. Application : Calculer lim x→0 x sin(1/x). Enfin, un r´esultat qui n’a pas d’analogue pour les suites : Th´eor`eme 1.3.4 composition des limites– Soit a, b et c, trois r´eels, soit I un inter- valle tel que a ∈ I, et soit f et g, deux fonctions r´eelles telles que Dg ◦ f contienne I {a}. On suppose qu’on a : lim x→a f(x) = b et lim x→b g(x) = c. Alors on a lim x→a g ◦ f(x) = c. Preuve : Soit (un)n∈N, une suite `a valeurs dans Dg ◦ f et qui tend vers a. Alors (f(un))n∈N est bien d´efinie et est `a valeurs dans Dg (pourquoi ?), et tend vers b. Donc (g ◦ f(un))n∈N tend vers c. On imagine les nombreuses variantes lorsqu’on remplace des valeurs finies par des valeurs infinies pour a, b, ou c. Elles sont toutes vraies d`es qu’on peut ´etudier g ◦ f au voisinage de a ∈ R ∪ {±∞}.
  7. 7. 1. LIMITES DE FONCTIONS NUM´ERIQUES 83 Exemple : Calculer lim x→+∞ sin 1 x . Un exercice classique : On se propose de montrer que sin x x tend vers 1 quand x tend vers 0. 1. Soit x ∈]0, π 2 [. Dessiner dans C le secteur S d´ecrit par les λeiθ, avec 0 ≤ θ ≤ x et 0 ≤ λ ≤ 1. Quelle est l’aire de S sachant qu’elle est proportionnelle `a x ? 2. En comparant le rectangle de sommets 0, i sin x, eix, cos x avec S, montrer que sin x ≤ x. 3. A l’aide d’une autre comparaison d’aires, montrer qu’on a x ≤ tan x. 4. Montrer : lim x→0 sin x = 0, puis montrer le r´esultat cherch´e. 1.4 ´Equivalents On vient de montrer que lorsque x tend vers 0, sin x ressemble beaucoup `a x : Si on regarde au microscope le graphe de sin x autour du point (0, 0), plus on augmente le grossissement, moins on voit la diff´erence avec le graphe de x. On dit que x est un ´equivalent de sin x quand x → 0. D´efinition 1.4.1 – Soit f et g deux fonctions num´eriques, soit a ∈ R. On dit que f et g sont ´equivalentes (on note f ∼ g) au voisinage de a− (resp. +∞)lorsqu’on peut ´etudier f et g `a gauche de a (resp. au voisinage de +∞) et qu’il existe une fonction h telle pour tout x < a suffisamment proche de a (resp. pour tout x suffisamment grand), on ait f(x) = g(x)h(x) et lim x→a− h(x) = 1. Exercice. Trouver la d´efinition de deux fonctions ´equivalentes au voisinage de a+ et de −∞. D´efinition 1.4.2 – Soit f et g deux fonctions num´eriques, soit a ∈ R. On dit que f et g sont ´equivalentes (on note f ∼ g) au voisinage de a lorsqu’on est dans l’un des trois cas suivants : (i) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a+ et de a−; (ii) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a+ mais ne sont pas d´efinies sur un certain intervalle de la forme ]b, a[ (b < a); (iii) f et g sont ´equivalentes au voisinage de a− mais ne sont pas d´efinies sur un certain intervalle de la forme ]a, b[ (b > a). Remarques : • la notion d’´equivalent n’a pas d’int´eret pour une limite finie, non nulle,car la notion de limite est alors suffisante et ´equivalente. • Si on a lim x→a f(x) g(x) = 1 alors f ∼ g quand x tend vers a. • Lorsque a = ±∞, plus on ”regarde de loin”, moins on voit la diff´erence entre les graphes de f et de g.
