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Jhon582063

biodiversidad con uso de software

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466 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Ejemplo 11.8
En el problema anterior, encuentre la deflexión y rotación del punto C.
Solución
En este caso es necesario trabajar con la viga original y considerar dos elementos: AB y
BC. Como no piden averiguar las reacciones, se pueden eliminar los términos correspon-
dientes a desplazamientos nulos; queda entonces:
Para el tramo AB:
[ ] [ ][ ]
MBA B
= 6480 θ
Para el tramo BC:
EI / L = 7290 / 1.5 = 4860 kN⋅m
EI / L2
= 7290 / (1.5)2
= 3240 kN
EI / L3
= 7290 / (1.5)3
= 2160 kN/m
y por lo tanto:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
θ
θ
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
c
c
B
CB
C
BC
v
19440
19440
9720
19440
25920
19440
9720
19440
19440
M
Y
M
Superponiendo ahora y teniendo en cuenta que en B no se ha aplicado ningún momento
externo y por consiguiente MBA + MBC = 0:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
θ
θ
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
c
c
B
v
19440
19440
9720
19440
25920
19440
9720
19440
25920
0
20
0
y despejando los desplazamientos desconocidos:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
↓
−
−
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
−
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
=
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
θ
θ
−
rad
00772
.
0
m
01003
.
0
rad
00463
.
0
0
20
0
601
.
3
858
.
3
543
.
1
858
.
3
015
.
5
315
.
2
543
.
1
315
.
2
543
.
1
10
v 4
c
c
B
El primer valor coincide con el obtenido anteriormente. Los otros dos se pueden verificar
empleando la viga conjugada y las reacciones encontradas antes:
ANÁLISIS MATRICIAL 467
rad
00772
.
0
5
.
4
135
2
1
6
120
2
1
EI
1
C
=
¸
¹
·
¨
©
§ ×
−
×
=
θ
( ) ↓
=
»
¼
º
«
¬
ª +
−
×
= m
01003
.
0
3
5
.
1
75
.
303
6
3
2
360
EI
1
vC
que confirma la validez de las respuestas obtenidas.
Ejemplo 11.9
Resuelva la viga mostrada y halle su flecha máxima. EI es constante.
Solución
Al aplicar la ecuación (11.44) a los elementos de la figura derecha, se obtiene:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
=
θ
=
θ
=
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
−
−
=
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
0
v
0
0
v
L
/
8
L
/
24
L
/
4
L
/
24
L
/
24
L
/
96
L
/
24
L
/
96
L
/
4
L
/
24
L
/
8
L
/
24
L
/
24
L
/
96
L
/
24
L
/
96
EI
M
Y
M
Y
2
2
1
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
21
21
12
12
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
=
θ
=
=
θ
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
−
−
=
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
0
0
v
0
v
L
/
8
L
/
24
L
/
4
L
/
24
L
/
24
L
/
96
L
/
24
L
/
96
L
/
4
L
/
24
L
/
8
L
/
24
L
/
24
L
/
96
L
/
24
L
/
96
EI
M
Y
M
Y
3
3
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
32
32
23
23
en donde se ha tenido en cuenta la simetría para establecer que θ2 = 0. Ensamblando ahora
en el orden apropiado para obtener la matriz de rigidez de la estructura y sabiendo que:
Y21 + Y23 = P
M21 + M23 = 0
se llega a la siguiente expresión:
468 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
=
θ
=
=
θ
=
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
−
−
−
−
=
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª −
0
0
v
0
0
v
v
L
/
8
L
/
24
0
0
L
/
24
L
/
24
L
/
96
0
0
L
/
96
0
0
L
/
8
L
/
24
L
/
24
0
0
L
/
24
L
/
96
L
/
96
L
/
24
L
/
96
L
/
24
L
/
96
L
/
192
EI
M
Y
M
Y
P
3
3
1
1
2
2
2
2
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
3
3
32
32
12
12
en donde se han eliminado la fila y la columna correspondiente a θ2 por resultar
inoficiosa.
Expandiendo la primera fila:
[ ] [ ][ ]
2
3
v
L
/
192
EI
P =
−
→ ↓
−
=
EI
192
PL
v
3
2
y reemplazando este valor en la segunda parte:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
−
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
=
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
8
/
PL
2
/
P
8
/
PL
2
/
P
EI
192
PL
L
/
24
L
/
96
L
/
24
L
/
96
M
Y
M
Y
3
2
3
2
3
32
32
12
12
obviamente estos valores no son otros que las reacciones y momentos de empotramiento.
