Chapitre 15 – Options et actifs conditionnels           Plan           Fonctionnement des options           Utilisation de...
Fonctionnement des options       Ø Même principe qu’un contrat à terme             Sous-jacent, prix d’exercice et date d’...
Les options sur les marchés organisés       Ø Fait correspondre acheteurs et vendeurs         (compensation)       Ø Prix ...
Exemple                                                           Call                                    Put             ...
Valeur intrinsèque et valeur temps           Valeur intrinsèque             w   Valeur d’une option si elle arrivait à exp...
Utilisation des options                                                       Profil de gain dun call                     ...
Taux de rentabilité d’un portefeuille:                                                             3 stratégies différente...
Stratégie Action + Put    Ø Achat d’actions + puts de l’action    Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’action        ...
Stratégie Actif sans risque + Call    Ø Placement en actif sans risque + calls sur action.    Ø Le portefeuille garantit l...
La relation de parité put – call        Ø   Action + put au prix d’exercice E ó Actif sans risque au            nominal de...
Exemple 1        Ø   S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10        Ø   C devra être de 17.41 €        Ø   Si le ca...
Parité put – call et implications                                                              E                          ...
Volatilité et valeur des options    Ø   Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les        gains espérés sur le...
Le modèle à deux états           Hypothèses           Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l’issue de l’éch...
Le modèle à deux états (suite)           Call : dans 1 an            Cours de l’action Gain sur le call                   ...
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Le modèle à deux états : conclusion     Ø   Évaluation du prix d’un call sans le prix du put         correspondant     Ø  ...
La réplication dynamique et le modèle binomial  Ø   Deux périodes; l’action peut monter ou baisser de 10 € à chaque périod...
Modèle de Black et Scholes             Ø   L’investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu            C = ...
Modèle de Black et Scholes        Ø   Les déterminants du prix des options                  Augmentation                  ...
Volatilité implicite              Valeur qui égalise la valeur de marché de               l’option et valeur obtenue par l...
Indice de volatilité du CAC 40 à 1 mois (VX1), janvier 1994 - août 2002.               80                                 ...
Théorie des options appliquée à la finance                                d’entreprise              Ø   La formule de la v...
Évaluation des cautions et garanties         Ø   Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque         Ø   Com...
Autres applications de la théorie des options         Ø   Renégociation de taux d’intérêt d’emprunt         Ø   Crédit-bai...
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Chap13 Options Et Actifs Conditionnels

  1. 1. Chapitre 15 – Options et actifs conditionnels Plan Fonctionnement des options Utilisation des options La parité put-call Volatilité et valeur des options Les modèles de détermination de prix d’option w Modèle à deux états w Réplication dynamique et modèle binomial w Modèle de Black et Scholes Autres applications de la théorie des options 1Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  2. 2. Fonctionnement des options Ø Même principe qu’un contrat à terme Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance Ø Sans obligation d’achat ou de vente Ø Option d’achat (call) ou de vente (put) 2Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  3. 