1. ´
Universit´ Mohammed V-Agdal
e Printemps–Et´ 2006/2007
e
Facult´ des Sciences Juridiques,
e Section : A & B
www.tifawt.com
´ Semestre : S2 Exercice 3 :
www.fsjesr.ac.ma Economiques et Sociales, Rabat
´
Fili`re de Sciences Economiques et de Gestion
e
D´terminer le D´veloppement Limit´ au voisinage de l’ori-
e e e
gine et ` l’ordre 4 de la fonction r´elle d´finie par :
a e e
Module 6 : M´thodes Quantitatives I
e 1
f (x) = (e−x + x) 3 .
Mati`re
e : Math´matiques I
e
Indication : Au voisinage de l’origine,
Professeure Amale LAHLOU
1 2 1 1
eu = 1+u+ u + u3 + u4 + o(u4 )
Corrig´ du Contrˆle Final
e o 2! 3! 4!
1 1 1
(1 + u) 3 = 1 + u − u2 + o(u2 )
3 9
´
Enonc´
e
Exercice 4 :
Exercice 1
Soit une fonction r´elle f de classe C ∞ sur son domaine de
e
On consid`re la fonction r´elle f d´finie par :
e e e e e ´
d´finition et Cf sa courbe repr´sentative. Etant donn´ son
e
D´veloppement Limit´ ` l’ordre 3 au voisinage du point
e e a
1 1 d’abscisse 2 :
+x− −x
f (x) = x x .
x + |x| 1 1
f (x) = 1 + (x − 2)2 − (x − 2)3 + o (x − 2)3
6 6
1. D´terminer Df , le domaine de d´finition de f ;
e e
´tudier localement la fonction f en ce point :
e
2. la fonction f est-elle prolongeable par continuit´ `
e a
l’origine ? Si oui, donner son prolongement sur Df ∪ {0}. f est-elle continue ou prolongeable par continuit´ au
e
point 2 (on notera aussi par f son prolongement) ?
Exercice 2 : D´terminer un ´quivalent de f au voisinage du point
e e
d’abscisse 2,
On consid`re la fonction r´elle g d´finie sur R par :
e e e D´terminer l’´quation de la tangente au point d’abs-
e e
cisse 2,
g(x) = e−x .
D´terminer la position de Cf par rapport ` la tan-
e a
1. Montrer que l’´quation g(x) = 2 − x admet une solu-
e gente au point d’abscisse 2,
tion unique sur [−2 ln(2), − ln(2)] (on a ln(2) 0.7) ; D´terminer les 3 premi`res d´riv´es de f au point 2,
e e e e
2. Soit un r´el x < 0.
e Cf pr´sente t-elle un extremum local au point d’abs-
e
(a) Appliquer le Th´or`me des Accroissements Fi-
e e cisse 2 ?
nis ` g sur [x, 0] ;
a Cf pr´sente t-elle un point d’inflexion au point d’abs-
e
(b) D´terminer le(s) point(s) le v´rifiant ;
e e cisse 2 ?
´
Etudier la convexit´ de f au voisinage du point d’abs-
e
(c) Comparer les trois termes :
cisse 2.
x, 1 − e−x et xe−x
R´ponse
e
3. La fonction r´elle h d´finie par
e e
Exercice 1
h(x) = (1 + x)e−x
Consid´rons la fonction r´elle f d´finie par :
e e e
est de classe C ∞ sur R.
(a) Par un raisonnement par r´currence, montrer
e 1 1
qu’il existe deux suites r´elles de termes g´n´raux :
e e e +x− −x
f (x) = x x .
x + |x|
an = (−1)n et bn = (−1)n (1 − n)
1. D´terminons le domaine de d´finition de f .
e e
telles que la d´riv´e d’ordre n ∈ N de la fonction
e e
h s’´crit :
e Soit x ∈ R. On remarque que si x < 0, alors x + |x| = 0 et
(n) −x par cons´quent Df ⊆ R∗ . Ainsi, pour x > 0 on a :
e +
h (x) = (an x + bn )e ;
1 1
(b) Quelle est la valeur de g (2007) (0) ? +x− −x
f (x) = x x .
4. En utilisant la r`gle de l’Hospital, calculer la limite
e 2x
suivante :
ln e2x − ex + 1
lim
x→+∞ x

2. ´
Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle Final /Math´matiques I / MQ I / M 6
e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007
e Page 2
Donc, Ceci veut dire que l’´quation
e
1 1 e−x = 2 − x
x ∈ Df ⇐⇒ x > 0, +x 0 et −x 0
x x
1 admet au moins une solution dans l’intervalle ]−2 ln(2), − ln(2)[.
