Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 96Novembre 2011.Traitement Numérique du SignalCM3 : Transformée de FourierUniversité du Ha...
Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 96PPN 2008: MC-II3Traitement du signalApplications en GEIIMise en œuvreTestDSPCAN/CNATF, c...
Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 96Conversion Analogique-Numérique Représentation dun signal Séries de Fourier Transform...
Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 961. Représentation d’un signal
Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 96 Dualité temps/fréquence : Transformée de Fourier (TF)ts(t)0001Tf=Traitement du Signalf...
Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 962. Composantes dun signal
Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 960 20 40 60 80 100-202468t (ms)x(t)0 20 40 60 80 100012345f (Hz)|x(f)|( )0 1 0( ) sin 2s ...
Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 960 20 40 60 80 100-8-6-4-202t (ms)x(t)0 20 40 60 80 100012345f (Hz)|x(f)|( )0 1 0( ) sin ...
Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 960 20 40 60 80 100-8-6-4-202t (ms)x(t)0 20 40 60 80 100012345f (Hz)|x(f)|( )0 1 0( ) cos ...
Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 963. Notion de phase
Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 96ta( )0 0sin 2a a f tπ=ta( )0 0sin 2 ( )pa a f tπ τ= −τ0( )0 0sin 2pa a f tπ ϕ= −Temps τ...
Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 96 Dualité temps/fréquence : Influence de la phaseSignal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0...
Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 96Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00 50 100 150012345f (Hz)|x(f)|( )( )0 1 02 0( ) s...
Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 96Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00 50 100 150012345f (Hz)|x(f)|( )( )0 1 02 0( ) s...
Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 96Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00 50 100 150012345f (Hz)|x(f)|( )( )0 1 02 0( ) s...
Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 964. Séries de Fourier
Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 96 Décomposition en séries de Fourier :( ) ( )( )00 01( ) cos 2 sin 22n nnas t a nf t b ...
Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 96 Signal carré : Signal triangle : Signal dent de scie : Signal |Sinus| :( )014 1( )...
Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 96( ) ( ) ( )0 0 04 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...3 5s t f t f t f tπ π ππ = + + + ÷...
Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 96Signal f = 0 f = f0 f = 2f0 f = 3f0Sinus 0 1 0 0Cosinus 0 1 0 0Carré 0 4/π 0 4/(3π)Tria...
Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 96 Fondamental Signal carré : h1 + h3Décomposition en séries de Fourier h1+h3+h5 h1+...
Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2-1012t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.511.5f (kHz)|x(f)|0 0....
Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1-0.500.51t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.81f (kHz)...
Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 96 Fondamental Signal dent de scie : Fondamental + h2 Fondamental + h2 et h3 Fondame...
Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2-1012t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.81f (kHz)|x(f...
Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.20.40.60.81t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.81f (k...
Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 960 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1012345t (ms)x(t) Effet d’une troncature :0 100 200 300 400 ...
Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 96 Effet d’une troncature : Troncature à 75 % de l’amplitude0 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1...
Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 960 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1012345t (ms)x(t) Effet d’une troncature : Troncature à 50 ...
Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 96 Effet d’une troncature : Troncature à 25 % de l’amplitude0 100 200 300 400 500012345...
Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 965. Transformée de Fourier
Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 96Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus...
Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 96SinusoïdeRectangle périodiqueTriangle périodiqueDent de scie{ } { }( ) : 0,1,2,... : 1,...
Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 96( ) ( ).exp( 2 ).X f x t j f t dtπ+∞−∞= −∫( ) ( ).exp( 2 ).x t X f j f t dfπ+∞−∞= ∫sin(...
Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 96Signal "porte"
Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.81f (Hz)AmplitudeSpectre-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500....
Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 96-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5012t (s)AmplitudeSignal temporel0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30-20-...
Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 96Signaux "classiques"( )tδ0cos(2 )f tπ0sin(2 )f tπ( )0 01( ) ( )2f f f fδ δ− + +( )0 01(...
Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 96Signaux "classiques"0sin(2 ) ( )Tf t tπ ∏ ( ) ( )( )0 0sinc ( ) sinc ( )2Tf f T f f Tjπ...
Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 96Signaux "classiques"{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=( )ent nTδ −∑ 1ne enfT ...
Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-0.500.51t (s)AmplitudeSignal temporel0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000....
Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 96Signaux périodiques0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-0.500.51t (s)AmplitudeSignal temporel0 1 2 ...
Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-0.500.51t (s)AmplitudeSignal temporel00.20.40.60.81f (Hz)Ampli...
Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 966. Représentation temps-fréquence
Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des sign...
Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des sign...
Mise en œuvre du TNS Page 47 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des sign...
Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des sign...
Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 96 Représentation temps-fréquence : Application: Chirp (gazouillis, pépiement en anglai...
Mise en œuvre du TNS Page 50 sur 96 Représentation temps-fréquence : Application: Fréquence variable dans le temps (FM)T...
Mise en œuvre du TNS Page 51 sur 96 Représentation temps-fréquence : Application: Analyse de la paroleTemps-fréquence D...
Mise en œuvre du TNS Page 52 sur 967. Illustrations temps-fréquence
Mise en œuvre du TNS Page 53 sur 96Décomposition Représentation temporelle et spectrale : Spectre avec fondamentalet har...
