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Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Cours d’ordonnancement
Adel ESSAFI

December 7, 2013

Adel ESSAFI

Cours d’ordonnancement
Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

PLAN
1

Chapitre I : Introduction

2

Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e

3

Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Crit`re de performance
e
m´thodes Exactes
e

4

Les algorithmes approch´s
e

5

Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

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Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Introduction : un ordonnancement c’est quoi?

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Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

D´finition
e

D´finition
e
Le probl`me d’ordonnancement consiste ` organiser dans le temps
e
a
la r´alisation d’un ensemble de tˆches, compte tenu de contraintes
e
a
temporelles (d´lais, contraintes d’enchainements, ...) et de
e
contraintes portant sur l’utilisation et la disponibilit´ des ressources
e
requises.

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Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Donn´es d’un probl`me d’ordonnancement
e
e

Les tˆches : Un ensemble de tˆches avec eventuellement des
a
a
contraintes ou de carat´riques sp´ciales.
e
e
Ressources : Un environnement de ressources pour effectuer
les tˆches
a
Fonction Objectif : Un crit`re d’optimisation
e
Objectif : D´terminer les ressources sur lesquelles les tˆches vont
e
a
s’ex´cuter ainsi que les dates de d´but d’ex´cution
e
e
e

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Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Exemple : Gestion des projets

Grands Projets
Chantiers de constructions
...........................

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Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Exemple : Ateliers

Ateliers simples (menuisier avec une seule machine )
Ateliers complexes (plusieurs ´tages s´quentiel / Parall`les )
e
e
e
...........................

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e
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e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Exemple : Administration

Gestions des ressources humaines
Emploi de temps
Gestions des pauses dans les centres d’appels
...........................

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Les algorithmes approch´s
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Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Exemple : Informatique

Partage des ressources (processeur) entre les processus
Partage des coeurs entre les processus
Gestion des ressources partag´s
e
Ordonnancement sur les plateformes de calcul distribu´s
e
(machines parall`les, grilles, cloud ...)
e

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e

Tˆches : propri´t´s
a
ee

Dur´e : d´pends des ressources / environnement
e
e
Ready date (date de d´but au plus tˆt) : c’est la date avant
e
o
laquelle la tˆche ne peut pas ˆtre ex´cut´es.
a
e
e e
Due date: c’est la date buttoire (impos´e par des intervenants
e
externes : contrainte ` respecter).
a
Nature de la tˆche : tˆche simple (s’ex´cute sur une
a
a
e
ressources unique), tˆches avec queue .....
a
D´pendances : Relation de pr´c´dence entre les tˆches
e
e e
a

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e

Tˆches : Illustration
a

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e

Tˆches : d´pendance
a
e

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e

Ressources

Machines qui ex´cutent les tˆches
e
a
Une ou plusieurs machines
Organisation : parall`le / s´rie (ordre de passage des tˆches )
e
e
a
Une ressource ex´cute une seule tˆche ` la fois
e
a
a

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Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Objectifs
Quelle est la fonction ` optimiser ?
a
Exemples (minimiser le temps):
Temps d’attente devant une chaisse (social?)
Nombre de tˆches en retards / retard maximal
a
La date de fin de la derni`re tˆche ex´cut´e
e a
e e
Moyenne des dates de fin d’ex´cution des tˆches
e
a
Exemples (minimiser l’utilisation des ressources):
Ordonnancement economique : utiliser le nombre minimal de
ressources
R´seau: Optimiser l’utilisation de la bande passante
e
Probl`me de transport : minimiser les distances parcourues.
e
....................
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Notations et D´finition
e
Graphe de tˆches G = (V , E )
a
V : ensemble de tˆches (instruction selon la granularit´)
a
e
E : ensemble d’arrˆtes (repr´sentent les liens entre ces tˆches
e
e
a
(associ´s au volume des donn´es ` transf´rer).
e
e a
e
Statique : Structures et volume connus a priori Dynamique : le
volule des donn´es est connu au fur et ` mesure du d´roulement
e
a
e
l’ex´cution
e
relation de pr´c´dence : relation d’ordre partiel
e e
Vi

Vj

La tˆche Vi doit s’ex´cuter enti`rement avant de commencer
a
e
e
l’ex´cutuion de Vj
e
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e

