Corrigé de l'exercice 3 du BAC Spé Maths session Amérique du Nord 2021. Thème : géométrie dans l'espace

1. BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021
Exercice 3 : Géométrie dans l'espace
Clément Boulonne (CBMaths)
30 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 1 / 26

2. Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2a
Question 2b
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 2 / 26

3. Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 3 / 26

4. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les questions 1 à 5 de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 4 / 26

5. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les questions 1 à 5 de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du
segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K
est le milieu du segment [AE].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 4 / 26

6. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les questions 1 à 5 de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du
segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K
est le milieu du segment [AE].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 4 / 26

7. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les questions 1 à 5 de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du
segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K
est le milieu du segment [AE].
1 Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justier la réponse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 4 / 26

8. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

9. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

10. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

11. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

12. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

13. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

14. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
4 Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

15. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
4 Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
5 Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 5 / 26

16. Corrigé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 6 / 26

17. Corrigé Question 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2a
Question 2b
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 7 / 26

18. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les questions 1 à 5 de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du
segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K
est le milieu du segment [AE].
1 Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justier la réponse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 8 / 26

19. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justier la réponse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 9 / 26

20. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justier la réponse.
La droite (AI) est entièrement incluse dans le plan (ABE) et la droite
(KH) est entièrement incluse dans le plan (ADE).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 9 / 26

21. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justier la réponse.
La droite (AI) est entièrement incluse dans le plan (ABE) et la droite
(KH) est entièrement incluse dans le plan (ADE).
Si les deux droites (AI) et (KH) s'intersectent, ils se rencontrent dans
l'intersection des deux plans (ABE) et (ADE), c'est-à-dire sur l'arête
[AE].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 9 / 26

22. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justier la réponse.
La droite (AI) est entièrement incluse dans le plan (ABE) et la droite
(KH) est entièrement incluse dans le plan (ADE).
Si les deux droites (AI) et (KH) s'intersectent, ils se rencontrent dans
l'intersection des deux plans (ABE) et (ADE), c'est-à-dire sur l'arête
[AE].
Or (KH) ∩ (AE) = {K} et (AI) ∩ (AE) = {A} et le point A est
distinct du point K.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 9 / 26

23. Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justier la réponse.
La droite (AI) est entièrement incluse dans le plan (ABE) et la droite
(KH) est entièrement incluse dans le plan (ADE).
Si les deux droites (AI) et (KH) s'intersectent, ils se rencontrent dans
l'intersection des deux plans (ABE) et (ADE), c'est-à-dire sur l'arête
[AE].
Or (KH) ∩ (AE) = {K} et (AI) ∩ (AE) = {A} et le point A est
distinct du point K.
Conclusion : les droites (AI) et (KH) sont parallèles.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 9 / 26

24. Corrigé Question 2a
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2a
Question 2b
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 10 / 26

25. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
4 Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
5 Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 11 / 26

26. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 12 / 26

27. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que I est le milieu du segment [EF]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
#»
EI =
1
2
# »
EF.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 12 / 26

28. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que I est le milieu du segment [EF]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
#»
EI =
1
2
# »
EF.
Ainsi :
#»
AI =
# »
AE +
#»
EI =
# »
AE +
1
2
# »
EF.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 12 / 26

29. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que I est le milieu du segment [EF]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
#»
EI =
1
2
# »
EF.
Ainsi :
#»
AI =
# »
AE +
#»
EI =
# »
AE +
1
2
# »
EF.
Or, le vecteur
# »
EF est égal au vecteur
# »
AB car ils décrivent deux arêtes
parallèles d'une même face du cube.
#»
AI =
# »
AE +
1
2
# »
AB =
1
2
# »
AB +
# »
AE.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 12 / 26

30. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que I est le milieu du segment [EF]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
#»
EI =
1
2
# »
EF.
Ainsi :
#»
AI =
# »
AE +
#»
EI =
# »
AE +
1
2
# »
EF.
Or, le vecteur
# »
EF est égal au vecteur
# »
AB car ils décrivent deux arêtes
parallèles d'une même face du cube.
#»
AI =
# »
AE +
1
2
# »
AB =
1
2
# »
AB +
# »
AE.
Conclusion : le point I a pour coordonnées
1
2
; 0 ; 1
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 12 / 26

31. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 13 / 26

32. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que J est le milieu du segment [BC]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
# »
BJ =
1
2
# »
BC.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 13 / 26

33. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que J est le milieu du segment [BC]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
# »
BJ =
1
2
# »
BC.
Ainsi :
# »
AJ =
# »
AB +
# »
BJ =
# »
AB +
1
2
# »
BC.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 13 / 26

34. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que J est le milieu du segment [BC]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
# »
BJ =
1
2
# »
BC.
Ainsi :
# »
AJ =
# »
AB +
# »
BJ =
# »
AB +
1
2
# »
BC.
Or, le vecteur
# »
BC est égal au vecteur
# »
AD car ils décrivent deux arêtes
parallèles d'une même face du cube.
# »
AJ =
# »
AB +
1
2
# »
AD.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 13 / 26

35. Corrigé Question 2a
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Donner les coordonnées des points I et J.
On rappelle que J est le milieu du segment [BC]. On a donc l'égalité
vectorielle suivante :
# »
BJ =
1
2
# »
BC.
Ainsi :
# »
AJ =
# »
AB +
# »
BJ =
# »
AB +
1
2
# »
BC.
Or, le vecteur
# »
BC est égal au vecteur
# »
AD car ils décrivent deux arêtes
parallèles d'une même face du cube.
# »
AJ =
# »
AB +
1
2
# »
AD.
Conclusion : le point J a pour coordonnées
1 ;
1
2
; 0
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 13 / 26

36. Corrigé Question 2b
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2a
Question 2b
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 14 / 26

37. Corrigé Question 2b
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
4 Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
5 Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 15 / 26

38. Corrigé Question 2b
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 16 / 26

39. Corrigé Question 2b
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
Les vecteurs
# »
AE


0
0
1

 et
# »
AC


1
1
0

 ne sont pas colinéaires.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 16 / 26

40. Corrigé Question 2b
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
Les vecteurs
# »
AE


0
0
1

 et
# »
AC


1
1
0

 ne sont pas colinéaires.
On cherche donc deux réels α et β tel que
#»
IJ = α
# »
AE + β
# »
AC. Le
vecteur
#»
IJ a pour coordonnées


1/2
1/2
−1

.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 16 / 26

41. Corrigé Question 2b
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
Les vecteurs
# »
AE


0
0
1

 et
# »
AC


1
1
0

 ne sont pas colinéaires.
On cherche donc deux réels α et β tel que
#»
IJ = α
# »
AE + β
# »
AC. Le
vecteur
#»
IJ a pour coordonnées


1/2
1/2
−1

.





1
2 = 0 × α + 1 × β
1
2 = 0 × α + 1 × β
−1 = 1 × α + 0 × β
⇔
(
α = −1
β = 1
2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 16 / 26

42. Corrigé Question 2b
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
Les vecteurs
# »
AE


0
0
1

 et
# »
AC


1
1
0

 ne sont pas colinéaires.
On cherche donc deux réels α et β tel que
#»
IJ = α
# »
AE + β
# »
AC. Le
vecteur
#»
IJ a pour coordonnées


1/2
1/2
−1

.





1
2 = 0 × α + 1 × β
1
2 = 0 × α + 1 × β
−1 = 1 × α + 0 × β
⇔
(
α = −1
β = 1
2
.
Conclusion : les vecteurs
# »
AE et
# »
AC ne sont pas colinéaires et il existe
deux réels α et β tel que
#»
IJ = α
# »
AE + β
# »
AC.
Donc les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 16 / 26

43. Corrigé Question 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2a
Question 2b
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 17 / 26

44. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
4 Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
5 Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 18 / 26

45. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 19 / 26

46. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
S'il existe un point d'intersection entre d1 et d2 alors t vérie
l'équation 8 − 2t = 1 + t :
8 − 2t = 1 + t ⇔ 7 = 3t ⇔ t =
7
3
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 19 / 26

47. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
S'il existe un point d'intersection entre d1 et d2 alors t vérie
l'équation 8 − 2t = 1 + t :
8 − 2t = 1 + t ⇔ 7 = 3t ⇔ t =
7
3
.
Or −2 + 3 ×
7
3
= −2 + 7 = 5 et 8 + 2 ×
7
3
= 8 +
14
3
=
38
3
6= 5.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 19 / 26

48. Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
S'il existe un point d'intersection entre d1 et d2 alors t vérie
l'équation 8 − 2t = 1 + t :
8 − 2t = 1 + t ⇔ 7 = 3t ⇔ t =
7
3
.
Or −2 + 3 ×
7
3
= −2 + 7 = 5 et 8 + 2 ×
7
3
= 8 +
14
3
=
38
3
6= 5.
Conclusion : les droites d1 et d2 sont parallèles.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 19 / 26

49. Corrigé Question 4
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2a
Question 2b
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 20 / 26

50. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
4 Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
5 Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 21 / 26

51. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 22 / 26

52. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
Si T (x ; y ; z) ∈ d2 alors ses coordonnées vérient :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 22 / 26

53. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
Si T (x ; y ; z) ∈ d2 alors ses coordonnées vérient :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
Est-ce qu'il existe t ∈ R tel que T ∈ P ? On remplace les coordonnées
de T (en t) dans l'équation cartésienne du plan P :
4 + t + 3(1 + t) − 2(8 + 2t) + 2 = 0
⇔ 4 + t + 3 + 3t − 16 − 4t + 2 = 0
⇔ 4t − 4t = −4 − 3 + 16 − 2 ⇔ 0 = 7.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 22 / 26

54. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
Si T (x ; y ; z) ∈ d2 alors ses coordonnées vérient :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
Est-ce qu'il existe t ∈ R tel que T ∈ P ? On remplace les coordonnées
de T (en t) dans l'équation cartésienne du plan P :
4 + t + 3(1 + t) − 2(8 + 2t) + 2 = 0
⇔ 4 + t + 3 + 3t − 16 − 4t + 2 = 0
⇔ 4t − 4t = −4 − 3 + 16 − 2 ⇔ 0 = 7.
Cette équation n'a pas de solution donc il n'existe pas de t ∈ R tel
que T ∈ P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 22 / 26

55. Corrigé Question 4
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
Si T (x ; y ; z) ∈ d2 alors ses coordonnées vérient :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
Est-ce qu'il existe t ∈ R tel que T ∈ P ? On remplace les coordonnées
de T (en t) dans l'équation cartésienne du plan P :
4 + t + 3(1 + t) − 2(8 + 2t) + 2 = 0
⇔ 4 + t + 3 + 3t − 16 − 4t + 2 = 0
⇔ 4t − 4t = −4 − 3 + 16 − 2 ⇔ 0 = 7.
Cette équation n'a pas de solution donc il n'existe pas de t ∈ R tel
que T ∈ P.
Conclusion : la droite d2 est parallèle au plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 22 / 26

56. Corrigé Question 5
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2a
Question 2b
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 23 / 26

57. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé (A;
# »
AB,
# »
AD,
# »
AE).
2 a Donner les coordonnées des points I et J.
b Montrer que les vecteurs
#»
IJ,
# »
AE et
# »
AC sont coplanaires.
On considère le plan P d'équation x + 3y − 2z + 2 = 0 ainsi que les
droites d1 et d2 dénies par les représentations paramétriques
ci-dessous.
d1 :





x = 3 + t
y = 8 − 2t
z = −2 + 3t
, t ∈ R et d2 :





x = 4 + t
y = 1 + t
z = 8 + 2t
, t ∈ R.
3 Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justier votre réponse.
4 Montrer que la droite d2 est parallèle au plan P.
5 Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 24 / 26

58. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 25 / 26

59. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Un vecteur normal au plan P est


1
3
−2

.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 25 / 26

60. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Un vecteur normal au plan P est


1
3
−2

.
On en déduit une représentation paramétrique de la droite
perpendiculaire au plan P passant par M (5 ; 3 ; 1).





x = t + 5
y = 3t + 3
z = −2t + 1
, t ∈ R.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 25 / 26

61. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 26 / 26

62. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Or L a pour coordonnées (4 ; 0 ; 3) et :





4 = t + 5
0 = 3t + 3
3 = −2t + 1
⇔ t = −1
et 4 + 3 × 0 − 2 × 3 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 26 / 26

63. Corrigé Question 5
BAC SpéMaths AdN2021 - Géométrie dans l'espace
Montrer que le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Or L a pour coordonnées (4 ; 0 ; 3) et :





4 = t + 5
0 = 3t + 3
3 = −2t + 1
⇔ t = −1
et 4 + 3 × 0 − 2 × 3 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0.
Conclusion : le point L (4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point
M (5 ; 3 ; 1) sur le plan P.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.3 30 mai 2021 26 / 26