⇐⇒ x > 0 et −x 0 Or,
x
⇐⇒ x > 0 et 1 − x2 0 f (x) = 1 − e−x < 0, ∀x < 0
⇐⇒ x > 0 et (1 − x)(1 + x) 0 et par suite f est strictement d´croissante sur [−2 ln(2), − ln(2)].
e
⇐⇒ x > 0 et 1−x 0 Ainsi, la solution trouv´e de l’´quation e−x = 2 − x est
e e
unique sur ] − 2 ln(2), − ln(2)[.
⇐⇒ x ∈]0, 1]
Ainsi, Df =]0, 1]. 2. Soit un r´el x < 0.
e
´
2. Etudions la continuit´ ` droite de l’origine.
ea (a). Appliquons le Th´or`me des Accroissements Finis
e e
(T.A.F.) ` g sur [x, 0].
a
La fonction f est continue sur l’intervalle Df =]0, 1] puisque
c’est la compos´e de fonctions continues sur cet intervalle.
e La fonction g est continue sur [x, 0] pour tout x < 0 et
d´rivable sur ]x, 0[ avec, g (x) = −e−x .
e
1
+x− 1
−x D’apr`s T.A.F., il existe au moins c ∈]x, 0[ tel que :
e
x x
lim+ f (x) = lim+
x→0 x→0 2x g(0) − g(x) = (0 − x)g (c)
1 1
x +x− x +x
= lim i.e.,
x→0+ 1 1
2x x +x+ x −x 1 − e−x = xe−c .
1 (b). D´terminons le(s) point(s) v´rifiant le T.A.F. On a
e e
= lim
x→0+ 1
+x+ 1
−x D’apr`s la question (a) : c ∈] − 2 ln(2), − ln(2)[ et
e
x x
1 1 − e−x
= lim+ 1 − e−x = xe−c ⇐⇒ e−c =
x→0 1
+x+ 1
−x x
x x
1 − e−x
= 0∈R ⇐⇒ c = − ln
x
donc, la fonction f est prolongeable par continuit´ ` droite
ea (c). Comparons les trois termes x, 1 − e−x et xe−x .
au point d’abscisse 0 et son prolongement sur [0, 1] est D’apr`s la question (a), le point c v´rifiant le T.A.F. est
e e
donn´ par :
e tel que :
 x < c < 0 =⇒ 1 < e−c < e−x
 1 1
 x +x− x −x
f (x) = 0<x 1 =⇒ xe−x < xe−c < x (car x < 0)
 2x
 =⇒ xe−x < 1 − e−x < x
0 x=0
On remarque qu’on a l’´galit´ des trois termes au point 0.
e e
Exercice 2
D’o`,
u
∀ x 0, xe−x 1 − e−x x
Consid´rons la fonction r´elle g d´finie sur R par :
e e e
3. Soit la fonction r´elle h d´finie par :
e e
g(x) = e−x .
h(x) = (1 + x)e−x .
1. Montrons que l’´quation g(x) = 2 − x admet une solu-
e
tion unique sur le segment [−2 ln(2), − ln(2)]. (a). Par un raisonnement par r´currence, montrons qu’il
e
existe deux suites r´elles de termes g´n´raux
e e e
Posons la fonction :
an = (−1)n et bn = (−1)n (1 − n)
−x
f (x) = g(x) − 2 + x = e − 2 + x.
telles que la d´riv´e d’ordre n de la fonction h s’´crit :
e e e
Cette fonction est continue sur le segment [−2 ln(2), − ln(2)]
h(n) (x) = (an x + bn )e−x
et v´rifie en plus,
e
V´rifiation : Pour n = 0
e
f (−2 ln(2)) = 2(1 − ln 2) > 0
f (− ln(2)) = − ln(2) < 0 h(0) (x) = (a0 x + b0 )e−x = (x + 1)e−x = h(x) (vraie)
Alors, d’apr`s le Th´or`me des Valeurs Interm´diaires, il
e e e e Hypoth`se de r´currence : On suppose que la propri´t´ est
e e ee
existe au moins c ∈] − 2 ln(2), − ln(2)[ tel que vraie ` l’ordre n :
a
f (c) = 0 i.e., e−c = 2 − c. h(n) (x) = (an x + bn )e−x = ((−1)n x + (−1)n (1 − n)) e−x

3. ´
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e Page 3
D´monstration : On montre que la propri´t´ est vraie `
e ee a On sait que :
l’ordre (n + 1) :
x2 x3 x4
(n+1) −x
e−x = 1−x+ − + + o(x4 )
h (x) = (an+1 x + bn+1 )e 2! 3! 4!