Notations et D´finition
e

Definition
Ordonnancer un syst`me de tˆches, c’est d´terminer les deux
e
a
e
applications π et σ o` π associe un processeur ` chaque tˆche et σ
u
a
a
leur associe un temps de d´but d’ex´cution.
e
e

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Notations

rj : release date
dj : due date
wj : poid de la tˆche Cj = σ(j) + pj : date de fin d’ex´cution
a
e
Lj = max(dj − Cj ) : retard Ui : date de retard

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Ordonnancement r´alisable
e

Un ordonnancement est r´alisable ssi
e
σ(j) ≥ σ(i) + pi + λ(i, j)
et ce pour tout (i, j) telque i j
λ(i, j) : temps n´cessaire au transfert de donn´e de Vi ` Vj
e
e
a

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e

Notation ` 3 champs
a

Le sch´ma de classification propos´ par (Graham et al, 1979).
e
e
Classification ` trois champs α|β|γ
a
α : environnement des machines β : les caract´ristiques des tˆches
e
a
γ : crit`re(s) ` optimiser
e
a

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Le champs α

Carat´rise les ressources
e
Compos´ de deux sous champs α1α2
e
Une seule machine ⇒ α1 = et α2 = 1
Machines parall`les : α1 ∈ {P, Q, R} et α2=nombre de
e
machines
Ateliers α1 ∈ {F , J, O}

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e

Le champs β

Carat´rise les tˆches
e
a
β = β1β2β3β4....
β1 = pmtn si la pr´emption des tˆches est autoris´e, sinon β1
e
a
e
est absent
S’il y a des contraintes de pr´c´dence entre les tˆches alors
e e
a
β2 ∈ {prec, chain, in − tree, out − tree}, sinon β2 est vide
β3 = rj si les dates de d´but au plus tˆt rj (ou dates de
e
o
disponibilit´) des tˆches ne sont pas forc´ment identiques
e
a
e
..................

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Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Le champs γ

fonction objectif : crit`re de performance
e
Cmax : Makespan
Lmax : Retard maximal
Wj Cj : Somme pond´r´es des dates de fin
ee
UJ : Nombre de tˆches en retards
a

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Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Introduction

Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une
e
question importante
Probl`me complexe : recherche d’un algorithme efficace
e
(optimal)
Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce
probl`me est NP-difficile
e

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Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Probl`me de calcul
e

Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une
e
question importante
Probl`me complexe : recherche d’un algorithme efficace
e
(optimal)
Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce
probl`me est NP-difficile
e

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e
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e
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e

Probl`me de calcul
e
Fonction h qui transforme toute entr´e x de taille |x| en une
e
sortie h(x).
Mesure d’efficacit´ : nombre d’instruction pour effectuer cette
e
transformation
Nombre d’instruction d´pend de la taille de x
e
Taille de l’entr´e : taille de la plus grande valeur en
e
repr´sentation binaire
e
Exemple : un entier a est represent´ sur log2 a bits
e
Exemple : un tableau de taille m est represent´ sur mlog2 a
e
bits o` a est le plus grand entier pr´sent
u
e
Objectif : D´terminer T (n) : Nombre d’instructions de h au pire
e
des cas.
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e
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Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

R`gles de calcul
e

Blocks cons´cutifs : on retient la complexit´ du plus grand
e
e
block
Brachement : On retient la complexit´ du plus grand block
e
parmis les blocks alernatifs
Voir cours complexit´ des algorithmes
e

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e

Notation en O

on note f = O(g ) ssi
∃C > 0 , ∃n0 telque ∀n > n0 , |f (n)| ≤ cg (n)

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e

Classes d’algorithmes

Polynomial
Pseudo-polynomial

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e
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e

Probl`me de d´cision
e
e

Un probl`me de d´cision est d´fini par:
e
e
e
un nom
des param`tres g´n´riques (Instance)
e
e e
une question.

