This is a useful course of transmission

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El
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STIC
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TNBB
M. Fertat
1
Transmission numérique en présence du bruit
Le bruit blanc gaussien
 Le bruit blanc est un processus aléatoire dont la densité spectrale
de puissance (dsp) est étalée uniformément sur tout l’axe des
fréquences.
 Le mot blanc prend son origine dans l’analogie avec la lumière
blanche, dont la puissance est repartie aussi uniformément sur
l’axe des fréquences.
3. Transmission en présence du bruit blanc
gaussien additif (AWGN)

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2
Transmission numérique en présence du bruit
 Dans le cas d’un bruit aléatoire Gaussienne de moyenne nulle et
de variance ², la densité de probabilité du bruit est donnée par la
loi Gaussienne:
( )
2
1 1
exp
2
2
p
n
D n
s
s p
é ù
æ ö
ê ú
÷
ç
= - ÷
ç
ê ú
÷
ç
è ø
ê ú
ë û
 On modélise le bruit blanc gaussien avec un processus aléatoire
qui suit une loi normale de moyenne et variance données.
 C’est un signal à énergie infinie. Il nous sera plus facile de
raisonner par la densité spectrale de puissance et la fonction
d’autocorrelation
( ) ( ) ( )
  
1 1
0 0
2 2
nn nn
f N N
   
 8.48

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3
Transmission numérique en présence du bruit
Fig. 8.10
( )
nn
  ( )
gg
 
( )
E
hh
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
  

1 1
0 0
2 2
2
1
0
2
E E
gg hh hh
gg
N N
f N H f
       

( ) ( ) ( )
E
gg nn hh
     
 
 Selon la relation de Wiener Khinchin:
Le bruit coloré

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4
Transmission numérique en présence du bruit
8.49
 C’est à dire un bruit blanc est devenu, après sa transmission via
au SLIT, un bruit coloré
( )
gg f

f
0
( )
nn f

f
0
Fig. 8.11
 Sa puissance est donné par
( )
*
( ) ( ) ( ) ( )
   
 
2 2
1 1 1
0 0 0
2 2 2
0 0
gg hh
P N N H f df N h t dt
  
 
 
( ) ( )

2
1
0
2
gg f N H f

H(f )
SLIT

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5
Transmission numérique en présence du bruit
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
*

   


 
 
2
2 2
2
0 0
hh hh hh hh
hh
j f
f e df f df
f H f
H f df h t dt
 
   

 
 
 
 
 et par le théorème deParsevalonobtient
Remarque
( )
E
hh
N

 
 1
0
2
0 8.50

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6
Transmission numérique en présence du bruit
8.8. La réception corrélative des signaux perturbés
8.8.1. Filtre adapté (Matched Filter)
 On appelle filtre adapté (Matched Filter), le filtre de reception
capable d’assurer le rapport signal sur bruit optimal pour une
transmission numérique donnée.
 La question qui se pose est comment peut on concevoir le filtre de
réception h(t) afin d’optimiser le rapport signal sur bruit du signal
y(T).
A. Définition
h(t)
s(t)
n(t)
+
Émetteur
Bruit Blanc
Gaussien
additif
(AWGN)
Récepteur
t =T
r(t) y(t) y(kT)
( )

 k
k
d t kT


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Transmission numérique en présence du bruit
 La réception est composée d’un filtre de reception de réponse
impulsionnelle h(t) suivi d’un échantillonneur
Fig. 8.13
 A l’entrée du récepteur on a le signal r(t) = s(t) + n(t). Le signal
reçu est donné par la relation de convolution:
 
   
* (
( )
(
)
)
( )
( )
(
( ) ( )
)
h t
h t h
s
t
t
s
n t
n
y t
t t
 
   
( )
g t ( )
r
n t
 On suppose transmettre un seul symbole d’amplitude 1
h(t)
s(t)
n(t)
+
Émetteur
(AWGN)
Récepteur
t =T
r(t) y(t) Y(T)
( )
t


