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Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la

Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk

Partie 1. Value-at-Risk
Intoduction à la Value-at-Risk
Christophe Hurlin, Université d’
Orléans, Laboratoire
d’
Economie d’
Orléans (UMR CNRS 6221)
Master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA), Université d’
Orléans

Septembre 2008

Christophe Hurlin

Value-at-Risk
Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
Limites de la

Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk
Value-at-Risk

Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Introduction

Introduction
Qu’ ce que la VaR ?
est

Christophe Hurlin

Value-at-Risk
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estimation de la
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Limites de la

Introduction
Value-at-Risk
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

Un bref aperçu historique :
La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour la
première fois dans le secteur de l’
assurance.
A la …n des années 1980, la banque Bankers Trust fut l’
une
des premières institutions à utiliser cette notion sur les
marchés …nanciers aux Etats-Unis.

Christophe Hurlin

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estimation de la
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Introduction
Value-at-Risk
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

Le terme VaR est apparu pour la première fois dans une
publication grand public en juillet 1993 dans un rapport d’
une
réunion du G-30
Mais c’ principalement la banque JP Morgan qui, dans les
est
années 90, a popularisé ce concept notamment grâce à son
système RiskMetrics (1994).

Christophe Hurlin

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Introduction
Value-at-Risk
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Value-at-Risk

Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

Fact
La Value-at-Risk est devenue, en moins d’
une dizaine d’
années,
une mesure de référence du risque sur les marchés …nanciers,
consacrée notamment par la réglementation prudentielle dé…nie
dans le cadre des accords de Bâle II.

Christophe Hurlin

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Introduction
Value-at-Risk
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

De…nition (Value-at-Risk)
De façon générale, la Value-at-Risk correspond au montant des
pertes qui ne devraient pas être dépassées pour un niveau de
con…ance donné sur un horizon temporel donné (Jorion, 2007)
Jorion, P. (2007), Value-at-Risk, Third edition,
McGraw-Hill.

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

La Value-at-Risk correspond à une perte maximale potentielle
qui ne devrait être atteinte qu’
avec une probabilité donnée
sur un horizon temporel donné

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Introduction
Value-at-Risk
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

De…nition (Value-at-Risk)
VaR is an estimate of how much a certain portfolio can lose within
a given time period, for a given con…dence level (Engle et
Manganelli, 2004).
Engle, R. F., and Manganelli, S. (2004), ”CAViaR :
Conditional Autoregressive Value-at-Risk by regression
quantiles”, Journal of Business and Economic Statistics, 22,
pp. 367-381.

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Introduction
Value-at-Risk
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

Example (Value-at-Risk)
Si une banque annonce une VaR quotidienne sur son portefeuille
de 50 millions de dollars pour un niveau de con…ance de 99%, cela
implique qu’ y a seulement une chance sur 100, sous des
il
conditions normales de marché, que la perte associée à la détention
de ce portefeuille sur une journée excède 50 millions de dollars.

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qu’ ce que la VaR ?
est

La simplicité de cette dé…nition constitue l’ des principaux
un
attraits de la Value-at-Risk : il est en e¤et très facile de
communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure
homogène et générale (quelle que soit la nature de l’
actif, la
composition du portefeuille etc.) de l’
exposition au risque.

Christophe Hurlin

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Introduction

Introduction
Comment utiliser la VaR ?

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Comment utiliser la VaR ?

Comment utiliser la VaR ?
La VaR peut être utilisée de trois façons principales (Jorion, 2007) :
1

de façon passive : reporting d’
information

2

de façon défensive : contrôle des risques

3

de façon active : management des risques

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Introduction
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Value-at-Risk

Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Comment utiliser la VaR ?
Reporting des risques

La VaR peut être utilisée de façon passive dans le cadre d’
un
reporting régulier sur le risques
Ce fut historiquement la première utilisation de la VaR en vue
de mesurer un risque agrégé (JP Morgan)
La VaR est une mesure du risque simple à interpréter
exprimée en unité monétaire
La VaR est une mesure du risque sur laquelle on peut
communiquer de façon non technique
La VaR permet de synthétiser en une seule mesure une
appréciation sur le risque global

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Introduction
Value-at-Risk
Value-at-Risk
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Comment utiliser la VaR ?
Contrôle des risques

La VaR peut être utilisée de façon défensive dans le cadre d’
un
contrôle des risques
La VaR est utilisée pour déterminer des positions limites qui
seront imposées aux traders (limites individuelles) ou aux
business units (limites collectives)
Le principal avantage de la VaR est qu’ fournit un
elle
dénominateur commun permettant de comparer les
risques engendrés par les activités menées sur di¤érents
marchés, di¤érents produits etc.

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Comment utiliser la VaR ?
Management des risques

La VaR peut être utilisée de façon active dans le cadre d’
un
management des risques
La VaR est utilisée dans l’
allocation du capital entre les
tradeurs, les business lines, les produits et ou les institution.
La VaR est généralement retenue pour le calcul des
rendements ajustés du risque ou Risk-adjusted
performance measures (RAPM)
Optimisation de portefeuille avec des critères de type
moyenne-VaR.

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Introduction

Introduction
Qui utilise la VaR ?

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qui utilise la VaR ?

Qui utilise la VaR ?
En raison de ces très nombreuses utilisations possibles, les
utilisateurs de la VaR sont très di¤érents :
1

Institutions …nancières

2

Régulateurs

3

Entreprises non …nancières

4

Asset Managers

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Introduction
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Value-at-Risk

Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qui utilise la VaR ?
Les institutions …nancières

Les institutions …nancières ont été à l’
avant garde de la di¤usion
et l’
utilisation de la VaR dans le cadre de la mise en place de
systèmes centralisés de management / surveillance des risques
nécessité liée à l’
évolution de la réglementation
nécessité liée à la complexité croissante des instruments
…nanciers et à la diversi…cation croissante des risques
…nanciers
nécessité liée à la connaissance de grands désastres
…nanciers (Barings, Daiwa..)

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qui utilise la VaR ?
Les régulateurs

Les réglementations prudentielles visent de façon générale à
imposer aux institutions …nancières de garantir un niveau minimum
de capitaux disponibles au regard des risque …nanciers. Par
conséquent se pose le problème de l’
évaluation de ces risques :
Comment évaluer ces risques …nanciers sur des
multi-activités, des actifs très di¤érents, des produits
complexes ?
Qui doit évaluer ces risques ? les autorités de régulation ou
les institutions …nancières elles-mêmes ?
Dans ce dernier cas comment garantir la validité des
évaluations du risque proposées par les institutions
…nancières ?
Christophe Hurlin

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qui utilise la VaR ?
Les régulateurs

Fact
Dans les années 80-90, on a assisté à une convergence des
réglementations prudentielles (comité de Bâle sur le contrôle
bancaire, US Federal Reserve, US Securities and Exchange
Commission etc) vers l’
adoption de la VaR comme mesure de
référence du risque.

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qui utilise la VaR ?
Les institutions non …nancières

Les institutions non …nancières : l’
usage de la VaR dépasse le
contexte des seules institutions …nancières :
Le management centralisé des risques est utile à toutes les
entreprises exposées aux risques …nanciers.
On peut citer en exemple les multinationales qui doivent
évaluer et se prémunir contre les risques de change, on peut
alors mener des analyses de type CFAR (Cash Flow at Risk)

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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Qui utilise la VaR ?
Les asset managers

La gestion d’
actifs et la VaR : utilisation de la VaR pour gérer
les risques …nanciers et développer les stratégies d’
asset
management
"We can now view our total capital at risk on a
portfolio basis, by asset class and by individual manager.
Our main goal was to ... have the means to evaluate our
portfolio risk going forward" Director of Chrysler pension
fund", cité dans Jorion (2007), interview réalisé après
l’
achat d’ system de VaR
un

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Introduction
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Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

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Quels types de risques mesure la VaR ?

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Introduction
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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?

Quels types de risques peut mesurer la VaR ?
La VaR est une mesure homogène permettant de mesurer
di¤érents risques, sur di¤érents marchés, di¤érents actifs (change,
actions, dérivés..)
De…nition (Portée de la VaR )
L’
objectif de la VaR fournit une mesure du risque total de
portefeuille. Par conséquent, la VaR doit tenir compte des e¤ets
de levier et de diversi…cation (corrélation).

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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?

Les risques …nanciers sont généralement classés en grandes
catégories :
1

Risques de marché

2

Risques de liquidité

3

Risques de crédit

4

Risques opérationnels

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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?

De…nition
Le risque de marché désigne le risque de perte lié à l’
évolution
des niveaux ou des volatilités des prix de marché. Ces risques
peuvent être exprimés sous deux formes :
1

risques absolus, mesurés en unité monétaire

2

risques relatifs exprimés par rapport à un benchmark (notion
de tracking error ou déviation par rapport à un indice)

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Qu’ ce que la VaR ?
est
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de marché

Fact
La VaR a été conçue comme une mesure de risque de marché et le
risque de marché demeure aujourd’ le principal champ
hui
d’
application de la VaR, même si ce n’ plus de façon exclusive.
est

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Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité

De…nition (risque de liquidité)
La notion de risque de liquidité regroupe deux types de risques :
le risque de liquidité d’
actif (asset liquidity risk) et le risque de
liquidité de …nancement (funding liquidity risk ou cash ‡ow risk).

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Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité

De…nition (asset liquidity risk)
Le risque de liquidité d’
actif (asset-market-product liquidity risk)
survient lorsqu’
une transaction ne peut pas intervenir au prix au
prix prévu du fait de la taille relative de la position au regard du
volume des transactions usuelles (Jorion, 2007).

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Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité

Remarque : la notion de risque de liquidité est à distinguer de la
notion marché liquide / non liquide (exemple : marché de change
verus emerging-market equities) puisque ce risque peut survenir sur
un marché liquide suivant l’
importance de la position.

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Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité

De…nition (cash ‡ow liquidity risk)
Le risque de liquidité de …nancement (cash ‡ow liquidity risk)
fait référence à l’
impossibilté de faire face à ses obligations de
paiement, impliquant des liquidations de position et donc la
transformation de pertes "papier" en pertes réalisées (Jorion,
2007).

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Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de liquidité

La VaR ne s’
applique pas directement au concept de risque
de liquidité, mais :
Il est possible de construire des transformations de la VaR
intégrant ce type de risque comme la LVAR (Liquidity
adjusted Value-at-Risk)
Proposer des concepts similaires dans le domaine des données
de hautes fréquences portant sur la durée séparant deux
transactions successives comme le TaR (Time-at-Risk,
Gouriéroux, 2004)

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Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de crédit

De…nition (risque de crédit)
Le risque de crédit désigne le risque de pertes engendrées par une
situation dans laquelle les contreparties sont incapables ou ne
désirent pas remplir leurs obligations contractuelles.

