´                 Universit´ Mohammed V-Agdal                          e                                   Printemps–Et´ 2...
´Prof. Amale LAHLOU             Corrig´ du Contrˆle Final /Math´matiques I / MQ I / M 6                                   ...
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Exam 0607-corrige

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Exam 0607-corrige

  1. 1. ´ Universit´ Mohammed V-Agdal e Printemps–Et´ 2006/2007 e Facult´ des Sciences Juridiques, e Section : A & B www.tifawt.com ´ Semestre : S2 Exercice 3 :www.fsjesr.ac.ma Economiques et Sociales, Rabat ´Fili`re de Sciences Economiques et de Gestion e D´terminer le D´veloppement Limit´ au voisinage de l’ori- e e e gine et ` l’ordre 4 de la fonction r´elle d´finie par : a e e Module 6 : M´thodes Quantitatives I e 1 f (x) = (e−x + x) 3 . Mati`re e : Math´matiques I e Indication : Au voisinage de l’origine, Professeure Amale LAHLOU 1 2 1 1 eu = 1+u+ u + u3 + u4 + o(u4 ) Corrig´ du Contrˆle Final e o 2! 3! 4! 1 1 1 (1 + u) 3 = 1 + u − u2 + o(u2 ) 3 9 ´ Enonc´ e Exercice 4 : Exercice 1 Soit une fonction r´elle f de classe C ∞ sur son domaine de e On consid`re la fonction r´elle f d´finie par : e e e e e ´ d´finition et Cf sa courbe repr´sentative. Etant donn´ son e D´veloppement Limit´ ` l’ordre 3 au voisinage du point e e a 1 1 d’abscisse 2 : +x− −x f (x) = x x . x + |x| 1 1 f (x) = 1 + (x − 2)2 − (x − 2)3 + o (x − 2)3 6 6 1. D´terminer Df , le domaine de d´finition de f ; e e ´tudier localement la fonction f en ce point : e 2. la fonction f est-elle prolongeable par continuit´ ` e a l’origine ? Si oui, donner son prolongement sur Df ∪ {0}. f est-elle continue ou prolongeable par continuit´ au e point 2 (on notera aussi par f son prolongement) ? Exercice 2 : D´terminer un ´quivalent de f au voisinage du point e e d’abscisse 2, On consid`re la fonction r´elle g d´finie sur R par : e e e D´terminer l’´quation de la tangente au point d’abs- e e cisse 2, g(x) = e−x . D´terminer la position de Cf par rapport ` la tan- e a 1. Montrer que l’´quation g(x) = 2 − x admet une solu- e gente au point d’abscisse 2, tion unique sur [−2 ln(2), − ln(2)] (on a ln(2) 0.7) ; D´terminer les 3 premi`res d´riv´es de f au point 2, e e e e 2. Soit un r´el x < 0. e Cf pr´sente t-elle un extremum local au point d’abs- e (a) Appliquer le Th´or`me des Accroissements Fi- e e cisse 2 ? nis ` g sur [x, 0] ; a Cf pr´sente t-elle un point d’inflexion au point d’abs- e (b) D´terminer le(s) point(s) le v´rifiant ; e e cisse 2 ? ´ Etudier la convexit´ de f au voisinage du point d’abs- e (c) Comparer les trois termes : cisse 2. x, 1 − e−x et xe−x R´ponse e 3. La fonction r´elle h d´finie par e e Exercice 1 h(x) = (1 + x)e−x Consid´rons la fonction r´elle f d´finie par : e e e est de classe C ∞ sur R. (a) Par un raisonnement par r´currence, montrer e 1 1 qu’il existe deux suites r´elles de termes g´n´raux : e e e +x− −x f (x) = x x . x + |x| an = (−1)n et bn = (−1)n (1 − n) 1. D´terminons le domaine de d´finition de f . e e telles que la d´riv´e d’ordre n ∈ N de la fonction e e h s’´crit : e Soit x ∈ R. On remarque que si x < 0, alors x + |x| = 0 et (n) −x par cons´quent Df ⊆ R∗ . Ainsi, pour x > 0 on a : e + h (x) = (an x + bn )e ; 1 1 (b) Quelle est la valeur de g (2007) (0) ? +x− −x f (x) = x x . 4. En utilisant la r`gle de l’Hospital, calculer la limite e 2x suivante : ln e2x − ex + 1 lim x→+∞ x
