TS Complexes B. Kacimi
Nombres Complexes
Définitions et vocabulaire :
Un nombre complexe z s’écrit, de façon unique, z = a...
TS Complexes B. Kacimi
Propriétés
Soient M d’affixe z et M’ d’affixe z’ alors l’affixe de
⎯⎯→
MM’ est : z’ – z
L’affixe de...
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• Pour montrer que trois points A, B , C sont alignés il suffit de montrer que : (
⎯⎯→
AB ;
⎯⎯→
AC)...
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Fiche complexes

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Un outil puissant et très utile dans beaucoup de domaines, autant se l'approprier en prenant un bon départ

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Fiche complexes

  1. 1. TS Complexes B. Kacimi Nombres Complexes Définitions et vocabulaire : Un nombre complexe z s’écrit, de façon unique, z = a + ib ; où a et b sont deux nombre réels et i est le nombre imaginaire tel que i2 = -1 a est la partie réelle de z et se note Re(z) b est la partie imaginaire de z et se note Im(z) z = a + ib se dit écriture algébrique de z L’ensemble des nombre complexes est noté IC Intérêt algébrique 1. Le trinôme az2 + bz + c = 0 (E); où les coefficients a, b et c sont réels admet dans IC deux racines éventuellement confondues ; en effet : ∆ = b2 – 4ac Si ∆ ≥ 0 l’équation (E) admet deux solutions réelles z1,2= -b ± ∆ 2a Si ∆ < 0 alors ∆ = (i δ)2 et (E) admet deux solutions complexes z1 = - b 2a – i δ 2a et z2 = - b 2a + i δ 2a 2. Tout polynôme de degrés n admet n racines, éventuellement certaines confondues Complexes et géométrie Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; ⎯→ u, ⎯→ v) L’axe des abscisse est dit axe des réels L’axe des ordonnées est dit axe des imaginaires A chaque nombre complexe z = a + ib est associé le point M(a ; b) dans (O; ⎯→ u, ⎯→ v) ou le vecteur ⎯⎯→ V (a ; b) dans ( ⎯→ u, ⎯→ v) On dit alors que z est l’affixe du point M ou que z est l’affixe du vecteur ⎯⎯→ V On dit aussi M a pour affixe le complexe z ou le vecteur ⎯⎯→ V a pour affixe le complexe z Le nombre OM = || ⎯⎯→ V || = a2 + b2 est dit module de z et est noté |z| L’angle orienté ( ⎯⎯→ u ; ⎯⎯→ OM) = ( ⎯⎯→ u ; ⎯⎯→ V ) = θ est dit un argument de z et est noté arg(z), un nombre complexe possède une infinité d’arguments tous égaux à 2π près ⎯⎯→ V Remarque : cos(θ) = a |z| sin(θ) = b |z| Donc z = |z|( cos(θ) + i sin(θ)) Se dit l’écriture trigonométrique de z Notation : on note ei θ = cos(θ) + i sin(θ) D’où vient l’écriture z = |z| ei θ →v →u
  2. 2. TS Complexes B. Kacimi Propriétés Soient M d’affixe z et M’ d’affixe z’ alors l’affixe de ⎯⎯→ MM’ est : z’ – z L’affixe de I milieu de [MM’] est zI = z + z’ 2 L’affixe de G bar{(M,α) ; (M’,β)} est zG = αz + βz’ α + β Soit M le point d’affixe z = a + ib alors l’affixe du symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses s’appelle conjugué de z et est noté −z, −z = a – ib Propriété z × −z = a2 + b2 = |z|2 |z| = |−z| 'zz'zz ×=× pour z’ ≠ 0 ( ) 'z z 'z z = zz= Re(z) = z + −z 2 Im(z) = z – −z 2i Remarque : z est un réel pur équivaut à z = −z z est un imaginaire pur équivaut