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Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de crédit

Le risque de crédit peut être exprimé sous forme d’
exposition
(exposure) c’ à dire de montant soumis au risque ou de taux
est
de recouvrement (recovery rate) qui désigne la proportion
remboursée par l’
emprunteur.

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Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque de crédit

Dans le cas du risque de crédit, les facteurs de risques sont
nombreux : statut du défaut (partiel ou total), exposition au
défaut, et les pertes étant donnée le défaut sont di¢ ciles à
calculer.
Ce qui explique que la VaR est rarement utilisée en tant
que telle dans le domaine de crédit
On préferre généralement des notions plus spéci…ques comme
l’
expected credit losses (ECT) ou la Worse Credit
Exposure (WCE)

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Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque opérationnel

De…nition (risque opérationnel)
Le risque opérationnel est le risque qui résulte de processus
internes inapropriés, ou de systèmes défecteux ou d’
événements
externes (Jorion, 2007).

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Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque opérationnel

Les risques opérationnels couvrent notamment :
1

le risque de modèle (model risk)

2

risque de personne ou de personnel (people risk)

3

risque légal (legal risk)

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Qu’ ce que la VaR ?
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Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?

Mesurer quels types de risques ?
Risque opérationnel

Etant donnée l’
importance des risques opérationnels et
certains exemples de désastres …nanciers, il existe aujourd’
hui
une volonté de quanti…er ces risques
Dans ce contexte, des calculs de VaR peuvent
théoriquement être appliqués aux risques opérationnels
Toutefois, la collecte de données de référence permettant
d’
établir la P&L associée à ces risques pose généralement de
très gros problèmes et limite par conséquent la portée de
l’
application de la VaR à ce contexte.

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Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle

Dé…nition statistique de la Value-at-Risk

Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Préambule

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Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle

Dé…nition statistique de la Value-at-Risk

De…nition (Value-at-Risk)
La Value-at-Risk (VaR) dé…nie pour un taux de couverture
de α% correspond au quantile d’
ordre α de la distribution de
pro…ts et pertes (pro…ts and losses, P&L) associée à la
détention d’ actif ou d’ portefeuille d’
un
un
actifs sur une
période donnée.

Christophe Hurlin

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Méthodes d’
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk

Ainsi, la dé…nition de la Value-at-Risk est fondée sur trois éléments
1

La distribution des pro…ts et pertes (P&L) du portefeuille
ou de l’
actif

2

Le niveau de con…ance (ou de façon équivalente le taux de
couverture égal à un moins le niveau de con…ance) ; appelé
aussi taux de couverture

3

La période de détention de l’
actif (ou horizon du risque)
qui pose parfois le problème de l’
agrégration temporelle de
la VaR

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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk

Au délà des éléments de cette dé…nition, divers aspects de la VaR
doivent être évoqués à ce niveau :
1

La notion de VaR (ou de P&L) conditionnelle

2

et plus générallement la prévision de VaR

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Pro…ts et Pertes (P&L)

Quelles sont les données qui servent au calcul de la VaR ?
Comment transformer les données de sorte à les exprimer sous
forme de P&L ?

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Pro…ts et Pertes (P&L)

Fact
Les données de P&L à partir desquelles on calcule une
Value-at-Risk peuvent prendre di¤érentes formes, mais elles sont
généralement exprimées sous forme de rendements (Dowd,
2005)
Dowd, K. (2005), Measuring market risk, John Wiley & Sons
Ltd.

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Pro…ts et Pertes (P&L)

De…nition (pro…ts et pertes)
On note Pt la valeur d’ actif (ou d’ portefeuille) à la …n de la
un
un
période t. On note Dt l’
ensemble des paiements intermédiaires
obtenus entre les dates t 1 et t. Les pro…ts et pertes (P&L)
associés à la détention de l’
actif (ou du portefeuille) sont alors
dé…nis par :
P/Lt = Pt + Dt Pt 1

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Pro…ts et Pertes (P&L)

Remarque 1 si les données sont exprimées sous forme de P&L, les
valeurs positives indiquent des pro…ts et les valeurs
négatives indiquent des pertes.
Remaqrue 2 Il est aussi possible d’
exprimer les données sous forme
de pertes et pro…ts (L&P pour losses and pro…ts)
telles que :
L/Pt = P/Lt

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Pro…ts et Pertes (P&L)

Remarque 3 Il conviendrait de tenir compte d’ facteur
un
d’
actualisation dans la comparaison des valorisations
aux dates t et t 1. Si l’ évalue la valeur présente
on
des P&L à la …n de la date t 1, il vient :
present value P/L =

Pt + Dt
(1 + d )

Pt

1

où d désigne le taux d’
escompte psychologique.

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Pro…ts et Pertes (P&L)

Remarque 4 Si l’ évalue la valeur future des P&L à la …n de la
on
date t, il vient :
forward value P/L = Pt + Dt

(1 + d ) Pt

1

Remarque 5 Généralement on néglige l’
escompte psychologique
dans le calcul des P&L sur des horizons courts
(quotidiens, hebdomadaires, mensuels, etc.)

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Les P&L sont généralement exprimées sous forme de rendements :
1

Rendements arithmétiques

2

Rendements géométriques

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De…nition (rendements arithmétiques)
Les rendements arithmétiques associés aux pro…ts et pertes
(P&L), notés rt , sont dé…nis comme :
rt =

Pt + Dt
Pt

Pt
1

1

=

Pt + Dt
Pt 1

1

Cette dé…nition des rendements suppose que les paiements
intérmédiaires Dt ne sont pas ré-investit (problème sur longue
période).

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De…nition (rendements géométriques)
Les rendements géométriques associés aux pro…ts et pertes
(P&L), notés Rt , sont dé…nis comme suit :
Rt = ln

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Pt + Dt
Pt 1

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On peut passer de l’
une à l’
autre dé…nition par les formules
d’
approximation suivantes :
Rt = ln (1 + rt )
ce qui implique que si les rendements sont "petits" alors :
rt ' Rt

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Example (rendements géométrique et arithmétique )
Supposons qu’ une certaine date t les rendements arithmétiques
à
rt par unité de temps soient égaux à 5%. Les rendements
géométriques correspondants sont alors égaux à :
Rt = ln (1 + 0.05) = 0.0488
Inversement, si les rendements géométriques sont égaux à 5%, les
rendements arithmétiques sont alors égaux à
rt = exp(Rt )

1 = exp(0.05)

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1 = 0.0513
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Pro…ts et Pertes (P&L)

Les rendements géométriques supposent implicitement que les
paiements intermédiaires Dt sont ré-investis de façon continue.
Les rendements géométriques garantissent que le prix d’
actifs
ne devient jamais négatif (contrairement au rendement
arithmétique), y compris en cas de pertes massives
Généralement, on préfére utiliser les rendements
géométriques en lieu et place des rendements arithmétiques

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Example (Rendements géométriques)
Considérons à titre d’
exemple l’
indice Standard & Poor observé en
clôture sur la période du 03/07/1989 au 24/11/2003 ainsi que le
rendement géométrique quotidien associé

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De…nition (distribution de pro…ts et pertes)
La distribution de pro…ts et de pertes (P&L pour pro…t and
losses) correspond à la fonction de densité des pertes et pro…ts,
supposées aléatoires, associées à la détention de l’
actif ou du
portefeuille sur un horizon donné.

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On considère les rendements géométriques, notés Rt ,
associés à la détention d’ actif sur un horizon donné
un
(exemple quotidien)
Ces rendements sont exprimés sous une forme P&L : un
rendement positif indique un gain, un rendement négatif une
perte
On suppose que ces rendements sont aléatoires : Rt est une
variable aléatoire réelle (v.a.r)

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Comme toute v.a.r., le rendement à la date t, Rt , est caractérisé
par une fonction de densité, notée
fR t ( r )

8r 2 R

De…nition (P&L distribution)
C’ précisèment cette fonction de densité que l’ quali…e de
est
on
distribution de pro…ts et pertes (P&L distribution).

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Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)

Remarque 1 : l’
idéal pour caractériser le risque serait de connaître
l’
ensemble de la densité de P&L, toutefois on se limite
généralement à une caractérisation du risque au travers de la
connaissance de certains moments (variance, skeweness, kurtosis)
ou de certains fractiles (VaR).

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Remarque 2 : si la distribution de P&L est connue, on en déduit
immédiatement la VaR, puisque la VaR n’ rien d’
est
autre qu’
un
fractile de cette fonction de distribution

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De…nition (dé…nition statistique de la VaR)
Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la
Value-at-Risk, notée VaRt (α) , correspond à l’
opposé du
fractile d’
ordre α de la distribution de pro…ts et pertes
(P&L).
VaRt (α) = FR t 1 (α)
où FR t (.) désigne la fonction de répartition associée à la
fonction de densité fR t (r ) .

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Remarque : la VaR est généralement négative (perte) dans
une représentation P&L. Dès, lors par souci de simpli…cation, dans
la plupart des ouvrages on dé…nit la VaR en valeur positive en
considérant l’
opposé du fractile
VaRt (α) =

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FR t 1 ( α )

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Remarque : par dé…nition, on a :
Z

VaR t (α)
∞

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fR t (r ) dr = α

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De…nition (taux de couverture)
Quelle que soit la dé…nition retenue (positive ou négative) de la
VaR, la probabilité d’
observer une perte supérieure à la VaR sur
l’
horizon de détention …xé est égale par dé…nition au taux de
couverture (coverage rate) :
Pr [Rt <

VaRt (α)] = α si VaRt (α) =

FR t 1 ( α )

Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = FR t 1 (α)

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Remarque : Dans certains ouvrages (Jorion, Dowd..) ou certains
articles, on exprime la VaR en fonction du niveau de con…ance :
VaR (1

α) =

FR t 1 ( α )

On évoque par exemple une VaR à 99% pour un taux de
couverture de 1%, une VaR à 95% de niveau de con…ance etc.

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De…nition (convention de notation)
Dans le cadre de ce cours, on adoptera pour convention de
dé…nir la VaR de façon positive et en fonction du taux de
couverture et non du niveau de con…ance :
VaRt (α) =
Pr [Rt <

Christophe Hurlin

FR t 1 ( α )

VaRt (α)] = α

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Le principe des méthodes paramétriques de calcul de la VaR
(cf. section 5) :
1

Postuler une distribution paramétrique de P&L (normale,
Student, GED etc..)