  8. 8. 84 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E Exemples fondamentaux : 1. Soit f, une fonction polynomiale d´efinie par f(x) = n i=m aixi , avec 0 ≤ m ≤ n, am et an non nuls. Alors on a f(x) ∼ amxm au voisinage de 0 et f(x) ∼ anxn au voisinage de ±∞ (le prouver). 2. De sin x ∼ x (x → 0), on d´eduit tan x ∼ x (x → 0). 3. ln(1 + x) ∼ x (x → 0) (vu en terminale). Proposition 1.4.3 r`egles ´el´ementaires– Au voisinage de a+ (resp. a−), (resp. +∞), (resp. −∞), on a : 1. Si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2, alors f1 g1 ∼ f2 g2. 2. Si f1 ∼ f2, alors 1 f1 ∼ 1 f2 . 3. Si f1 ∼ f2, et n ∈ N, alors f1 n ∼ f2 n . 4. Si f1 ∼ f2 et si f2 ∼ f3, alors f1 ∼ f3. D´emonstration imm´ediate. Proposition 1.4.4 – On a f1(x) ∼ f2(x) (x → 0+) si et seulement si f1(1/y) ∼ f2(1/y) (y → +∞). Preuve : Soit h ]0, η[→ R telle que f1 = f2h sur ]0, η[ et que lim x→0+ h(x) = 1. Alors on a lim y→+∞ h( 1 y ) = 1. Exemple : Donner un ´equivalent de sin(1/x) quand x → +∞. Exercice. 1. Montrer que √ 1 + x − 1 ∼ x/2 (x → 0). 2. En d´eduire que 1 − cos x ∼ x2/2 (x → 0). 3. (ind´ependant) Soit a et b ∈ R∗. calculer lim x→0 sin ax bx . En revanche on peut avoir f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 sans avoir f1 + g1 ∼ f2 + g2 ni ef1 ∼ ef2 . Donner des exemples. Exercice. Donner un ´equivalent de √ x4 + x3 − x2 au voisinage de +∞.
  9. 9. 2. CONTINUIT´E 85 2 Continuit´e 2.1 Continuit´e en un point D´efinition 2.1.1 – Soit f une fonction num´erique et a ∈ Df , qui est une r´eunion d’intervalles non r´eduits `a un point. On dit que f est continue en a lorsqu’ on a lim x→a f(x) = f(a), exemple : Montrer que sin(a + b) → sin a quand b → 0, en d´eduire que la fonction sinus est continue en tout a ∈ R. Intuitivement, il est peut-ˆetre plus facile de comprendre ce qu’est la non-continuit´e ou discontinuit´e en a : il existe une suite (un)n∈N tendant vers a et `a valeurs dans Df ne convergeant pas vers f(a). Cela vient du r´esultat important qui suit : Th´eor`eme 2.1.2 – Soit f : D → R et soit a ∈ D. Il y a ´equivalence entre : (i) f est continue en a et (ii) pour toute suite (un) `a valeurs dans D et de limite a, la suite (f(un)) converge vers f(a). Preuve : On suppose toujours que D est une r´eunion d’intervalles non r´eduits `a un point. D’apr`es 1.2.3 et la d´efinition, le r´esultat est clair. Exemple : En quels points de R la fonction x − E(x) est-elle continue ? Exercice. Calculer lim 1 + 1 n n . Rappelons quelques propri´et´es bien connues : Proposition 2.1.3 (i) La somme et le produit de deux fonctions continues en a sont des fonctions continues en a. (ii) Si f est continue en a et si f(a) = 0, alors 1 f est continue en a. (iii) Si f est continue en a et si g est continue en f(a), alors g ◦ f est continue en a. La preuve de (i) et (ii) d´ecoule directement du th´eor`eme 2.1.2 et des r´esultats sur les suites. Montrons (iii)`a l’aide de ce mˆeme th´eor`eme : Soit (un)n∈N, une suite tendant vers a. Alors la suite (f(un))n∈N tend vers f(a), et la suite (g(f(un)))n∈N tend vers g(f(a)). 2.2 Continuit´e `a droite et `a gauche Savoir qu’une fonction f est continue en un point a aide `a connaˆıtre le comportement (existence ou non d’une limite) d’une suite ou d’une fonction o`u intervient f. Il arrive que la restriction de f `a Df ∩] − ∞, a] ou Df ∩ [a, +∞[ suffise `a nous informer, d’o`u l’int´erˆet de la notion de continuit´e de f `a droite ou `a gauche d’un r´eel a. D´efinition 2.2.1 – Soit f une fonction r´eelle de variable r´eelle et a ∈ Df . On dit que f est continue `a gauche (resp. `a droite) en a lorsque f|(Df ∩]−∞,a]) (resp.f|(Df ∩[a,+∞[)) est continue en a.
