Analyse 
d’une structure 
caténaire par 
une méthode 
graphique 
Conception de structures 
Automne 2012 
R. Pleau 
École d...
Une structure caténaire est une 
structure qui, lorsqu’elle est soumise 
à un ensemble de charges donné, est 
sollicitée u...
On distingue deux types de formes 
caténaires. D’une part, les câbles 
suspendus qui sont sollicités uniquement 
en tracti...
Équilibre statique 
d’une structure 
caténaire 
4
5 Équilibre statique des forces 
à chacun des noeuds 
La figure ci-dessous montre la vue en 
élévation d’un câble qui supp...
Méthode graphique 6 
On peut utiliser la méthode graphique pour tracer le 
polygone de forces. Par convention, on désigner...
Méthode graphique 7 
Si on inverse le polygone de forces en plaçant le point O 
à gauche de l’axe vertical des charges ext...
Réactions d’appui 8 
Le polygone de forces nous permet de trouver les 
réactions d’appui aux extrémités du câble. On pourr...
Multiplicité des formes caténaires 9 
En déplaçant le point o sur le 
polygone de forces, on obtient 
une autre forme caté...
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Multiplicité des formes caténaires 
En déplaçant le point o sur le 
polygone de forces, on obtient une 
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Corde de fermeture et point z 11 
Quelle que soit la forme caténaire 
retenue, la corde de fermeture croisent 
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Signification physique du point z 
a 
b 
c 
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250 kN 
400 kN 
Polygone de forces 
Toutes les formes caténaires ass...
Résultante des forces 13 
10 m 6 m 4 m 6 m 
corde de fermeture650 kN 
200 kN 
300 kN 
150 kN 
10 m 6 m 4 m 6 m 
650 kN 
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Forme caténaire 
passant par 
deux points 
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Exemple 15 
On souhaite construire un voile de béton qui épouse une forme caténaire 
pour recouvrir un gymnase annexé à un...
Exemple - étape 1 16 
On subdivise notre structure, par exemple, en 10 intervalles de 5 m de 
largeur (plus le nombre d’in...
Exemple - étape 2 17 
On place le point o arbitrairement sur le polygone de forces et on trace 
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Exemple - étape 3 18 
On trace une corde de fermeture entre les deux points d’appui sur le 
diagramme de forme et on rappo...
Exemple - étape 4 19 
L’effort maximal de compression dans le voile de béton ne doit pas 
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P a r = ϕ σadm x ...
Exemple - étape 5 20 
Finalement on trace un nouveau polygone de force ainsi que le profil de 
la structure caténaire corr...
La passerelle Traversina I 
est un pont piétonnier 
construit dans les Alpes 
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tablier s’appuie sur un...
Une structure légère 
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La finesse des câbles confèrent une grande légèreté 
à la structure qui semble flotter au-dessus...
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La structure est constituée de trois parties: 
Le pontage laminé en bois qui contribue 
à la reprise des charges latérales...
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Ces photographies illustrent quelques détails 
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Passerelle Traversina II 
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La passerelle est en fait constituée d’un escalier en bois qui descend 
de la rive nord vers la rive sud et qui est suspen...
Vues de l’escalier 
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Détails d’assemblage 
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Étape 1 37 
Sur la figure ci-dessous, nous avons identifié trois points par lesquels 
nous voulons que passe notre forme c...
Étape 2 38 
Nous allons tracer un premier polygone de forces, et la forme caténaire 
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Étape 3 39 
À partir du diagramme de forme nous allons tracer deux lignes reliant les 
trois points de notre forme caténai...
Étape 4 40 
Sur le diagramme de forme, on trace maintenant deux lignes reliant les 
trois points par lesquels on veut fair...
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Stabilité 
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Stabilité 43 
Comme nous l’avons mentionné, une forme n’est caténaire que pour un 
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Une forme caténaire est 
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répartie). Si la s...
On peut assurer la stabilité 
d’une structure caténaire de 
différentes façons. 