Mise en œuvre du TNS Page 54 sur 96La3 Diapason Représentation temporelle :0 500 1000 1500 2000 2500-0.3-0.2-0.100.10.20....
Mise en œuvre du TNS Page 55 sur 96La3 Diapason Représentation spectrale :0 200 400 600 800 100000.050.10.150.2f (Hz)|x(f...
Mise en œuvre du TNS Page 56 sur 96La3 Diapason Représentation spectrale : On parle de "dynamique" d’un signal: Sur la ...
Mise en œuvre du TNS Page 57 sur 96La3 Diapason Représentation temps/fréquence : Décroissance exponentielle en échelle l...
Mise en œuvre du TNS Page 58 sur 96560 562 564 566 568 570-1-0.500.51t (ms)x(t)La3 Piano Représentation temporelle : Tro...
Mise en œuvre du TNS Page 59 sur 96430 435 440 445 45000.020.040.060.080.1f (Hz)|x(f)|860 870 880 890 900 91000.010.020.03...
Mise en œuvre du TNS Page 60 sur 960 1000 2000 3000 4000 5000-120-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB) La3 Piano Représentati...
Mise en œuvre du TNS Page 61 sur 96La3 Piano Représentation temps/fréquence : Harmoniques 1 à 7:nettement visibles. Har...
Mise en œuvre du TNS Page 62 sur 96450 452 454 456 458 460-0.1-0.0500.050.1t (ms)x(t)La3 Violon Représentation temporelle...
Mise en œuvre du TNS Page 63 sur 960 1000 2000 3000 4000 500000.010.020.030.040.05f (Hz)|x(f)|430 435 440 445 45000.010.02...
Mise en œuvre du TNS Page 64 sur 960 1000 2000 3000 4000 5000-120-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB) La3 Violon Représentat...
Mise en œuvre du TNS Page 65 sur 96La3 Violon Représentation temps/fréquence : Harmoniques 1 à 11 nettement visibles. H...
Mise en œuvre du TNS Page 66 sur 96 Recomposition temporelle et spectrale : Extrait original en bleu  Les 20 pics les p...
Mise en œuvre du TNS Page 67 sur 96 Recomposition temporelle et spectrale : Extrait original en bleu  Les 20 pics les p...
Mise en œuvre du TNS Page 68 sur 96Notes Violon Représentation temps/fréquence : Nombreux harmoniques nettement visibles...
Mise en œuvre du TNS Page 69 sur 96gamme.wav Représentation temporelle et spectrale : On distingue 8 paquetsd’ondes dist...
Mise en œuvre du TNS Page 70 sur 96gamme.wav Représentation temps/fréquence : Gamme complète. Fréquences fondamentales ...
Mise en œuvre du TNS Page 71 sur 96SOUND1.wav Représentation temporelle et spectrale : Rien de visible...  Nombreux pic...
Mise en œuvre du TNS Page 72 sur 96SOUND1.wav Représentation temporelle et spectrale : Le signal ne semble pas périodiqu...
Mise en œuvre du TNS Page 73 sur 96SOUND1.wav Représentation temps/fréquence : Spectre large. Harmoniques. Croissance ...
Mise en œuvre du TNS Page 74 sur 96SOUND68.wav Représentation temporelle et spectrale : Rien de visible...  Nombreux pi...
Mise en œuvre du TNS Page 75 sur 96 Représentation temps/fréquence : Nombreuses fréquences. Nombreux harmoniques. Décr...
Mise en œuvre du TNS Page 76 sur 960 100 200 300 400 500 600-1-0.500.51t (ms)x(t)SOUND999.wav Représentation temporelle e...
Mise en œuvre du TNS Page 77 sur 96SOUND999.wav Décroissance exponentielle0 1000 2000 3000 400000.050.10.15f (Hz)|x(f)|15...
Mise en œuvre du TNS Page 78 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Harmoniques 2 et 3 vis...
Mise en œuvre du TNS Page 79 sur 96LASER.wav Représentation temporelle et spectrale : Décroissance en fréquence  Spectr...
Mise en œuvre du TNS Page 80 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Décroissance exponenti...
Mise en œuvre du TNS Page 81 sur 96 Calcul de fréquence moyenne : Une fréquence fondamentale. Décroissance exponentiell...
Mise en œuvre du TNS Page 82 sur 96accel.wav Représentation temporelle et spectrale : Croissance en fréquence  Spectre ...
Mise en œuvre du TNS Page 83 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Croissance linéaire en...
Mise en œuvre du TNS Page 84 sur 96 Effet Doppler : Décalage négatif lorsque la source s’approche :accel.wav Décalage d...
Mise en œuvre du TNS Page 85 sur 96sirene.wav Représentation temporelle et spectrale : Rien de visible...  Spectre larg...
Mise en œuvre du TNS Page 86 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Variation de fréquence...
Mise en œuvre du TNS Page 87 sur 968. Application: DCT
Mise en œuvre du TNS Page 88 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
Mise en œuvre du TNS Page 89 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
Mise en œuvre du TNS Page 90 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
Mise en œuvre du TNS Page 91 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
Mise en œuvre du TNS Page 92 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
Mise en œuvre du TNS Page 93 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
Mise en œuvre du TNS Page 94 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
Mise en œuvre du TNS Page 95 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une ba...
