1. EXEMPLE 1
Étudier la fonction f (x) = 3lnx sur l'intervalle [0,5; 5]

2. On étudie f (x) = 3 lnx sur l'intervalle [0,5; 5]
Première étape : L'intervalle d'étude est [0,5; 5]
3
Deuxième étape : f '(x) =
x
Troisième étape :
f '(x) est positif car x est positif sur l'intervalle[0,5; 5]
Le résultat de la division de 3 par un nombre positif est un résultat positif
x 0,5 5
Signe de f ' +
-2,1 4,8
Variation de f
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (0,5) et f (5)

3. EXEMPLE 1
Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (0,5 ; -2,1) , et (5 ; 4,8)
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 x
-1
-2

4. EXEMPLE 2
Étudier la fonction f (x) = -2 lnx sur l'intervalle [0,4; 10]

5. EXEMPLE 2
On étudie f (x) = -2 lnx sur l'intervalle [0,4; 10]
Première étape : L'intervalle d'étude est [0,4; 10]
2
Deuxième étape : f '(x) = −
x
Troisième étape :
f '(x) est positif car x est positif sur l'intervalle[0,4; 10]
Le résultat de la division de -2 par un nombre positif est un résultat négatif
x 0,4 10
Signe de f ' -
1,8 -4,6
Variation de f
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (0,4) et f (10)

6. EXEMPLE 2
Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (0,4 ; 1,8) , et (10 ; -4,6)
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
-4
-5

7. EXEMPLE 3
Étudier la fonction f (x) = e 3x sur l'intervalle [-1; 0,5]

8. EXEMPLE 3
On étudie f (x) = e 3x sur l'intervalle [-1; 0,5]
Première étape : L'intervalle d'étude est [-1; 0,5]
Deuxième étape : f '(x) = 3e 3x
Troisième étape :
e 3xest positif .
Le résultat de la multiplication par un nombre positif est positif
x -1 0,5
Signe de f ' +
Variation de f 0,05 4,5
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-1) et f (0,5)

9. EXEMPLE 3
Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-1 ; 0,05) , et (0,5 ; 4,5)
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
4
3
2
1
-1 0 1 x

10. EXEMPLE 4
Étudier la fonction f (x) = 50 e (-0,1x+0,5) sur l'intervalle [-4; 10]

11. EXEMPLE 4
On étudie f (x) = 50 e (-0,1x+0,5) sur l'intervalle [-4; 10]
Première étape : L'intervalle d'étude est [-4; 10]
Deuxième étape : f '(x) = 50×-0,1 e (-0,1x+0,5) =-5 e (-0,1x+0,5)
Troisième étape :
e (-0,1x+0,5)est positif .
Le résultat de la multiplication de e (-0,1x+0,5)par un nombre négatif est négatif
-4 10
x
Signe de f ' -
Variation de f 123 30
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-4) et f (10)

12. EXEMPLE 4
Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-4 ; 123) , et (10 ; 30,3)
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x