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L’aéroport de Dulles à Washington représente un bel exemple de cette stratégie. La toiture est entièrement 
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câble caténaire où le poids du tablier en béton assure 
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Une autre solution 
consiste à rigidifier le 
tablier qui est supporté 
par la structure 
caténaire. 
Ainsi lorsque la...
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Le câble caténaire 
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San-Francisco sous l’action du vent. Des modific...
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après sa construction. On constate que le ...
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Exemple d’une arche caténaire qui supporte un tablier de 
pont. Dans cet ouvrage, on a choisi d’accroître la rigidité ...
Infante Bridge, Portugal 
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Federal Reserve Bank 
Minneapolis 
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Tout le bâtiment est supporté par une 
structure caténaire pour libérer une esplana...
Federal Reserve Bank, Minneapolis 
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Federal Reserve Bank 
Minneapolis 
Le treillis au sommet de bâtiment assure la 
stabilité de la structure en plus de r...
New River George Bridge 
Virginie, États-Unis 
57 
Contrairement aux exemples précédents, 
on a choisi ici de donner plus ...
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Cold Springs Bridge 
Californie 
Dans cet exemple on a voulu amincir le 
tablier au maximum et conférer aux deux 
arch...
Cold Springs Bridge, Californie 
59
Salginatobel Bridge, Suisse 
60 
Conçu par Robert Maillart à l’aide de la 
méthode graphique, le Salginatobel Bridge 
est ...
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Salginatobel Bridge, Suisse
62 
voile de béton 
stabilisateur 
Salginatobel Bridge, Suisse
63 
voile de béton 
stabilisateur 
Salginatobel Bridge, Suisse
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Une troisième stratégie 
consiste à ajouter des 
diagonales entre la 
structure caténaire 
(câble ou arche) et le 
tab...
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Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence 
de diagonales permet de réduire la taille des membrures.
66 
Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence 
de diagonales permet de réduire la taille des membrures.
Passerelle Traversina I 
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Passerelle Traversina II 
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Une quatrième stratégie 
consiste à retenir 
certains points de la 
structure caténaire 
pour prévenir son 
déplacemen...
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Dans cette structure, la voûte en verre se comporte comme une 
arche caténaire et une série de câbles radiaux lui conf...
ces membrures restreignent les déformations de 
l’arche et réduisent sa longeur de flambement 
Broadgate Office Building 
...
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Broadgate Office Building, Londres
Une cinquième stratégie 
consiste à utiliser des 
câbles stabilisateurs qui 
adoptent une forme 
caténaire de courbure 
in...
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La photographie ci-contre 
montre un pont suspendu 
en acier avec un tablier très 
mince qui est rigidifié à 
l’aide d...
Exemple du toiture en 
verre conçue par Renzo 
Piano et qui utilise le 
principe d’une structure 
caténaire constituée 
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Passerelle Simone de Beauvoir, Paris 
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Exemple d’un pont en arche où l’on a incliné les 
membrures verticales pour que la force de compression 
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Passerelle Solferino, Paris 
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Passerelle Solferino, Paris
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On peut souhaiter que 
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Exemple de pont adoptant une forme lenticulaire 
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Treillis lenticulaire soutenant une toiture 
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logique d’optimisation 
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Magazzini Generali, Suisse 
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16- caténaires

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16- caténaires

  1. 1. Analyse d’une structure caténaire par une méthode graphique Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  2. 2. Une structure caténaire est une structure qui, lorsqu’elle est soumise à un ensemble de charges donné, est sollicitée uniquement en tension ou en compression. Une corde à linge représente un bon exemple de structure caténaire. Sous le poids des vêtements qui y sont suspendus, la corde va se déformer pour adopter une géométrie qui assure son équilibre statique mais en ne générant que des efforts de tension car elle possède une résistance nulle en compression ou en flexion. 2 Qu’est-ce qu’une structure caténaire ?
