Traitement du signal
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Jamila BAKKOURY
Chap2 : outils mathématiques pour le TS
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Plan
• Introduction
• Séries de Fourier
• Transformée de Fourier
• Transformée de Laplace
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Séries de Fourier
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Un signal périodique de période
peut être décomposé en une somme
d’ondes sinusoïdales don...
Séries de Fourier
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fo =
1
T
Soit xT(t) un signal périodique de période . Son développement en séries
de Four...
Calcul des coefficient de Fourier :
Remarque :
•xT(t) pair  bn=0
•xT(t) impair  an=0
Séries de Fourier
ao =
1
T
xT t( ) ...
le développement en série de Fourier peut s’écrire:
où
En considérant la relation trigonométrique suivante:
avec
Acos(x)+ ...
- La représentation en cosinus est très importante car elle
correspond à la description des signaux en régime sinusoïdal
p...
Séries de Fourier
formules d’Euler :
xT t( ) = cn
n=−∞
+∞
∑ e
j 2πnfot( )
avec cn =
1
T
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−j×2πnfot( )
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−
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T
...
Relation entre les trois formes :
cos-sin cos complexe
0=n 0a 00 aA = 00 ac =
0>n nn b,a
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nnn baA +=
2
2
nn
n
nn
n
jba
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La transformée de Fourier est une extension de la décomposition
en série de Fourier pour les signaux non périodiques.
En e...
TF x(t){ } = X f( ) = x t( ) e− j2π ft
−∞
+∞
∫ dt
x t( ) = TF−1
X f( ){ } = X f( ) ej×2π ft
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+∞
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Linéarité :Linéarité :
( ) ( ) ( ) ( )fY.bfX.aty.btx.a F
+→←+
Homothétie :Homothétie :
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1
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a
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Décalage en temps et en fréquence :Décalage en temps et en fréquence :
Dérivation :Dérivation :
x t −t0( ) F
¬ → X f( ).e...
Produit de convolution :Produit de convolution : ( ) ( ) τττ dtyxtyxtytx −== ∫
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Transformée de Fourier & Systèmes :
Un SLTI est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t)
La transformée de Fourier d...
Théorème de Parseval :Théorème de Parseval :
Propriétés :Propriétés :
Transformée de Fourier
E = x2
(t)dt
−∞
+∞
∫ = X(f )
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Signal s(t)Signal s(t) Spectre fréquentiel S(f)Spectre fréquentiel S(f)
Réel quelconque Complexe (partie réelle paire, par...
• Échantillonnage idéal
• Transformée de Fourier
périodisation en fréquence
xe (t) = x(t)δT (t) = x(t) δ(t − kT) = x[kT]δ(...
Analyse spectrale
La transformée de Fourier est l’outil mathématique permettant d’obtenir une
représentation fréquentielle...
• Forme exponentielle du développement en série de Fourier d’un signal
périodique xT(t) de période T :
o cn.exp(jnωt) est ...
• Transformée de Fourier XT(f) d’un signal périodique xT(t) de période T :
• Le spectre d’un signal périodique est donc un...
• Forme réelle du développement en série de Fourier d’un signal périodique
xT(t) de période T :
Les coefficients an et bn ...
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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amplitude
Repré sentation en temps
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On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t),
l’opération * (notée également ⊗) définie par :
(x*h)...
Propriétés :
• Le produit de convolution est :
o commutatif: x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
o distributif : x(t)*[h(t)+g(t)]=x(t)*h(t...
Expression simplifiée :
Si x(t) et h(t) sont causaux,
Alors :
x τ( ) =0 ∀τ <0
h t −τ( ) =0 ∀τ >t




( )( ) ∫ −=
t
dt...
La convolution est une opération fondamentale de traitement du
signal.
Elle indique que la réponse d'un SL à l’instant t e...
Considérons l’exemple de x(t) et h(t) ci-dessous :
x(t)
t
h(t)
t
Produit de convolution
Interprétation graphique
h(τ)
τ
h(-τ)
τ
h(t-τ)
τt
Remarque : le signal h(t-τ) est tout simplement
le signal initial h(τ), retourné dans le temps
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Interprétation graphique
x(τ).h(t-τ)
τt
h(t-τ)
La surface hachurée représente : ∫
+∞
∞−
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Remarqu...