2

Donner une valeur aux paramètres de cette distribution
(estimation ou étalonnage)

3

Calculer le fractile correspondant

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Hypothèse H1 : On suppose que la distribution des P&L à la date
t est une distribution normale d’
espérance µ et de variance σ2
Rt

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N µ, σ2

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Par dé…nition de la VaR on sait que :
Pr [Rt <

VaRt (α)] = α

Par conséquent :
Pr

Rt

µ
σ

VaRt (α)
σ

<

µ

=α

où sous l’
hypothèse H1 la variable centrée réduite (Rt
une loi normale standard N (0, 1)
Rt

µ
σ

Christophe Hurlin

N (0, 1)
Value-at-Risk

µ) /σ suit
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Mesurer les rendements
Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L)
Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle

Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk

Si l’ note Φ (.) la fonction de répartition de la loi N (0, 1), il
on
vient :
VaRt (α) µ
Φ
=α
σ
Ou encore :

VaRt (α)
σ

µ

=Φ

1

(α)

1

(α)

On en déduit l’
expression de la VaR :
VaRt (α) =

Christophe Hurlin

µ

σΦ

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Dé…nition de la Value-at-Risk

De…nition (VaR sous hypothèse de normalité)
Sous l’
hypothèse de normalité de la distribution de P&L, la VaR
associée à un taux de couverture de α% est égale à :
VaRt (α) =

µ

σΦ

1

(α)

où µ désigne l’
éspérance et σ2 la variance de la distribution de
P&L.

Christophe Hurlin

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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk

Example (VaR sous normalité)
On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif
un
observé à la date t, noté Rt , suit une loi normale d’
espérance égale
à 0.01% et d’
écart-type égale à 1.5. On en déduit immédiatement
les VaR à 1% et 5% :
VaRt (0.01) =

0.01

1.5 Φ

1

(0.01) = 3.2451%

VaRt (0.05) =

0.01

1.5 Φ

1

(0.05) = 2.4573%

Christophe Hurlin

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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk

Example (VaR sous normalité, suite)
Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de
on
réaliser une perte au moins égale à 3.2451% du capital investit.
Pour un montant investit de 1M d’ on a :
e
VaR (5%) = 24 573e VaR (1%) = 32 451e

Christophe Hurlin

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VaR sous hy pothèse de normalité
0.35

P&L Distribution
1% VaR = 3.2451
5% VaR = 2.4573

0.3

Distribution de P&L

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0
-5

-4

-3

-2

-1

Christophe Hurlin

0
x

1

Value-at-Risk

2

3

4

5
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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Dé…nition de la Value-at-Risk

Hypothèse H2 : On suppose que la distribution des P&L à la date
t est une distribution de Student à v degrés de liberté
Rt

t (v )

Comment calculer la VaR sous l’
hypothèse H2 ?

Christophe Hurlin

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Dé…nition de la Value-at-Risk

De…nition (VaR et distribution de Student)
Sous l’
hypothèse de distribution de Student, la VaR associée à un
taux de couverture de α% est égale à :
VaRt (α) = G (α; v )

1

où G (α; v ) désigne la fonction de répartition d’
une loi de Student
à v degrés de liberté.

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Dé…nition de la Value-at-Risk

Example (VaR sous hypothèse de Student)
On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif
un
observé à la date t, noté Rt , suit une loi de Student à 5 degrés de
liberté, on en déduit :
VaRt (0.01) = G
VaRt (0.05) = G

Christophe Hurlin

1

(0.01; 5) = 3.3649%

1

(0.05; 5) = 2.015%

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Dé…nition de la Value-at-Risk

Example (VaR sous hypothèse de Student, suite)
Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de
on
réaliser une perte au moins égale à 3.3649% du capital investit.
Pour un montant investit de 1M d’ on a :
e
VaR (1%) = 33 649e VaR (5%) = 20 015e

Christophe Hurlin

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VaR sous distribution de Student
0.4

0.35

0.3

Distribution de P&L

0.25

0.2

0.15

P&L Dis tribution de Student t(5)
1% VaR = 3.3649
5% VaR = 2.015

0.1

0.05

0
-5

-4

-3

-2

-1

Christophe Hurlin

0
x

1

Value-at-Risk

2

3

4

5
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Value-at-Risk conditionnelle

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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle

Généralement, on caractérise la distribution de P&L de façon
conditionnelle et non de façon marginale.
On dé…nit alors une distribution de pertes et pro…ts
conditionnelle, c’
est-à-dire une fonction de densité
conditionnelle à un ensemble d’
information disponible à la
date t, noté Ωt .
Cette densité conditionnelle est notée :
fR t ( r j Ω t )

Christophe Hurlin

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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle

De…nition (VaR conditionnelle)
Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la
Value-at-Risk conditionnelle à un ensemble d’
information
Ωt , notée VaRt ( αj Ωt ) , correspond à l’
opposé du fractile d’
ordre
α de la distribution conditionnelle de pro…ts et pertes (P&L) :
VaRt ( αj Ωt ) =

FR t 1 ( α j Ω t )

où FR t ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la
fonction de densité conditionnelle fR t ( r j Ωt ) .

Christophe Hurlin

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Dé…nition statistique de la Value-at-Risk
Value-at-Risk conditionnelle

Cette densité conditionnelle peut elle aussi être di¤érente
d’
une date à l’
autre, mais généralement on se restreint à des
densités conditionnelles invariantes dans le temps, i.e. telles
que :
fR t ( r j Ω t ) = fR ( r j Ω t ) 8 t
Cela revient à supposer que conditionnellement à un
ensemble d’
information (ou lorsque l’ cherche à
on
prévoir la Value-at-Risk), les rendements sont
identiquement distribués.

Christophe Hurlin

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Value-at-Risk conditionnelle

De…nition (prévision de VaR)
La prévision de la Value-at-Risk pour la date t + 1 et pour
un taux de couverture de α%, obtenue conditionnellement à
l’
ensemble d’
information Ωt disponible à la date t, notée
VaRt +1 ( αj Ωt ) , est dé…nie par :
VaR t +1 jt (α) = VaRt +1 ( αj Ωt ) =

FR 1 ( α j Ω t )

où FR ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la
fonction de densité conditionnelle fR ( r j Ωt ) .

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Example (prévision de VaR)
Supposons que les P&L à la date t + 1, notées Rt +1 , soient
normalement distribués. On cherche à prévoir la moyenne et la
variance de cette distribution conditionnellement à l’
information
disponible. Supposons que ces estimateurs soient dé…nis par les
moments conditionnels suivants :
b
µ t +1 jt = E ( Rt +1 j Ωt )

bt
σ2 +1 jt = V ( Rt +1 j Ωt )
Christophe Hurlin

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Value-at-Risk conditionnelle

Example (prévision de VaR, suite)
La distribution de P&L conditionnelle est alors :
Rt +1 j Ωt

bt
b
N µ t +1 jt , σ 2 +1 jt

On en déduit immédiatement une prévision de la VaR de t + 1
pour un taux de couverture de α% :
VaR t +1 jt (α) =

b
µ t +1 jt

Christophe Hurlin

b
σ t +1 jt Φ

Value-at-Risk

1

(α)
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Le deuxième élément fondamental dans le calcul de la
Value-at-Risk est la période de détention (ou l’
horizon de
risque) de l’
actif ou du portefeuille d’
actifs.
Il n’
existe aucune règle quant au choix de la période de
détention dans le calcul de la Value-at-Risk puisque ce
choix dépend fondamentalement de l’
horizon de reporting ou
de l’
horizon d’
investissement des opérateurs.
Toutefois, les autorités de régulation peuvent spéci…er des
horizons de détention spéci…ques notamment dans le cadre
des procédures de validation de la Value-at-Risk.

Christophe Hurlin

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Horizon de détention et agrégation temporelle

Un problème se lorsque la fréquence d’
observations des
P&L (intra-day, quotidienne, hebdomadaire, mensuelle etc..)
ne correspond pas à l’
horizon de risque
On doit alors transformer une mesure de risque adaptée à un
horizon en une mesure de risque adaptée en autre horizon,
généralement plus long : c’ le problème de l’
est
agrégation
temporelle

Christophe Hurlin

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Horizon de détention et agrégation temporelle

Le problème de l’
agrégation temporelle peut se poser de la
même façon lorsque l’ cherche à prévoir la VaR à un horizon
on
supérieur h à l’
unité. En e¤et pour ce faire deux solutions existent :
1

Soit prévoir directement la VaR en t + h, c’ à dire
est
VaR t +h jt (α) , dans ce cas le problème de l’
agrégation
temporelle ne se pose pas

2

Soit on cherche à établir la prévision de la VaR en t + h,
VaR t +h jt (α) , à partir de prévisions réalisées à un horizon
inférieur, typiquement à un horizon d’
une période, c’ à dire
est
VaR t +1 jt (α) , VaR t +2 jt +1 (α) , .., VaR t +h jt +h 1 (α) .
Christophe Hurlin

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Horizon de détention et agrégation temporelle

Dans le cadre du problème de l’
agrégation temporelle des
mesures de VaR, on doit distinguer deux cas :
1

le cas où l’ suppose que les rendements sont i.i.d.
on

2

le cas où l’ suppose que les rendements ne sont pas i.i.d.
on

Christophe Hurlin

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Horizon de détention et agrégation temporelle

Dans le cas où les rendements sont i.i.d., le problème est
relativement simple.
Supposons que l’ dispose de l’
on
espérance et de la variance de
la P&L exprimés en base annuelle. Soient µy et σ2 ces valeurs.
y
On cherche à déterminer les moments correspondants sur un
horizon di¤érent de l’
année sous l’
hypothèse de rendements
i.i.d. et sous l’
hypothèse que les mêmes positions ont été
maintenues sur l’
année.

Christophe Hurlin

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Sous l’
hypothèse i.i.d., on a alors :
E (Rt ) = µy T

V (Rt ) = σ2 T
y

où T désigne l’
horizon du risque mesuré en nombre d’
années.
Exemple : 1/12 pour un horizon mensuel, 1/252 pour un horizon
quotidien si il y a 252 journée de cotation dans une année.

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Horizon de détention et agrégation temporelle

Example (Jorion, 2007)
Sur une base mensuelle, on suppose que le rendement moyen du
change EUR/$ est -0.15% et la volatilité est 3.28%. Sur une base
annuelle, sous l’
hypothèse i.i.d., le rendement espéré est égal à :
0.15

12 =

1.8% par an

et la volatilité annuelle
3.28

p

12 = 11.4% par an

Christophe Hurlin

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Horizon de détention et agrégation temporelle

Dans le cas où les rendements ne sont pas i.i.d., il convient de
postuler un modèle de dépendance entre les rendements :
Supposons par exemple que les rendements véri…ent
Rt = ρRt

1

+ εt

où εt est i.i.d. 0, σ2 .
ε
Dans ce cas, on montre que :
V

T

∑ Ri

i =1

h
= σ 2 T + 2 (T
R

où σ2 = σ2 1
ε
R
référence

1) ρ + 2 (T

2) ρ2 + .. + 2 (1) ρT

ρ2 désigne la variance sur l’
horizon de
Christophe Hurlin

Value-at-Risk

1
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Horizon de détention et agrégation temporelle

Example (Jorion, 2007)
Supposons que la volatilité quotidienne soit égale à 1%. Sur deux
semaines (10 jours de cotations), la volatilité est multipliée par
p
10 = 3.16 si l’ suppose l’
on
absence de dépendance des
rendements (ρ = 0). En revanche, si ρ = 0.2, la volatilité
augmente de 3.79. Si ρ = 0.5, il faut mutiplier la volatilité
quotidienne par 5.10 pour obtenir la volatilité en base
bi-hebdomadaire.