  3. 3. On distingue deux types de formes caténaires. D’une part, les câbles suspendus qui sont sollicités uniquement en traction et, d’autre part, les arches qui sont sollicitées uniquement en compression. La forme caténaire est associée à une combinaison de charges donnée. Dans le cas des structures tendues, elles ne peuvent supporter aucun effort de flexion ce qui signifie que toute variation des charges amène une modification de géométrie. Quant aux structures comprimées, elles sont rigides et doivent résister aux efforts de flexion qui peuvent être causés par des variations de charge. Forme caténaire 3
  4. 4. Équilibre statique d’une structure caténaire 4
  5. 5. 5 Équilibre statique des forces à chacun des noeuds La figure ci-dessous montre la vue en élévation d’un câble qui supporte trois charges concentrées sur une portée de 26 m. 200 kN 150 kN 300 kN G D 10 m 6 m 4 m 6 m a b c a 200 kN noeud a b 150 kN noeud b On peut trouver les efforts dans le câble en faisant l’équilibre des forces à chacun des noeuds. En regroupant les polygones de forces obtenus à chacun des noeuds, on peut tracer un polygone de forces pour la structures entière. c 300 kN noeud c a 200 kN b 150 kN c 300 kN polygone de forces
  6. 6. Méthode graphique 6 On peut utiliser la méthode graphique pour tracer le polygone de forces. Par convention, on désignera par la lettre O l’espace en-dessous du câble et par des lettres les intervalles entre les forces au-dessus le câble. A B C D 200 kN 300 kN 150 kN G D 10 m 6 m 4 m 6 m Polygone de forces O a b c d o diagramme de forme
  7. 7. Méthode graphique 7 Si on inverse le polygone de forces en plaçant le point O à gauche de l’axe vertical des charges externes sur le polygone de forces, on obtient alors une arche de forme caténaire où toutes les membrures sont sollicitées en compression. O a D b c d o Polygone de forces A B C D 200 kN 300 kN 150 kN G 10 m 6 m 4 m 6 m diagramme de forme
  8. 8. Réactions d’appui 8 Le polygone de forces nous permet de trouver les réactions d’appui aux extrémités du câble. On pourrait décomposer ces réactions en deux composantes orthogonales, l’une verticale, l’autre horizontale. A B C D 200 kN 300 kN 150 kN G D 10 m 6 m 4 m 6 m Gh Polygone de forces O a b c d o D Dh Dv G Gv résultante des forces externes diagramme de forme
  9. 9. Multiplicité des formes caténaires 9 En déplaçant le point o sur le polygone de forces, on obtient une autre forme caténaire pour le câble. 10 m 6 m 4 m 6 m A B C D a 200 kN 300 kN 150 kN Polygone de forces O b c d o G D diagramme de forme
  10. 10. 10 Multiplicité des formes caténaires En déplaçant le point o sur le polygone de forces, on obtient une autre forme caténaire pour le câble. 10 m 6 m 4 m 6 m A B C D 200 kN 300 kN 150 kN Polygone de forces O a b c d o G D diagramme de forme
  11. 11. Corde de fermeture et point z 11 Quelle que soit la forme caténaire retenue, la corde de fermeture croisent toujours l’axe vertical du polygone de forces au même point z a b c d Polygone de forces 10 m 6 m 4 m 6 m A B C D O 200 kN 300 kN 150 kN G D D D corde de fermeture corde de fermeture corde de fermeture z diagramme de forme
  12. 12. 12 Signification physique du point z a b c z d 250 kN 400 kN Polygone de forces Toutes les formes caténaires associées au même cas de charge possèdent le même point z. Physiquement, ce point définit les réactions d’appui d’une poutre simplement appuyée qui supporterait les mêmes charges. 200 kN 150 kN 300 kN 10 m 6 m 4 m 6 m 250 kN 400 kN Sur le polygone de forces, le point o est toujours situé sur une ligne parallèle à la corde de fermeture et passant par le point z. o o o
  13. 13. Résultante des forces 13 10 m 6 m 4 m 6 m corde de fermeture650 kN 200 kN 300 kN 150 kN 10 m 6 m 4 m 6 m 650 kN corde de fermeture 200 kN 300 kN 150 kN 10 m 6 m 4 m 6 m 650 kN corde de fermeture 200 kN 300 kN 150 kN Comme la résultante des forces externes (650 kN) forme avec les deux réactions d’appui un ensemble de 3 forces non-parallèles, ces trois forces convergent vers un même point.