Ejemplo 11.10
Resuelva completamente la viga mostrada (tomado de la referencia 11.9).
Solución
Eliminando las columnas correspondientes a desplazamientos nulos, el planteamiento
matricial para los dos elementos separados queda así:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
θ
θ
=
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
−
=
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
2
2
1
1
2
2
3
2
2
2
3
2
21
21
12
12
v
0
v
L
/
12
L
/
54
L
/
6
L
/
54
L
/
324
L
/
54
L
/
6
L
/
54
L
/
12
L
/
54
L
/
324
L
/
54
EI
M
Y
M
Y
ANÁLISIS MATRICIAL 469
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
θ
=
θ
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
=
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
3
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
32
32
23
23
0
v
v
L
/
6
L
/
3
L
2
/
27
L
2
/
27
L
2
/
27
L
2
/
81
L
/
3
L
/
6
L
2
/
27
L
2
/
27
L
2
/
27
L
2
/
81
EI
M
Y
M
Y
Superponiendo ahora los dos elementos en el orden apropiado, resulta:
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
=
=
θ
θ
θ
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
−
−
−
=
»
»
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
«
«
¬
ª−
0
v
0
v
v
L
2
/
27
0
L
2
/
27
L
2
/
81
0
L
/
54
L
/
54
L
/
324
L
/
6
0
L
/
3
L
2
/
27
0
L
/
12
L
/
6
L
/
54
L
/
3
L
/
6
L
/
18
L
2
/
81
L
2
/
27
L
/
54
L
2
/
81
L
2
/
729
EI
Y
Y
0
0
M
P
2
1
3
1
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
3
1
Tomando ahora la parte superior:
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
θ
θ
θ
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
=
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª−
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3 v
L
/
6
0
L
/
3
L
2
/
27
0
L
/
12
L
/
6
L
/
54
L
/
3
L
/
6
L
/
18
L
2
/
81
L
2
/
27
L
/
54
L
2
/
81
L
2
/
729
EI
0
0
M
P
y por partición:
»
¼
º
«
¬
ª
θ
θ
»
¼
º
«
¬
ª
+
»
¼
º
«
¬
ª
θ
»
¼
º
«
¬
ª−
=
»
¼
º
«
¬
ª
3
1
2
2
2
2
L
/
6
0
0
L
/
12
EI
v
L
/
3
L
2
/
27
L
/
6
L
/
54
EI
0
0
→ »
¼
º
«
¬
ª
θ
»
¼
º
«
¬
ª−
»
¼
º
«
¬
ª
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
θ
θ
−
2
2
2
2
1
3
1
v
L
/
3
L
2
/
27
L
/
6
L
/
54
EI
6
/
L
0
0
L
/
12
EI
1
»
¼
º
«
¬
ª
θ
»
¼
º
«
¬
ª−
»
¼
º
«
¬
ª
−
=
−
2
2
2
2
1
v
L
/
3
L
2
/
27
L
/
6
L
/
54
EI
L
/
6
0
0
12
/
L
EI
1
»
¼
º
«
¬
ª
θ
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
−
=
2
2
v
2
/
1
L
4
/
9
2
/
1
L
2
/
9
y de la primera parte:
»
¼
º
«
¬
ª
θ
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
−
»
¼
º
«
¬
ª−
+
»
¼
º
«
¬
ª
θ
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
=
»
¼
º
«
¬
ª−
2
2
2
2
2
2
2
2
3
v
2
/
1
L
4
/
9
2
/
1
L
2
/
9
L
/
3
L
/
6
L
2
/
27
L
/
54
EI
v
L
/
18
L
2
/
81
L
2
/
81
L
2
/
729
EI
M
P
»
¼
º
«
¬
ª
θ
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
+