3. Les options sur les marchés organisés Ø Fait correspondre acheteurs et vendeurs (compensation) Ø Prix et date d’échéance sont déterminés par le marché Sous-jacent, prix d’exercice et date d’échéance Ø Sans obligation d’achat ou de vente Ø Option d’achat (call) ou de vente (put) Ø Portent sur les actions, sur les indices, sur tout... 3Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  4. 4. Exemple Call Put Prix Echéance Nombre de Cours de Positions Nombre de lots Cours de Positions dexercice lots négociés clôture ouvertes négociés clôture ouvertes 85,00 Juil. 0 0,00 134 0 0,00 16 367 85,00 Août 0 0,00 67 0 0,00 8 305 85,00 Sept. 0 0,00 134 90 4,00 53 489 85,00 Déc. 0 0,00 526 50 6,70 17 872 85,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 10 050 90,00 Juil. 0 0,00 12 294 1 288 1,32 36 443 90,00 Août 0 0,00 8 1 010 4,70 13 072 90,00 Sept. 0 0,00 3 046 8 6,20 39 884 90,00 Déc. 50 10,40 23 257 10 8,40 31 229 90,00 Mar. 01 0 0,00 250 0 0,00 0 95,00 Juil. 0 0,00 10 267 0 0,00 13 356 95,00 Août 10 3,00 12 217 30 7,45 3 132 95,00 Sept. 0 0,00 10 739 0 0,00 4 762 95,00 Déc. 100 8,10 1 027 0 0,00 1 863 95,00 Mar. 01 0 0,00 0 0 0,00 29 100,00 Juil. 0 0,00 53 829 80 11,00 7 838 100,00 Août 0 0,00 4 882 80 12,00 8 165 100,00 Sept. 3 3,20 77 100 4 000 12,83 38 335 100,00 Déc. 0 0,00 56 093 30 000 15,92 201 995 100,00 Mar. 01 0 0,00 14 000 0 0,00 0 Extrait des cours d’option sur l’action Vivendi, 25 juillet 2000 4Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  5. 5. Valeur intrinsèque et valeur temps Valeur intrinsèque w Valeur d’une option si elle arrivait à expiration immédiatement Valeur temps w Différence entre la valeur intrinsèque et le cours de clôture négocié Valeur intrinsèque nulle w L’option est dite hors de la monnaie. Valeur intrinsèque positive w L’option est dite dans la monnaie. 5Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  6. 6. Utilisation des options Profil de gain dun call 120 Gain issu de lexercice du call 100 Le prix d’exercice est de 100. 80 60 Notons S T le prix de l’action à échéance 40 de l’option. 20 0 Profil de gain dun put 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de laction à échéance 120 Gain issu de lexercice du put 100 80 ØLe gain sur le call est égal au maximum 60 de [ST-100 ; 0]. Si le prix de l’action < 100, 40 le call ne vaut rien. 20 ØLe gain sur le put est égal au maximum 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 de [100-S T ; 0]. Si le prix de l’action > 100, Cours de laction à échéance le put ne vaut rien. 6Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  7. 7. Taux de rentabilité d’un portefeuille: 3 stratégies différentes Profils de gains correspondant à différentes stratégies •Tendance haussière du marché (tendance haussière) •1 action = 100 € / 1 option = 10 € 140 120 100% dactions 100 100% doptions calls Taux de rentabilité du 80 10%doptions calls •100 000 € en actions sans dividendes portefeuille (%) 60 (100% d’actions) 40 20 •100 000 € en options (100% 0 -20 d’options) -40 -60 •10 000 € en options et le reste en -80 actif sans risque (10% d’options) -100 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Cours de laction à échéance Il faut déterminer ses propres anticipations (l’économie croissante, stable, en récession) et sa tolérance au risque. Minimum de rentabilité garantie dans la 3ème stratégie et pente de gain identique à celle d’un investissement en actions. 7Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  8. 8. Stratégie Action + Put Ø Achat d’actions + puts de l’action Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’action Profil de gain pour la stratégie action + put 200 Put Action 160 Action + Put 120 Gain 80 40 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de laction à léchéance 8Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  9. 9. Stratégie Actif sans risque + Call Ø Placement en actif sans risque + calls sur action. Ø Le portefeuille garantit la valeur de l’actif sans risque. Profil de gain pour la stratégie actif sans risque + call 200 Call Actif sans risque 160 Actif sans risque + call 120 Gain 80 40 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Cours de laction à léchéance 9Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  10. 