exercices de la dynamique des structures avec la correction

1. EPFL
IMAC-IS-ENAC
Cours de Dynamique des structures
Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi
Série 4
-Corrigé-
Corrigé de la série d'exercices N°4
Exercice 1
1. Amplitude des oscillations de la machine : max d stat
x R 
 
Le déplacement statique vaut :
4
0
4.5 10
stat
F
m
K


 
Le facteur d’amplification vaut : 2 2
2 2
2 2
1
(1 ) 4
d
n n
R
Avec : 2 314
f rad s
 
   ; 70.7
n
K
rad s
m
   ; 4.44
n


 ; ζ 0.2

On trouve : Rd = 0.053
L’amplitude des oscillations de la machine :
4
max 0.2410
d stat
x R m
 
  
2. Amplitude de la force transmise au plancher :
2
2
,max 0 0 1 4
TR f d
n
F F R F R
Donc : 0,108
f
R
Et la force transmise au plancher vaut : ,max 49
TR
F N
NB : La force transmise au plancher vaut moins que l’effet de 5kg !!
3. En absence d’amortissement on a :
2
1
1
f d
n
R R
,max 0
TR f
F F R
Pour que la force transmise au plancher ne dépasse 10% de F0, il faut donc avoir : 0.1
f
R
Avec l’hypothèse : 1
n


 , on obtient :
2
1
0.1
1
f d
n
R R
Ce qui donne :
2
2
11
n
Et donc : 6
1.7910
k N m
Exercice 2
Période et pulsation de la perturbation : T=L/V=0.75 s ; = 2/T= 8.4 rad/s
Pulsation propre : n
K 3.16rad/s
M

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2
2
2
2 2
2
1 4
1 4
n
f
n n
R
Amplitude verticale subie par le véhicule : max g f
x x R
ζ 0
 : Rf = 0,17 ; max 5
x mm
ζ 0.4
 : Rf = 0,37 ; max 11
x mm
Exercice 3
1. Fréquence propre du dispositif d’appui :
On est dans le cas d’un mouvement de la fondation.
f=24 Hz, M=1000 kg, xg= 0.25 mm, xmax-eq=0.05 mm
max
2
2 24 2 150.8
0.05 1
0.05
0.25 5
(amortissement nul)
1 1
5
1
eq g f f
f d
f
n
f rads s
x x R R
R R
R
( 1 2 )
f n
R : enlever la valeur absolu requière un signe négatif !
2 2
1 1
1 1
5 1
6
61.6 / 9.8
n n
n
n
n n
rad s f Hz
2. Détermination de la rigidité du dispositif d’appui :
Les ressorts sont placés en parallèle, les rigidités maximales s’additionnent.
equ
n equ 1
2
1 1
K
et K 2K
M
M
K K 1.89 MN/m
2
n
3. Rigidité requise des ressorts, avec un amortissement =20%
2
2
n
f f
2
2 2
2
n n
1 4
1
R R
5
1 4
et

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2
n
2
2 2
2 2
2
n
2
equ n 1
Soit A , avec les valeurs numériques:
1 4 0.2 A
0.2 A 5.84A 24 0
(1 A) 4 0.2 A
5.84 5.84
d'où A 24 A 8.62
2 4
1
51.3 rad/s
A
K M 2.64 MN/m et K 1.32 MN/m
Remarque :
n
2.9 2
L’amortissement diminue les amplitudes. Le mouvement de la structure est hors phase. Il est donc logique que la
rigidité maximale des ressorts soit plus faible dans le cas avec amortissement. (cf. figure transmissibilité dans le
cours).