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e

Probl`me de d´cision : Exemples
e
e

Probl`me PARTITION:
e
Instance:
A = a1 , ....., an
Question: Existe t-il un sous ensemble B de A telque
ai =
i∈B

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i∈A {B}ai

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e

Probl`me de d´cision : Exemples
e
e
Vertex Cover (Couvrant):
Instance:
Un Graphe G=(V,E)
Un Entier k Question: Existe t-il un un sous ensemble V de V de
taile k telque chaque arrete de E soit adjacente au moins ` un
a
´l´ment de V .
ee
Vertex Cover:

Minimum Vertex Cover:

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e
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e
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e
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e

D´finition des certificats
e

Etant donn´ un ´nonc´ I de longueur n, on se pose la question:
e
e
e
A partir de quelle information sur I , de longueur polynomiale en n,
peut-on v´rifier que I est ` r´ponse ”oui”?
e
a e
On appelle alors certificats de I les informations susceptibles de
permettre cette v´rification.
e
En anglais, si une instance a une reponse oui , elle est not´e
e
yes-instance.

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e
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e
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e

D´finition de l’algorithme de v´rification
e
e

On construit un algorithme de v´rification V , dont les donn´es
e
e
sont les couples (I , c) o` c est une instance de I, tel que :
u
si I est une entr´e valide du probl`me, alors, il existe un
e
e
certificat c tel que V r´pond oui pour la donn´e (I,c)
e
e
si I n’est une entr´e valide du probl`me, V r´pond non pour
e
e
e
toute donn´e (I,c)
e
V est de complexit´ polynomiale la taille de I
e

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e
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e

R´duction de KARP
e

Soient L1 et L2 deux langages sur un alphabet Σ.
Une fonction τ de Σ ∗ vers Σ ∗ est une r´duction de L1 vers L2 ssi:
e
∀x ∈ Σ ∗ , x ∈ L1 ⇔ τ (x) ∈ L2
τ est une transformation polynomiale

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e
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e
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e

R´duction de probl`mes
e
e

Soient π et π deux probl`me
e
π se reduit ` π , not´ π ∝ π ssi :
a
e
τ transforme toute instance positive de π en un instance positive
de π et transforme toute instance n´gative de π en un instance
e
n´gative de π .
e
⇒ : π est au moins aussi difficile que π.
La r´duction est une relation d’ordre entre les probl`mes
e
e

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e
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e
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e
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e

Crit`re de performance
e
m´thodes Exactes
e

Ratio d’approximation

Le rapport d’approximation d’un algorithme A pour un probl`me
e
de minimisation :
ρA = inf {r ≥ 1 tel que ρA(I ) ≤ r }
pour toutes les instances I
wA (I )
: rapport de la valeur de l’objectif de A ` l’optimal
a
ρA(I ) = ∗
w (A)
pour l’instance I

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Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Crit`re de performance
e
m´thodes Exactes
e

Programmation lin´aire
e
Probl`me d’affectation des tˆches aux ressources:
e
a
Objectif :
min(maxk

aik pi )
i

Variables d’affectation
aik =

1 si la tˆche i est affect´e ` la machine k
a
e a
0 sinon.

Contraintes d’affectation : ∀i k aik = 1
Une tˆche est affect´e exactement ` 1 machine
a
e
a
Date de fin sur la machine k : i pi aik
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Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Crit`re de performance
e
m´thodes Exactes
e

Branch and Bound

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Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
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Algorithmes de liste

Priorit´ sur les tˆches : liste L
e
a
S´quencement glouton des tˆches
e
a
Si la ressource est libre, s´quencer la premi`re tˆche disponible
e
e a
de la liste
Principe glouton:ne pas laisser la ressource inoccup´e si des
e
tˆches sont disponibles
a
La liste sert ` arbitrer lorsque plusieurs tˆches sont disponibles
a
a
en mˆme temps
e

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Listes optimales

1||Ci : Liste SPT
1||Tmax : Liste EDD
1|ri |Cmax :∀ liste L

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e

Algorithme de Liste

1
Tout algorithme de liste a une garantie 2 − m pour Pm||Cmax
Borne atteinte avec SPT pour l’instance suivante :

m(m − 1) tˆches de dur´e 1
a
e
1 tˆche de dur´e m
a
e
Nous avons alors
Cmax (SPT ) = 2m − 1
∗
Cmax = m