Domaine
temporel
Domaine
fréquentiel
Variable : t Variable : f
Convolution Produit
e(t) → s(t) = ? E(f) → S(f) = ?
T. de F...
Interprétation graphique
x(τ).h(t-τ)
τt
h(t-τ)
La surface hachurée représente : ∫
+∞
∞−
−= τττ dthxthx ).().())(*(
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  1. 1. Traitement du signal Page 1SEER1-TS Jamila BAKKOURY
  2. 2. Chap2 : outils mathématiques pour le TS SEER1-TS 2
  3. 3. Plan • Introduction • Séries de Fourier • Transformée de Fourier • Transformée de Laplace 3SEER1-TS
  4. 4. Séries de Fourier Page 4SEER1-TS Un signal périodique de période peut être décomposé en une somme d’ondes sinusoïdales dont les fréquences sont multiples de fréquence Joseph Fourier (1768-1830) fo = 1 T T
  5. 5. Séries de Fourier Page 5SEER1-TS fo = 1 T Soit xT(t) un signal périodique de période . Son développement en séries de Fourier est par définition: xT t( ) = a0 + an n=1 +∞ ∑ cos 2π nf0t( ) + bn n=1 +∞ ∑ sin 2π nf0t( ) Où: of0 est la fréquence fondamentale du signal. oa0 est la valeur moyenne ou composante continue du signal . oak et bk sont les coefficient de Fourier du développement en cosinus et sinus. T
  6. 6. Calcul des coefficient de Fourier : Remarque : •xT(t) pair  bn=0 •xT(t) impair  an=0 Séries de Fourier ao = 1 T xT t( ) dt =xT − T 2 T 2 ∫ an = 2 T xT t( ) cos 2πnfot( ) dt − T 2 T 2 ∫ bn = 2 T xT t( ) sin 2πnfot( ) dt − T 2 T 2 ∫ n ≥1
  7. 7. le développement en série de Fourier peut s’écrire: où En considérant la relation trigonométrique suivante: avec Acos(x)+ Bsin(x) = A2 + B2 cos(x +φ) φ = artg( −B A ) xT (t)= A0 + An cos(2π nf0t 1 ∞ ∑ + αn ) A0 = a0 An = an 2 + bn 2 αn = arctg( −bn an ) Série de Fourier en cosinus Séries de Fourier
  8. 8. - La représentation en cosinus est très importante car elle correspond à la description des signaux en régime sinusoïdal permanent où l’on représente un courant ou une tension par son amplitude et sa phase. - D’un point de vue pratique, cela revient à considérer que le signal x(t) est créé de manière équivalente par une infinité de générateur sinusoïdaux. La représentation spectrale dans ce cas est unilatérale. Remarques : Séries de Fourier
  9. 9. Séries de Fourier formules d’Euler : xT t( ) = cn n=−∞ +∞ ∑ e j 2πnfot( ) avec cn = 1 T xT t( ) e −j×2πnfot( ) dt − T 2 T 2 ∫ co = ao cn = an − jbn 2 c−n = an + jbn 2 Notation complexe : fo = 1 T la SF peut être transformée en SF complexe : cos(x) = ejx +e− jx 2 , sin(x) = ejx −e− jx 2 j
  10. 10. Relation entre les trois formes : cos-sin cos complexe 0=n 0a 00 aA = 00 ac = 0>n nn b,a 22 nnn baA += 2 2 nn n nn n jba c jba c + = − = − Séries de Fourier
  11. 11. La transformée de Fourier est une extension de la décomposition en série de Fourier pour les signaux non périodiques. En effet, la passage d’un signal périodique à un autre apériodique peut se faire en considérant une période qui tend vers l’infini. Transformée de Fourier