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
=
»
¼
º
«
¬
ª−
2
2
2
2
3
2
2
3
v
L
2
/
9
L
4
/
81
L
4
/
81
L
8
/
2187
EI
L
/
18
L
2
/
81
L
2
/
81
L
2
/
729
EI
M
P
470 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
»
¼
º
«
¬
ª
θ
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
=
2
2
2
2
3 v
L
2
/
27
L
4
/
81
L
4
/
81
L
8
/
729
EI
→ »
¼
º
«
¬
ª−
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
θ
−
M
P
L
2
/
27
L
4
/
81
L
4
/
81
L
8
/
729
EI
1
v
1
2
2
3
2
2
»
¼
º
«
¬
ª−
»
¼
º
«
¬
ª
=
M
P
9
/
L
81
/
L
2
81
/
L
2
293
/
L
4
EI
1
2
2
3
que equivale a:
v
L
EI
P
L
EI
M
2
3 2
4
243
2
81
= − +
θ2
2
2
81 9
= − +
L
EI
P
L
EI
M
se tenía:
»
¼
º
«
¬
ª−
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
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«
¬
ª
−
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
θ
θ
M
P
EI
9
/
L
EI
81
/
L
2
EI
81
/
L
2
EI
243
/
L
4
2
/
1
L
4
/
9
2
/
1
L
2
/
9
2
2
3
3
1
»
¼
º
«
¬
ª−
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
=
M
P
EI
9
/
L
EI
81
/
L
4
EI
18
/
L
EI
81
/
L
5
2
2
por consiguiente:
θ1
2
5
81 18
= − +
L
EI
P
L
EI
M
θ3
2
4
81 9
= −
L
EI
P
L
EI
M
En cuanto a las reacciones:
»
¼
º
«
¬
ª−
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
−
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
−
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
M
P
9
/
L
81
/
L
4
18
/
L
81
/
L
5
9
/
L
81
/
L
2
81
/
L
2
243
/
L
4
EI
1
L
2
/
27
0
L
2
/
27
L
2
/
81
0
L
/
54
L
/
54
L
/
324
EI
Y
Y
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
3
3
1
»
¼
º
«
¬
ª−
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
−
=
M
P
L
/
1
3
/
1
L
/
1
3
/
2
o sea que:
Y P
M
L
1
2
3
= +
ANÁLISIS MATRICIAL 471
Y P
M
L
3
1
3
= −
que fácilmente se pueden verificar por estática. Naturalmente, el proceso de inversión
podía haberse efectuado directamente, en cuyo caso:
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª−
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
=
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
¬
ª
θ
θ
θ
−
0
0
M
P
L
/
6
0
L
/
3
L
2
/
27
0
L
/
12
L
/
6
L
/
54
L
/
3
L
/
6
L
/
18
L
2
/
81
L
2
/
27
L
/
54
L
2
/
81
L
2
/
729
EI
1
v
1
2
2
2
2
2
2
3
3
1
2
2
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª−
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
−
−
−
−
−
−
=
0
0
M
P
3
/
L
6
/
L
9
/
L
81
/
L
4
6
/
L
3
/
L
18
/
L
81
/
L
5
9
/
L
18
/
L
9
/
L
81
/
L
2
81
/
L
4
81
/
L
5
81
/
L
2
243
/
L
4
EI
1
2
2
2
2
2
2
3
que equivale a lo obtenido anteriormente. Obsérvese que para el caso particular de las
cargas dadas habría bastado con calcular las dos primeras columnas de la matriz inversa.
Ejemplo 11.11
Resuelva la estructura de la figura. Para la viga, EI = 6400 kN⋅m2
y la constante del
resorte es k = 10000 kN/m. (Tomado de la referencia 11.9).