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e

Algorithme LPT
Placer d’abord les tˆches les plus longues
a
Liste LPT (Largest Processing Time) : s´quence des taches par
e
dur´e d´croissante
e e
L’algorithme de liste LPT a une garantie 4/3 − 1/3m pour
Pm||Cmax et cette borne est atteinte
Instance limite:
m machines
2m + 1 tˆches de tailles
a
(2m − 1, 2m − 1, 2m − 2, 2m − 2, ...., m, m, m)
Pour cette instance nous avons,
Cmax (LPT ) = 4m − 1
∗
Cmax = 3m
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Notes de cours d'ordonnancement

  • 1. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Cours d’ordonnancement Adel ESSAFI December 7, 2013 Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 2. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e PLAN 1 Chapitre I : Introduction 2 Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e 3 Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e 4 Les algorithmes approch´s e 5 Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 3. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Introduction : un ordonnancement c’est quoi? Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 4. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e D´finition e D´finition e Le probl`me d’ordonnancement consiste ` organiser dans le temps e a la r´alisation d’un ensemble de tˆches, compte tenu de contraintes e a temporelles (d´lais, contraintes d’enchainements, ...) et de e contraintes portant sur l’utilisation et la disponibilit´ des ressources e requises. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 5. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Donn´es d’un probl`me d’ordonnancement e e Les tˆches : Un ensemble de tˆches avec eventuellement des a a contraintes ou de carat´riques sp´ciales. e e Ressources : Un environnement de ressources pour effectuer les tˆches a Fonction Objectif : Un crit`re d’optimisation e Objectif : D´terminer les ressources sur lesquelles les tˆches vont e a s’ex´cuter ainsi que les dates de d´but d’ex´cution e e e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 6. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Gestion des projets Grands Projets Chantiers de constructions ........................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 7. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Ateliers Ateliers simples (menuisier avec une seule machine ) Ateliers complexes (plusieurs ´tages s´quentiel / Parall`les ) e e e ........................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 8. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Administration Gestions des ressources humaines Emploi de temps Gestions des pauses dans les centres d’appels ........................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 9. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Exemple : Informatique Partage des ressources (processeur) entre les processus Partage des coeurs entre les processus Gestion des ressources partag´s e Ordonnancement sur les plateformes de calcul distribu´s e (machines parall`les, grilles, cloud ...) e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 10. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Tˆches : propri´t´s a ee Dur´e : d´pends des ressources / environnement e e Ready date (date de d´but au plus tˆt) : c’est la date avant e o laquelle la tˆche ne peut pas ˆtre ex´cut´es. a e e e Due date: c’est la date buttoire (impos´e par des intervenants e externes : contrainte ` respecter). a Nature de la tˆche : tˆche simple (s’ex´cute sur une a a e ressources unique), tˆches avec queue ..... a D´pendances : Relation de pr´c´dence entre les tˆches e e e a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 11. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Tˆches : Illustration a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 12. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Tˆches : d´pendance a e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 13. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Ressources Machines qui ex´cutent les tˆches e a Une ou plusieurs machines Organisation : parall`le / s´rie (ordre de passage des tˆches ) e e a Une ressource ex´cute une seule tˆche ` la fois e a a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 14. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Objectifs Quelle est la fonction ` optimiser ? a Exemples (minimiser le temps): Temps d’attente devant une chaisse (social?) Nombre de tˆches en retards / retard maximal a La date de fin de la derni`re tˆche ex´cut´e e a e e Moyenne des dates de fin d’ex´cution des tˆches e a Exemples (minimiser l’utilisation des ressources): Ordonnancement economique : utiliser le nombre minimal de ressources R´seau: Optimiser l’utilisation de la bande passante e Probl`me de transport : minimiser les distances parcourues. e .................... Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 15. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notations et D´finition e Graphe de tˆches G = (V , E ) a V : ensemble de tˆches (instruction selon la granularit´) a e E : ensemble d’arrˆtes (repr´sentent les liens entre ces tˆches e e a (associ´s au volume des donn´es ` transf´rer). e e a e Statique : Structures et volume connus a priori Dynamique : le volule des donn´es est connu au fur et ` mesure du d´roulement e a e l’ex´cution e relation de pr´c´dence : relation d’ordre partiel e e Vi Vj La tˆche Vi doit s’ex´cuter enti`rement avant de commencer a e e l’ex´cutuion de Vj e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 16. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notations et D´finition e Definition Ordonnancer un syst`me de tˆches, c’est d´terminer les deux e a e applications π et σ o` π associe un processeur ` chaque tˆche et σ u a a leur associe un temps de d´but d’ex´cution. e e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 17. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notations rj : release date dj : due date wj : poid de la tˆche Cj = σ(j) + pj : date de fin d’ex´cution a e Lj = max(dj − Cj ) : retard Ui : date de retard Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 18. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Ordonnancement r´alisable e Un ordonnancement est r´alisable ssi e σ(j) ≥ σ(i) + pi + λ(i, j) et ce pour tout (i, j) telque i j λ(i, j) : temps n´cessaire au transfert de donn´e de Vi ` Vj e e a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 19. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notation ` 3 champs a Le sch´ma de classification propos´ par (Graham et al, 1979). e e Classification ` trois champs α|β|γ a α : environnement des machines β : les caract´ristiques des tˆches e a γ : crit`re(s) ` optimiser e a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 20. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Le champs α Carat´rise les ressources e Compos´ de deux sous champs α1α2 e Une seule machine ⇒ α1 = et α2 = 1 Machines parall`les : α1 ∈ {P, Q, R} et α2=nombre de e machines Ateliers α1 ∈ {F , J, O} Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 21. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Le champs β Carat´rise les tˆches e a β = β1β2β3β4.... β1 = pmtn si la pr´emption des tˆches est autoris´e, sinon β1 e a e est absent S’il y a des contraintes de pr´c´dence entre les tˆches alors e e a β2 ∈ {prec, chain, in − tree, out − tree}, sinon β2 est vide β3 = rj si les dates de d´but au plus tˆt rj (ou dates de e o disponibilit´) des tˆches ne sont pas forc´ment identiques e a e .................. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 22. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Le champs γ fonction objectif : crit`re de performance e Cmax : Makespan Lmax : Retard maximal Wj Cj : Somme pond´r´es des dates de fin ee UJ : Nombre de tˆches en retards a Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 23. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Introduction Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une e question importante Probl`me complexe : recherche d’un algorithme efficace e (optimal) Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce probl`me est NP-difficile e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 24. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de calcul e Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une e question importante Probl`me complexe : recherche d’un algorithme efficace e (optimal) Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce probl`me est NP-difficile e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 25. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de calcul e Fonction h qui transforme toute entr´e x de taille |x| en une e sortie h(x). Mesure d’efficacit´ : nombre d’instruction pour effectuer cette e transformation Nombre d’instruction d´pend de la taille de x e Taille de l’entr´e : taille de la plus grande valeur en e repr´sentation binaire e Exemple : un entier a est represent´ sur log2 a bits e Exemple : un tableau de taille m est represent´ sur mlog2 a e bits o` a est le plus grand entier pr´sent u e Objectif : D´terminer T (n) : Nombre d’instructions de h au pire e des cas. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 26. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e R`gles de calcul e Blocks cons´cutifs : on retient la complexit´ du plus grand e e block Brachement : On retient la complexit´ du plus grand block e parmis les blocks alernatifs Voir cours complexit´ des algorithmes e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 27. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Notation en O on note f = O(g ) ssi ∃C > 0 , ∃n0 telque ∀n > n0 , |f (n)| ≤ cg (n) Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 28. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Classes d’algorithmes Polynomial Pseudo-polynomial Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 29. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de d´cision e e Un probl`me de d´cision est d´fini par: e e e un nom des param`tres g´n´riques (Instance) e e e une question. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 30. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de d´cision : Exemples e e Probl`me PARTITION: e Instance: A = a1 , ....., an Question: Existe t-il un sous ensemble B de A telque ai = i∈B Adel ESSAFI i∈A {B}ai Cours d’ordonnancement