  2. 2. ´Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle Final /Math´matiques I / MQ I / M 6 e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007 e Page 2Donc, Ceci veut dire que l’´quation e 1 1 e−x = 2 − x x ∈ Df ⇐⇒ x > 0, +x 0 et −x 0 x x 1 admet au moins une solution dans l’intervalle ]−2 ln(2), − ln(2)[. ⇐⇒ x > 0 et −x 0 Or, x ⇐⇒ x > 0 et 1 − x2 0 f (x) = 1 − e−x < 0, ∀x < 0 ⇐⇒ x > 0 et (1 − x)(1 + x) 0 et par suite f est strictement d´croissante sur [−2 ln(2), − ln(2)]. e ⇐⇒ x > 0 et 1−x 0 Ainsi, la solution trouv´e de l’´quation e−x = 2 − x est e e unique sur ] − 2 ln(2), − ln(2)[. ⇐⇒ x ∈]0, 1]Ainsi, Df =]0, 1]. 2. Soit un r´el x < 0. e ´2. Etudions la continuit´ ` droite de l’origine. ea (a). Appliquons le Th´or`me des Accroissements Finis e e (T.A.F.) ` g sur [x, 0]. aLa fonction f est continue sur l’intervalle Df =]0, 1] puisquec’est la compos´e de fonctions continues sur cet intervalle. e La fonction g est continue sur [x, 0] pour tout x < 0 et d´rivable sur ]x, 0[ avec, g (x) = −e−x . e 1 +x− 1 −x D’apr`s T.A.F., il existe au moins c ∈]x, 0[ tel que : e x x lim+ f (x) = lim+ x→0 x→0 2x g(0) − g(x) = (0 − x)g (c) 1 1 x +x− x +x = lim i.e., x→0+ 1 1 2x x +x+ x −x 1 − e−x = xe−c . 1 (b). D´terminons le(s) point(s) v´rifiant le T.A.F. On a e e = lim x→0+ 1 +x+ 1 −x D’apr`s la question (a) : c ∈] − 2 ln(2), − ln(2)[ et e x x 1 1 − e−x = lim+ 1 − e−x = xe−c ⇐⇒ e−c = x→0 1 +x+ 1 −x x x x 1 − e−x = 0∈R ⇐⇒ c = − ln xdonc, la fonction f est prolongeable par continuit´ ` droite ea (c). Comparons les trois termes x, 1 − e−x et xe−x .au point d’abscisse 0 et son prolongement sur [0, 1] est D’apr`s la question (a), le point c v´rifiant le T.A.F. est e edonn´ par : e tel que :  x < c < 0 =⇒ 1 < e−c < e−x  1 1  x +x− x −x f (x) = 0<x 1 =⇒ xe−x < xe−c < x (car x < 0)  2x  =⇒ xe−x < 1 − e−x < x 0 x=0 On remarque qu’on a l’´galit´ des trois termes au point 0. e eExercice 2 D’o`, u ∀ x 0, xe−x 1 − e−x xConsid´rons la fonction r´elle g d´finie sur R par : e e e 3. Soit la fonction r´elle h d´finie par : e e g(x) = e−x . h(x) = (1 + x)e−x .1. Montrons que l’´quation g(x) = 2 − x admet une solu- etion unique sur le segment [−2 ln(2), − ln(2)]. (a). Par un raisonnement par r´currence, montrons qu’il e existe deux suites r´elles de termes g´n´raux e e ePosons la fonction : an = (−1)n et bn = (−1)n (1 − n) −x f (x) = g(x) − 2 + x = e − 2 + x. telles que la d´riv´e d’ordre n de la fonction h s’´crit : e e eCette fonction est continue sur le segment [−2 ln(2), − ln(2)] h(n) (x) = (an x + bn )e−xet v´rifie en plus, e V´rifiation : Pour n = 0 e f (−2 ln(2)) = 2(1 − ln 2) > 0 f (− ln(2)) = − ln(2) < 0 h(0) (x) = (a0 x + b0 )e−x = (x + 1)e−x = h(x) (vraie)Alors, d’apr`s le Th´or`me des Valeurs Interm´diaires, il e e e e Hypoth`se de r´currence : On suppose que la propri´t´ est e e eeexiste au moins c ∈] − 2 ln(2), − ln(2)[ tel que vraie ` l’ordre n : a f (c) = 0 i.e., e−c = 2 − c. h(n) (x) = (an x + bn )e−x = ((−1)n x + (−1)n (1 − n)) e−x