Christophe Hurlin

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Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques

Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Préambule

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Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques

Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
On dénombre trois grandes classes de méthodes d’
estimation de la
VaR :
1

Méthodes non-paramétriques (Historical Simulation,
Weighted Historical Simulation, Filtered Historical
Simulation...).

2

Méthodes semi-paramétriques (CAViaR, théorie des
extrêmes).

3

Méthodes paramétriques (ARCH, GARCH univarié, GARCH
multivarié, RiskMetrics).

Christophe Hurlin

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Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques

Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Dans cette section, nous limiterons notre analyse aux méthodes
d’
estimation de la VaR de type univariées applicables :
1

aux rendements associés à la détention d’ actif
un

2

aux rendements associés à la détention d’ portefeuille
un
d’
actifs en négligeant les gains liés à la diversi…cation des
risques et les corrélations entre actifs.

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Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques

Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Remarque : on trouve dans certains ouvrage le terme "méthodes
de calcul"’de la VaR. Ce terme est impropre, on doit plutôt utiliser
le terme de "méthodes d’
estimation" de la VaR. La VaR est le
fractile d’
une distribution de P&L, dès lors deux solutions
1

Soit la distribution de P&L est connue, et à ce moment on
calcule le fractile correspondant

2

Mais généralement, la distribution de P&L n’ pas
est
connue ou les paramètres de cette distribution ne sont
pas connues. On doit estimer la densité associée, ou les
paramètres de cette densité, ou son fractile directement. On
parle alors de méthodes d’
estimation de la VaR.

Christophe Hurlin

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Dé…nition statistique de la
Méthodes d’
estimation de la
Risque de Portefeuille et
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Méthodes d’
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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

De…nition (Méthodes non paramétriques)
Le principe général des méthodes non paramétriques
d’
estimation / prévision de la Value-at-Risk est que l’ impose a
on
priori aucune distribution paramétrique de pertes et pro…ts.

Christophe Hurlin

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Les principales méthodes sont les suivantes :
1

Historical Simulation (HS)

2

Bootstrapped Historical Simulation

3

Simulation Historique et Estimation Non Paramétrique de
Densité

4

Weighted Historical Simulation (WHS) ou Hybrid
Method

5

Filtered Historical Simulation (FHS)

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Simulation Historique

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

1

La simulation historique (Historical Simulation, ou HS) est
une méthode très simple qui est sans doute la plus utilisée
actuellement

2

Formellement, la VaR est estimée simplement par le fractile
empirique des rendements passés.

3

Si l’ considère par exemple un niveau de con…ance de 95%
on
et que l’ dispose d’ échantillon de 1000 observations
on
un
historiques de rendements, la VaR est donnée par la valeur du
rendement qui correspond à la 50ème plus forte perte.

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De…nition
Soit fR1 , R2 , ..RT g la séquence des rendements Rt de l’
actif ou du
portefeuille, observés aux dates t = 1 à T . A cette séquence
correspond un échantillon de T observations fr1 , r2 , .., rT g.

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Problem
Théoriquement, à chaque date, le rendement Rt est une v.a.r qui
admet une certaine distribution, notée fR t (.) , et donc un fractile
d’
ordre α, noté VaRt (α) , qui lui est propre. Or, on ne dispose que
d’une seule réalisation, rt , de cette distribution. A partir de cette
unique réalisation, sans hypothèse supplémentaire, il est
impossible d’
estimer le fractile de la distribution des P&L à la date
t, c’ à dire la VaR.
est

Christophe Hurlin

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Dans l’
approche HS, on fait deux hypothèses très fortes :
1

On suppose que la distribution non conditionnelle des
rendements est identique quelle que soit la date t :
fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t
par conséquent le fractile de cette distribution non
conditionnelle (la VaR) est aussi identique :
VaRt (α) = VaR (α) 8t

2

On suppose que les rendements R1 , .., RT sont
indépendamment distribués.
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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Hypothèse : on suppose que les rendements Rt associés aux P&L,
observés à toute date t, sont identiquement et
indépendamment distribués (i.i.d) avec :
fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t
VaRt (α) = VaR (α) 8t

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Solution
Sous l’
hypothèse i.i.d, on dispose alors d’ échantillon de T
un
réalisations fr1 , r2 , .., rT g de T v.a.r. admettant la même
distribution (ou de la même variable aléatoire) et donc la même
VaR. Il est dès lors possible d’
estimer cette VaR.

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

De…nition (VaR HS)
Sous l’
hypothèse de rendements i.i.d., un estimateur convergent
de la VaR pour un taux de couverture de α% est dé…ni par le
fractile empirique d’
ordre α associés aux T réalisations historiques
des rendements, notées fr1 , r2 , .., rT g.
b
V aR (α) = percentile frj gT 1 , 100α
j=
b
V aR (α)

p

! VaR (α)

T !∞

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Fig.: Source : Jorion (2007)

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Example
On considère les rendements quotidiens dé…nies à partir des cours
à la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soit
un total de 5550 observations. Supposons que l’ classe par ordre
on
croissant les observations r1 , .., r5550 . La VaR HS à 1% est alors
`
égale à la 56eme , soit :
b
V aRt (1%) =

Christophe Hurlin

0, 01507%

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Fig.: Rendements Quotidiens Nikkei 05/01/2004 - 02/05/2006
0.06

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04
1000

2000

Christophe Hurlin

3000

4000

Value-at-Risk

5000
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Empiric al CDF of NIKKEI

Quantiles of NIKKEI

1.0

0.06

0.8

0.04

0.6

0.02

0.4

0.00

0.2

-0.02

0.0
-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

Christophe Hurlin

-0.04
0.0

0.2

Value-at-Risk

0.4

0.6

0.8

1.0
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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Remarque : La VaR HS est l’
estimateur d’
une VaR non
conditionnelle (ou associée à une distribution de P&L non
conditionnelle).
Par conséquent la prévision de VaR selon la méthode HS sera
relativement "invariante" aux modi…cations de
l’
environnement économique.
Les prévisions de VaR selon la méthode HS sont "plates"
ou "pratiquement plates" (dans le cas rolling estimates).

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
C’ le principal défaut de cette méthode (Hendricks, 1996 ;
est
Boudoukh et al. 1998 ; Pritsker, 2006) : il est invraisemblable que
les nombreux facteurs microstructurels et macroéconomiques
concourant à la formation du prix d’ actif demeurent inchangés
un
dans le temps.
Hendricks, D.. (1996), ”Evaluation of Value-at-Risk Models
Using Historical Data ”,Economic Policy Review, Federal
Reserve Bank of New York, April, pp. 39-69.
Pritsker, M. (2006), "The hidden dangers of historical
simulation", Journal of Banking & Finance, Volume 30, Issue

Christophe Hurlin

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Problem
Comment construire une prévision de VaR selon la méthode
HS ?
La solution consiste tout simplement à utiliser le fractile empirique
associé aux observations passées R1 , .., R2
VaR T +1 jT (α) = percentile frj gT 1 , 100α
j=
L’
idée est alors que puisque le rendement en T + 1 à la même
distribution que R1 , .., RT , un estimateur de sa VaR peut être
obtenu à partir de l’
estimateur de la VaR des rendements passés.
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Méthodes d’
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Problem
Comment construire une séquence de prévisions de la VaR
selon la méthode HS (backtesting) ?
Comme pour tous les estimateurs, il y a deux solutions :
soit on construit un estimateur glissant (rolling estimate)
de la VaR en t + 1 à partir d’ sous ensemble
un
d’
informations récentes de taille …xe (idée de
conditionnement).
soit on construit une successions d’
estimateurs de la VaR
conditionnellement à toute l’
information disponible, qui
croît au fer et à mesure que le temps passe
Christophe Hurlin

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Fig.: Prévision Glissante (Rolling Estimate)

1ère Estimation

Prévision
temps

1

T-N
2ème Estimation

1

T-N+1
Prévision

2

T-N+1

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T-N+2
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Fig.: Prévision HS non Glissante

1ère Estimation

Prévision
temps

1

T-N
2ème Estimation

1

T-N+1
Prévision

2

T-N+1

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T-N+2
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estimation de la Value-at-Risk

Fact
Dans la littérature, on utilise généralement des séquences de
prévisions construites à partir d’
une estimation glissante
(rolling estimate) a…n d’
introduire un "minimum de
conditionnement" dans la VaR-HS et de ne pas accorder trop de
poids aux réalisations des rendements les plus anciennes.

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De…nition (Prévisions VaR-HS)
Les prévisions glissantes de VaR pour un taux de couverture de α%
obtenues par la méthode de simulation historiques correspondent
au fractile empirique d’
ordre α de la chronique des rentabilités
passées observées sur une fenêtre de taille Te :
VaR t jt

1 (α)

= percentile frj gt=t1
j

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T e , 100α
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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Plus la taille de la fenêtre Te est petite, plus les prévisions de
VaR seront volatiles
Plus la taille de la fenêtre Te est grande, plus la VaR prévue
convergera vers la VaR non conditionnelle et sera par
conséquent quasi "constante" dans le temps.

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk
Example (Candelon et al. 2008)
Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq et
appliquent trois méthodes de prévisions de la VaR à 5% dont la
méthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rolling
estimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphique
suivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pour
la période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que les
rendements observés ex-post.
Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008),
”Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test”,
Working Paper.
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Fig.: Historical Returns and 5% VaR Forecasts. Nasdaq (June 2005June 2006)
Na s d a d
0.03
Re tu rn s
Hi s toric al Sim ulation 5% VaR

0.02

0.01

0

-0.01

-0.02

-0.03

0

50

100

Christophe Hurlin

150

200

Value-at-Risk

250
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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Example (Christo¤ersen et Pelletier, 2004)
Les auteurs proposent un test de backtesting. A…n d’
étudier les
propriétés de ce test, ils proposent des simulations de Monte Carlo
dans lesquelles ils simulent des rendements selon un processus
GARCH sous Student, puis appliquent la méthodologie HS pour
prévoir les VaR sur ces rendements simulés.
Christoffersen, P. F. and D. Pelletier (2004),
"Backtesting Value-at-Risk : A duration-based approach",
Journal of Financial Econometrics, 2, 1, pp. 84-108.

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Fig.: Source : Christo¤ersen and Pelletier (2004)

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Bootstrapped Historical Simulation (BHS)

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Une amélioration simple de la méthode HS consiste à
estimer la VaR à partir de données simulées par Bootstrap.
Le Bootstrap consiste à ré-échantillonner les données
historiques de rendements avec remise.

Christophe Hurlin

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Plus précisément, la procédure consiste à créer un grand
nombre d’
échantillons de rendements simulés, où chaque
observation est obtenue par tirage au hasard à partir de
l’
échantillon original.
Chaque nouvel échantillon constitué de la sorte permet
d’
obtenir une estimation de la VaR par la méthode HS
standard, et l’ dé…nit au …nal une estimation en faisant la
on
moyenne de ces estimations basées sur les ré-échantillonnages.