Solución
Las condiciones de apoyo son:
v1 = v3 = v4 = θ4 = 0
Escribiendo las matrices de rigidez individuales se tiene:
Para el elemento 1 – 2, θ = 90º
→ »
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
−
−
=
»
¼
º
«
¬
ª
2
1
21
12
v
v
10000
1000
10000
1000
Y
Y

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  • 1. 466 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS Ejemplo 11.8 En el problema anterior, encuentre la deflexión y rotación del punto C. Solución En este caso es necesario trabajar con la viga original y considerar dos elementos: AB y BC. Como no piden averiguar las reacciones, se pueden eliminar los términos correspon- dientes a desplazamientos nulos; queda entonces: Para el tramo AB: [ ] [ ][ ] MBA B = 6480 θ Para el tramo BC: EI / L = 7290 / 1.5 = 4860 kN⋅m EI / L2 = 7290 / (1.5)2 = 3240 kN EI / L3 = 7290 / (1.5)3 = 2160 kN/m y por lo tanto: » » » ¼ º « « « ¬ ª θ θ » » » ¼ º « « « ¬ ª − − − − = » » » ¼ º « « « ¬ ª c c B CB C BC v 19440 19440 9720 19440 25920 19440 9720 19440 19440 M Y M Superponiendo ahora y teniendo en cuenta que en B no se ha aplicado ningún momento externo y por consiguiente MBA + MBC = 0: » » » ¼ º « « « ¬ ª θ θ » » » ¼ º « « « ¬ ª − − − − = » » » ¼ º « « « ¬ ª − c c B v 19440 19440 9720 19440 25920 19440 9720 19440 25920 0 20 0 y despejando los desplazamientos desconocidos: » » » ¼ º « « « ¬ ª − ↓ − − = » » » ¼ º « « « ¬ ª − » » » ¼ º « « « ¬ ª = » » » ¼ º « « « ¬ ª θ θ − rad 00772 . 0 m 01003 . 0 rad 00463 . 0 0 20 0 601 . 3 858 . 3 543 . 1 858 . 3 015 . 5 315 . 2 543 . 1 315 . 2 543 . 1 10 v 4 c c B El primer valor coincide con el obtenido anteriormente. Los otros dos se pueden verificar empleando la viga conjugada y las reacciones encontradas antes:
  • 2. ANÁLISIS MATRICIAL 467 rad 00772 . 0 5 . 4 135 2 1 6 120 2 1 EI 1 C = ¸ ¹ · ¨ © § × − × = θ ( ) ↓ = » ¼ º « ¬ ª + − × = m 01003 . 0 3 5 . 1 75 . 303 6 3 2 360 EI 1 vC que confirma la validez de las respuestas obtenidas. Ejemplo 11.9 Resuelva la viga mostrada y halle su flecha máxima. EI es constante. Solución Al aplicar la ecuación (11.44) a los elementos de la figura derecha, se obtiene: » » » » ¼ º « « « « ¬ ª = θ = θ = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − − − = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª 0 v 0 0 v L / 8 L / 24 L / 4 L / 24 L / 24 L / 96 L / 24 L / 96 L / 4 L / 24 L / 8 L / 24 L / 24 L / 96 L / 24 L / 96 EI M Y M Y 2 2 1 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 21 21 12 12 » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª = θ = = θ » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 0 0 v 0 v L / 8 L / 24 L / 4 L / 24 L / 24 L / 96 L / 24 L / 96 L / 4 L / 24 L / 8 L / 24 L / 24 L / 96 L / 24 L / 96 EI M Y M Y 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 32 32 23 23 en donde se ha tenido en cuenta la simetría para establecer que θ2 = 0. Ensamblando ahora en el orden apropiado para obtener la matriz de rigidez de la estructura y sabiendo que: Y21 + Y23 = P M21 + M23 = 0 se llega a la siguiente expresión:
  • 3. 468 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª = θ = = θ = » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª − − − − − − − − = » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª − 0 0 v 0 0 v v L / 8 L / 24 0 0 L / 24 L / 24 L / 96 0 0 L / 96 0 0 L / 8 L / 24 L / 24 0 0 L / 24 L / 96 L / 96 L / 24 L / 96 L / 24 L / 96 L / 192 EI M Y M Y P 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 32 32 12 12 en donde se han eliminado la fila y la columna correspondiente a θ2 por resultar inoficiosa. Expandiendo la primera