10. La relation de parité put – call Ø Action + put au prix d’exercice E ó Actif sans risque au nominal de E + call au prix d’exercice de E. Ø D’après la loi du prix unique: S est le cours de l’action, E le prix d’exercice, E P la valeur de l’option de vente (put), S+P= +C r le taux sans risque, (1 + r ) T T la durée à l’échéance de l’option C la valeur de l’option d’achat (call). Ø Un call est composé de: E L’achat de l’action S, C=S− +P (1 + r ) T L’emprunt réalisé pour cet achat (levier), L’achat d’une assurance contre le risque de baisse (put) 10Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  11. 11. Exemple 1 Ø S = 100, E = 100, T = 1 an, r = 0.08 et P = 10 Ø C devra être de 17.41 € Ø Si le call est coté 18 €, que doit-on faire? ⇒ Vendre ses calls et acheter des calls synthétiques. Ø Call synthétique: achat d’une action à l’aide d’un emprunt de 92.59 €. Soit un coût de 7.41 € pour une action + achat d’un put à 10 €. Ø Bilan: Vente d’un call à 18 € - achat d’un call synthétique à 17.41 € = 0.59 € de gain. 11Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  12. 12. Parité put – call et implications E C−P= S− (1 + r ) T Ø Si le cours de l’action est égal à la valeur actuelle du prix d’exercice de l’option, alors le prix du call est égal au prix du put. Ø Si le cours de l’action est supérieur à la valeur actuelle du prix d’exercice de l’option, alors le prix du call est supérieur au prix du put. Ø Si le cours de l’action est inférieur à la valeur actuelle du prix d’exercice de l’option, alors le prix du put est supérieur au prix du call. 12Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  13. 13. Volatilité et valeur des options Ø Plus plus le prix du sous-jacent est volatil, plus les gains espérés sur le put ou le call augmentent. Ø Les prix respectifs du put et du call croissent en conséquence. 13Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  14. 14. Le modèle à deux états Hypothèses Une action peut prendre deux valeurs (deux états) à l’issue de l’échéance de l’option. On construit un call synthétique (action + actif sans risque) Exemple Call à 1 an : E = 100 €, cours actuel à 100 €. Perspectives d’évolution : + ou – 20% Taux sans risque : 5% 14Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  15. 15. Le modèle à deux états (suite) Call : dans 1 an Cours de l’action Gain sur le call 120 20 80 0 Call synthétique Action financée par un emprunt. On ne peut emprunter que sur une valeur garantie de l’action dans 1 an, soit 80 € / 1.05 = 76.19 €. Transaction Cash-flow Cash-flow Cash-flow immédiat dans 1 an dans 1 an si S = 120 si S = 80 Achat d’une action -100 120 80 Emprunt à taux sans risque 76.19 -80 -80 Portefeuille total -23.81 40 0 15Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  16. 16. Le modèle à deux états : ratio de couverture Ø Proportion d’actions dans le portefeuille qui réplique exactement les recettes du call Amplitude des valeurs de l option Ratio de couverture = Amplitude des valeurs de l action Ø Dans notre exemple : ratio de couverture = 0.5 Nous achetons une moitié d’action et empruntons 38.095 € à 5%. Actif Cash-flow Cash-flow Cash-flow immédiat dans 1 an dans 1 an si S = 120 si S = 80 Call 20 0 Achat d’1/2 action -50 60 40 Emprunt au taux sans risque 38.095 -40 -40 Call synthétique -11.905 20 0 16Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  17. 17. Le modèle à deux états : conclusion Ø Évaluation du prix d’un call sans le prix du put correspondant Ø D’après la loi du prix unique, C = 0.5 S – 38.095 = 11.905 € 17Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  18. 