CHAPITRE II CALCUL DES PORTIQUES  PAR LA  MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS HEI 4 BTP Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 590...
<ul><li>Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargé...
II. Conventions de signes sur les éléments poutres <ul><li>II.3 Forces extérieures   </li></ul>II.2 Eléments de réduction ...
III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {  } ...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire <ul><li>IV.1 En repère local </li></ul><ul><li>Matrice de rigidité...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selo...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selo...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selo...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selo...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selo...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selo...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local Conclusion  : La matrice de rigidité de l’é...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère local Cas particuliers  : La poutre est rigide-ar...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère global Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire : ...
IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire   IV.1 En repère global On a la relation de rigidité en repère loc...
V. Transformation des chargements en forces nodales La relation {F}=[K e ].{  } qu’on doit résoudre n’est valable que lor...
VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds s’écriro...
VII. Effet thermique sur les poutres Les expressions en repère local des forces de blocage  sont les suivantes : La relati...
VIII. Tableau de localisation … . … . … . … . … . … . … . … . … . … .    4EI/L 6EI/L 2 12EI/L 3 EA/L j i e
 
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Calcul Des Structures Portiques Methode Des Deplacements Jexpoz

  1. 2. CHAPITRE II CALCUL DES PORTIQUES PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS HEI 4 BTP Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex
  2. 3. <ul><li>Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans ce plan. </li></ul><ul><li>Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud. </li></ul><ul><li>Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit ainsi que les nœuds sont rigides. </li></ul>I. Définitions II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.1 Déplacements des nœuds En un nœud i d’une poutre, le déplacement  i à 3 composantes (ou 3 degrés de liberté) u 2 v 2  2 u 1 v 1  1
  3. 4. II. Conventions de signes sur les éléments poutres <ul><li>II.3 Forces extérieures </li></ul>II.2 Eléments de réduction Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections extrêmes, les sens positifs sont les suivants: N 2 T 2 µ 2 N 1 T 1 µ 1 X 2 Y 2 M 2 X 1 Y 1 M 1
  4. 5. III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {  } s’écriront: Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément poutre, c’est-à-dire:  dimension 6x6
  5. 6. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire <ul><li>IV.1 En repère local </li></ul><ul><li>Matrice de rigidité due aux efforts selon x * (cf chapitre précédent) </li></ul>Soit:
  6. 7. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z * On impose une rotation  1 au nœud 1 en bloquant les autres déplacements Le moment M 1 nécessaire pour produire  1 est (p 21) :  Mt /1=0  M 1 +M 2 +Y 2 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 Il produit un moment M 2 au nœud 2 : M 2 M 1 1 2  1 1 2 Y 1 Y 2
  7. 8. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z * De même, on impose une rotation  2 au nœud 2 en bloquant les autres déplacements Le moment M 2 nécessaire pour produire  2 est :  Mt /2=0  M 1 +M 2 -Y 1 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 Il produit un moment M 1 au nœud 1 : M 2 M 1 2 1  2 2 1 Y 1 Y 2
  8. 9. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z * En superposant les deux cas, on obtient:
  9. 10. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y * On impose un déplacement v 1 au nœud 1 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments (2.4 p 23)  Mt /2=0  M 1 +M 2 -Y 1 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 1 2 v 1 M 2 M 1 1 2 Y 1 Y 2
  10. 11. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y * De même, on impose un déplacement v 2 au nœud 2 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments  Mt /1=0  M 1 +M 2 +Y 2 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 2 1 v 2 M 2 M 1 2 1 Y 1 Y 2
  11. 12. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y * En superposant les deux cas, on obtient:
  12. 13. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):
  13. 14. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide (p 63-65) IV.2 En repère global La matrice de rotation est la suivante: Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations:
  14. 15. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire : De même, on a : En repère local, la relation de rigidité s’écrit : On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :
  15. 16. IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global On a la relation de rigidité en repère local : et : De plus : La relation de rigidité en repère global s’écrit :   Ou encore : Comme on a :
  16. 17. V. Transformation des chargements en forces nodales La relation {F}=[K e ].{  } qu’on doit résoudre n’est valable que lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds. Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être décomposée en forces nodales appelées forces de blocage . On cherche donc à déterminer  i et  j qui correspondent aux réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75). M 2 M 1 Y 1 Y 2 p 2 1 l M 2 M 1 Y 1 Y 2 p 2 1 l
  17. 18. VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds s’écriront: Où  i et  j sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent directement les nœuds i et j : Forces de blocage Forces de raideur
  18. 19. VII. Effet thermique sur les poutres Les expressions en repère local des forces de blocage sont les suivantes : La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit alors :
  19. 20. VIII. Tableau de localisation … . … . … . … . … . … . … . … . … . … .    4EI/L 6EI/L 2 12EI/L 3 EA/L j i e

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