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CM3 - Transformée de Fourier

  1. 1. Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 96Novembre 2011.Traitement Numérique du SignalCM3 : Transformée de FourierUniversité du Havre, IUT du HavreDépartement GEII
  2. 2. Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 96PPN 2008: MC-II3Traitement du signalApplications en GEIIMise en œuvreTestDSPCAN/CNATF, compression,codage
  3. 3. Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 96Conversion Analogique-Numérique Représentation dun signal Séries de Fourier Transformée de Fourier Temps-fréquence Exemples Transformée en Cosinus DiscretPlan
  4. 4. Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 961. Représentation d’un signal
  5. 5. Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 96 Dualité temps/fréquence : Transformée de Fourier (TF)ts(t)0001Tf=Traitement du Signalf|S(f)|0001fT=( )0( ) sin 2s t A f tπ= ( )0( )S f f fδ= −Signal sinusoïdal : Signal Dirac: "Pic" à f = f0TFTFI
  6. 6. Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 962. Composantes dun signal
  7. 7. Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 960 20 40 60 80 100-202468t (ms)x(t)0 20 40 60 80 100012345f (Hz)|x(f)|( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +0TTraitement du Signal0f( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + − Composante continue :Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00a0 1a a+0 1a a−0a1aComposante continueComposante fondamentale
  8. 8. Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 960 20 40 60 80 100-8-6-4-202t (ms)x(t)0 20 40 60 80 100012345f (Hz)|x(f)|( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +0TTraitement du SignalSignal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00a0 1a a+0 1a a−0f0a1a( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + − Composante continue :Composante continueComposante fondamentale
  9. 9. Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 960 20 40 60 80 100-8-6-4-202t (ms)x(t)0 20 40 60 80 100012345f (Hz)|x(f)|( )0 1 0( ) cos 2s t a a f tπ= +0TTraitement du Signal Dualité temps/fréquence : Influence de la phaseSignal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00a0 1a a+0 1a a−0f( )0 1 0( ) sin 2 / 2s t a a f tπ π= + +Phase0a1a( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
  10. 10. Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 963. Notion de phase
  11. 11. Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 96ta( )0 0sin 2a a f tπ=ta( )0 0sin 2 ( )pa a f tπ τ= −τ0( )0 0sin 2pa a f tπ ϕ= −Temps τde propagationDéphasage temporel :022 fTπϕ π τ τ ωτ= = =001Tf=Déphasage Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
  12. 12. Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 96 Dualité temps/fréquence : Influence de la phaseSignal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00 20 40 60 80 100-10-50510t (ms)x(t)0 50 100 150012345f (Hz)|x(f)|( )( )0 1 02 0( ) sin 2sin 2 2s t a a f ta f tππ= ++( ) ( )( )0 1 02 0( )2S f a f a f fa f fδ δδ= + −+ −Déphasage
  13. 13. Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 96Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00 50 100 150012345f (Hz)|x(f)|( )( )0 1 02 0( ) sin 2sin 2 2 / 2s t a a f ta f tππ π= ++ +( ) ( )( )0 1 02 0( )2S f a f a f fa f fδ δδ= + −+ −0 20 40 60 80 100-10-50510t (ms)x(t) Dualité temps/fréquence : Influence de la phaseDéphasage
  14. 14. Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 96Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00 50 100 150012345f (Hz)|x(f)|( )( )0 1 02 0( ) sin 2sin 2 2s t a a f ta f tππ π= ++ +( ) ( )( )0 1 02 0( )2S f a f a f fa f fδ δδ= + −+ −0 20 40 60 80 100-10-50510t (ms)x(t) Dualité temps/fréquence : Influence de la phaseDéphasage
  15. 15. Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 96Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f00 50 100 150012345f (Hz)|x(f)|( )( )0 1 02 0( ) sin 2sin 2 2 3 / 2s t a a f ta f tππ π= ++ +( ) ( )( )0 1 02 0( )2S f a f a f fa f fδ δδ= + −+ −0 20 40 60 80 100-10-50510t (ms)x(t) Dualité temps/fréquence : Influence de la phaseDéphasage
  16. 16. Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 964. Séries de Fourier
  17. 17. Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 96 Décomposition en séries de Fourier :( ) ( )( )00 01( ) cos 2 sin 22n nnas t a nf t b nf tπ π+∞== + +∑( )( )001/0 001/0 002 ( )cos 22 ( )sin 2fnfna f s t nf t dtb f s t nf t dtππ==∫∫ Coefficients de Fourier :Décomposition en séries de Fourier Autre notation :( )0( ) sin 2nn n nns t c f tπ ϕ→+∞== −∑( )0( ) sin 2 ( )Nn n n bruitns t c f t s tπ ϕ== − +∑( )0( ) sin 2Nn n nns t c nf tπ ϕ== −∑ Signal utile et bruit : Signal utile : Le bruit est le signal "non désiré". Le signal utile contient N composantesharmoniques "utiles".