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De…nition (Bootstrapped Historical Simulation)
n oT
Soit ejs
r
une séquence de rendements tirés au hasard avec
j =1

remise dans l’
échantillon de rendements historiques, et soit
e
V aR s (α) la VaR-HS associée à cet échantillon de rendements
bootstrappés. L’
estimateur BHS (Bootstrapped Historical
Simulation) de la VaR correspond à la moyenne empirique des
VaR-HS obtenues à partir de S échantillons de rendements
boostrappés :
1 S e
b
V aR (α) = ∑ V aR s (α)
S s =1
e
r j=
V aR s (α) = percentile fejs gT 1 , 100α
Christophe Hurlin

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s = 1, .., S
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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Remarque 1 : Le fait de construire la moyenne d’ grand nombre
un
de VaR-HS obtenues sur des échantillons de rendements
boostrapés fait que l’ limite l’
on
in‡uence des pertes extrêmes,
notamment lorsque l’ utilise cette méthode pour la prévision. On
on
obtient ainsi des prévisions plus volatiles.

Christophe Hurlin

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Méthodes d’
estimation de la Value-at-Risk

Remarque 2 : pour construire une prévision glissante par la
méthode BHS, il su¢ t de ré-échantilloner (pour chaque prévision)
non plus T valeurs, mais uniquement Te valeurs, où Te désigne la
taille de la fenêtre.