fila: [ ] [ ][ ] 2 3 v L / 192 EI P = − → ↓ − = EI 192 PL v 3 2 y reemplazando este valor en la segunda parte: » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − = » ¼ º « ¬ ª − » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 8 / PL 2 / P 8 / PL 2 / P EI 192 PL L / 24 L / 96 L / 24 L / 96 M Y M Y 3 2 3 2 3 32 32 12 12 obviamente estos valores no son otros que las reacciones y momentos de empotramiento. Ejemplo 11.10 Resuelva completamente la viga mostrada (tomado de la referencia 11.9). Solución Eliminando las columnas correspondientes a desplazamientos nulos, el planteamiento matricial para los dos elementos separados queda así: » » » » ¼ º « « « « ¬ ª θ θ = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª − − − − − = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 3 2 21 21 12 12 v 0 v L / 12 L / 54 L / 6 L / 54 L / 324 L / 54 L / 6 L / 54 L / 12 L / 54 L / 324 L / 54 EI M Y M Y
  • 4. ANÁLISIS MATRICIAL 469 » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª θ = θ » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 32 32 23 23 0 v v L / 6 L / 3 L 2 / 27 L 2 / 27 L 2 / 27 L 2 / 81 L / 3 L / 6 L 2 / 27 L 2 / 27 L 2 / 27 L 2 / 81 EI M Y M Y Superponiendo ahora los dos elementos en el orden apropiado, resulta: » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª = = θ θ θ » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª − − − − − − − = » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª− 0 v 0 v v L 2 / 27 0 L 2 / 27 L 2 / 81 0 L / 54 L / 54 L / 324 L / 6 0 L / 3 L 2 / 27 0 L / 12 L / 6 L / 54 L / 3 L / 6 L / 18 L 2 / 81 L 2 / 27 L / 54 L 2 / 81 L 2 / 729 EI Y Y 0 0 M P 2 1 3 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 1 Tomando ahora la parte superior: » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª θ θ θ » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª− 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 v L / 6 0 L / 3 L 2 / 27 0 L / 12 L / 6 L / 54 L / 3 L / 6 L / 18 L 2 / 81 L 2 / 27 L / 54 L 2 / 81 L 2 / 729 EI 0 0 M P y por partición: » ¼ º « ¬ ª θ θ » ¼ º « ¬ ª + » ¼ º « ¬ ª θ » ¼ º « ¬ ª− = » ¼ º « ¬ ª 3 1 2 2 2 2 L / 6 0 0 L / 12 EI v L / 3 L 2 / 27 L / 6 L / 54 EI 0 0 → » ¼ º « ¬ ª θ » ¼ º « ¬ ª− » ¼ º « ¬ ª − = » ¼ º « ¬ ª θ θ − 2 2 2 2 1 3 1 v L / 3 L 2 / 27 L / 6 L / 54 EI 6 / L 0 0 L / 12 EI 1 » ¼ º « ¬ ª θ » ¼ º « ¬ ª− » ¼ º « ¬ ª − = − 2 2 2 2 1 v L / 3 L 2 / 27 L / 6 L / 54 EI L / 6 0 0 12 / L EI 1 » ¼ º « ¬ ª θ » ¼ º « ¬ ª − − − = 2 2 v 2 / 1 L 4 / 9 2 / 1 L 2 / 9 y de la primera parte: » ¼ º « ¬ ª θ » ¼ º « ¬ ª − − − » ¼ º « ¬ ª− + » ¼ º « ¬ ª θ » ¼ º « ¬ ª − − = » ¼ º « ¬ ª− 2 2 2 2 2 2 2 2 3 v 2 / 1 L 4 / 9 2 / 1 L 2 / 9 L / 3 L / 6 L 2 / 27 L / 54 EI v L / 18 L 2 / 81 L 2 / 81 L 2 / 729 EI M P » ¼ º « ¬ ª θ » » ¼ º « « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª − − + » ¼ º « ¬ ª − − = » ¼ º « ¬ ª− 2 2 2 2 3 2 2 3 v L 2 / 9 L 4 / 81 L 4 / 81 L 8 / 2187 EI L / 18 L 2 / 81 L 2 / 81 L 2 / 729 EI M P
  • 5. 470 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS » ¼ º « ¬ ª θ » ¼ º « ¬ ª − − = 2 2 2 2 3 v L 2 / 27 L 4 / 81 L 4 / 81 L 8 / 729 EI → » ¼ º « ¬ ª− » ¼ º « ¬ ª − − = » ¼ º « ¬ ª θ − M P L 2 / 27 L 4 / 81 L 4 / 81 L 8 / 729 EI 1 v 1 2 2 3 2 2 » ¼ º « ¬ ª− » ¼ º « ¬ ª = M P 9 / L 81 / L 2 81 / L 2 293 / L 4 EI 1 2 2 3 que equivale a: v L EI P L EI M 2 3 2 4 243 2 81 = − + θ2 2 2 81 9 = − + L EI P L EI M se tenía: » ¼ º « ¬ ª− » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª − − = » ¼ º « ¬ ª θ θ M P EI 9 / L EI 81 / L 2 EI 81 / L 2 EI 243 / L 4 2 / 1 L 4 / 9 2 / 1 L 2 / 9 2 2 3 3 1 » ¼ º « ¬ ª− » ¼ º « ¬ ª − − = M