  18. 18. Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 96 Signal carré : Signal triangle : Signal dent de scie : Signal |Sinus| :( )014 1( ) sin 2 (2 1)2 1ns t n f tnππ+∞== −−∑( )( )02218 1( ) sin 2 (2 1)2 1ns t n f tnππ+∞== −−∑( )( )10112( ) sin 2kns t nf tnππ++∞=−= ∑( ) ( )( )012 4 1( ) sin 2 22 1 2 1ns t nf tn nππ π+∞== −− +∑Décomposition en séries de Fourier
  19. 19. Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 96( ) ( ) ( )0 0 04 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...3 5s t f t f t f tπ π ππ = + + + ÷ ( ) ( ) ( )0 0 02 2 28 1 1( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...3 5s t f t f t f tπ π ππ = + + + ÷ ( ) ( ) ( )0 0 02 1 1( ) sin 2 sin 2 2 sin 2 3 ...2 3s t f t f t f tπ π ππ = − + − ÷ ( ) ( )0 02 4 1 1( ) sin 2 2 sin 2 4 ...1 3 3 5s t f t f tπ ππ π = − + + ÷× ×  Signal carré : Signal triangle : Signal dent de scie : Signal |Sinus| :Décomposition en séries de Fourier
  20. 20. Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 96Signal f = 0 f = f0 f = 2f0 f = 3f0Sinus 0 1 0 0Cosinus 0 1 0 0Carré 0 4/π 0 4/(3π)Triangle 0 8/π20 8/(3π)2Dent de scie 0 2/π −1/π 2/(3π)|Sinus| 2/π 0 −4/(3π) 0 Synthèse :Décomposition en séries de Fourier
  21. 21. Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 96 Fondamental Signal carré : h1 + h3Décomposition en séries de Fourier h1+h3+h5 h1+h3+h5+h7  h1+h3+…+h11  h1+h3+…+h15
  22. 22. Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2-1012t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.511.5f (kHz)|x(f)|0 0.5 1 1.5 2-15-10-5051015f (kHz)φ(rad) Décroissance des harmoniques impairs en 1/nDécomposition en séries de Fourier
  23. 23. Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1-0.500.51t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.81f (kHz)|x(f)|0 0.5 1 1.5 2-20-1001020f (kHz)φ(rad) Décroissance des harmoniques impairs en 1/n2Décomposition en séries de Fourier
  24. 24. Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 96 Fondamental Signal dent de scie : Fondamental + h2 Fondamental + h2 et h3 Fondamental + h2 à h4 Fondamental + h2 à h5Décomposition en séries de Fourier
  25. 25. Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2-1012t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.81f (kHz)|x(f)|0 0.5 1 1.5 2-20-1001020f (kHz)φ(rad) Décroissance des harmoniques pairs et impairs en 1/nDécomposition en séries de Fourier
  26. 26. Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 960 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.20.40.60.81t (ms)x(t)0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.81f (kHz)|x(f)|0 0.5 1 1.5 2-20-1001020f (kHz)φ(rad) Décroissance des harmoniques pairs en 1/((n−1)(n+1)) ≈ 1/n2Décomposition en séries de Fourier
  27. 27. Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 960 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1012345t (ms)x(t) Effet d’une troncature :0 100 200 300 400 500012345f (Hz)|x(f)| Troncature à 90 % de l’amplitudeDécomposition en séries de Fourier
  28. 28. Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 96 Effet d’une troncature : Troncature à 75 % de l’amplitude0 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1012345t (ms)x(t)0 100 200 300 400 500012345f (Hz)|x(f)|Décomposition en séries de Fourier
  29. 29. Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 960 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1012345t (ms)x(t) Effet d’une troncature : Troncature à 50 % de l’amplitude0 100 200 300 400 500012345f (Hz)|x(f)|Décomposition en séries de Fourier
  30. 30. Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 96 Effet d’une troncature : Troncature à 25 % de l’amplitude0 100 200 300 400 500012345f (Hz)|x(f)|0 20 40 60 80 100-5-4-3-2-1012345t (ms)x(t)Décomposition en séries de Fourier
  31. 31. Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 965. Transformée de Fourier
  32. 32. Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 96Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinuset de cosinus.( )00 01( ) cos( ) sin( )2n nnax t a n t b n tω ω∞== + +∑/ 20/ 22( ).cos( ).TnTa x t n t dtTω−= ∫/ 20/ 22( ).sin( ).TnTb x t n t dtTω−= ∫1 (4/π)1+ 3 (4/3π)a0 = 01+ 3+5 (4/5π)1+ 3+ 5 + 7 (4/7π)Continu / Fondamental / HarmoniquesSéries de Fourier
  33. 33. Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 96SinusoïdeRectangle périodiqueTriangle périodiqueDent de scie{ } { }( ) : 0,1,2,... : 1,2,3...n nx t a n b n= = + =Signaux périodiques
  34. 34. Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 96( ) ( ).exp( 2 ).X f x t j f t dtπ+∞−∞= −∫( ) ( ).exp( 2 ).x t X f j f t dfπ+∞−∞= ∫sin( / 2)( ) ./ 2X Aωτω τωτ =  ÷ Signal "porte"
  35. 35. Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 96Signal "porte"
  36. 36. Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.81f (Hz)AmplitudeSpectre-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.51t (s)AmplitudeSignal temporelSignal "porte"( )x t( )X f