  10. 10. 86 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E Exercice. Etudier la continuit´e de la fonction partie enti`ere `a droite et `a gauche de 0. Remarques. • Si f est continue `a droite et `a gauche en a, alors f est continue en a. La r´eciproque est-elle vraie ? • Bien sˆur, les affirmations (i) et (ii) de la proposition 2.1.3 restent vraies pour la continuit´e `a gauche et `a droite. • Soit f(x) = sin x et g(x) = E(x). Etudier la continuit´e `a droite de g ◦ f en π 2 . 2.3 Continuit´e d’une fonction sur un intervalle D´efinition 2.3.1 – Soit f une fonction r´eelle de variable r´eelle d´efinie sur un intervalle I. On dit que f est continue lorsqu’elle est continue en tout x ∈ I. On peut g´en´eraliser cette d´efinition `a une r´eunion d’intervalles (non ponctuels). Nous avons imm´ediatement les propri´et´es suivantes : Proposition 2.3.2 – Soit I, un intervalle. Alors : (i) La somme et le produit de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues sur I. (ii) Si f est continue sur I et ne s’annule pas, alors 1 f est continue sur I. (iii) Si f est continue sur I, si g est continue sur J, et si f(I) ⊂ J, alors g ◦ f est continue sur I. Exercice. Soit f : R → R d´efinie par f(x) = x2 + 1 si x < 0 et f(x) = 1 1 + x si x ≥ 0. Montrer que f est continue sur R (utiliser la continuit´e `a gauche et `a droite en 0). Montrer que si on change la valeur de f(0) (et seulement elle), alors f ne sera plus continue en 0. Voici un crit`ere simple pour montrer qu’une fonction est continue : Proposition 2.3.3 –Soit a < b < c ∈ R, soit f :]a, c[→ R, une fonction continue sur ]a, b[ et sur ]b, c[. Alors f est continue sur ]a, c[ si et seulement si lim x→b− f(x) = lim x→b+ f(x) = f(b). C’est ´evident. Proposition 2.3.4 prolongement par continuit´e– Soit f d´efinie sur un intervalle I priv´e d’un point a, et continue sur I {a} (qui n’est pas forc´ement un intervalle). Si on a lim x→a f(x) = l ∈ R alors f admet un unique prolongement continu `a I en posant f(x) = l. Toujours aussi ´evident.
