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Asservissements
linéaires continus
LAJOUAD Rachid
PLAN
O Introduction
O Notions de signal
O Système
O Automatique
O Modélisation des systèmes physiques linéaires ou linéarisable
O équation différentielle, fonctions de transfert.
O Description temporelle et fréquentielle. Représentation et
analyse graphiques : Bode, Black, Nyquist.
O Stabilité, degré de stabilité (marges). Critère algébrique
(Routh).
O Précision des SLC asservis.
O Rapidité des SLC asservis.
O Performances et Correction des systèmes asservis :
O correcteurs P, PI, PD, PID, avance/retard;
O correction des systèmes à retard.
Introduction - signal
représentation physique de
l'information, qu'il convoie de
sa source à son destinataire.
• Microphone : Info physique : pression acoustique,
représentation de l’info : signal électrique
proportionnel
• Souris d’ordinateur : Info physique : déplacement,
clic, molette représentation de l’info : signal
électrique impulsionnel
Introduction - Système
On appelle « système » une
association structurée d'éléments
ayant une relation entre eux, de
façon à former un produit
remplissant une ou plusieurs
fonctions.
Introduction - Automatique
L'automatique est une science qui
traite:
• de la modélisation,
• de l'analyse,
• de l'identification
• et de la commande
des systèmes dynamiques.
Description d’un système
O Description temporelle
Système
e(t) s(t)
𝒂 𝒏
𝒅 𝒏
𝒔
𝒅𝒕 𝒏
+ ⋯ + 𝒂 𝟏
𝒅𝒔
𝒅𝒕
+ 𝒂 𝟎 𝒔 = 𝒃 𝒌
𝒅 𝒌
𝒆
𝒅𝒕 𝒌
+ ⋯ + 𝒃 𝟏
𝒅𝒆
𝒅𝒕
+ 𝒃 𝟎 𝒆
O Mise en équation : exemples
Détermination de la réponse
Méthode temporelle :
• résolution de l’équation
différentielle.
Méthode opérationnelle :
• Utilisation de la transformé de
Laplace.
Résolution temporelle
Détermination de la réponse
s
e
63 %

E
kE
Exemple : Système de 1er Ordre Exemple : Système 2nd ordre.
KE
D1
D2
T
Influence de l’amortissement
Caractéristiques temporelles :
• Temps de réponse à 5%
• Dépassement
• Constante de temps
• Pulsation de résonnance
𝝎 𝒓 = 𝟏 − 𝟐𝝃 𝟐 𝒕 𝒓 =
𝟏
𝝎 𝒐 𝝃
𝐥𝐧(
𝟏𝟎𝟎
𝒏
)
𝑫% = 𝟏𝟎𝟎𝒆
−𝝅𝝃
𝟏−𝝃 𝟐
Méthode opérationnelle
Détermination de la réponse
e(t) s(t) = L-1(S(p))
L(e(t)) =
E(p)
S(p) =
L(s(t))
Méthode classique (ordre
 2)
Méthode opérationnel
𝑭(𝒑) = 𝟎
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𝒇(𝒕)𝒆−𝒑𝒕dt
Fonction de transfert
O Notions de BO et BF.
O Avantages et inconvénients
O Détermination de la FTBF
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O Diagramme de Bode.
O Diagramme de Nyquist.
O Diagramme de Balck.
Notions sur BO et BF
C’est quoi?
Comparaison
entre boucle
ouverte (BO)
et boucle
fermée (BF).
Critères de
choix.
Calcul de la FTBF
A(p) : Chaine directe B(p) : Chaine de mesure
C(p) : Fonction de consigne
E(p) : La consigne (p) : l’erreur
S(p) : La sortie r(p) : le signal de mesure
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Diagramme de Black
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de diagrammes
Fonctions :
tf(), ltiview(), step(),
impulse(), lsim(), bode(),
nyquist(), nichols()
sous MATLAB
Stabilité des systèmes asservies
O Définitions
O Notion du point critique
O Conditions mathématique générale
O Critère algébrique de Routh
O Les marges de stabilité
Définitions
Stable
Asymptotiquement
Stable
Instable
Point critique
1 ( ) ( ) 0K p H p 
( ) 1T j K H    
1
( )
K H
Arg K H 
 

  
Conditions mathématique
générale
)(
)(
...
...
)( 0
01
1
1
01
1
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EpS n
n
n
n
m
m
m
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


 




















m
mm
mm
mm
dp
A
dp
A
dp
A
E
dpdpdpdp
cpcpcpcp
EpS
10
0
0
011
011
0
))()...()((
))()...()((
)(
td
i
i
eASi di est réel alors l’originale est
Si di est complexe alors di=a+j et di
*=a-j )cos(  tAeat
Il faut que les pôles soient à partie réelles négative
Critère de Routh-Hurwitz
0... 1
1
10  

nn
nn
ppp 
• Aucun des i n’est nul
• Tous les i sont de même signe
• Après construction du tableau suivant: les coefficients de la première
colonne sont de même signes
0 1 2 i
 paires 0 2 4 … 2i
 impaires 1 3 5 … 2i+1
1= (12-03)/1 2= (14-05)/1 … … ….
1= (13-21)/1 2= (15-31)/1 … … …
… …
Marges de stabilités
Marge de
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• Transmittance en dB pour
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loin de -180° pour un gain
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1 asservissements linéaires continus