  37. 37. Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 96-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5012t (s)AmplitudeSignal temporel0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30-20-10010f (Hz)Énergie(dB)SpectreSignal "porte"( )x t( )X fConservationde l’énergie
  38. 38. Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 96Signaux "classiques"( )tδ0cos(2 )f tπ0sin(2 )f tπ( )0 01( ) ( )2f f f fδ δ− + +( )0 01( ) ( )2f f f fjδ δ− − +102j f te π0( )f fδ −( )fδ10( )t tδ − 02j fte π−{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=( )H t1 1( )2 2fj fδπ+( )H t−1 1( )2 2fj fδπ−+
  39. 39. Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 96Signaux "classiques"0sin(2 ) ( )Tf t tπ ∏ ( ) ( )( )0 0sinc ( ) sinc ( )2Tf f T f f Tjπ π− − +{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=( ) ( ) ( )sign t H t H t= − −1j fπ( ) tH t e α−12j fα π+| |te α−2 22(2 )fαα π+( )Tt∏ sin( ). .sinc( )fTT T fTfTπππ = ÷ . ( ) tt H t e α−( )212j fα π+
  40. 40. Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 96Signaux "classiques"{ }( ) ( )X f TF x t={ }1( ) ( )x t TF X f−=( )ent nTδ −∑ 1ne enfT Tδ − ÷ ∑( )dtdtδ 2j fπ0sin(2 ) ( ) tf t H t e απ −( ) ( )02 2022 2fj f fπα π π+ +( )TtΛ ( )22sin( ). . sinc( )2 2T fT TfTfTπππ = ÷ 200 012 2 ( )12tt tj f t tte eσ ππσ −−  ÷ ÷ − 200 012 2ff fj f te eσ π − ÷− ÷ 12tfσπσ=( ).tt dtδ∫ 12j fπ
  41. 41. Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-0.500.51t (s)AmplitudeSignal temporel0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.81f (Hz)AmplitudeSpectreSignaux “sinus"( )x t( )X f
  42. 42. Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 96Signaux périodiques0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-0.500.51t (s)AmplitudeSignal temporel0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.81f (Hz)AmplitudeSpectre( )x t( )X f
  43. 43. Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 960 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-0.500.51t (s)AmplitudeSignal temporel00.20.40.60.81f (Hz)AmplitudeSpectre0 5 10 15 20 25 30Signaux périodiques( )x t( )X f
  44. 44. Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 966. Représentation temps-fréquence
  45. 45. Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des signauxTemps-fréquence Principe:1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].2) Transformée de Fourier rapide: FFT.3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-100-50050100Time(ms)Amplitude(mV)0 5 10 15 20 25 30-100-50050100Time (ms)Amplitude(mV)Fenêtre
  46. 46. Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des signauxTemps-fréquence Principe:1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].2) Transformée de Fourier rapide: FFT.3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.0 5 10 15 20 25 30-100-50050100Time (ms)Amplitude(mV)0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-150-100-500Magnitude(dB)Frequency (Hz)Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)280 Hzcf =22 msit =FFT
  47. 47. Mise en œuvre du TNS Page 47 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des signauxTemps-fréquence Principe:1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].2) Transformée de Fourier rapide: FFT.3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.3140 Hzcf =0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-100-50050100Time (ms)Amplitude(mV)0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-150-100-500Magnitude(dB)Frequency (Hz)Global spectrum on a sample of 0.02 s (223 points at 11025 Hz)600 msit =FFT
  48. 48. Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 96 Représentation temps-fréquence : Nécessité imposée par la non-stationnarité des signauxTemps-fréquence0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-150-100-500Magnitude(dB)Frequency (Hz)Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-150-100-500Magnitude(dB)Frequency (Hz)Global spectrum on a sample of 0.02 s (223 points at 11025 Hz)2 600 msit =1 20 msit =2 3140 Hzcf =1 280 Hzcf = Principe:1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].2) Transformée de Fourier rapide: FFT.3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
  49. 49. Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 96 Représentation temps-fréquence : Application: Chirp (gazouillis, pépiement en anglais)Temps-fréquence Détection de la fréquence instantanée: Fondamental et harmoniques caractéristiques.( ) ( ).sin(2 )i cx t A t f tπ=01( ) ( ). tc if t f t dtt= ∫avecoù Ai(t) est lamplitude instantanée, fc(t) la pseudo-fréquence et fi(t) la fréquence instantanée. Exemple: Chirp linéaire( )1 2 1max( )itf t f f ft= + − ( )1 2 1max( )2ctf t f f ft= + −soit2f1f
  50. 50. Mise en œuvre du TNS Page 50 sur 96 Représentation temps-fréquence : Application: Fréquence variable dans le temps (FM)Temps-fréquence Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.minfmaxf
  51. 51. Mise en œuvre du TNS Page 51 sur 96 Représentation temps-fréquence : Application: Analyse de la paroleTemps-fréquence Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.