Christophe Hurlin

Value-at-Risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
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value at risk
value at risk
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value at risk
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value at risk
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value at risk
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value at risk
value at risk
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value at risk
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value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
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value at risk
value at risk
value at risk
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value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
value at risk
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  • 2. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Qu’ ce que la VaR ? est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 3. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Un bref aperçu historique : La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour la première fois dans le secteur de l’ assurance. A la …n des années 1980, la banque Bankers Trust fut l’ une des premières institutions à utiliser cette notion sur les marchés …nanciers aux Etats-Unis. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 4. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Le terme VaR est apparu pour la première fois dans une publication grand public en juillet 1993 dans un rapport d’ une réunion du G-30 Mais c’ principalement la banque JP Morgan qui, dans les est années 90, a popularisé ce concept notamment grâce à son système RiskMetrics (1994). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 5. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Fact La Value-at-Risk est devenue, en moins d’ une dizaine d’ années, une mesure de référence du risque sur les marchés …nanciers, consacrée notamment par la réglementation prudentielle dé…nie dans le cadre des accords de Bâle II. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 6. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est De…nition (Value-at-Risk) De façon générale, la Value-at-Risk correspond au montant des pertes qui ne devraient pas être dépassées pour un niveau de con…ance donné sur un horizon temporel donné (Jorion, 2007) Jorion, P. (2007), Value-at-Risk, Third edition, McGraw-Hill. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 7. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est La Value-at-Risk correspond à une perte maximale potentielle qui ne devrait être atteinte qu’ avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 8. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est De…nition (Value-at-Risk) VaR is an estimate of how much a certain portfolio can lose within a given time period, for a given con…dence level (Engle et Manganelli, 2004). Engle, R. F., and Manganelli, S. (2004), ”CAViaR : Conditional Autoregressive Value-at-Risk by regression quantiles”, Journal of Business and Economic Statistics, 22, pp. 367-381. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 9. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est Example (Value-at-Risk) Si une banque annonce une VaR quotidienne sur son portefeuille de 50 millions de dollars pour un niveau de con…ance de 99%, cela implique qu’ y a seulement une chance sur 100, sous des il conditions normales de marché, que la perte associée à la détention de ce portefeuille sur une journée excède 50 millions de dollars. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 10. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qu’ ce que la VaR ? est La simplicité de cette dé…nition constitue l’ des principaux un attraits de la Value-at-Risk : il est en e¤et très facile de communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure homogène et générale (quelle que soit la nature de l’ actif, la composition du portefeuille etc.) de l’ exposition au risque. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 11. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Comment utiliser la VaR ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 12. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Comment utiliser la VaR ? La VaR peut être utilisée de trois façons principales (Jorion, 2007) : 1 de façon passive : reporting d’ information 2 de façon défensive : contrôle des risques 3 de façon active : management des risques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 13. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Reporting des risques La VaR peut être utilisée de façon passive dans le cadre d’ un reporting régulier sur le risques Ce fut historiquement la première utilisation de la VaR en vue de mesurer un risque agrégé (JP Morgan) La VaR est une mesure du risque simple à interpréter exprimée en unité monétaire La VaR est une mesure du risque sur laquelle on peut communiquer de façon non technique La VaR permet de synthétiser en une seule mesure une appréciation sur le risque global Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 14. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Contrôle des risques La VaR peut être utilisée de façon défensive dans le cadre d’ un contrôle des risques La VaR est utilisée pour déterminer des positions limites qui seront imposées aux traders (limites individuelles) ou aux business units (limites collectives) Le principal avantage de la VaR est qu’ fournit un elle dénominateur commun permettant de comparer les risques engendrés par les activités menées sur di¤érents marchés, di¤érents produits etc. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 15. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Comment utiliser la VaR ? Management des risques La VaR peut être utilisée de façon active dans le cadre d’ un management des risques La VaR est utilisée dans l’ allocation du capital entre les tradeurs, les business lines, les produits et ou les institution. La VaR est généralement retenue pour le calcul des rendements ajustés du risque ou Risk-adjusted performance measures (RAPM) Optimisation de portefeuille avec des critères de type moyenne-VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 16. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Qui utilise la VaR ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 17. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Qui utilise la VaR ? En raison de ces très nombreuses utilisations possibles, les utilisateurs de la VaR sont très di¤érents : 1 Institutions …nancières 2 Régulateurs 3 Entreprises non …nancières 4 Asset Managers Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 18. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les institutions …nancières Les institutions …nancières ont été à l’ avant garde de la di¤usion et l’ utilisation de la VaR dans le cadre de la mise en place de systèmes centralisés de management / surveillance des risques nécessité liée à l’ évolution de la réglementation nécessité liée à la complexité croissante des instruments …nanciers et à la diversi…cation croissante des risques …nanciers nécessité liée à la connaissance de grands désastres …nanciers (Barings, Daiwa..) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 19. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les régulateurs Les réglementations prudentielles visent de façon générale à imposer aux institutions …nancières de garantir un niveau minimum de capitaux disponibles au regard des risque …nanciers. Par conséquent se pose le problème de l’ évaluation de ces risques : Comment évaluer ces risques …nanciers sur des multi-activités, des actifs très di¤érents, des produits complexes ? Qui doit évaluer ces risques ? les autorités de régulation ou les institutions …nancières elles-mêmes ? Dans ce dernier cas comment garantir la validité des évaluations du risque proposées par les institutions …nancières ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 20. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les régulateurs Fact Dans les années 80-90, on a assisté à une convergence des réglementations prudentielles (comité de Bâle sur le contrôle bancaire, US Federal Reserve, US Securities and Exchange Commission etc) vers l’ adoption de la VaR comme mesure de référence du risque. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 21. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les institutions non …nancières Les institutions non …nancières : l’ usage de la VaR dépasse le contexte des seules institutions …nancières : Le management centralisé des risques est utile à toutes les entreprises exposées aux risques …nanciers. On peut citer en exemple les multinationales qui doivent évaluer et se prémunir contre les risques de change, on peut alors mener des analyses de type CFAR (Cash Flow at Risk) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 22. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Qui utilise la VaR ? Les asset managers La gestion d’ actifs et la VaR : utilisation de la VaR pour gérer les risques …nanciers et développer les stratégies d’ asset management "We can now view our total capital at risk on a portfolio basis, by asset class and by individual manager. Our main goal was to ... have the means to evaluate our portfolio risk going forward" Director of Chrysler pension fund", cité dans Jorion (2007), interview réalisé après l’ achat d’ system de VaR un Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 23. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Introduction Introduction Quels types de risques mesure la VaR ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 24. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Quels types de risques peut mesurer la VaR ? La VaR est une mesure homogène permettant de mesurer di¤érents risques, sur di¤érents marchés, di¤érents actifs (change, actions, dérivés..) De…nition (Portée de la VaR ) L’ objectif de la VaR fournit une mesure du risque total de portefeuille. Par conséquent, la VaR doit tenir compte des e¤ets de levier et de diversi…cation (corrélation). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 25. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Les risques …nanciers sont généralement classés en grandes catégories : 1 Risques de marché 2 Risques de liquidité 3 Risques de crédit 4 Risques opérationnels Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 26. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? De…nition Le risque de marché désigne le risque de perte lié à l’ évolution des niveaux ou des volatilités des prix de marché. Ces risques peuvent être exprimés sous deux formes : 1 risques absolus, mesurés en unité monétaire 2 risques relatifs exprimés par rapport à un benchmark (notion de tracking error ou déviation par rapport à un indice) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 27. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de marché Fact La VaR a été conçue comme une mesure de risque de marché et le risque de marché demeure aujourd’ le principal champ hui d’ application de la VaR, même si ce n’ plus de façon exclusive. est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 28. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité De…nition (risque de liquidité) La notion de risque de liquidité regroupe deux types de risques : le risque de liquidité d’ actif (asset liquidity risk) et le risque de liquidité de …nancement (funding liquidity risk ou cash ‡ow risk). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 29. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité De…nition (asset liquidity risk) Le risque de liquidité d’ actif (asset-market-product liquidity risk) survient lorsqu’ une transaction ne peut pas intervenir au prix au prix prévu du fait de la taille relative de la position au regard du volume des transactions usuelles (Jorion, 2007). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 30. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité Remarque : la notion de risque de liquidité est à distinguer de la notion marché liquide / non liquide (exemple : marché de change verus emerging-market equities) puisque ce risque peut survenir sur un marché liquide suivant l’ importance de la position. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 31. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité De…nition (cash ‡ow liquidity risk) Le risque de liquidité de …nancement (cash ‡ow liquidity risk) fait référence à l’ impossibilté de faire face à ses obligations de paiement, impliquant des liquidations de position et donc la transformation de pertes "papier" en pertes réalisées (Jorion, 2007). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 32. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de liquidité La VaR ne s’ applique pas directement au concept de risque de liquidité, mais : Il est possible de construire des transformations de la VaR intégrant ce type de risque comme la LVAR (Liquidity adjusted Value-at-Risk) Proposer des concepts similaires dans le domaine des données de hautes fréquences portant sur la durée séparant deux transactions successives comme le TaR (Time-at-Risk, Gouriéroux, 2004) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 33. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de crédit De…nition (risque de crédit) Le risque de crédit désigne le risque de pertes engendrées par une situation dans laquelle les contreparties sont incapables ou ne désirent pas remplir leurs obligations contractuelles. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 34. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de crédit Le risque de crédit peut être exprimé sous forme d’ exposition (exposure) c’ à dire de montant soumis au risque ou de taux est de recouvrement (recovery rate) qui désigne la proportion remboursée par l’ emprunteur. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 35. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque de crédit Dans le cas du risque de crédit, les facteurs de risques sont nombreux : statut du défaut (partiel ou total), exposition au défaut, et les pertes étant donnée le défaut sont di¢ ciles à calculer. Ce qui explique que la VaR est rarement utilisée en tant que telle dans le domaine de crédit On préferre généralement des notions plus spéci…ques comme l’ expected credit losses (ECT) ou la Worse Credit Exposure (WCE) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 36. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque opérationnel De…nition (risque opérationnel) Le risque opérationnel est le risque qui résulte de processus internes inapropriés, ou de systèmes défecteux ou d’ événements externes (Jorion, 2007). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 37. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque opérationnel Les risques opérationnels couvrent notamment : 1 le risque de modèle (model risk) 2 risque de personne ou de personnel (people risk) 3 risque légal (legal risk) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 38. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Qu’ ce que la VaR ? est Comment utiliser la VaR ? Qui utilise la VaR ? Quels types de risques mesure la VaR ? Mesurer quels types de risques ? Risque opérationnel Etant donnée l’ importance des risques opérationnels et certains exemples de désastres …nanciers, il existe aujourd’ hui une volonté de quanti…er ces risques Dans ce contexte, des calculs de VaR peuvent théoriquement être appliqués aux risques opérationnels Toutefois, la collecte de données de référence permettant d’ établir la P&L associée à ces risques pose généralement de très gros problèmes et limite par conséquent la portée de l’ application de la VaR à ce contexte. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 39. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Préambule Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 40. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk De…nition (Value-at-Risk) La Value-at-Risk (VaR) dé…nie pour un taux de couverture de α% correspond au quantile d’ ordre α de la distribution de pro…ts et pertes (pro…ts and losses, P&L) associée à la détention d’ actif ou d’ portefeuille d’ un un actifs sur une période donnée. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 41. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Value-at-Risk