  14. 14. Forme caténaire passant par deux points 14
  15. 15. Exemple 15 On souhaite construire un voile de béton qui épouse une forme caténaire pour recouvrir un gymnase annexé à une école secondaire. Le voile de béton fait 10 cm d’épaisseur et on souhaite que ce voile passe par les deux points d’appui illustrés à la figure ci-dessous. Sachant que la charge totale majorée (wf) est égale à 8 kN/m2 et que la contrainte admissible dans le béton est égale à 5 MPa, tracez la forme du voile caténaire qui passe par les deux points d’appui illustrés sur la figure ci-dessous. 50 m 10 m
  16. 16. Exemple - étape 1 16 On subdivise notre structure, par exemple, en 10 intervalles de 5 m de largeur (plus le nombre d’intervalles sera élevé, plus la courbe tracée sera précise). Si on considère une bande de toiture de 1 m de largeur (dans la direction perpendiculaire à l’illustration), on trouve alors que le voile supporte 9 charges concentrées Pf = 8 kN/m2 x 5 m x 1 m = 40 kN. 50 m 10 m 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN diagramme de forme
  17. 17. Exemple - étape 2 17 On place le point o arbitrairement sur le polygone de forces et on trace une courbe caténaire associée à ce polygone. 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN o O z 50 m 10 m a b c d e f g h i 40 kN A B C D E F G H I J j polygone de forces diagramme de forme On trace la corde de fermeture et on trouve le point z sur le polygone de forces.
  18. 18. Exemple - étape 3 18 On trace une corde de fermeture entre les deux points d’appui sur le diagramme de forme et on rapporte sur le polygone de forces une ligne parallèle à cette corde et passant par le point z. O 50 m 10 m a b c d e f g h i j A B C D E F G H I J z 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN o polygone de forces o diagramme de forme
  19. 19. Exemple - étape 4 19 L’effort maximal de compression dans le voile de béton ne doit pas dépasser Pr : P a r = ϕ σadm x A = 0,6 x 5 N x 1000 mm x 100 mm b c d e f g h i j 300 kN polygone de forces o mm2 1000 = 300 kN On place un nouveau point o sur le polygone de forces de telle sorte qu’il soit situé sur la corde de fermeture et que l’effort maximal dans l’arche (i.e. la force oa dans ce cas-ci) soit égale à 300 kN. o
  20. 20. Exemple - étape 5 20 Finalement on trace un nouveau polygone de force ainsi que le profil de la structure caténaire correspondante. O o 50 m 10 m a b c d e z f g h i A B C D E F G H I J j polygone de forces 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN o diagramme de forme
  21. 21. La passerelle Traversina I est un pont piétonnier construit dans les Alpes suisses en 1996. Le tablier s’appuie sur une structure formée de 23 triangles de bois de hauteur variable supportés par deux câbles paraboliques. Malheureusement cette structure spectaculaire n’a été en service que très peu de temps car elle a été détruite par une avalanche de pierres en 1999. Passerelle Traversina I 21
  22. 22. Une structure légère 22 La finesse des câbles confèrent une grande légèreté à la structure qui semble flotter au-dessus du vide. Le site étant peu accessible, la passerelle est si légère (4 300 kg) qu’elle a pu être entièrement préfabriquée avant d’être transportée et déposée sur place à l’aide d’un hélicoptère.