  • 31. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Probl`me de d´cision : Exemples e e Vertex Cover (Couvrant): Instance: Un Graphe G=(V,E) Un Entier k Question: Existe t-il un un sous ensemble V de V de taile k telque chaque arrete de E soit adjacente au moins ` un a ´l´ment de V . ee Vertex Cover: Minimum Vertex Cover: Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 32. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e D´finition des certificats e Etant donn´ un ´nonc´ I de longueur n, on se pose la question: e e e A partir de quelle information sur I , de longueur polynomiale en n, peut-on v´rifier que I est ` r´ponse ”oui”? e a e On appelle alors certificats de I les informations susceptibles de permettre cette v´rification. e En anglais, si une instance a une reponse oui , elle est not´e e yes-instance. Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 33. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e D´finition de l’algorithme de v´rification e e On construit un algorithme de v´rification V , dont les donn´es e e sont les couples (I , c) o` c est une instance de I, tel que : u si I est une entr´e valide du probl`me, alors, il existe un e e certificat c tel que V r´pond oui pour la donn´e (I,c) e e si I n’est une entr´e valide du probl`me, V r´pond non pour e e e toute donn´e (I,c) e V est de complexit´ polynomiale la taille de I e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 34. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e R´duction de KARP e Soient L1 et L2 deux langages sur un alphabet Σ. Une fonction τ de Σ ∗ vers Σ ∗ est une r´duction de L1 vers L2 ssi: e ∀x ∈ Σ ∗ , x ∈ L1 ⇔ τ (x) ∈ L2 τ est une transformation polynomiale Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 35. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e R´duction de probl`mes e e Soient π et π deux probl`me e π se reduit ` π , not´ π ∝ π ssi : a e τ transforme toute instance positive de π en un instance positive de π et transforme toute instance n´gative de π en un instance e n´gative de π . e ⇒ : π est au moins aussi difficile que π. La r´duction est une relation d’ordre entre les probl`mes e e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 36. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e Ratio d’approximation Le rapport d’approximation d’un algorithme A pour un probl`me e de minimisation : ρA = inf {r ≥ 1 tel que ρA(I ) ≤ r } pour toutes les instances I wA (I ) : rapport de la valeur de l’objectif de A ` l’optimal a ρA(I ) = ∗ w (A) pour l’instance I Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 37. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e Programmation lin´aire e Probl`me d’affectation des tˆches aux ressources: e a Objectif : min(maxk aik pi ) i Variables d’affectation aik = 1 si la tˆche i est affect´e ` la machine k a e a 0 sinon. Contraintes d’affectation : ∀i k aik = 1 Une tˆche est affect´e exactement ` 1 machine a e a Date de fin sur la machine k : i pi aik Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 38. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Crit`re de performance e m´thodes Exactes e Branch and Bound Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 39. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Algorithmes de liste Priorit´ sur les tˆches : liste L e a S´quencement glouton des tˆches e a Si la ressource est libre, s´quencer la premi`re tˆche disponible e e a de la liste Principe glouton:ne pas laisser la ressource inoccup´e si des e tˆches sont disponibles a La liste sert ` arbitrer lorsque plusieurs tˆches sont disponibles a a en mˆme temps e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 40. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Listes optimales 1||Ci : Liste SPT 1||Tmax : Liste EDD 1|ri |Cmax :∀ liste L Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 41. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Algorithme de Liste 1 Tout algorithme de liste a une garantie 2 − m pour Pm||Cmax Borne atteinte avec SPT pour l’instance suivante : m(m − 1) tˆches de dur´e 1 a e 1 tˆche de dur´e m a e Nous avons alors Cmax (SPT ) = 2m − 1 ∗ Cmax = m Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 42. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Algorithme LPT Placer d’abord les tˆches les plus longues a Liste LPT (Largest Processing Time) : s´quence des taches par e dur´e d´croissante e e L’algorithme de liste LPT a une garantie 4/3 − 1/3m pour Pm||Cmax et cette borne est atteinte Instance limite: m machines 2m + 1 tˆches de tailles a (2m − 1, 2m − 1, 2m − 2, 2m − 2, ...., m, m, m) Pour cette instance nous avons, Cmax (LPT ) = 4m − 1 ∗ Cmax = 3m Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement
  • 43. Chapitre I : Introduction Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement e e Chapitre III : M´thodes de R´solution e e Les algorithmes approch´s e Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les e Adel ESSAFI Cours d’ordonnancement