la formule de Betz

1. ER
Eolienne
Déf :
Une éolienne est un dispositif qui transforme l'énergie cinétique du vent en énergie mécanique, qui est le plus souvent
transformée en énergie électrique. Les éoliennes produisant de l'électricité sont appelées aérogénérateurs.
Schéma d'une éolienne :
1. Les pales du rotor.
2. Un rotor à faible vitesse de rotation qui transforme l’énergie du vent en énergie mécanique (le
rotor comprend les pales et l’arbre principal).
3. Un arbre principal qui tourne lentement et transmet une très grande force de rotation au
multiplicateur.
4. Le multiplicateur de vitesse constitué d’un grand nombre de roues dentées et placées dans un
engrenage. Celui-ci transforme la force lente de l’arbre principal en rotation rapide pour la génératrice.
5. Un frein mécanique en cas d’urgence, lorsque les freins du bout des pales ne fonctionnent pas ou
encore pour répa-rer ou faire l’entretien de l’éolienne.
6. Une génératrice qui produit de l’électricité. À l’intérieur, on trouve des aimants et une bobine
autour de laquelle est enroulé un long conducteur en cuivre. Quand l’aimant tourne, l’électricité est
produite dans la bobine.
7. Une unité de refroidissement qui fonctionne comme un radiateur. L’eau réfrigérante refroidit la
génératrice.
8. Une girouette qui informe le système de contrôle de la direction du vent. 9. L’anémomètre qui
mesure la vitesse du vent et informe le système de commande quand le vent souffle assez fort pour
produire de l’électricité de manière efficace.
10. Un système de contrôle pour démarrer et arrêter l’éolienne, et pour assurer le bon
fonctionnement du matériel.
11. Une nacelle qui contient à l’intérieur toutes les composantes mentionnées ci-dessus, excepté le
rotor.
12. Un système d’orientation pour assurer que l’éolienne produit autant d’électricité que possible
en déplaçant le rotor de manière à ce qu’il soit toujours orienté face au vent. Ce système comprend
un moteur et une couronne au-dessus de la tour.
13. Une tour qui soutient la nacelle et le rotor au-dessus du sol afin de saisir les vents à grande
vitesse.
14. Une fondation pour empêcher l’éoliennede basculer par grands vents.
Energie
D’après le théorème de l’énergie cinétique, l’énergie cinétique d’une masse est égale à la moitié du produit de cette masse
par le carré de sa vitesse de déplacement.
Considéreront une éolienne avec un rotor balayant une surface S,
est la vitesse du vent en amont du rotor (avant que celui-ci ne le traverse) et

2. la vitesse du vent en aval du rotor (après que celui-ci ait traversé le rotor)
Puissance
Calculons maintenant la masse d'air déplacée en amont du rotor en 1 seconde :
:étant la masse volumique de l'air exprimée en kg/m3
La puissance cinétique de cette masse d'air est donc égale à : or
Alors :
IDEM la puissance cinétique en aval du rotor :
La variation d’énergie cinétique de la masse d'air qui passe au travers le rotor est donc égale à (en remplaçant la densité
de l’air par sa valeur moyenne) :
La variation de la quantité de mouvement de la veine de vent entre l'amont et l'aval du rotor s'exprime par la relation
vectorielle : , ,
Nous pouvons en déduire que l'énergie perdue par la veine de vent et donc absorbée par le rotor est égale à :
(les vitesses du vent en amont et en aval du rotor ont la même direction)
nous savons que cette énergie est égale à l’opposé de la variation d’énergie cinétique soit :
application de la loi de Newton :
la puissance développée par cette force :
Si on exprime cette puissance en fonction de , du rendement r, et de la puissance incidente du vent
non perturbé :

3. on obtient et
On peut alors tracer le rendement r de l'éolienne en fonction de x :
Déterminons maintenant pour que l'énergie soit maximale
En remplaçant par son expression calculée précédemment nous avons
L'énergie est maximale pour une vitesse telle que sa dérivée s'annule
soit
C'est-à-dire
On résout cette équation du second degré et d’inconnue
Nous avons 2 solutions possibles
cette solution est impossible
ou
est donc maximale pour égal à
Le maximum2
est atteint pour x=1/3, et alors r=16/27. D'où la limite de Betz :
Nous savons que l'énergie récupérable du vent s'exprime par

4. Nous pouvons donc écrire sous cette forme, soit
Par identification nous en déduisons la valeur de