  23. 23. 23
  24. 24. La structure est constituée de trois parties: Le pontage laminé en bois qui contribue à la reprise des charges latérales de vent et une main courante en contreplaqué qui contribue à rigidifier la structure verticalement. La structure lenticulaire constitue des câbles caténaires ainsi que des cadres triangulaires en bois. L’ajout de tirants en forme de X contribue à contreventer cette structure dans la direction longitudinale de la passerelle. Un assemblage de pièces de bois en forme de H qui unit le pontage à la structure lenticulaire. 24
  25. 25. 25 Ces photographies illustrent quelques détails d’assemblage de la structure
  26. 26. 26 47 m 34 m Vue en élévation de la structure
  27. 27. 27 s s diagramme de forme o Le «sag» d’une structure caténaire désigne la distance maximale entre la corde de fermeture et le point le plus bas de la structure (s). Si une structure caténaire supporte une charge uniformément répartie, les deux réactions d’appui se croisent au centre de la structure à une distance égale à 2s sous la corde de fermeture. polygone de forces Une propriété des structures caténaires supportant une charge uniformément répartie z
  28. 28. 28 s s Les réactions d’appui aux extrémités de la passerelle peuvent être décomposées en une force verticale, qui est transmise aux fondations, et une force parallèle au tablier qui va induire une force de compression dans le pontage en bois. Réactions d’appui réaction d’appui effort vertical transmis aux fondations effort de compression dans le tablier
  29. 29. H(charge de vent) effort de traction dans le câble caténaire effort dans le tablier vue en coupe de la passerelle Résistante aux efforts horizontaux provoqués par le vent 29 vue en plan de la passerelle W (poids de la structure) charge de vent H W polygone de forces
  30. 30. Forme caténaire passant par trois points 30
  31. 31. Passerelle Traversina II 31 Après la destruction de la passerelle Traversina I par une avalanche en 1999, on a décidé de reconstruire une autre passerelle, 70 m plus loin, en 2005. Cette passerelle reprend également une forme caténaire, différente de la première passerelle, mais tout aussi spectaculaire.
  32. 32. Passerelle Traversina II 32
  33. 33. La passerelle est en fait constituée d’un escalier en bois qui descend de la rive nord vers la rive sud et qui est suspendu à deux câbles caténaires. L’escalier franchit 56 m au-dessus du vide et les câbles font 95 m de portée. Les câbles de suspente qui unissent l’escalier au câble caténaire sont inclinés ce qui confère une plus grande stabilité à l’ouvrage. L’ancrage du câble caténaire au massif rocheux nécessite des culées de béton importantes. 33 56 m 95 m
  34. 34. Vues de l’escalier 34
  35. 35. Culée en béton 35
  36. 36. Détails d’assemblage 36
  37. 37. Étape 1 37 Sur la figure ci-dessous, nous avons identifié trois points par lesquels nous voulons que passe notre forme caténaire (les deux points d’appui ainsi que le point le plus bas). Nous allons subdiviser le tablier en 6 intervalles de même largeur avec 5 charges concentrées de même intensité (P) puisque la charge est uniformément répartie sur le tablier. P P P P P
  38. 38. Étape 2 38 Nous allons tracer un premier polygone de forces, et la forme caténaire correspondante, en plaçant le point o arbitrairement sur le polygone de forces. En traçant la corde de fermeture sur le diagramme de forme, nous trouvons le point z sur le polygone de forces. P P P P P A B C D E O a b c d e f o z F diagramme de forme polygone de forces
  39. 39. Étape 3 39 À partir du diagramme de forme nous allons tracer deux lignes reliant les trois points de notre forme caténaire situés à la verticale des trois points par lesquels nous voulons que passe notre courbe. Si on ramène ces deux lignes sur le polygone de forces, l’interception de ces lignes avec l’axe vertical nous permet de placer les points x et y qui, comme le point z sont une caractéristique de toute la famille de courbes caténaires soumises au même chargement. P P P P P A B C D E O a b c d e f diagramme de forme polygone de forces o z F x y o-x o-y
  40. 40. Étape 4 40 Sur le diagramme de forme, on trace maintenant deux lignes reliant les trois points par lesquels on veut faire passer notre forme caténaire et on les ramène sur le polygone de forces à l’intersection des point x et y. L’intersection de ces deux lignes nous donnent la position finale du point o. On peut vérifier que la corde de fermeture (o-z) passe aussi par le point o. A B C D E diagramme de forme polygone de forces P P P P P O a b c d e f o F o-x x o-y y z o o-z
  41. 41. Étape 5 41 À partir du point o, on trace notre polygone de forces et on le diagramme de forme de notre structure caténaire qui passe par les trois points souhaités. P P P P P A B C D E o o-z O a b c d e f diagramme de forme polygone de forces o F o-x x o-y y z
  42. 42. 42 Stabilité des structures caténaires
  43. 43. Stabilité 43 Comme nous l’avons mentionné, une forme n’est caténaire que pour un cas de charge donné. Dans la réalité, les charges varient avec le temps et une structure doit être en mesure de résister à divers types de chargement. Dans le cas des structures caténaires tendues, la forme du câble va se modifier selon la répartition des charges qui le sollicitent. L’enjeu de stabilité consiste alors à s’assurer que les déformations que subiront la structure demeurent en-deçà de limites acceptables et que cette même structure ne soit pas soumise à des vibrations excessives. Dans le cas des structures caténaires comprimées, la rigidité de la structure fait en sorte que sa forme ne varie pas beaucoup selon la répartition des charges qui le sollicitent. En revanche, toute variation de la répartition de la charge entraînera des efforts de flexion à l’intérieur de la structure. L’enjeu de stabilité consiste alors à s’assurer que la structure est en mesure de résister à ces efforts de flexion.