P EI 9 / L EI 81 / L 4 EI 18 / L EI 81 / L 5 2 2 por consiguiente: θ1 2 5 81 18 = − + L EI P L EI M θ3 2 4 81 9 = − L EI P L EI M En cuanto a las reacciones: » ¼ º « ¬ ª− » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − » ¼ º « ¬ ª − − − − = » ¼ º « ¬ ª M P 9 / L 81 / L 4 18 / L 81 / L 5 9 / L 81 / L 2 81 / L 2 243 / L 4 EI 1 L 2 / 27 0 L 2 / 27 L 2 / 81 0 L / 54 L / 54 L / 324 EI Y Y 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 1 » ¼ º « ¬ ª− » ¼ º « ¬ ª − − − = M P L / 1 3 / 1 L / 1 3 / 2 o sea que: Y P M L 1 2 3 = +
  • 6. ANÁLISIS MATRICIAL 471 Y P M L 3 1 3 = − que fácilmente se pueden verificar por estática. Naturalmente, el proceso de inversión podía haberse efectuado directamente, en cuyo caso: » » » » ¼ º « « « « ¬ ª− » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª θ θ θ − 0 0 M P L / 6 0 L / 3 L 2 / 27 0 L / 12 L / 6 L / 54 L / 3 L / 6 L / 18 L 2 / 81 L 2 / 27 L / 54 L 2 / 81 L 2 / 729 EI 1 v 1 2 2 2 2 2 2 3 3 1 2 2 » » » » ¼ º « « « « ¬ ª− » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − − − = 0 0 M P 3 / L 6 / L 9 / L 81 / L 4 6 / L 3 / L 18 / L 81 / L 5 9 / L 18 / L 9 / L 81 / L 2 81 / L 4 81 / L 5 81 / L 2 243 / L 4 EI 1 2 2 2 2 2 2 3 que equivale a lo obtenido anteriormente. Obsérvese que para el caso particular de las cargas dadas habría bastado con calcular las dos primeras columnas de la matriz inversa. Ejemplo 11.11 Resuelva la estructura de la figura. Para la viga, EI = 6400 kN⋅m2 y la constante del resorte es k = 10000 kN/m. (Tomado de la referencia 11.9). Solución Las condiciones de apoyo son: v1 = v3 = v4 = θ4 = 0 Escribiendo las matrices de rigidez individuales se tiene: Para el elemento 1 – 2, θ = 90º → » ¼ º « ¬ ª » ¼ º « ¬ ª − − = » ¼ º « ¬ ª 2 1 21 12 v v 10000 1000 10000 1000 Y Y
  • 7. 472 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS Para las vigas: » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª θ θ » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 3 3 2 2 32 32 23 23 v v 6400 2400 3200 2400 2400 1200 2400 1200 3200 2400 6400 2400 2400 1200 2400 1200 M Y M Y » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª θ θ » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 4 4 3 3 43 43 34 34 v v 6400 2400 3200 2400 2400 1200 2400 1200 3200 2400 6400 2400 2400 1200 2400 1200 M Y M Y y ensamblando por superposición, despreciando las columnas correspondientes a los desplazamientos nulos y teniendo en cuenta que Y21 + Y23 = Y2 = −50 kN, M23 = M2 = 80 kN⋅m, Y32 + Y34 = Y3 y M32 + M34 = M3 = 0: » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª = θ = = = θ θ » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª − − − − = » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « ¬ ª = = − = 0 0 v 0 v 0 v v 3200 0 0 2400 0 0 0 2400 1200 0 0 10000 12800 3200 2400 3200 6400 2400 2400 2400 11200 M Y Y Y 0 M 80 M 50 Y 4 4 3 1 3 2 2 43 43 3 12 3 2 2 obsérvese que el orden se escogió de tal manera que no es necesario reordenar. Por consiguiente: » » » ¼ º « « « ¬ ª− » » » ¼ º « « « ¬ ª = » » » ¼ º « « « ¬ ª θ θ − 0 80 50 12800 3200 2400 3200 6400 2400 2400 2400 11200 v 1 3 2 2 = » » » ¼ º « « « ¬ ª− » » » ¼ º « « « ¬ ª − − − − − − = − 0 80 50 10 041 . 9 126 . 4 053 . 1 126 . 4 887 . 1 160 . 3 053 . 1 160 . 3 831 . 9 5 » » » ¼ º « « « ¬ ª − − = rad 00277 . 0 rad 01668 . 0 m 00744 . 0