  • 42. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Ainsi, la dé…nition de la Value-at-Risk est fondée sur trois éléments 1 La distribution des pro…ts et pertes (P&L) du portefeuille ou de l’ actif 2 Le niveau de con…ance (ou de façon équivalente le taux de couverture égal à un moins le niveau de con…ance) ; appelé aussi taux de couverture 3 La période de détention de l’ actif (ou horizon du risque) qui pose parfois le problème de l’ agrégration temporelle de la VaR Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 43. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Au délà des éléments de cette dé…nition, divers aspects de la VaR doivent être évoqués à ce niveau : 1 La notion de VaR (ou de P&L) conditionnelle 2 et plus générallement la prévision de VaR Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 44. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Mesurer les rendements Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 45. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Quelles sont les données qui servent au calcul de la VaR ? Comment transformer les données de sorte à les exprimer sous forme de P&L ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 46. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Fact Les données de P&L à partir desquelles on calcule une Value-at-Risk peuvent prendre di¤érentes formes, mais elles sont généralement exprimées sous forme de rendements (Dowd, 2005) Dowd, K. (2005), Measuring market risk, John Wiley & Sons Ltd. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 47. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (pro…ts et pertes) On note Pt la valeur d’ actif (ou d’ portefeuille) à la …n de la un un période t. On note Dt l’ ensemble des paiements intermédiaires obtenus entre les dates t 1 et t. Les pro…ts et pertes (P&L) associés à la détention de l’ actif (ou du portefeuille) sont alors dé…nis par : P/Lt = Pt + Dt Pt 1 Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 48. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 1 si les données sont exprimées sous forme de P&L, les valeurs positives indiquent des pro…ts et les valeurs négatives indiquent des pertes. Remaqrue 2 Il est aussi possible d’ exprimer les données sous forme de pertes et pro…ts (L&P pour losses and pro…ts) telles que : L/Pt = P/Lt Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 49. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 3 Il conviendrait de tenir compte d’ facteur un d’ actualisation dans la comparaison des valorisations aux dates t et t 1. Si l’ évalue la valeur présente on des P&L à la …n de la date t 1, il vient : present value P/L = Pt + Dt (1 + d ) Pt 1 où d désigne le taux d’ escompte psychologique. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 50. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 4 Si l’ évalue la valeur future des P&L à la …n de la on date t, il vient : forward value P/L = Pt + Dt (1 + d ) Pt 1 Remarque 5 Généralement on néglige l’ escompte psychologique dans le calcul des P&L sur des horizons courts (quotidiens, hebdomadaires, mensuels, etc.) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 51. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Les P&L sont généralement exprimées sous forme de rendements : 1 Rendements arithmétiques 2 Rendements géométriques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 52. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (rendements arithmétiques) Les rendements arithmétiques associés aux pro…ts et pertes (P&L), notés rt , sont dé…nis comme : rt = Pt + Dt Pt Pt 1 1 = Pt + Dt Pt 1 1 Cette dé…nition des rendements suppose que les paiements intérmédiaires Dt ne sont pas ré-investit (problème sur longue période). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 53. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (rendements géométriques) Les rendements géométriques associés aux pro…ts et pertes (P&L), notés Rt , sont dé…nis comme suit : Rt = ln Christophe Hurlin Pt + Dt Pt 1 Value-at-Risk
  • 54. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) On peut passer de l’ une à l’ autre dé…nition par les formules d’ approximation suivantes : Rt = ln (1 + rt ) ce qui implique que si les rendements sont "petits" alors : rt ' Rt Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 55. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Example (rendements géométrique et arithmétique ) Supposons qu’ une certaine date t les rendements arithmétiques à rt par unité de temps soient égaux à 5%. Les rendements géométriques correspondants sont alors égaux à : Rt = ln (1 + 0.05) = 0.0488 Inversement, si les rendements géométriques sont égaux à 5%, les rendements arithmétiques sont alors égaux à rt = exp(Rt ) 1 = exp(0.05) Christophe Hurlin Value-at-Risk 1 = 0.0513
  • 56. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Pro…ts et Pertes (P&L) Les rendements géométriques supposent implicitement que les paiements intermédiaires Dt sont ré-investis de façon continue. Les rendements géométriques garantissent que le prix d’ actifs ne devient jamais négatif (contrairement au rendement arithmétique), y compris en cas de pertes massives Généralement, on préfére utiliser les rendements géométriques en lieu et place des rendements arithmétiques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 57. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Example (Rendements géométriques) Considérons à titre d’ exemple l’ indice Standard & Poor observé en clôture sur la période du 03/07/1989 au 24/11/2003 ainsi que le rendement géométrique quotidien associé Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 58. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Value-at-Risk
  • 59. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Christophe Hurlin Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Value-at-Risk
  • 60. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 61. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) De…nition (distribution de pro…ts et pertes) La distribution de pro…ts et de pertes (P&L pour pro…t and losses) correspond à la fonction de densité des pertes et pro…ts, supposées aléatoires, associées à la détention de l’ actif ou du portefeuille sur un horizon donné. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 62. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) On considère les rendements géométriques, notés Rt , associés à la détention d’ actif sur un horizon donné un (exemple quotidien) Ces rendements sont exprimés sous une forme P&L : un rendement positif indique un gain, un rendement négatif une perte On suppose que ces rendements sont aléatoires : Rt est une variable aléatoire réelle (v.a.r) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 63. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Comme toute v.a.r., le rendement à la date t, Rt , est caractérisé par une fonction de densité, notée fR t ( r ) 8r 2 R De…nition (P&L distribution) C’ précisèment cette fonction de densité que l’ quali…e de est on distribution de pro…ts et pertes (P&L distribution). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 64. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 1 : l’ idéal pour caractériser le risque serait de connaître l’ ensemble de la densité de P&L, toutefois on se limite généralement à une caractérisation du risque au travers de la connaissance de certains moments (variance, skeweness, kurtosis) ou de certains fractiles (VaR). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 65. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Remarque 2 : si la distribution de P&L est connue, on en déduit immédiatement la VaR, puisque la VaR n’ rien d’ est autre qu’ un fractile de cette fonction de distribution Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 66. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 67. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (dé…nition statistique de la VaR) Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la Value-at-Risk, notée VaRt (α) , correspond à l’ opposé du fractile d’ ordre α de la distribution de pro…ts et pertes (P&L). VaRt (α) = FR t 1 (α) où FR t (.) désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité fR t (r ) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 68. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Remarque : la VaR est généralement négative (perte) dans une représentation P&L. Dès, lors par souci de simpli…cation, dans la plupart des ouvrages on dé…nit la VaR en valeur positive en considérant l’ opposé du fractile VaRt (α) = Christophe Hurlin FR t 1 ( α ) Value-at-Risk
  • 69. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Remarque : par dé…nition, on a : Z VaR t (α) ∞ Christophe Hurlin fR t (r ) dr = α Value-at-Risk
  • 70. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (taux de couverture) Quelle que soit la dé…nition retenue (positive ou négative) de la VaR, la probabilité d’ observer une perte supérieure à la VaR sur l’ horizon de détention …xé est égale par dé…nition au taux de couverture (coverage rate) : Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = FR t 1 ( α ) Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = FR t 1 (α) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 71. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Remarque : Dans certains ouvrages (Jorion, Dowd..) ou certains articles, on exprime la VaR en fonction du niveau de con…ance : VaR (1 α) = FR t 1 ( α ) On évoque par exemple une VaR à 99% pour un taux de couverture de 1%, une VaR à 95% de niveau de con…ance etc. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 72. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (convention de notation) Dans le cadre de ce cours, on adoptera pour convention de dé…nir la VaR de façon positive et en fonction du taux de couverture et non du niveau de con…ance : VaRt (α) = Pr [Rt < Christophe Hurlin FR t 1 ( α ) VaRt (α)] = α Value-at-Risk
  • 73. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Le principe des méthodes paramétriques de calcul de la VaR (cf. section 5) : 1 Postuler une distribution paramétrique de P&L (normale, Student, GED etc..) 2 Donner une valeur aux paramètres de cette distribution (estimation ou étalonnage) 3 Calculer le fractile correspondant Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 74. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Hypothèse H1 : On suppose que la distribution des P&L à la date t est une distribution normale d’ espérance µ et de variance σ2 Rt Christophe Hurlin N µ, σ2 Value-at-Risk
  • 75. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Par dé…nition de la VaR on sait que : Pr [Rt < VaRt (α)] = α Par conséquent : Pr Rt µ σ VaRt (α) σ < µ =α où sous l’ hypothèse H1 la variable centrée réduite (Rt une loi normale standard N (0, 1) Rt µ σ Christophe Hurlin N (0, 1) Value-at-Risk µ) /σ suit
  • 76. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Si l’ note Φ (.) la fonction de répartition de la loi N (0, 1), il on vient : VaRt (α) µ Φ =α σ Ou encore : VaRt (α) σ µ =Φ 1 (α) 1 (α) On en déduit l’ expression de la VaR : VaRt (α) = Christophe Hurlin µ σΦ Value-at-Risk
  • 77. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (VaR sous hypothèse de normalité) Sous l’ hypothèse de normalité de la distribution de P&L, la VaR associée à un taux de couverture de α% est égale à : VaRt (α) = µ σΦ 1 (α) où µ désigne l’ éspérance et σ2 la variance de la distribution de P&L. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 78. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous normalité) On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif un observé à la date t, noté Rt , suit une loi normale d’ espérance égale à 0.01% et d’ écart-type égale à 1.5. On en déduit immédiatement les VaR à 1% et 5% : VaRt (0.01) = 0.01 1.5 Φ 1 (0.01) = 3.2451% VaRt (0.05) = 0.01 1.5 Φ 1 (0.05) = 2.4573% Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 79. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous normalité, suite) Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de on réaliser une perte au moins égale à 3.2451% du capital investit. Pour un montant investit de 1M d’ on a : e VaR (5%) = 24 573e VaR (1%) = 32 451e Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 80. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle VaR sous hy pothèse de normalité 0.35 P&L Distribution 1% VaR = 3.2451 5% VaR = 2.4573 0.3 Distribution de P&L 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -5 -4 -3 -2 -1 Christophe Hurlin 0 x 1 Value-at-Risk 2 3 4 5
  • 81. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Hypothèse H2 : On suppose que la distribution des P&L à la date t est une distribution de Student à v degrés de liberté Rt t (v ) Comment calculer la VaR sous l’ hypothèse H2 ? Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 82. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk De…nition (VaR et distribution de Student) Sous l’ hypothèse de distribution de Student, la VaR associée à un taux de couverture de α% est égale à : VaRt (α) = G (α; v ) 1 où G (α; v ) désigne la fonction de répartition d’ une loi de Student à v degrés de liberté. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 83. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous hypothèse de Student) On suppose que le rendement géométrique quotidien d’ actif un observé à la date t, noté Rt , suit une loi de Student à 5 degrés de liberté, on en déduit : VaRt (0.01) = G VaRt (0.05) = G Christophe Hurlin 1 (0.01; 5) = 3.3649% 1 (0.05; 5) = 2.015% Value-at-Risk
  • 84. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Dé…nition de la Value-at-Risk Example (VaR sous hypothèse de Student, suite) Si l’ détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de on réaliser une perte au moins égale à 3.3649% du capital investit. Pour un montant investit de 1M d’ on a : e VaR (1%) = 33 649e VaR (5%) = 20 015e Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 85. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle VaR sous distribution de Student 0.4 0.35 0.3 Distribution de P&L 0.25 0.2 0.15 P&L Dis tribution de Student t(5) 1% VaR = 3.3649 5% VaR = 2.015 0.1 0.05 0 -5 -4 -3 -2 -1 Christophe Hurlin 0 x 1 Value-at-Risk 2 3 4 5
  • 86. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 87. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Généralement, on caractérise la distribution de P&L de façon conditionnelle et non de façon marginale. On dé…nit alors une distribution de pertes et pro…ts conditionnelle, c’ est-à-dire une fonction de densité conditionnelle à un ensemble d’ information disponible à la date t, noté Ωt . Cette densité conditionnelle est notée : fR t ( r j Ω t ) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 88. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle De…nition (VaR conditionnelle) Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la Value-at-Risk conditionnelle à un ensemble d’ information Ωt , notée VaRt ( αj Ωt ) , correspond à l’ opposé du fractile d’ ordre α de la distribution conditionnelle de pro…ts et pertes (P&L) : VaRt ( αj Ωt ) = FR t 1 ( α j Ω t ) où FR t ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité conditionnelle fR t ( r j Ωt ) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 89. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Cette densité conditionnelle peut elle aussi être di¤érente d’ une date à l’ autre, mais généralement on se restreint à des densités conditionnelles invariantes dans le temps, i.e. telles que : fR t ( r j Ω t ) = fR ( r j Ω t ) 8 t Cela revient à supposer que conditionnellement à un ensemble d’ information (ou lorsque l’ cherche à on prévoir la Value-at-Risk), les rendements sont identiquement distribués. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 90. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle De…nition (prévision de VaR) La prévision de la Value-at-Risk pour la date t + 1 et pour un taux de couverture de α%, obtenue conditionnellement à l’ ensemble d’ information Ωt disponible à la date t, notée VaRt +1 ( αj Ωt ) , est dé…nie par : VaR t +1 jt (α) = VaRt +1 ( αj Ωt ) = FR 1 ( α j Ω t ) où FR ( r j Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité conditionnelle fR ( r j Ωt ) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 91. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Example (prévision de VaR) Supposons que les P&L à la date t + 1, notées Rt +1 , soient normalement distribués. On cherche à prévoir la moyenne et la variance de cette distribution conditionnellement à l’ information disponible. Supposons que ces estimateurs soient dé…nis par les moments conditionnels suivants : b µ t +1 jt = E ( Rt +1 j Ωt ) bt σ2 +1 jt = V ( Rt +1 j Ωt ) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 92. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Example (prévision de VaR, suite) La distribution de P&L conditionnelle est alors : Rt +1 j Ωt bt b N µ t +1 jt , σ 2 +1 jt On en déduit immédiatement une prévision de la VaR de t + 1 pour un taux de couverture de α% : VaR t +1 jt (α) = b µ t +1 jt Christophe Hurlin b σ t +1 jt Φ Value-at-Risk 1 (α)
  • 93. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 94. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Le deuxième élément fondamental dans le calcul de la Value-at-Risk est la période de détention (ou l’ horizon de risque) de l’ actif ou du portefeuille d’ actifs. Il n’ existe aucune règle quant au choix de la période de détention dans le calcul de la Value-at-Risk puisque ce choix dépend fondamentalement de l’ horizon de reporting ou de l’ horizon d’ investissement des opérateurs. Toutefois, les autorités de régulation peuvent spéci…er des horizons de détention spéci…ques notamment dans le cadre des procédures de validation de la Value-at-Risk. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 95. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Un problème se lorsque la fréquence d’ observations des P&L (intra-day, quotidienne, hebdomadaire, mensuelle etc..) ne correspond pas à l’ horizon de risque On doit alors transformer une mesure de risque adaptée à un horizon en une mesure de risque adaptée en autre horizon, généralement plus long : c’ le problème de l’ est agrégation temporelle Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 96. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Le problème de l’ agrégation temporelle peut se poser de la même façon lorsque l’ cherche à prévoir la VaR à un horizon on supérieur h à l’ unité. En e¤et pour ce faire deux solutions existent : 1 Soit prévoir directement la VaR en t + h, c’ à dire est VaR t +h jt (α) , dans ce cas le problème de l’ agrégation temporelle ne se pose pas 2 Soit on cherche à établir la prévision de la VaR en t + h, VaR t +h jt (α) , à partir de prévisions réalisées à un horizon inférieur, typiquement à un horizon d’ une période, c’ à dire est VaR t +1 jt (α) , VaR t +2 jt +1 (α) , .., VaR t +h jt +h 1 (α) . Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 97. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dans le cadre du problème de l’ agrégation temporelle des mesures de VaR, on doit distinguer deux cas : 1 le cas où l’ suppose que les rendements sont i.i.d. on 2 le cas où l’ suppose que les rendements ne sont pas i.i.d. on Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 98. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dans le cas où les rendements sont i.i.d., le problème est relativement simple. Supposons que l’ dispose de l’ on espérance et de la variance de la P&L exprimés en base annuelle. Soient µy et σ2 ces valeurs. y On cherche à déterminer les moments correspondants sur un horizon di¤érent de l’ année sous l’ hypothèse de rendements i.i.d. et sous l’ hypothèse que les mêmes positions ont été maintenues sur l’ année. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 99. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Sous l’ hypothèse i.i.d., on a alors : E (Rt ) = µy T V (Rt ) = σ2 T y où T désigne l’ horizon du risque mesuré en nombre d’ années. Exemple : 1/12 pour un horizon mensuel, 1/252 pour un horizon quotidien si il y a 252 journée de cotation dans une année. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 100. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Example (Jorion, 2007) Sur une base mensuelle, on suppose que le rendement moyen du change EUR/$ est -0.15% et la volatilité est 3.28%. Sur une base annuelle, sous l’ hypothèse i.i.d., le rendement espéré est égal à : 0.15 12 = 1.8% par an et la volatilité annuelle 3.28 p 12 = 11.4% par an Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 101. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Dans le cas où les rendements ne sont pas i.i.d., il convient de postuler un modèle de dépendance entre les rendements : Supposons par exemple que les rendements véri…ent Rt = ρRt 1 + εt où εt est i.i.d. 0, σ2 . ε Dans ce cas, on montre que : V T ∑ Ri i =1 h = σ 2 T + 2 (T R où σ2 = σ2 1 ε R référence 1) ρ + 2 (T 2) ρ2 + .. + 2 (1) ρT ρ2 désigne la variance sur l’ horizon de Christophe Hurlin Value-at-Risk 1