  44. 44. 44 Une forme caténaire est associée à un cas de charge donné (généralement une charge uniformément répartie). Si la sollicitation varie, la forme varie également. Par exemple la figure ci-contre montre un pont suspendu qui se déforme avec le passage d’un piéton. Bien souvent, le principal défi qui se pose au concepteur n’est pas d’assurer à la structure une résistance suffisante aux efforts externes mais plutôt de lui conférer une rigidité suffisante pour que les déformations demeurent en-deçà d’un seuil acceptable.
  45. 45. On peut assurer la stabilité d’une structure caténaire de différentes façons. tablier plus lourd L’une d’entre elles consiste à alourdir volontairement la structure de manière à ce que les variations de la charge vive demeurent relativement petites comparativement à la charge totale. Cette méthode simple permet souvent de maintenir les déformations de la structure en-dessous d’un seuil acceptable. Elle présente cependant l’inconvénient majeur d’accroître les efforts internes dans la structure. 45
  46. 46. 46 L’aéroport de Dulles à Washington représente un bel exemple de cette stratégie. La toiture est entièrement supportée par des câbles suspendus de 66 m de portée. Des dalles de béton armé de 10 cm d’épaisseur recouvrent la toiture et leur poids (250 kg/m2) qui confère à cette toiture une grande stabilité sous les charges de vent. Les poteaux inclinés qui supportent la toiture sont très massifs pour pouvoir résister aux très grands efforts de flexion qui les sollicitent.
  47. 47. Exemple d’une passerelle piétonne soutenue par un câble caténaire où le poids du tablier en béton assure la stabilité de la structure. 47
  48. 48. 48 Une autre solution consiste à rigidifier le tablier qui est supporté par la structure caténaire. Ainsi lorsque la charge vive ne correspond pas à la charge ayant servi à définir la forme caténaire (généralement une charge uniformément répartie), une partie de la charge est reprise par la structure caténaire et l’autre partie par le tablier qui se comporte alors comme une poutre. Dans ce cas, le tablier doit être suffisamment rigide pour reprendre une partie significative des charges externes appliquées à la structure.
  49. 49. 49 La figure ci-contre illustre schématiquement un pont suspendu. Le câble caténaire supporte les charges uniformément réparties. Dans le cas où la structure devrait supporter une charge concentrée, la poutre en treillis qui supporte le tablier du pont sera sollicitée en flexion pour résister à cette charge. diagramme de moment
  50. 50. Photographie montrant les déformations du tablier du Lion Gates Bridge à San-Francisco sous l’action du vent. Des modifications structurales ont ultérieurement été apportées pour accroître la rigidité du tablier. 50
  51. 51. 51 La photographie de gauche montre le pont Georges Washington à New York peu après sa construction. On constate que le tablier est très mince et que toute les charges est reprise par les câbles suspendus. La photographie de droite montre le même pont après que le tablier ait été profondément modifié pour accroître sa rigidité et assurer une plus grande stabilité de la structure.