  52. 52. Mise en œuvre du TNS Page 52 sur 967. Illustrations temps-fréquence
  53. 53. Mise en œuvre du TNS Page 53 sur 96Décomposition Représentation temporelle et spectrale : Spectre avec fondamentalet harmonique 2 Spectre riche avec 12fréquences harmoniques
  54. 54. Mise en œuvre du TNS Page 54 sur 96La3 Diapason Représentation temporelle :0 500 1000 1500 2000 2500-0.3-0.2-0.100.10.20.3t (ms)x(t) Décroissance exponentielle0 2 4 6 8 10-0.3-0.2-0.100.10.20.3t (ms)x(t) Pseudo période: T = 2,3 msT
  55. 55. Mise en œuvre du TNS Page 55 sur 96La3 Diapason Représentation spectrale :0 200 400 600 800 100000.050.10.150.2f (Hz)|x(f)|430 435 440 445 45000.050.10.150.2f (Hz)|x(f)|870 875 880 885 89000.0050.010.0150.02f (Hz)|x(f)| Deux composantes "visibles":1 440f Hz=2 880f Hz= Fondamental: f1 = 440 Hz Harmonique 2: f2 = 880 Hz Amplitudes relatives: a2 / a1 = 10
  56. 56. Mise en œuvre du TNS Page 56 sur 96La3 Diapason Représentation spectrale : On parle de "dynamique" d’un signal: Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB. Harmonique 3: f3 = 3×440 = 1320 Hz Amplitudes relatives: a1 / a2 = 10 et a1 / a3 > 10000 1000 2000 3000 4000 5000-120-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB)20logmax( )dBxxx =  ÷ ÷  Echelle dB: Cette échelle permet de visualiser lescomposantes de très grand rapportd’amplitude.0-20-40-60-80-100-120 106105104103102101100f3
  57. 57. Mise en œuvre du TNS Page 57 sur 96La3 Diapason Représentation temps/fréquence : Décroissance exponentielle en échelle linéaire:⇔ Décroissance linéaire en échelle dB: Harmoniques n: fn = n×440 Hz1f2f3f
  58. 58. Mise en œuvre du TNS Page 58 sur 96560 562 564 566 568 570-1-0.500.51t (ms)x(t)La3 Piano Représentation temporelle : Troncature du signal  Pseudo période: T = 2,3 msT500 1000 1500 2000-1-0.500.51t (ms)x(t)
  59. 59. Mise en œuvre du TNS Page 59 sur 96430 435 440 445 45000.020.040.060.080.1f (Hz)|x(f)|860 870 880 890 900 91000.010.020.030.04f (Hz)|x(f)|0 1000 2000 3000 4000 500000.020.040.060.080.1f (Hz)|x(f)| La3 Piano Représentation spectrale : Neuf composantes "visibles":1 442f Hz=2 886f Hz= Fondamental: f1 = 442 Hz Harmonique 2: f2 = 886 Hz Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4
  60. 60. Mise en œuvre du TNS Page 60 sur 960 1000 2000 3000 4000 5000-120-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB) La3 Piano Représentation spectrale : On parle de "dynamique" d’un signal: Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB. Harmonique 9: f3 = 9×442 = 3980 Hz contre 4080 Hz mesurés. Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4 et a1 / a9 = 5020logmax( )dBxxx =  ÷ ÷  Echelle dB: Cette échelle permet de visualiser lescomposantes de très grand rapportd’amplitude.0-20-40-60-80-100-120 106105104103102101100f9
  61. 61. Mise en œuvre du TNS Page 61 sur 96La3 Piano Représentation temps/fréquence : Harmoniques 1 à 7:nettement visibles. Harmoniques n: fn = n×442 Hz1f5f3f7f9f11f Décroissance variable en amplitude, selon t et f.
  62. 62. Mise en œuvre du TNS Page 62 sur 96450 452 454 456 458 460-0.1-0.0500.050.1t (ms)x(t)La3 Violon Représentation temporelle : Augmentation de l’amplitudedu signal avec le temps Pseudo période: T = 2,3 msT0 500 1000 1500 2000-0.3-0.2-0.100.10.20.3t (ms)x(t)
  63. 63. Mise en œuvre du TNS Page 63 sur 960 1000 2000 3000 4000 500000.010.020.030.040.05f (Hz)|x(f)|430 435 440 445 45000.010.020.030.040.05f (Hz)|x(f)|860 870 880 890 900 91000.0050.010.0150.020.025f (Hz)|x(f)|La3 Violon Représentation spectrale : Neuf composantes "visibles":1 442f Hz=2 884f Hz= Fondamental: f1 = 442 Hz Harmonique 2: f2 = 884 Hz Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1
  64. 64. Mise en œuvre du TNS Page 64 sur 960 1000 2000 3000 4000 5000-120-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB) La3 Violon Représentation spectrale : On parle de "dynamique" d’un signal: Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB. Harmonique 11: f3 = 11×442 = 4860 Hz. Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1 et a1 / a11 = 2420logmax( )dBxxx =  ÷ ÷  Echelle dB: Cette échelle permet de visualiser lescomposantes de très grand rapportd’amplitude.0-20-40-60-80-100-120 106105104103102101100f11
  65. 65. Mise en œuvre du TNS Page 65 sur 96La3 Violon Représentation temps/fréquence : Harmoniques 1 à 11 nettement visibles. Harmoniques n: fn = n×442 Hz1f5f3f7f9f11f Décroissance variable en amplitude, selon t et f.