  12. 12. TF x(t){ } = X f( ) = x t( ) e− j2π ft −∞ +∞ ∫ dt x t( ) = TF−1 X f( ){ } = X f( ) ej×2π ft −∞ +∞ ∫ df Transformée de Fourier : Transformée de Fourier inverse : Transformée de Fourier
  13. 13. Linéarité :Linéarité : ( ) ( ) ( ) ( )fY.bfX.aty.btx.a F +→←+ Homothétie :Homothétie : ( ) Ravec 1 ∈      →← a a f X a atx F PropriétésPropriétés :: Transformée de Fourier
  14. 14. Décalage en temps et en fréquence :Décalage en temps et en fréquence : Dérivation :Dérivation : x t −t0( ) F ¬ → X f( ).e− j2π ft0 et x t( ).ej2π f0t F ¬ → X f − f0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fXfj dt txd fX.fj dt tdx nF n n F ππ 2et2 →←→← Propriétés :Propriétés : Transformée de Fourier
  15. 15. Produit de convolution :Produit de convolution : ( ) ( ) τττ dtyxtyxtytx −== ∫ +∞ ∞− ))(*()(*)( ( ) ( ) ( ) ( )fYtyfXtx FF →←→← et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fY*fXty.tx fY.fXty*tx F F → → et PropriétésPropriétés : Transformée de Fourier
  16. 16. Transformée de Fourier & Systèmes : Un SLTI est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t) La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f) et inversement. h(t) x(t) y(t)=x(t)*h(t) H(f) X(f) Y(f)=X(f) . H(f) TF TF TF Transformée de Fourier
  17. 17. Théorème de Parseval :Théorème de Parseval : Propriétés :Propriétés : Transformée de Fourier E = x2 (t)dt −∞ +∞ ∫ = X(f ) 2 df −∞ +∞ ∫ Densité Spectrale d ’Energie
  18. 18. )f(TF δ→1 δ(t) TF  → 1 ftjTF e)tt( 02 0 π δ − →− = )ff(e TFtfj 0 2 0 −→ δπ [ ])ff()ff()tfcos( TF 000 2 1 2 ++−→ δδπ [ ])ff()ff( j )tfsin( TF 000 2 1 2 +−−→ δδπ δTe (t) TF  → 1 Te δ( f − n Te ) −∞ +∞ ∑ Distribution de DiracDistribution de Dirac : Transformée de Fourier
  19. 19. Signal s(t)Signal s(t) Spectre fréquentiel S(f)Spectre fréquentiel S(f) Réel quelconque Complexe (partie réelle paire, partie imaginaire impaire) Réel pair Réel pair Réel impair Imaginaire impair Imaginaire quelconque Complexe (partie réelle impaire, partie imaginaire paire) Imaginaire pair Imaginaire pair Imaginaire impair Réel impair Complexe pair Complexe pair Complexe impair Complexe impair Propriétés : Transformée de Fourier
  20. 20. • Échantillonnage idéal • Transformée de Fourier périodisation en fréquence xe (t) = x(t)δT (t) = x(t) δ(t − kT) = x[kT]δ(t − kT) k=−∞ +∞ ∑ k=−∞ +∞ ∑ X f T X f f T X f k Te T k ( ) ( )* ( ) ( )= = − =−∞ +∞ ∑ 1 1 1δ Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence Transformée de Fourier
  21. 21. Analyse spectrale La transformée de Fourier est l’outil mathématique permettant d’obtenir une représentation fréquentielle des signaux déterministes. Elle a pour but de représenter, l’amplitude, la phase, l’énergie ou la puissance d’un signal en fonction de sa fréquence notée f et permet ainsi son analyse spectrale ou harmonique. Remarque : la transformée de Fourier permet d’analyse un signal sous forme d’une infinité de composantes sinusoïdales.