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Transmission numérique en présence du bruit
)
( )
) (
( r
g t
t n
y t
  8.51
g(t) : signal utile reçu
nr(t) : bruit reçu
 On échantillonne y(t) à l’instant d’échantillonnage t=T, on a:
)
( )
) (
( r
g T
T n
y T
 
 Le rapport signal-sur-bruit est défini par:

 s
N t T
P
SNR
P
8.52

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Transmission numérique en présence du bruit
où Ps et PN sont les puissances des échantillons au moment t = T :
( )
( )
N
s
r
E
g T
n T



 
  
2
2
 Pour une réception optimale, il faut que le rapport signal sur bruit
(signal-to-Noise Ratio : SNR) soit maximal
 Or le signal de bruit nr(t) a pour puissance :
) ( )
(


 
 2
0
2 1
2
N r
n
P N h
t t dt (bruit coloré)
2
2
( ) ( ) ( )
g T h T d
s
  


 
 
  
 
 

 La puissance du signal utile à la sortie du filtre est:

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Transmission numérique en présence du bruit
( ) ( )
max
( )
N h t dt
S
h
R
T d
N
s
  




 
 

 
 




2
1
0
2
2
!
 On sait bien que le signal énergétique s(t) à une énergie donnée
par :
( ) ( )
t dt T d
s s
  
 
 
  
 
2 2
et par suite :
( ) ( )
( )
( )







 
 

 
 




 
0 2 2
2
2
h T
SNR
T d
d
d
h t
N
t
s
s







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Transmission numérique en présence du bruit
( ) ( ) ( ) . ( )
f t t dt f t dt g t dt
g
  
  
 
  
 
 
  
2 2
2
 D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz ,pour deux signaux à
énergie finie on a:
 L’égalité est atteinte pour f(t) = k. g(t), où k est une constante réelle
 Le rapport (SNR) est maximum quand:
( ) ( )
h t k s T t k
     8.54
max
SNR
N


0
2

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Transmission numérique en présence du bruit
 h(t) est appelé corrélateur ou filtre adapté. C’est un filtre de
réception qui optimise le rapport (SNR).
 Dans la littérature ce filtre est connu sous le nom de Matched filter
(application aux techniques de transmission par ex. Radar, GSM,
TV numérique ...)
 Le rapport SNR ne dépend que de l’énergie du signal et de la
densité de puissance N0 du bruit n(t) et ne dépend pas donc de la
forme du signal .
Remarque ( ) ( ) ( ) j fT
h t k s T t k S f e 
 
     2
Filtre conjugué
( ) ( )
h t k s T t k
    

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Transmission numérique en présence du bruit
h(t)
s(t)
n(t)
+
Émetteur Canal Récepteur
t =nT
r(t) y(t) y(nT)
Fig. 8.13
4. Performances en taux d’erreur sur un canal bruité
(Cas d’une transmission binaire bipolaire)
• Nous supposons que le critère de Nyquist est vérifié
• s(t) est réel et h(t) =s(-t).
• Le bruit est blanc et gaussien
Soit la chaîne de transmission numérique en bande de base
d(t)
   
k
k
d t d t kT

 

• Le signal informatif est:
où dk est une suite aléatoire de symboles équiprobables:  
,
k
d  1 1

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Transmission numérique en présence du bruit
     
       
 
( ) *
= ( ) , *
k
k
g t g t
y t d t s t h t
d t où s t
g T
d t
t
k
h
 
 

 
 


En l’absence du bruit n(t)=0, on aura:
 
   
( ) k n
k
g n
y nT d k T g
d

 
 0
Le critère de Nyquist étant vérifié, le signal échantillonné à t=nT est:

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Transmission numérique en présence du bruit
 
   
   
( ) r
k
r
k
n
n n
y nT d g n k T T
n nT
d g
  
 

0
Après échantillonnage à l’instant t=nT:
 
   
     
( ) ( ) ( ) ( ) * ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
k
r
y t d t s t n t h t
d t s t h t n t h t
y t d g t kT n t
  
 
 
    
 
 
 


( )
g t ( )
r
n t
En présence du bruit n(t)0, on a:

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Transmission numérique en présence du bruit
( ) ( )
0
0
Prob r p r r
n
n n D n dn
+¥
³ = ò
Les variables aléatoires nr(nT) sont gaussiennes, centrées (moyenne
nulle), non corrélées, de variance:
La probabilité que nr(nT) soit supérieure à n0 est donnée par :
( )
2
2
1
2
nr
p r
D n e s
s p
æ ö
÷
ç ÷
-ç ÷
ç ÷
ç
è ø
=
et de densité de probabilité :
( )
2 2
1
0
2
N h t dt
s
+¥
-¥
= ò

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Transmission numérique en présence du bruit
0
n
   
0
0
Prob

  
r p r r
n
n n D n dn
Fig. 4.4
( )
p r
D n
r
n

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Transmission numérique en présence du bruit
 E1 : Le symbole décidé est +1 alors que c’est -1 qui est transmis
 E2 : Le symbole décidé est -1 alors que c’est +1 qui est transmis
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
1
1
Prob 1 Prob Prob 1 Prob
Prob Pr 2
ob
2
e n n E
E
E d
E
P d
= =- + = +
= +
La probabilité d’erreur est donc :
L’erreur de décision sur l’échantillon y(nt) aura lieu si l’un
des événements suivants se produit:
• Probabilité d’erreur en cas de transmission binaire de type bipolaire

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Transmission numérique en présence du bruit
 La probabilité d’erreur Pe est la moyenne des deux aires hachurées
de la figure (Fig.4.7).
 Le minimum est atteint lorsque Prob(E1)=Prob(E2) c’est-à-dire
lorsque le seuil de détection vaut:
0
T
v =
( )
( )
( )
Prob
Pro 0
1
b 1
e
n
P
y nT d
E
=
= ³ =-
La probabilité d’erreur devient :
   
( ) r
g n n
y n T
T   
0
Or, pour dn=-1:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Prob 0 0
1 Prob 0
Prob 0
r
n
r
y nT d n nT
n nT
g
g
³ =- = - ³
= ³
D’où:

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Transmission numérique en présence du bruit
nr étant gaussien, la probabilité d’erreur devient :
( )
2
2
(0)
1
o
2
1
Pr b
nr
e r
g
P e dn
E s
s p
æ ö
+¥ ÷
ç ÷
-ç ÷
ç ÷
ç
è ø
= = ò
où ( )
2 2
1
0
2
N h t dt
s
+¥
-¥
= ò
( )
0
1
erfc
2 2
e
g
P
s
æ ö
÷
ç ÷
= ç ÷
ç ÷
ç
è ø
( ) ( )2
2
erfc
x
x e d
l
l
p
+¥
-
= ò
Moyennant la fonction d’erreur « erfc » :
on obtient :

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Transmission numérique en présence du bruit
0
1
erfc
2
b
e
E
P
N
æ ö
÷
ç ÷
ç
= ÷
ç ÷
÷
ç
è ø
( ) ( ) ( ) ( )
2
0
h d s h d g
t t t t t
= - =
ò ò
L’énergie moyenne par bit est :
( ) ( )
2
0
b
E s d g
t t
+¥
-¥
= =
ò
Puisque h(t)=s(-t), on a :
La probabilité d’erreur est finalement donnée par :
( )
2 1
0
2
0
N g
s =
D’où
Pe est une fonction décroissante de Eb/N0.

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Transmission numérique en présence du bruit
 Pour une transmission binaire (m=2) La probabilité d’erreur est
exprimée en fonction du rapport signal-sur-bruit comme suit:
0
1
2 2
 
  
 
 
b
E
P erfc
N

0
1
2
 
  
 
 
b
E
P erfc
N

Forme unipolaire
Forme bipolaire
La forme unipolaire perd 3dB par rapport celle bipolaire à cause
de l’absence de l’energie lors de la transmission des bits « 0 »

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Transmission numérique en présence du bruit
Fig.4.14
-2 0 2 4 6 8 10
10
-4
10
-3
10
-2
e
P
Forme bipolaire
Forme unipolaire
3 dB
0 en dB
b
E N