18. La réplication dynamique et le modèle binomial Ø Deux périodes; l’action peut monter ou baisser de 10 € à chaque période. Ø Stratégie d’investissement autofinancée Cours actuel de laction Cours de laction dans 6 mois Cours de laction dans 1 an Valeur finale du portefeuille Vente de laction 120 120 € Remboursement de lemprunt -100 Portefeuille total 20 110 € Achat d1/2 action Emprunt de 55 € Investissement total = 10 € 100 € Achat Vente de laction 100 d1/2 action Emprunt de 45 100 € Remboursement de lemprunt -100 € Investissement total = 5 Portefeuille total 0 € 90 € Vente d1/2 action Remboursement de lemprunt Investissement total = 0 € 80 € Portefeuille total 0 Ø Investissement initial = 5 € , le prix du call 18Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  19. 19. Modèle de Black et Scholes Ø L’investisseur ajuste le portefeuille de réplication en continu C = N ( d 1 ) S − N (d 2 ) E × e − rT ln( S / E) + (r + σ 2 / 2)T d1 = σ T où : C = prix du call d 2 = d1 − σ T S = cours de l’action E = prix d’exercice de l’option r = taux sans risque T = durée jusqu’à l’échéance de l’option, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) de l’action ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l’exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d). 19Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  20. 20. Modèle de Black et Scholes Ø Les déterminants du prix des options Augmentation Call Put Du cours de l’action S Augmentation Baisse Du prix d’exercice E Baisse Augmentation De la volatilité σ Augmentation Augmentation De la durée à l’échéance T Augmentation Augmentation Du taux sans risque r Augmentation Baisse Des dividendes versés d Baisse Augmentation 20Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  21. 21. Volatilité implicite Valeur qui égalise la valeur de marché de l’option et valeur obtenue par la formule d’évaluation des options 21Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  22. 22. Indice de volatilité du CAC 40 à 1 mois (VX1), janvier 1994 - août 2002. 80 Période dincertitude : contrecoups de la Affaires Enron, crise asiatique ; inquiétudes sur une Worldcom. Remous sur éventuelle récession mondiale ; craintes de Vivendi Universal. 70 faillite en série de banques ; réunion du G7 peu satisfaisante. 17 septembre 1998 : consécutivement à 60 une déclaration du président dAlcatel, Attentats du 11 septembre laction chute de près de 40%. sur le World Trade Center. 50 40 Rebondissement de la crise asiatique. 30 20 10 0 03/01/94 03/07/94 03/01/95 03/07/95 03/01/96 03/07/96 03/01/97 03/07/97 03/01/98 03/07/98 03/01/99 03/07/99 03/01/00 03/07/00 03/01/01 03/07/01 03/01/02 03/07/02 Source données : Monep - traitement C. Thibierge 22Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  23. 23. Théorie des options appliquée à la finance d’entreprise Ø La formule de la valeur des capitaux propres est: ln(V / B) + (r + σ 2 / 2)T CP = N (d 1 )V − N (d 2 ) B × e − rT d1 = σ T où : V = valeur de l’entreprise (valeur des actifs) d 2 = d1 − σ T CP = valeur des capitaux propres B = valeur de remboursement de la dette à l’échéance (ici, valeur nominale de l’emprunt obligataire) r = taux sans risque T = durée jusqu’à l’échéance de l’emprunt, en années σ = écart-type du taux de rentabilité annuel (en continu) des actifs ln = logarithme népérien (ou naturel) e = l’exponentielle (approximativement 2,71828) N(d) = Densité de probabilité cumulée de d (probabilité qu’un tirage au hasard dans une distribution normale centrée réduite soit inférieur à d.) 23Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  24. 24. Évaluation des cautions et garanties Ø Dette risquée + Garantie sur la dette = Dette sans risque Ø Comment évaluer cette garantie ? On compare la valeur actuelle de la dette sans garantie à celle d’un emprunt sans risque qui aurait les mêmes modalités de remboursement. Ø Valeur de la garantie = Valeur avec garantie – Valeur sans garantie 24Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002
  25. 25. Autres applications de la théorie des options Ø Renégociation de taux d’intérêt d’emprunt Ø Crédit-bail Ø Options de choix d’investissement: Option de démarrage ou d’abandon d’un projet Option de sous-traitance… 25Bodie Merton Thibierge - Chapitre 15 http://www.escp-eap.net/publications/bmt © Christophe Thibierge - 2002

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