  • 8. ANÁLISIS MATRICIAL 473 y reemplazando estos valores para encontrar las reacciones: » » » » ¼ º « « « « ¬ ª ⋅ − − = » » » ¼ º « « « ¬ ª − − » » » » ¼ º « « « « ¬ ª − − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª m kN 88 . 8 kN 66 . 6 kN 10 . 31 kN 44 . 74 00277 . 0 01668 . 0 00744 . 0 3200 2400 0 0 0 0 2400 0 0 0 1200 10000 M Y Y Y 4 4 3 1 · y haciendo el diagrama de cuerpo libre: Σ Fy = 0 kN Σ M4 = 0 kN⋅m que demuestra equilibrio perfecto. Ejemplo 11.12 Resuelva completamente la viga mostrada. Dimensiones (b × h): 300 × 400 mm Módulo de elasticidad: 19 kN/mm2 Solución Se empieza por numerar los nudos y orientar los miembros: ( ) 30400 12 4 . 0 3 . 0 10 19 EI 3 6 = × × × = kN·m2 Luego se evalúan las matrices de rigidez individuales; como v1 = θ1 = v3 = 0, no es necesario escribir las columnas correspondientes a dichos desplazamientos. La ecuación [ ] [ ] [ ] F K = δ queda entonces, para cada elemento, así: v1 θ1 v2 θ2 » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª θ = θ = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª − − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 2 2 1 1 21 21 12 12 v 0 0 v 40530 20270 20270 13510 20270 20270 20270 13510 M Y M Y
  • 9. 474 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS v2 θ2 v3 θ3 » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª θ = θ » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª − − − = » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª 3 3 2 2 32 32 23 23 0 v v 40530 20270 20270 20270 20270 13510 20270 40530 20270 20270 20270 13510 M Y M Y Obsérvese de nuevo que no se han calculado algunas columnas por cuanto dicho cálculo resulta inoficioso, ya que corresponden a desplazamientos nulos. Ensamblando ahora con un ordenamiento apropiado: » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « ¬ ª = = θ = θ θ » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « ¬ ª − − − − − − − = » » » » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « « « « ¬ ª = = = = + = + = 0 v 0 0 v v 20270 20270 13510 20270 20270 20270 13510 40530 20270 20270 40530 20270 20270 40530 20270 20270 13510 20270 20270 13510 Y Y M M Y Y M M M M M Y Y Y 3 1 1 3 2 2 32 3 12 1 12 1 32 2 23 21 2 23 21 2 que al efectuar las sumas y reemplazar por los valores conocidos se convierte en: » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª = = θ = θ θ » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª − − − − − = » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª− 0 v 0 0 v v 20270 20270 13510 0 20270 20270 0 20270 13510 40530 20270 20270 20270 81060 0 20270 0 20270 Y M Y 0 0 50 3 1 1 3 2 2 3 1 1 y de ahí se pueden despejar los desplazamientos, bien sea por inversión o por elimi- nación: » » » ¼ º « « « ¬ ª × × − ↓ × − = » » » ¼ º « « « ¬ ª− » » » ¼ º « « « ¬ ª = » » » ¼ º « « « ¬ ª θ θ − − − − rad 10 8519 . 1 rad 10 631 . 4 m 10 240 . 3 0 0 50 40530 20270 20270 20270 81060 0 20270 0 27020 v 3 4 3 1 3 2 2 Reemplazando ahora estos valores en las matrices individuales, se obtiene:
  • 10. ANÁLISIS MATRICIAL 475 » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª ↓ − ↑ = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª = = m · kN 90 . 46 kN 39 . 34 m · kN 29 . 56 kN 49 . 34 M Y M M Y Y 21 21 1 12 1 12 » » » » » ¼ º « « « « « ¬ ª ↑ − ↓ − = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª = = m · kN 0 kN 62 . 15 m · kN 91 . 46 kN 62 . 15 M M Y Y M Y 3 32 3 32 23 23 verificándose el equilibrio del nudo 2 y el momento nulo en el apoyo 3. Dibujando el diagrama de cuerpo libre de toda la estructura para comprobar el equilibrio general: Σ Fy = 0.01 kN Σ M1 = 0.01 kN⋅m Para terminar, se dibujan los diagramas de corte y momento y la elástica aproximada de la viga: Obsérvese que debido a la asimetría de la estructura no fue posible averiguar la deflexión máxima que evidentemente se presenta entre los puntos 2 y 3.