  • 2. PLAN O Introduction O Notions de signal O Système O Automatique O Modélisation des systèmes physiques linéaires ou linéarisable O équation différentielle, fonctions de transfert. O Description temporelle et fréquentielle. Représentation et analyse graphiques : Bode, Black, Nyquist. O Stabilité, degré de stabilité (marges). Critère algébrique (Routh). O Précision des SLC asservis. O Rapidité des SLC asservis. O Performances et Correction des systèmes asservis : O correcteurs P, PI, PD, PID, avance/retard; O correction des systèmes à retard.
  • 3. Introduction - signal représentation physique de l'information, qu'il convoie de sa source à son destinataire. • Microphone : Info physique : pression acoustique, représentation de l’info : signal électrique proportionnel • Souris d’ordinateur : Info physique : déplacement, clic, molette représentation de l’info : signal électrique impulsionnel
  • 4. Introduction - Système On appelle « système » une association structurée d'éléments ayant une relation entre eux, de façon à former un produit remplissant une ou plusieurs fonctions.
  • 5. Introduction - Automatique L'automatique est une science qui traite: • de la modélisation, • de l'analyse, • de l'identification • et de la commande des systèmes dynamiques.
  • 6. Description d’un système O Description temporelle Système e(t) s(t) 𝒂 𝒏 𝒅 𝒏 𝒔 𝒅𝒕 𝒏 + ⋯ + 𝒂 𝟏 𝒅𝒔 𝒅𝒕 + 𝒂 𝟎 𝒔 = 𝒃 𝒌 𝒅 𝒌 𝒆 𝒅𝒕 𝒌 + ⋯ + 𝒃 𝟏 𝒅𝒆 𝒅𝒕 + 𝒃 𝟎 𝒆 O Mise en équation : exemples
  • 7. Détermination de la réponse Méthode temporelle : • résolution de l’équation différentielle. Méthode opérationnelle : • Utilisation de la transformé de Laplace.
  • 8. Résolution temporelle Détermination de la réponse s e 63 %  E kE Exemple : Système de 1er Ordre Exemple : Système 2nd ordre. KE D1 D2 T Influence de l’amortissement Caractéristiques temporelles : • Temps de réponse à 5% • Dépassement • Constante de temps • Pulsation de résonnance
  • 9. 𝝎 𝒓 = 𝟏 − 𝟐𝝃 𝟐 𝒕 𝒓 = 𝟏 𝝎 𝒐 𝝃 𝐥𝐧( 𝟏𝟎𝟎 𝒏 ) 𝑫% = 𝟏𝟎𝟎𝒆 −𝝅𝝃 𝟏−𝝃 𝟐
  • 10. Méthode opérationnelle Détermination de la réponse e(t) s(t) = L-1(S(p)) L(e(t)) = E(p) S(p) = L(s(t)) Méthode classique (ordre  2) Méthode opérationnel 𝑭(𝒑) = 𝟎 +∞ 𝒇(𝒕)𝒆−𝒑𝒕dt
  • 11.
  • 12. Fonction de transfert O Notions de BO et BF. O Avantages et inconvénients O Détermination de la FTBF O Diagrammes : O Diagramme de Bode. O Diagramme de Nyquist. O Diagramme de Balck.
  • 13. Notions sur BO et BF C’est quoi? Comparaison entre boucle ouverte (BO) et boucle fermée (BF). Critères de choix.
  • 14. Calcul de la FTBF A(p) : Chaine directe B(p) : Chaine de mesure C(p) : Fonction de consigne E(p) : La consigne (p) : l’erreur S(p) : La sortie r(p) : le signal de mesure FTBO : r(p) / E(p) FTBF : S(p) / E(p)
  • 15. Diagramme de Bode O Notion de décibel. O Diagramme d’amplitude et de phase Influence de l’amortissement -40 dB/décade -180°
  • 18. Méthodes numériques de tracé de diagrammes Fonctions : tf(), ltiview(), step(), impulse(), lsim(), bode(), nyquist(), nichols() sous MATLAB
  • 19. Stabilité des systèmes asservies O Définitions O Notion du point critique O Conditions mathématique générale O Critère algébrique de Routh O Les marges de stabilité
  • 21. Point critique 1 ( ) ( ) 0K p H p  ( ) 1T j K H     1 ( ) K H Arg K H       
  • 22. Conditions mathématique générale )( )( ... ... )( 0 01 1 1 01 1 1 0 pD pN E apapapa bpbbbpb EpS n n n n m m m n                          m mm mm mm dp A dp A dp A E dpdpdpdp cpcpcpcp EpS 10 0 0 011 011 0 ))()...()(( ))()...()(( )( td i i eASi di est réel alors l’originale est Si di est complexe alors di=a+j et di *=a-j )cos(  tAeat Il faut que les pôles soient à partie réelles négative
  • 23. Critère de Routh-Hurwitz 0... 1 1 10    nn nn ppp  • Aucun des i n’est nul • Tous les i sont de même signe • Après construction du tableau suivant: les coefficients de la première colonne sont de même signes 0 1 2 i  paires 0 2 4 … 2i  impaires 1 3 5 … 2i+1 1= (12-03)/1 2= (14-05)/1 … … …. 1= (13-21)/1 2= (15-31)/1 … … … … …
  • 24. Marges de stabilités Marge de gain • Transmittance en dB pour une phase = 180° Marge de phase • De combien la phase est loin de -180° pour un gain = 0dB