  • 102. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Mesurer les rendements Distribution de Pro…ts et Pertes (P&L) Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Value-at-Risk conditionnelle Horizon de détention et agrégation temporelle Dé…nition statistique de la Value-at-Risk Horizon de détention et agrégation temporelle Example (Jorion, 2007) Supposons que la volatilité quotidienne soit égale à 1%. Sur deux semaines (10 jours de cotations), la volatilité est multipliée par p 10 = 3.16 si l’ suppose l’ on absence de dépendance des rendements (ρ = 0). En revanche, si ρ = 0.2, la volatilité augmente de 3.79. Si ρ = 0.5, il faut mutiplier la volatilité quotidienne par 5.10 pour obtenir la volatilité en base bi-hebdomadaire. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 103. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Préambule Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 104. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk On dénombre trois grandes classes de méthodes d’ estimation de la VaR : 1 Méthodes non-paramétriques (Historical Simulation, Weighted Historical Simulation, Filtered Historical Simulation...). 2 Méthodes semi-paramétriques (CAViaR, théorie des extrêmes). 3 Méthodes paramétriques (ARCH, GARCH univarié, GARCH multivarié, RiskMetrics). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 105. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Dans cette section, nous limiterons notre analyse aux méthodes d’ estimation de la VaR de type univariées applicables : 1 aux rendements associés à la détention d’ actif un 2 aux rendements associés à la détention d’ portefeuille un d’ actifs en négligeant les gains liés à la diversi…cation des risques et les corrélations entre actifs. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 106. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque : on trouve dans certains ouvrage le terme "méthodes de calcul"’de la VaR. Ce terme est impropre, on doit plutôt utiliser le terme de "méthodes d’ estimation" de la VaR. La VaR est le fractile d’ une distribution de P&L, dès lors deux solutions 1 Soit la distribution de P&L est connue, et à ce moment on calcule le fractile correspondant 2 Mais généralement, la distribution de P&L n’ pas est connue ou les paramètres de cette distribution ne sont pas connues. On doit estimer la densité associée, ou les paramètres de cette densité, ou son fractile directement. On parle alors de méthodes d’ estimation de la VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 107. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Méthodes non paramétriques Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 108. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Méthodes non paramétriques) Le principe général des méthodes non paramétriques d’ estimation / prévision de la Value-at-Risk est que l’ impose a on priori aucune distribution paramétrique de pertes et pro…ts. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 109. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Les principales méthodes sont les suivantes : 1 Historical Simulation (HS) 2 Bootstrapped Historical Simulation 3 Simulation Historique et Estimation Non Paramétrique de Densité 4 Weighted Historical Simulation (WHS) ou Hybrid Method 5 Filtered Historical Simulation (FHS) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 110. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Simulation Historique Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 111. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk 1 La simulation historique (Historical Simulation, ou HS) est une méthode très simple qui est sans doute la plus utilisée actuellement 2 Formellement, la VaR est estimée simplement par le fractile empirique des rendements passés. 3 Si l’ considère par exemple un niveau de con…ance de 95% on et que l’ dispose d’ échantillon de 1000 observations on un historiques de rendements, la VaR est donnée par la valeur du rendement qui correspond à la 50ème plus forte perte. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 112. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques De…nition Soit fR1 , R2 , ..RT g la séquence des rendements Rt de l’ actif ou du portefeuille, observés aux dates t = 1 à T . A cette séquence correspond un échantillon de T observations fr1 , r2 , .., rT g. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 113. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Problem Théoriquement, à chaque date, le rendement Rt est une v.a.r qui admet une certaine distribution, notée fR t (.) , et donc un fractile d’ ordre α, noté VaRt (α) , qui lui est propre. Or, on ne dispose que d’une seule réalisation, rt , de cette distribution. A partir de cette unique réalisation, sans hypothèse supplémentaire, il est impossible d’ estimer le fractile de la distribution des P&L à la date t, c’ à dire la VaR. est Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 114. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Dans l’ approche HS, on fait deux hypothèses très fortes : 1 On suppose que la distribution non conditionnelle des rendements est identique quelle que soit la date t : fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t par conséquent le fractile de cette distribution non conditionnelle (la VaR) est aussi identique : VaRt (α) = VaR (α) 8t 2 On suppose que les rendements R1 , .., RT sont indépendamment distribués. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 115. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Hypothèse : on suppose que les rendements Rt associés aux P&L, observés à toute date t, sont identiquement et indépendamment distribués (i.i.d) avec : fR t ( w ) = fR ( w ) 8 t VaRt (α) = VaR (α) 8t Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 116. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Solution Sous l’ hypothèse i.i.d, on dispose alors d’ échantillon de T un réalisations fr1 , r2 , .., rT g de T v.a.r. admettant la même distribution (ou de la même variable aléatoire) et donc la même VaR. Il est dès lors possible d’ estimer cette VaR. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 117. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (VaR HS) Sous l’ hypothèse de rendements i.i.d., un estimateur convergent de la VaR pour un taux de couverture de α% est dé…ni par le fractile empirique d’ ordre α associés aux T réalisations historiques des rendements, notées fr1 , r2 , .., rT g. b V aR (α) = percentile frj gT 1 , 100α j= b V aR (α) p ! VaR (α) T !∞ Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 118. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Source : Jorion (2007) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 119. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example On considère les rendements quotidiens dé…nies à partir des cours à la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soit un total de 5550 observations. Supposons que l’ classe par ordre on croissant les observations r1 , .., r5550 . La VaR HS à 1% est alors ` égale à la 56eme , soit : b V aRt (1%) = Christophe Hurlin 0, 01507% Value-at-Risk
  • 120. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Rendements Quotidiens Nikkei 05/01/2004 - 02/05/2006 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 1000 2000 Christophe Hurlin 3000 4000 Value-at-Risk 5000
  • 121. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Empiric al CDF of NIKKEI Quantiles of NIKKEI 1.0 0.06 0.8 0.04 0.6 0.02 0.4 0.00 0.2 -0.02 0.0 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 Christophe Hurlin -0.04 0.0 0.2 Value-at-Risk 0.4 0.6 0.8 1.0
  • 122. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque : La VaR HS est l’ estimateur d’ une VaR non conditionnelle (ou associée à une distribution de P&L non conditionnelle). Par conséquent la prévision de VaR selon la méthode HS sera relativement "invariante" aux modi…cations de l’ environnement économique. Les prévisions de VaR selon la méthode HS sont "plates" ou "pratiquement plates" (dans le cas rolling estimates). Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 123. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk C’ le principal défaut de cette méthode (Hendricks, 1996 ; est Boudoukh et al. 1998 ; Pritsker, 2006) : il est invraisemblable que les nombreux facteurs microstructurels et macroéconomiques concourant à la formation du prix d’ actif demeurent inchangés un dans le temps. Hendricks, D.. (1996), ”Evaluation of Value-at-Risk Models Using Historical Data ”,Economic Policy Review, Federal Reserve Bank of New York, April, pp. 39-69. Pritsker, M. (2006), "The hidden dangers of historical simulation", Journal of Banking & Finance, Volume 30, Issue Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 124. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Problem Comment construire une prévision de VaR selon la méthode HS ? La solution consiste tout simplement à utiliser le fractile empirique associé aux observations passées R1 , .., R2 VaR T +1 jT (α) = percentile frj gT 1 , 100α j= L’ idée est alors que puisque le rendement en T + 1 à la même distribution que R1 , .., RT , un estimateur de sa VaR peut être obtenu à partir de l’ estimateur de la VaR des rendements passés. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 125. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Problem Comment construire une séquence de prévisions de la VaR selon la méthode HS (backtesting) ? Comme pour tous les estimateurs, il y a deux solutions : soit on construit un estimateur glissant (rolling estimate) de la VaR en t + 1 à partir d’ sous ensemble un d’ informations récentes de taille …xe (idée de conditionnement). soit on construit une successions d’ estimateurs de la VaR conditionnellement à toute l’ information disponible, qui croît au fer et à mesure que le temps passe Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 126. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Prévision Glissante (Rolling Estimate) 1ère Estimation Prévision temps 1 T-N 2ème Estimation 1 T-N+1 Prévision 2 T-N+1 Christophe Hurlin Value-at-Risk T-N+2
  • 127. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Prévision HS non Glissante 1ère Estimation Prévision temps 1 T-N 2ème Estimation 1 T-N+1 Prévision 2 T-N+1 Christophe Hurlin Value-at-Risk T-N+2
  • 128. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Fact Dans la littérature, on utilise généralement des séquences de prévisions construites à partir d’ une estimation glissante (rolling estimate) a…n d’ introduire un "minimum de conditionnement" dans la VaR-HS et de ne pas accorder trop de poids aux réalisations des rendements les plus anciennes. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 129. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Prévisions VaR-HS) Les prévisions glissantes de VaR pour un taux de couverture de α% obtenues par la méthode de simulation historiques correspondent au fractile empirique d’ ordre α de la chronique des rentabilités passées observées sur une fenêtre de taille Te : VaR t jt 1 (α) = percentile frj gt=t1 j Christophe Hurlin Value-at-Risk T e , 100α
  • 130. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Plus la taille de la fenêtre Te est petite, plus les prévisions de VaR seront volatiles Plus la taille de la fenêtre Te est grande, plus la VaR prévue convergera vers la VaR non conditionnelle et sera par conséquent quasi "constante" dans le temps. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 131. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example (Candelon et al. 2008) Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq et appliquent trois méthodes de prévisions de la VaR à 5% dont la méthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rolling estimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphique suivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pour la période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que les rendements observés ex-post. Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008), ”Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test”, Working Paper. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 132. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Historical Returns and 5% VaR Forecasts. Nasdaq (June 2005June 2006) Na s d a d 0.03 Re tu rn s Hi s toric al Sim ulation 5% VaR 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 0 50 100 Christophe Hurlin 150 200 Value-at-Risk 250
  • 133. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Example (Christo¤ersen et Pelletier, 2004) Les auteurs proposent un test de backtesting. A…n d’ étudier les propriétés de ce test, ils proposent des simulations de Monte Carlo dans lesquelles ils simulent des rendements selon un processus GARCH sous Student, puis appliquent la méthodologie HS pour prévoir les VaR sur ces rendements simulés. Christoffersen, P. F. and D. Pelletier (2004), "Backtesting Value-at-Risk : A duration-based approach", Journal of Financial Econometrics, 2, 1, pp. 84-108. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 134. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Fig.: Source : Christo¤ersen and Pelletier (2004) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 135. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Bootstrapped Historical Simulation (BHS) Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 136. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Une amélioration simple de la méthode HS consiste à estimer la VaR à partir de données simulées par Bootstrap. Le Bootstrap consiste à ré-échantillonner les données historiques de rendements avec remise. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 137. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Plus précisément, la procédure consiste à créer un grand nombre d’ échantillons de rendements simulés, où chaque observation est obtenue par tirage au hasard à partir de l’ échantillon original. Chaque nouvel échantillon constitué de la sorte permet d’ obtenir une estimation de la VaR par la méthode HS standard, et l’ dé…nit au …nal une estimation en faisant la on moyenne de ces estimations basées sur les ré-échantillonnages. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 138. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk De…nition (Bootstrapped Historical Simulation) n oT Soit ejs r une séquence de rendements tirés au hasard avec j =1 remise dans l’ échantillon de rendements historiques, et soit e V aR s (α) la VaR-HS associée à cet échantillon de rendements bootstrappés. L’ estimateur BHS (Bootstrapped Historical Simulation) de la VaR correspond à la moyenne empirique des VaR-HS obtenues à partir de S échantillons de rendements boostrappés : 1 S e b V aR (α) = ∑ V aR s (α) S s =1 e r j= V aR s (α) = percentile fejs gT 1 , 100α Christophe Hurlin Value-at-Risk s = 1, .., S
  • 139. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque 1 : Le fait de construire la moyenne d’ grand nombre un de VaR-HS obtenues sur des échantillons de rendements boostrapés fait que l’ limite l’ on in‡uence des pertes extrêmes, notamment lorsque l’ utilise cette méthode pour la prévision. On on obtient ainsi des prévisions plus volatiles. Christophe Hurlin Value-at-Risk
  • 140. Dé…nition statistique de la Méthodes d’ estimation de la Risque de Portefeuille et Limites de la Introduction Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Value-at-Risk Préambule Méthodes non paramétriques Méthodes paramétriques Les Méthodes Semi-Paramétriques Méthodes d’ estimation de la Value-at-Risk Remarque 2 : pour construire une prévision glissante par la méthode BHS, il su¢ t de ré-échantilloner (pour chaque prévision) non plus T valeurs, mais uniquement Te valeurs, où Te désigne la taille de la fenêtre. Christophe Hurlin Value-at-Risk