  52. 52. 52 Exemple d’une arche caténaire qui supporte un tablier de pont. Dans cet ouvrage, on a choisi d’accroître la rigidité du tablier pour assurer la stabilité de l’arche.
  53. 53. Infante Bridge, Portugal 53
  54. 54. Federal Reserve Bank Minneapolis 54 Tout le bâtiment est supporté par une structure caténaire pour libérer une esplanade de 82 m de portée sous le bâtiment.
  55. 55. Federal Reserve Bank, Minneapolis 55
  56. 56. 56 Federal Reserve Bank Minneapolis Le treillis au sommet de bâtiment assure la stabilité de la structure en plus de résister aux forces horizontales importantes imposées aux points d’appui de la structure caténaire.
  57. 57. New River George Bridge Virginie, États-Unis 57 Contrairement aux exemples précédents, on a choisi ici de donner plus de volume à l’arche pour accroître sa rigidité et assurer sa stabilité.
  58. 58. 58 Cold Springs Bridge Californie Dans cet exemple on a voulu amincir le tablier au maximum et conférer aux deux arches en acier une rigidité suffisante pour assurer la stabilité de la structure.
  59. 59. Cold Springs Bridge, Californie 59
  60. 60. Salginatobel Bridge, Suisse 60 Conçu par Robert Maillart à l’aide de la méthode graphique, le Salginatobel Bridge est un ouvrage très célèbre qui franchit une portée de 90 m dans les montagnes suisses. Toutes les charges sont supportées par une arche en béton de 30 cm d’épaisseur. La stabilité de l’ouvrage est assurée pour un mince voile de béton placé au-dessus de l’arche et capable de résister aux efforts de flexion qui pourraient être causés par divers cas de charge.
  61. 61. 61 Salginatobel Bridge, Suisse
  62. 62. 62 voile de béton stabilisateur Salginatobel Bridge, Suisse
  63. 63. 63 voile de béton stabilisateur Salginatobel Bridge, Suisse
  64. 64. 64 Une troisième stratégie consiste à ajouter des diagonales entre la structure caténaire (câble ou arche) et le tablier. La structure acquiert alors la capacité de travailler comme un treillis pour reprendre les efforts de flexion qui pourraient être associés à différents profils de charge qui sollicitent la structure.
  65. 65. 65 Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence de diagonales permet de réduire la taille des membrures.
  66. 66. 66 Dans cet exemple d’arche caténaire en acier, la présence de diagonales permet de réduire la taille des membrures.
  67. 67. Passerelle Traversina I 67
  68. 68. Passerelle Traversina II 68
  69. 69. 69 Une quatrième stratégie consiste à retenir certains points de la structure caténaire pour prévenir son déplacement latéral. Plus le nombre de points de retenue sera élevé, plus la structure sera stable
  70. 70. 70 Dans cette structure, la voûte en verre se comporte comme une arche caténaire et une série de câbles radiaux lui confère une grande stabilité en limitant le déplacement des noeuds
  71. 71. ces membrures restreignent les déformations de l’arche et réduisent sa longeur de flambement Broadgate Office Building Londres 71 cette membrure travaille en tension pour ne transmettre que des charges verticales aux fondations
  72. 72. 72 Broadgate Office Building, Londres
  73. 73. Une cinquième stratégie consiste à utiliser des câbles stabilisateurs qui adoptent une forme caténaire de courbure inversée p/r à la structure porteuse. Le câble porteur supporte toutes les charges orientées vers le bas alors que le câble stabilisateur reprend toutes les charges dirigées vers le haut Cette méthode offre l’avantage de préserver la légèreté de la structure et, par conséquent, de réduire les efforts internes. 73 câble porteur câble stabilisateur (a) le câble stabilisateur est placé sous le câble porteur câble stabilisateur câble porteur (b) le câble stabilisateur est placé au-dessus câble porteur câble stabilisateur câble porteur (c) les deux câbles se croisent