  11. 11. 2. CONTINUIT´E 87 2.4 Th´eor`emes fondamentaux sur les fonctions continues T.P. En tra¸cant le graphe de la fonction sinus sur [0, π/2], on voit que celle-ci vaut 1/4 en un point. Au moyen d’une calculatrice, on va chercher une valeur approch´ee d’un r´eel x0 ∈ [0, π/2], tel que sin x0 = 1/4. Plutˆot que de chercher au hasard, on adopte la m´ethode suivante : On calcule que sin(π/4) > 1/4, on recherche alors x0 dans [0, π/4] ; on compare sin(π/8) et 1/4, si sin(π/8) = 1/4, on a fini, si sin(π/8) < 1/4, on recherche x0 dans [π/8, π/4], et si sin(π/8) > 1/4, on recherche x0 dans [0, π/8], et ainsi de suite (dichotomie sur l’ensemble de d´epart). 1. A la ke ´etape, avec quelle pr´ecision connaˆıt-on x0 ? 2. V´erifier que les valeurs calcul´ees sont assez vite proches de 1/4. 3. ”Passage `a la limite”. Supposons que le proc´ed´e n’a pas de fin. On construit par la pens´ee (c’est `a dire par r´ecurrence) une suite d’intervalles emboˆıt´es [an, bn] avec sin an < 1/4 < sin bn et bn − an = (1/2n)(π/2). Montrer que le r´eel commun `a tous les [an, bn] est une solution de notre probl`eme. On a montr´e dans un cas particulier mais sans perdre de g´en´eralit´e le r´esultat suivant : Th´eor`eme 2.4.1 des valeurs interm´ediaires– Soit f, une fonction continue sur un intervalle [a, b] (a < b) telle que f(a) = f(b). Tout r´eel compris strictement entre f(a) et f(b) admet au moins un ant´ec´edent dans ]a, b[. Remarque : Contrairement `a l’exemple ´etudi´e, c n’est pas forc´ement unique. La m´ethode donne en pratique la valeur apprch´e d’une seule des solutions. Corollaire 2.4.2 –L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Preuve : Soit f, une fonction continue sur un intervalle I, montrons que f(I) est un inter- valle. Rappelons qu’un intervalle est une partie J de R qui v´erifie que si α et β sont des ´el´ements (distincts) de J, alors tout r´eel compris entre α et β appartient `a J. Soit α et β, ´el´ements de f(I), soit γ entre α et β, alors il existe a, b ∈ I tels que f(a) = α et f(b) = β. D’apr`es 2.4.1, il existe c entre a et b, donc dans I, tel que f(c) = γ, on a donc γ ∈ f(I). Exercice. Donner un exemple o`u : • l’image d’un intervalle ouvert par une fonction continue est un intervalle ferm´e, • l’image d’un intervalle ferm´e par une fonction continue est un intervalle ouvert, • l’image d’un intervalle born´e par une fonction continue est un intervalle non born´e, • l’image d’un intervalle non born´e par une fonction continue est un intervalle born´e. Corollaire 2.4.3 –Si f est continue et strictement croissante (resp. d´ecroissante) sur [a, b], alors c’est une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)] (resp. [f(b), f(a)]) et f −1 est stricte- ment croissante (resp. d´ecroissante) et continue.
  12. 12. 88 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E Preuve dans le cas croissant : On sait d´eja que f est injective et que f−1 existe sur Im(f) et est strictement croissante. D’apr`es 2.4.2, Im(f) = [f(a), f(b)]. Nous avons donc une bijection croissante f−1 de [f(a), f(b)] sur [a, b]. Il suffit donc de montrer que toute bijection croissante g d’un intervalle [c, d] sur un intervalle [r, s] est continue, ce qui est un r´esultat int´eressant en soi. Montrons que g est continue `a droite en tout point de [c, d[. Soit x ∈ [c, d[, soit ε > 0, posons m = min{g(x) + ε, s}. On a ”clairement” g−1([g(x), m]) = [x, g−1(m)], et