= (−1)n+1 x + (−1)n+1 (1 − (n + 1)) e−x x2 x3 x4
e−x + x = 1 + − + + o(x4 )
n+1 n −x 2 6 24
= (−1) x + (−1) n e
x2 x3 x4
Posons X = 2 − 6 + 24 , quand x → 0 alors X → 0 et
avec,
1 1
(e−x + x) 3 = (1 + X) 3
an+1 = (−1)n+1
bn = (−1)n+1 (1 − (n + 1)) = (−1)n n 1 1
= 1 + X − X 2 + o(X 2 )
3 9
En effet, 1 x2 x3 x4
= 1+ − +
3 2 6 24
h(n+1) (x) = h(n) (x) x2 1x3 x4
2
− − + + o(x4 )
= an e−x − (an x + bn )e−x 2 96 24
= (−an x + an − bn )e−x x2 x3 x4
= 1+ − +
= (an+1 x + bn+1 )e−x 6 18 72
2 2 2
1 x x x2
avec − 1− + + o(x4 )
9 2 3 12
an+1 = −an = −(−1)n = (−1)n+1
1 x2 x3 x4 x4
bn+1 = an − bn = (−1)n − (−1)n (1 − n) = (−1)n n (e−x + x) 3 = 1+ − + − + o(x4 )
6 18 72 36
Conclusion : x2 x3 x4
= 1+ − − + o(x4 )
6 18 72
h(n) (x) = (an x + bn )e−x ∀n ∈ N
Ainsi,
avec 1 x2 x3 x4
an = (−1)n (e−x + x) 3 = 1 + − − + o(x4 ).
6 18 72
bn = (−1)n (1 − n)
Exercice 4
(b). Calculons la valeur de h(2007) (0).
´
Etudions localement la fonction d´finie par son D´veloppement
e e
(2007) 2007
h (0) = (−1) (1 − 2007) = 2006 Limit´ au voisinage du point d’abscisse 2 :
e
4. En utilisant la r`gle de l’Hospital, calculons la limite
e 1 1
f (x) = 1 + (x − 2)2 − (x − 2)3 + o (x − 2)3
suivante : 6 6
ln e2x − ex + 1 Si 2 ∈ Df alors la fonction f est continue au point 2 et
lim
x→+∞ x f (2) = 1.
+∞
Cette limite est une Forme Ind´termin´e
e e +∞ .
Si 0 ∈ Df alors la fonction f est prolongeable par conti-
ln e2x − ex + 1 2x
2e − e x nuit´ au point 2 et son prolongement est donn´ par :
e e
lim = lim
x→+∞ [x] x→+∞ e2x − ex + 1 f (x) x ∈ Df
˜
f (x) =
1 x=2
Posons le changement de variable X = ex , ainsi si x → +∞
alors X → +∞ et (Dans ce cas, on notera dans toute la suite le prolongement
˜
de f par tout simplement f au lieu de f ).
ln e2x − ex + 1 2X 2 − X
lim = lim
x→+∞ [x] X→+∞ X 2 − X + 1 On peut d´terminer un ´quivalent de f au voisinage de
e e
2X2 2:
= lim 1
X→+∞ X2 (x − 2)2 .
f (x) − 1 ∼2
6
= 2
L’´quation de la tangente au point d’abscisse 2 est
e
Ainsi, donn´e par y = 1.
e
ln e2x − ex + 1
lim =2 Comme
x→+∞ x
1 1
Exercice 3 lim (f (x)−y) = lim (x−2)2 − (x−2)3 +o (x − 2)3 = 0+
x→2 x→2 6 6
D´terminer le D´veloppement Limit´ au voisinage de l’ori-
e e e alors la courbe repr´sentative de f est au dessus de la tan-
e
1
gine et ` l’ordre 4 de la fonction r´elle x → (e−x + x) 3 .
a e gente y = 1 au point (0, 1).

4. ´
Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle Final /Math´matiques I / MQ I / M 6
e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007
e Page 4
f est trois fois d´rivable au point 2 et on a :
e
f (2) = 0
f (2) 1 1
= ⇐⇒ f (2) =
2! 6 3
f (3) 1
=− ⇐⇒ f (3) = −1
3! 6
Comme f (2) = 0 alors le point (2, 1) est un point cri-
tique de f ,
Comme f (2) = 0 et le premier exposant de l’´quivalence
e
susmentionn´e est paire ((x − 2)2 ), alors f pr´sente un ex-
e e
tremum en ce point et comme en plus le coefficient de cet
exposant est 1 > 0, alors la courbe repr´sentative de f
6 e
pr´sente un minimum relatif au point (2, 1),
e
Comme la courbe repr´sentative de f pr´sente un mini-
e e
mum relatif au point (2, 1) alors f est convexe au voisinage
de ce point.