  74. 74. 74 La photographie ci-contre montre un pont suspendu en acier avec un tablier très mince qui est rigidifié à l’aide d’un câble stabilisateur qui adopte une forme caténaire de courbure inversée p/r au câble porteur. câble porteur câble stabilisateur
  75. 75. Exemple du toiture en verre conçue par Renzo Piano et qui utilise le principe d’une structure caténaire constituée d’un câble porteur jumelé à un câble stabilisateur. 75 câble porteur câble stabilisateur
  76. 76. 76
  77. 77. 77
  78. 78. Passerelle Simone de Beauvoir, Paris 78
  79. 79. Passerelle Simone de Beauvoir, Paris 79
  80. 80. Passerelle Simone de Beauvoir, Paris 80
  81. 81. Optimisation de treillis 81
  82. 82. 82 a b c g d e f 1 2,3 4,5 6,7 8,9 10 On peut optimiser la forme d’un treillis en s’inspirant des formes caténaires. Par exemple, pour le treillis illustré ci-contre, l’aile inférieure du treillis suit une forme caténaire. L’effort de compression est donc constant sur toute les membrures de l’aile supérieure et les efforts internes sont nuls dans les diagonales (qui pourraient alors être supprimées). A B C E 2 G D F 1 4 3 5 7 6 8 9 10 diagramme de forme polygone de forces forme idéale
  83. 83. Alamodome Stadium, San Antonio, Texas 83
  84. 84. 110 m Alamodome Stadium, San Antonio 84 Alamodome Stadium, San Antonio, Texas Toute la toiture du stade repose sur deux immenses treillis de 110 m de portée. La forme de ces treillis a été optimisée pour la corde inférieure reproduise une forme caténaire.
  85. 85. Alamodome Stadium, San Antonio, Texas 85
  86. 86. Alamodome Stadium, San Antonio, Texas 86
  87. 87. Alamodome Stadium, San Antonio, Texas 87
  88. 88. On pourrait également A B C D E F souhaiter que la charge 1 3 5 6 8 10 2 9 soit uniforme sur toute 4 7 1 la membrure inférieure G diagramme de forme du treillis. Dans ce cas, on 1 a tracerait un arc de 2,3 b cercle sur le polygone de forces de façon à ce 4,5 c que la force soit la g même sur toute l’aile 6,7 d inférieure du treillis. 8,9 e Cela signifie que l’on devrait incliner les 10 f membrures verticles et polygone de forces que les efforts sont toujours nuls dans les diagonales. 88 forme idéale
  89. 89. Exemple d’un pont en arche où l’on a incliné les membrures verticales pour que la force de compression soit uniforme tout au long de l’arche. 89
  90. 90. Passerelle Solferino, Paris 90
  91. 91. Passerelle Solferino, Paris 91
  92. 92. 92 Passerelle Solferino, Paris
  93. 93. diagramme de forme forme idéale On peut souhaiter que les deux ailes de treillis adopte une forme caténaire. Dans ce cas, on obtient une structure dite lenticulaire. Encore une fois les membrures diagonales ne reprennent aucun effort. 93 1 B A C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 polygone de forces a b c g d e f 1 2,3 4,5 6,7 8,9 10 égal égal
  94. 94. Exemple de pont adoptant une forme lenticulaire 94
  95. 95. Treillis lenticulaire soutenant une toiture 95
  96. 96. En applicant la même logique d’optimisation pour concevoir une ferme de toiture à deux versants inclinés, on obtiendrat les figures illustrées ci-contre. C’est exactement la démarche adoptée par Robert Maillart pour la conception de son Magazzini Generali. 96 A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 diagramme de forme forme idéale a b c g d e f 6,7 1 8,9 2,3 10 4,5 polygone de forces
  97. 97. Magazzini Generali, Suisse 97
  98. 98. Magazzini Generali, Suisse 98
  99. 99. Magazzini Generali, Suisse 99
  100. 100. E 9 11 h,1,12 3,4 9,10 5,6 7,8 11 On pourrait appliquée la même logique à une tour soumise à des charges horizontales de vent et on obtiendrait alors... la tour Eiffel. 100 A B C D F G 1 2 3 4 5 6 7 8 10 diagramme de forme a b c d e f g polygone de forces forme idéale
  101. 101. Tour Eiffel, Paris 101

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