partie B puissances cours

1. COLLÈGE DES PÈRES ANTONINS Hadat-Baabda
2023-2024
CHAPITRE 1 Les Puissances
B

2. Plan:
1. Définition.
2. Propriétés.
3. Puissance d’exposant positif de 10 : 10𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 .
4. Puissance d’exposant négatif de 10 :10−𝑛 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 .
5. Notation scientifique .

3. 1. Définition :
• a est un nombre relatif et n un entier naturel plus grand que 1
• an
∶ s′
appelle la puissance nième
de a .
• On lit “a puissance de n” ou “a exposant n”.
• a est la base et n l’exposant de cette puissance .
Exemples :
𝒂𝒏
= 𝒂 × 𝒂 × ⋯ × 𝒂
𝒏 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓𝒔
Le produit de n facteurs égaux à a est noté
𝑎𝑛 .
• −2 3
, −2 4
, (−2)5
, 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 − 2 .
• (−2)13
𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑖𝑧𝑖è𝑚𝑒 𝑑𝑒 − 2 .
Exemples:
• −2 𝟒
= −2 × −2 × −2 × −2 = 16.
• (−3)𝟑
= −3 × −3 × −3 = −27.

4. Exemples:
• 340
= 1 .
• 19990
= 1 .
• 20200
= 1 .
Exemples :
• 31
= 3.
• 198561
= 19856.
• 3451
=345 .
2.Propriétés:
𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Exemples :
 (−4)2
× (−4)6
= (−4)2+6
= (−4)8
.
 (
1
3
)5
× (
1
3
)6
= (
1
3
)11
.
 𝑏4
× 𝑏 × 𝑏2
= 𝑏4+1+2
= 𝑏7
.
𝒂𝒎 × 𝒃𝒎 = 𝒂 × 𝒃 𝒎
Exemples :
 (−3)5
× (−2)5
= (−3 × (−2))5
= 65
.
 𝑥5
× 𝑦5
= (𝑥𝑦)5
.
 (−2,5)4
× (−4)4
= (2,5 × 4)4
= 104
.
𝒂𝟏 = 𝒂 𝒂𝟎 = 𝟏

5. 𝒂
𝒃
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
.
Exemples :
 (
15
3
)3
=
153
33 .

153
203 = (
15
20
)3
= (
3
4
)3
=
33
43 .
(𝒂𝒏
)𝒎
= 𝒂𝒏×𝒎
.
Exemples :
 [(−2)3
]6
= (−2)18
= 218
.
 (44
)3
= 412
.
 (𝑎3
)2
= 𝑎6
.
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏
Exemples :

𝑥5
𝑥3 = 𝑥5−3 = 𝑥2 .
 (
−10
3
)14
÷ (
−10
3
)9
= (
−10
3
)14−9
= (
−10
3
)5
.

6. Attention:
• (𝑎 + 𝑏)𝑛≠ 𝑎𝑛+ 𝑏𝑛 .
•
1
𝑎𝑛 = 𝑎−𝑛 .
• Pourquoi ?
car
1
𝑎𝑛 =
𝑎0
𝑎𝑛 = 𝑎0−𝑛 = 𝑎−𝑛.
De même pour
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛.
exemples : 3−4 =
1
34
3
5−2 = 3 × 52

7. APPLICATION 1

8. Puissance d’exposant de 10 : 𝟏𝟎𝒏
𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒊𝒆𝒓 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒆𝒍
• Puissance d’exposant positif de 10:
 10𝑛
= 1000 … . . 0
𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠 .
( 𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 1 )
• Puissance d’exposant négatif de 10 :

1
10n = 10−𝑛 = 0,00 … . . . 1
𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠 .
( n zéros à gauche de 1 )
Par exemple :
L’inverse de 104
𝑒𝑠𝑡
1
104 = 10−4
.
On lit :10 puissance -4 ou 10 exposant -4 .
10−4
=0,0001 Puisque c’est
10−4
𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 nombre de zéros
à gauche de 1 est 4

9. Un nombre en notation scientifique est de la forme ∶
𝐚 × 𝟏𝟎𝒑 𝑜ù 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑣𝑒𝑐 1 ≤ 𝑎˂10 𝑒𝑡 𝑝 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 .
La virgule doit être devant le premier chiffre non nul ( ≠ 0 )
Exemples :
28 412 = 2,8412 × 104.
631 200 = 6,312 × 105
.
0,025 = 2,5 ×10−2
.
534 millions = 5,34 ×102
×106
= 5,34 × 108
.
5. Notation scientifique :

10. APPLICATION 2
Écris en notation scientifique chacun des nombres suivants
1. 0,03 5. 2107,34 × 10−2
2. 13,25 6.
4
5
3. 403 7.
213
16
4. 15,14 × 10−3