  66. 66. Mise en œuvre du TNS Page 66 sur 96 Recomposition temporelle et spectrale : Extrait original en bleu  Les 20 pics les plusimportants ont été retenusLa3 Violon500 600 700 800 900 1000-0.1-0.0500.050.10.15t (ms)x(t) Extrait recomposé en noir0 1000 2000 3000 4000-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB)
  67. 67. Mise en œuvre du TNS Page 67 sur 96 Recomposition temporelle et spectrale : Extrait original en bleu  Les 20 pics les plusimportants ont été retenusLa3 Violon Extrait recomposé en noir600 602 604 606 608 610-0.15-0.1-0.0500.050.10.15t (ms)x(t)0 500 1000 1500 2000-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB)
  68. 68. Mise en œuvre du TNS Page 68 sur 96Notes Violon Représentation temps/fréquence : Nombreux harmoniques nettement visibles. Harmoniques n: fn = n× f0 Décroissance variable en amplitude, selon t et f.
  69. 69. Mise en œuvre du TNS Page 69 sur 96gamme.wav Représentation temporelle et spectrale : On distingue 8 paquetsd’ondes distincts On distingue 8 pics0 500 1000 1500 2000-1-0.500.51t (ms)x(t)0 200 400 600 800-100-80-60-40-200f (Hz)|x(f)|(dB)LADO
  70. 70. Mise en œuvre du TNS Page 70 sur 96gamme.wav Représentation temps/fréquence : Gamme complète. Fréquences fondamentales seulement. Dans l’ordre des fréquences croissantes.DOREMIFASOLLASIDO
  71. 71. Mise en œuvre du TNS Page 71 sur 96SOUND1.wav Représentation temporelle et spectrale : Rien de visible...  Nombreux pics0 1000 2000 3000 4000 5000-1-0.500.51t (ms)x(t)0 1000 2000 3000 400000.010.020.030.040.05f (Hz)|x(f)|
  72. 72. Mise en œuvre du TNS Page 72 sur 96SOUND1.wav Représentation temporelle et spectrale : Le signal ne semble pas périodique  Nombreux pics0 200 400 600 80000.010.020.030.040.05f (Hz)|x(f)|1000 1050 1100 1150 1200-1-0.500.51t (ms)x(t)
  73. 73. Mise en œuvre du TNS Page 73 sur 96SOUND1.wav Représentation temps/fréquence : Spectre large. Harmoniques. Croissance en fréquence.
  74. 74. Mise en œuvre du TNS Page 74 sur 96SOUND68.wav Représentation temporelle et spectrale : Rien de visible...  Nombreux pics0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.6-0.4-0.200.20.40.6t (ms)x(t)0 1000 2000 3000 400000.0020.0040.0060.0080.01f (Hz)|x(f)|
  75. 75. Mise en œuvre du TNS Page 75 sur 96 Représentation temps/fréquence : Nombreuses fréquences. Nombreux harmoniques. Décroissance en fréquence.SOUND68.wav
  76. 76. Mise en œuvre du TNS Page 76 sur 960 100 200 300 400 500 600-1-0.500.51t (ms)x(t)SOUND999.wav Représentation temporelle et spectrale : Décroissance en fréquence  Décroissance exponentielle0 1000 2000 3000 400000.050.10.15f (Hz)|x(f)|
  77. 77. Mise en œuvre du TNS Page 77 sur 96SOUND999.wav Décroissance exponentielle0 1000 2000 3000 400000.050.10.15f (Hz)|x(f)|150 200 250-1-0.500.51t (ms)x(t) Représentation temporelle et spectrale : Troncature du signal de 150à 250 ms
  78. 78. Mise en œuvre du TNS Page 78 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Harmoniques 2 et 3 visibles de 150 à 250 ms. Décroissance exponentielle en fréquence.SOUND999.wav
  79. 79. Mise en œuvre du TNS Page 79 sur 96LASER.wav Représentation temporelle et spectrale : Décroissance en fréquence  Spectre large0 50 100 150-1-0.500.51t (ms)x(t)0 1000 2000 3000 400000.010.020.030.040.050.06f (Hz)|x(f)|
  80. 80. Mise en œuvre du TNS Page 80 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Décroissance exponentielle en fréquence.LASER.wav
  81. 81. Mise en œuvre du TNS Page 81 sur 96 Calcul de fréquence moyenne : Une fréquence fondamentale. Décroissance exponentielle en fréquence.vLASER.wav0 20 40 60 80 100 120 140 160010002000300040005000fmean(Hz)Time (ms) La fréquence décroît de 4700 à 450 Hz.