il existe η > 0 tel que x + η < g−1(m). Alors on a g([x, x + η]) ⊂ [g(x), g(x) + ε] ⊂ [g(x) − ε, g(x) + ε]. De mˆeme(?), g est continue `a gauche en tout point de ]c, d], donc g est continue. On peut par exemple en d´eduire simplement l’existence et la continuit´e des fonctions racine ni`eme sur R+ (n ∈ N∗). Enfin, le r´esultat le plus important pour ce qui suivra : Th´eor`eme 2.4.4 – Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b], alors il existe c ≤ d ∈ R tels que f([a, b]) = [c, d]. Preuve : Montrons que f([a, b]), not´e I0, admet un plus grand ´el´ement d. Une fois de plus on recourt `a la dichotomie (cette fois sur l’ensemble de d´epart). On compare les ensembles E0 = f([a, a+b 2 ]) et F0 = f([a+b 2 , b]) de la mani`ere suivante : Etant donn´ees deux parties A et B de R, on dira que A domine B quand tout {y} ⊂ B est major´e par un x ∈ A. On a forc´ement A qui domine B ou B qui domine A ou les deux (exercice), on remarque aussi que c’est une relation transitive (mais pas une relation d’ordre). De plus si A domine B, alors A domine A ∪ B. Si E0 domine F0, alors on pose I1 = [a, a+b 2 ], sinon, on pose I1 = [a+b 2 , b] et on remarque que f(I1) domine f(I0) = E0 ∪ F0. Par r´ecurrence, on construit une suite d’intervalles emboˆıt´es In dont la largeur tend vers 0 : Soit In = [an, bn], En = f([an, an+bn 2 ]) et Fn = f([an+bn 2 , bn]) etc. Soit δ, l’intersection de tous les In, alors f(δ) est le maximum de f. En effet, soit x ∈ [a, b] alors pour tout n il existe δn ∈ In tel que f(δn) ≥ f(x) car f(In) domine f(I0) (par transitivit´e), mais on a f(δ) = lim f(δn) car δn → δ et parce que f est continue. De mˆeme on montre que f([a, b]) admet un plus petit ´el´ement c, et on conclut par 2.4.2. Remarques : • En g´en´eral, on a c = f(a) et d = f(b) (trouver des exemples). • Les valeur c et d peuvent ˆetre atteintes un nombre infini de fois, par exemple si f est constante. • La m´ethode ci-dessus ne permet pas concr`etement de d´eterminer c et d en l’absence d’hypoth`eses suppl´ementaires. • Montrer par un exemple que l’hypoth`ese de la continuit´e de f est n´ecessaire, toutes choses ´etant ´egales par ailleurs. 3 Exercices ce que vous devez savoir faire :
  13. 13. 3. EXERCICES 89 • avoir au moins une intuition de la notion de limite (en termes de ”pour x assez proche de... f(x) est aussi proche que l’on veut de...”), soutenue par le crit`ere en termes de suite, et le graphisme. • utiliser (correctement) la notion d’´equivalence pour d´eterminer des limites. • utiliser des changements de variables pour passer d’une limite quand x → 0 `a une limite quand x → a, ou quand x → ∞, etc. • trouver le domaine de continuit´e d’une fonction donn´ee. • d´eterminer si une fonction d´efinie par morceaux est continue. • connaˆıtre et comprendre l’´enonc´e des th´eor`emes fondamentaux. 3.1 On consid`ere deux fonctions f et g et x0 un nombre r´eel tels que limx→x0 f(x) = l et limx→x0 g(x) = l . Montrer en utilisant la d´efinition que limx→x0 (f(x) + g(x)) = l + l . 3.2 Soit f une fonction d´efinie sur R telle que limx→+∞ f(x) = 1.Montrer qu’il existe un r´eel A tel que f soit positive sur l’intervalle [A, +∞[. 3.3 Montrer qu’une fonction p´eriodique d´efinie sur R admettant une limite finie en +∞ est constante. 3.4 Etudier la limite quand x tend vers +∞ de x √ x + cos x, de 1 x − 2 sin x. 3.5 Etudier la limite quand x tend vers 0 de sin x sin( 1 x ). 3.6 Etudier lim x→0 x2 1 − cos x , lim x→0 sin(sin x) x2 et lim x→+∞ x sin( 1 x ). 3.7 D´eterminer les limites ´eventuelles suivantes: lim x→1 x2 − 1 |x| − 1 lim x→1 x3 + 1 x2 − 1 lim x→−1 x3 + 1 x2 − 1 lim x→1 xn − 1 xp − 1 n, p ∈ N∗ lim x→−∞ x + 1 − √ x2 + 2 x − 3 lim x→+∞ x2 + x + 2 − x − m m ∈ R lim x→+∞ x + ln x 2x + sin x lim x→0 x sin(1/x) lim x→+∞ ( x − 1 2x + 1 )x2 lim x→0 sin x ln(1 + x) 3.8