  22. 22. • Forme exponentielle du développement en série de Fourier d’un signal périodique xT(t) de période T : o cn.exp(jnωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t) o l’harmonique d’ordre1 est appelé le fondamental o l’harmonique d’ordre 0 correspond à la valeur moyenne du signal xT(t). 22 Analyse spectrale Signaux périodiques fo = 1 T xT t( ) = cn n=−∞ +∞ ∑ e j2π nfot( )
  23. 23. • Transformée de Fourier XT(f) d’un signal périodique xT(t) de période T : • Le spectre d’un signal périodique est donc un spectre de raies puisque c’est la somme d’impulsions de Dirac décalées de 1/T de poids pondérés par les coefficients cn appelés composantes du spectre. Si X(f) est la transformée de Fourier du motif x(t) de xT(t), alors : • X(f) est appelée l’enveloppe complexe de XT(f) 23 Analyse spectrale Signaux périodiques XT ( f ) = cnδ( f − n T ) n=−∞ +∞ ∑ cn = 1 T X( n T )
  24. 24. • Forme réelle du développement en série de Fourier d’un signal périodique xT(t) de période T : Les coefficients an et bn sont les coefficients réels de la série de Fourier ou coefficients de Fourier trigonométriques. - ancos(nωt)+bnsin(nωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t). - l’harmonique d’ordre 1 correspond au fondamental - l’harmonique d’ordre 0, a0 est la composante continue qui correspond à la valeur moyenne du signal xT(t). 24 Analyse spectrale Signaux périodiques xT t( ) = a0 + an n=1 +∞ ∑ cos 2π nf0t( ) + bn n=1 +∞ ∑ sin 2π nf0t( )
  25. 25. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0 0.5 1 temps (sec) amplitude Représentation en temps 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fréquence (Hz) amplitude Représentation en fréquence Représentation des signaux Exemples
  26. 26. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fréquence (Hz) amplitude Représentation en fréquence 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0 0.5 1 temps (sec) amplitude Représentation en temps Représentation des signaux Exemples
  27. 27. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0 0.5 1 temps (sec) amplitude Représentation en temps 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fréquence (Hz) amplitude Représentation en fréquence 0 5 10 15 20 25 30 Représentation des signaux Exemples
  28. 28. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 temps (µsec) amplitude Repré sentation en temps 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fréquence (MHz) amplitude Représentation en fréquence Représentation des signaux Exemples
  29. 29. On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t), l’opération * (notée également ⊗) définie par : (x*h)(t) = x(t)*h(t) = x(t)⊗ h(t) = x(τ ).h(t −τ ).dτ −∞ +∞ ∫ = x(t −τ ).h(τ ).dτ −∞ +∞ ∫ Produit de convolution
  30. 30. Propriétés : • Le produit de convolution est : o commutatif: x(t)*h(t)=h(t)*x(t) o distributif : x(t)*[h(t)+g(t)]=x(t)*h(t)+x(t)*g(t) o associatif: x(t)*[h(t)*g(t)]=[x(t)*h(t)]*g • Élément neutre : x(t)*δ(t) = x(t) Produit de convolution
  31. 31. Expression simplifiée : Si x(t) et h(t) sont causaux, Alors : x τ( ) =0 ∀τ <0 h t −τ( ) =0 ∀τ >t     ( )( ) ∫ −= t dthxthx 0 )()(* τττ Produit de convolution
  32. 32. La convolution est une opération fondamentale de traitement du signal. Elle indique que la réponse d'un SL à l’instant t est la somme (intégrale) pondérée des valeurs antérieures de l'excitation x(t). La fonction de pondération est la réponse impulsionnelle h(t) du SL. Produit de convolution Réponse d’un système linéaire :
  33. 33. Considérons l’exemple de x(t) et h(t) ci-dessous : x(t) t h(t) t Produit de convolution Interprétation graphique
  34. 34. h(τ) τ h(-τ) τ h(t-τ) τt Remarque : le signal h(t-τ) est tout simplement le signal initial h(τ), retourné dans le temps pour obtenir h(-τ) puis translaté de t . Produit de convolution Interprétation graphique
  35. 35. Interprétation graphique x(τ).h(t-τ) τt h(t-τ) La surface hachurée représente : ∫ +∞ ∞− −= τττ dthxthx ).().())(*( Remarque : quand t varie de - à + , on obtient la fonction y(t),∝ ∝ convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies. Produit de convolution x(τ)
  36. 36. Domaine temporel Domaine fréquentiel Variable : t Variable : f Convolution Produit e(t) → s(t) = ? E(f) → S(f) = ? T. de Fourier 11 Calculer:S(f)=? 22 TF inverse 33 Le calcul du produit de convolution se fait en 3 étapes Produit de convolution
  37. 37. Interprétation graphique x(τ).h(t-τ) τt h(t-τ) La surface hachurée représente : ∫ +∞ ∞− −= τττ dthxthx ).().())(*( Remarque : quand t varie de - à + , on obtient la fonction y(t),∝ ∝ convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies. Produit de convolution x(τ)

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