  82. 82. Mise en œuvre du TNS Page 82 sur 96accel.wav Représentation temporelle et spectrale : Croissance en fréquence  Spectre large0 200 400 600 800 1000-1-0.500.51t (ms)x(t)0 1000 2000 3000 4000 500000.0050.010.0150.02f (Hz)|x(f)|
  83. 83. Mise en œuvre du TNS Page 83 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Croissance linéaire en fréquence, de 310 à 4200 Hz.accel.wav
  84. 84. Mise en œuvre du TNS Page 84 sur 96 Effet Doppler : Décalage négatif lorsque la source s’approche :accel.wav Décalage de la fréquence d ’émission. Décalage positif lorsque la source s’éloigne :0v 0vθθ0 02 cosDairf vfcθ=0 Df f f= +0 Df f f= −
  85. 85. Mise en œuvre du TNS Page 85 sur 96sirene.wav Représentation temporelle et spectrale : Rien de visible...  Spectre large0 1000 2000 3000 4000-1-0.500.51t (ms)x(t)0 200 400 600 800 100000.050.10.15f (Hz)|x(f)|
  86. 86. Mise en œuvre du TNS Page 86 sur 96 Représentation temps/fréquence : Une fréquence fondamentale. Variation de fréquence, de 0 à 1000 Hz.sirene.wav
  87. 87. Mise en œuvre du TNS Page 87 sur 968. Application: DCT
  88. 88. Mise en œuvre du TNS Page 88 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Coefficients réels; Regroupement de lénergie.http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète Principe: La transformée en cosinus discrète (DCT) est unetransformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT).Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficientsréels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentiellecomplexe et qui crée donc des coefficients complexes. La DCT [directe] la plus courante est la DCT type-II. La DCT [inverse] correspondante est la DCT type-III. Applications: La DCT est très utilisée en traitement numérique dusignal et spécialement en compression. Coefficients non nuls retenus : JPEG et MPEG.
  89. 89. Mise en œuvre du TNS Page 89 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue; Harmoniques.1 12 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)2 2N NCm nm nP i j C i C j p m n i jN N Nπ π= =− −   = − − ÷  ÷   ∑∑1 12 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)2 2N NCi jm np m n C i C j P i j i jN N Nπ π= =− −   = − − ÷  ÷   ∑∑2si 1( ) 21 si 1kC kk==  >http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète DCT [directe]: IDCT [inverse]: Coefficients:
  90. 90. Mise en œuvre du TNS Page 90 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue; Harmoniques.1 12 2 1 2 1( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)2 2N NCm nm nP i j C i C j p m n i jN N Nπ π= =− −   = − − ÷  ÷   ∑∑http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète Application: DCTDCT
  91. 91. Mise en œuvre du TNS Page 91 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Composante continue; Harmoniques.http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrèteDCT8×8 = 64 pixels 1+4 = 5 pixels Compression: !!! Négatif couleur !!! α = 5/64 = 7,8%.
  92. 92. Mise en œuvre du TNS Page 92 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Quantification:La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appeléematrice de quantification, et qui contient les coefficients choisis pouratténuer les hautes fréquences, celles auxquelles l’œil est peu sensible. Opération de quantification [et filtrage]:http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG( , )( , )( , )CCQFQP i jP i j fixQ i j =  ÷ ÷ ( , ) 1 ( 1)FQQ i j i j FQ= + + − Facteur de qualité: FQ Exemple: FQ = 556 11 16 21 26 31 36 4111 16 21 26 31 36 41 4616 21 26 31 36 41 46 5121 26 31 36 41 46 51 5626 31 36 41 46 51 56 6131 36 41 46 51 56 61 6636 41 46 51 56 61 66 7141 46 51 56 61 66 71 76Q      =       
  93. 93. Mise en œuvre du TNS Page 93 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Exemple: Résultats:56 11 16 21 26 31 36 4111 16 21 26 31 36 41 4616 21 26 31 36 41 46 5121 26 31 36 41 46 51 5626 31 36 41 46 51 56 6131 36 41 46 51 56 61 6636 41 46 51 56 61 66 7141 46 51 56 61 66 71 76Q      =       0 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 255p      =       1020 184 0 217 0 325 0 9240 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0CP− − − −      =       1020 176 0 210 0 310 0 9020 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0CQ FQP Q− − − −      =       
  94. 94. Mise en œuvre du TNS Page 94 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Exemple: Résultats:0 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 2550 255 0 255 0 255 0 255p      =       5 251 3 253 2 252 4 2505 251 3 253 2 252 4 2505 251 3 253 2 252 4 2505 251 3 253 2 252 4 2505 251 3 253 2 252 4 2505 251 3 253 2 252 4 2505 251 3 253 2 252 4 2505 251 3 253 2 252 4 250QFQp      =       1 2 3 4 5 6 7 8123456781 2 3 4 5 6 7 812345678
  95. 95. Mise en œuvre du TNS Page 95 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de ChenLe calcul de la DCT est optimisé pour le cas N = 8 (JPEG et MPEG)en réécrivant la transformée sous forme matricielle et en factorisant ladécomposition, pour réduire le nombre de multiplications nécessaires.http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG
  96. 96. Mise en œuvre du TNS Page 96 sur 96Transformée en cosinus discretTCD (DCT): Contenu fréquentiel Décomposition dans une base de cosinus: Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Loeffler Lalgorithme de Chen (qui calcule la DCT 1D à 8 points avec 16 multiplications)est à la base des optimisations suivantes par factorisation des sous-matrices. Lalgorithme de Loeffler est actuellement le plus efficace ayant été publié:Loeffler :11 multiplications (DCT 1D à 8 points)Chen : 16 multiplications (DCT 1D à 8 points)Ces algorithmes se différencient seulement en termes de stabilité et de précision. Pour une DCT 2D 8×8:Loeffler :112 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)Chen : 256 multiplications (DCT 2D à 8x8 points) Plus de détails: normes de compression JPEG et MPEG.http://www.vtvt.ece.vt.edu/research/references_video_DCT.php

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