à z = - −z L’écriture exponentielle permet de retrouver aisément les propriétés faisant intervenir l’argument En effet : z = r eiθ z’= r’ ei θ’ où r = |z| et r’ = |z’| On a : z×z’ = r×r’ ei(θ + θ’) donc arg(z×z’) = arg(z) + arg(z’) 1 z = 1 rei θ = 1 r ei(-θ) donc arg ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞1 z = - arg(z)de même arg ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞z z’ = arg(z) – arg(z’) Réflexes : Vu que l’écriture algébrique d’un complexe est unique on déduit que : • z = 0 équivaut à ⎩ ⎨ ⎧ Re(z) = 0 Im(z) = 0 • z = z’ équivaut à ⎩ ⎨ ⎧ Re(z) = Re(z’) Im(z) = Im(z’) équivaut à ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ |z| = |z’| Arg(z) = Arg(z’) + 2kπ • z est réel équivaut à Im(z) = 0 équivaut à Arg(z) = kπ avec k∈IR • z est imaginaire pur équivaut à Re(z) = 0 équivaut à Arg(z) = π 2 + kπ • ⎯⎯→ U1 d’affixe z1 et ⎯⎯→ U2 d’affixe z2 ( ⎯⎯→ U1 ; ⎯⎯→ U2) = Arg(z2) – Arg(z1) = Arg( z2 z1 ) • Soient les points A,B et C ( ⎯⎯→ AB ; ⎯⎯→ AC) = Arg( zC – zA zB – zA ) En effet : ⎯⎯→ U1 = ⎯⎯→ AB et ⎯⎯→ U2 = ⎯⎯→ AC ( ⎯⎯→ U1 ; ⎯⎯→ U2) = ( ⎯⎯→ u ; ⎯⎯→ U2) – ( ⎯⎯→ u ; ⎯⎯→ U1)
  3. 3. TS Complexes B. Kacimi • Pour montrer que trois points A, B , C sont alignés il suffit de montrer que : ( ⎯⎯→ AB ; ⎯⎯→ AC) = kπ, ce qui revient à montrer que : zC– zA zB–zA est un réel non nul • Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires ils suffit de montrer que : ( ⎯⎯→ AB ; ⎯⎯→ AC) = π 2 + kπ, ce qui revient à montrer que : zC-zA zB–zA est un imaginaire pur non nul Transformations et nombres complexes Translation : soit t une translation de vecteur ⎯⎯→ U d'affixe a. Le point M’ d'affixe z’ est l’image par t du point M d'affixe z c’est à dire M’ = t(M) ⇔ ⎯→⎯ 'MM = ⎯⎯→ U ⇔ z' - z = a d'où l'expression complexe d'une translation est : z' = z + a ; où a est l'affixe du vecteur de translation. Homothétie : soit h une homothétie de rapport k et de centre Ω d'affixe ω. Le point M’ d'affixe z’ est l’image du point M d'affixe z : ⎯→⎯ Ω 'M = k ⎯→⎯ ΩM ⇔ z' - ω = k(z - ω) d'où l'expression complexe d'une homothétie est : z' - ω = k(z - ω) ;où ω est l'affixe du centre et k le rapport de cette homothétie. Rotation : soit r une rotation d'angle θ et de centre Ω d'affixe ω. Le point M d'affixe z est transformé en un point M' affixe z' par r c’est à dire l'angle ( ⎯→⎯ ΩM , ⎯→⎯ Ω 'M ) = θ et || ⎯⎯→ ΩM|| = || ⎯⎯→ ΩM’|| ⇔ z' - ω = eiθ (z - ω) d'où l'expression complexe d'une rotation est : z' - ω = eiθ (z - ω) ; où ω est l'affixe du centre et θ l'angle de cette rotation. Cas particulier L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z.eiθ où θ est un nombre réel fixé, est la rotation de centre O et d'angle θ. A savoir que • Le cercle de centre A d'affixe zA et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : ⏐z - zA⏐ = r • La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : |z – zA| = |z – zB| Formule de MOIVRE (rei θ )n = rn ein θ Conséquences : |zn | = |z|n arg(zn ) = n × arg(z) Formules d’EULER cos(θ) = eiθ + e-iθ 2 sin(θ) = eiθ – e-iθ 2i

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