  3. 3. ´Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle Final /Math´matiques I / MQ I / M 6 e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007 e Page 3D´monstration : On montre que la propri´t´ est vraie ` e ee a On sait que :l’ordre (n + 1) : x2 x3 x4 (n+1) −x e−x = 1−x+ − + + o(x4 ) h (x) = (an+1 x + bn+1 )e 2! 3! 4! = (−1)n+1 x + (−1)n+1 (1 − (n + 1)) e−x x2 x3 x4 e−x + x = 1 + − + + o(x4 ) n+1 n −x 2 6 24 = (−1) x + (−1) n e x2 x3 x4 Posons X = 2 − 6 + 24 , quand x → 0 alors X → 0 etavec, 1 1 (e−x + x) 3 = (1 + X) 3 an+1 = (−1)n+1 bn = (−1)n+1 (1 − (n + 1)) = (−1)n n 1 1 = 1 + X − X 2 + o(X 2 ) 3 9En effet, 1 x2 x3 x4 = 1+ − + 3 2 6 24 h(n+1) (x) = h(n) (x) x2 1x3 x4 2 − − + + o(x4 ) = an e−x − (an x + bn )e−x 2 96 24 = (−an x + an − bn )e−x x2 x3 x4 = 1+ − + = (an+1 x + bn+1 )e−x 6 18 72 2 2 2 1 x x x2avec − 1− + + o(x4 ) 9 2 3 12 an+1 = −an = −(−1)n = (−1)n+1 1 x2 x3 x4 x4 bn+1 = an − bn = (−1)n − (−1)n (1 − n) = (−1)n n (e−x + x) 3 = 1+ − + − + o(x4 ) 6 18 72 36Conclusion : x2 x3 x4 = 1+ − − + o(x4 ) 6 18 72 h(n) (x) = (an x + bn )e−x ∀n ∈ N Ainsi,avec 1 x2 x3 x4 an = (−1)n (e−x + x) 3 = 1 + − − + o(x4 ). 6 18 72 bn = (−1)n (1 − n) Exercice 4(b). Calculons la valeur de h(2007) (0). ´ Etudions localement la fonction d´finie par son D´veloppement e e (2007) 2007 h (0) = (−1) (1 − 2007) = 2006 Limit´ au voisinage du point d’abscisse 2 : e4. En utilisant la r`gle de l’Hospital, calculons la limite e 1 1 f (x) = 1 + (x − 2)2 − (x − 2)3 + o (x − 2)3suivante : 6 6 ln e2x − ex + 1 Si 2 ∈ Df alors la fonction f est continue au point 2 et lim x→+∞ x f (2) = 1. +∞Cette limite est une Forme Ind´termin´e e e +∞ . Si 0 ∈ Df alors la fonction f est prolongeable par conti- ln e2x − ex + 1 2x 2e − e x nuit´ au point 2 et son prolongement est donn´ par : e e lim = lim x→+∞ [x] x→+∞ e2x − ex + 1 f (x) x ∈ Df ˜ f (x) = 1 x=2Posons le changement de variable X = ex , ainsi si x → +∞alors X → +∞ et (Dans ce cas, on notera dans toute la suite le prolongement ˜ de f par tout simplement f au lieu de f ). ln e2x − ex + 1 2X 2 − X lim = lim x→+∞ [x] X→+∞ X 2 − X + 1 On peut d´terminer un ´quivalent de f au voisinage de e e 2X2 2: = lim 1 X→+∞ X2 (x − 2)2 . f (x) − 1 ∼2 6 = 2 L’´quation de la tangente au point d’abscisse 2 est eAinsi, donn´e par y = 1. e ln e2x − ex + 1 lim =2 Comme x→+∞ x 1 1Exercice 3 lim (f (x)−y) = lim (x−2)2 − (x−2)3 +o (x − 2)3 = 0+ x→2 x→2 6 6D´terminer le D´veloppement Limit´ au voisinage de l’ori- e e e alors la courbe repr´sentative de f est au dessus de la tan- e 1gine et ` l’ordre 4 de la fonction r´elle x → (e−x + x) 3 . a e gente y = 1 au point (0, 1).
  4. 4. ´Prof. Amale LAHLOU Corrig´ du Contrˆle Final /Math´matiques I / MQ I / M 6 e o e S 2 / Session : Printemps–Et´ 2006-2007 e Page 4 f est trois fois d´rivable au point 2 et on a : e f (2) = 0 f (2) 1 1 = ⇐⇒ f (2) = 2! 6 3 f (3) 1 =− ⇐⇒ f (3) = −1 3! 6 Comme f (2) = 0 alors le point (2, 1) est un point cri-tique de f , Comme f (2) = 0 et le premier exposant de l’´quivalence esusmentionn´e est paire ((x − 2)2 ), alors f pr´sente un ex- e etremum en ce point et comme en plus le coefficient de cetexposant est 1 > 0, alors la courbe repr´sentative de f 6 epr´sente un minimum relatif au point (2, 1), e Comme la courbe repr´sentative de f pr´sente un mini- e emum relatif au point (2, 1) alors f est convexe au voisinagede ce point.

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