  14. 14. 90 CHAPITRE 5. LIMITES ET CONTINUIT´E 1. Par deux ´etudes de fonctions, montrer qu’on a pour tout x ∈]0, π[ 1 − x2 2 < cos x. puis montrer qu’on a pour tout x ∈]0, π[ x − x3 6 < sin x. 2. En d´eduire la valeur de lim x→0+ (1/ sin x − 1/x). 3.9 Soit f une fonction continue sur R admettant des limites finies en +∞ et −∞. Montrer que f est born´ee. 3.10 Soit f une fonction continue sur [0, +∞[ telle que limx→+∞ f(x) = l (l ∈ R). Montrer que f est born´ee sur [0, +∞[. 3.11 Soit f une fonction num´erique continue sur un intervalle I =]a, b[ de R. On suppose qu’il existe x0 appartenant `a I tel que f(x0) > 0. Montrer qu’alors il existe un intervalle J ⊂ I tel que f soit strictement positive sur J. 3.12 Donner l’exemple d’une fonction f non continue sur un intervalle et telle que f2 soit continue sur cet intervalle. 3.13 Etudier la continuit´e de la fonction f d´efinie sur R par : f(x) = 1 xe −1 x2 si x = 0 0 si x = 0 3.14 Peut-on prolonger par continuit´e en 0 la fonction h d´efinie sur R∗ par: h(x) = sin(1/x) exp(1/x) + 1 3.15 Peut-on prolonger par continuit´e en 0 les fonctions d´efinies sur [−1, 0[∪]0, 1] par x ln |x|, x ln | sin x|? 3.16 Peut-on prolonger par continuit´e la fonction la fonction f(x) = e−( 1 sin x ) 2 ? 3.17 P est un polynˆome impair non nul. 1. Montrer que l’´equation eP(x) + P(x) = 0 admet au moins une solution r´eelle. 2. Lorsque P(x) = x, montrer que la solution est unique et en donner une valeur approch´ee `a 0, 1 pr`es.
  15. 15. 3. EXERCICES 91 3.18 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application continue. Montrer que f admet au moins un point fixe, c’est-`a-dire qu’il existe α dans [0, 1] tel que f(α) = α (On pourra consid´erer la fonction h(x) = f(x) − x) . Montrer que l’hypoth`ese de continuit´e est n´ecessaire. Si l’on remplace [0, 1] par [0, 1[ le r´esultat est-il encore vrai? 3.19 Montrer que la fonction d´efinie par h(x) = ln(1 + sin x) cos x , r´ealise une bijection de [0, π 2 [ dans [0, +∞[. 3.20 On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par : f(x) = x 1 + |x| . Montrer que c’est une bijection de R sur ] − 1, 1[ et d´eterminer son application r´eciproque f−1. 3.21 Montrer que pour tout λ appartenant `a [0, +∞[ le polynome x3 + λx + 1 admet une unique racine r´eelle. On la note f(λ). Montrer que la fonction f ainsi d´efinie est strictement croissante sur [0, +∞[. Montrer que f r´ealise une bijection de [0, +∞[ dans [−1, 0[ et d´eterminer f−1. 3.22 Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b] telles que pour tout x ∈ [a, b] f(x) > g(x). Montrer qu’il existe m > 0 tel que pour tout x ∈ [a, b] f(x) > g(x) + m. Le r´esultat reste-t-il vrai si l’on remplace dans l’exercice, [a, b] par R? 3.23 Julien a parcouru six kilom`etres en une heure. Montrer qu’il a forc´ement parcouru trois kilom`etres pendant une p´eriode de trente minutes. On supposera que la distance parcourue est une fonction continue du temps, ce qui semble raisonnable.

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