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  1. 1. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 1 Activité : Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . P la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=x² . D la droite d’équation 1 4 y − = et 1 0, 4 F       . Soit le point M(x,y) et H son projeté orthogonale sur D. 1) Calculer les distances MF et MH. 2) Montrer que MF=MH si et seulement si M appartient à P. Définition : Soit D une droite et F un point n’appartenant pas à D. pour tout point M du plan on note H son projeté orthogonale sur la droite D. On appelle parabole de foyer F et de directrice D l’ensemble des points M du plan tels que MF=MH. • La perpendiculaire à D passant par F est appelée axe focal de la parabole. • La distance du foyer à la directrice est appelé paramètre de la parabole. Application: Soit D une droite du plan et F un point n’appartenant pas à D. 1) Soit H un point de D ; construire le centre M du cercle passant par F et tangent à D en H. que vaut MF MH ? 2) On désigne par P l’ensemble des centres des cercles passant par F et tangents à D.M un point du plan et H son projeté orthogonal sur D. a) Montrer que 1 MF P M tels que MH   = =    . b) Construire P. 3) Soit K le projeté orthogonal de F sur D et O le milieu de [KF]. Montrer que O appartient à P.
  2. 2. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 2 : 2 p D x = − Activité : P une parabole de foyer F et de directrice D ; K le projeté orthogonal de F dur D. 1) Montrer que la parabole P coupe l’axe focale en un unique point S milieu de [FK]. 2) Montrer que M appartient à P si et seulement si son symétrique par rapport à (FK) appartient à P. Théorème : • Toute parabole admet comme axe de symétrie son axe focal. • Le sommet d’une parabole de foyer F et de directrice D est le milieu du segment [FK] ou K est le projeté orthogonal de F sur D. Activité : Soit P une parabole de foyer F, de directrice D et de sommet S. K le projeté orthogonal de F sur D ; FK=p ; SF i SF = ; le plan est munie du repère orthonormé ( ), ,S i j . 1) Donner une équation de la droite D. 2) Soit M un point de coordonnées (x,y). Montrer que M appartient à P si et seulement si y²=2px. Théorème : • Si P est la parabole de foyer F , de directrice D , de sommet S et de paramètre p alors la parabole P a pour équation y²=2px, la directrice D a pour équation 2 p x = − et le foyer F a pour coordonnées , 0 2 p      dans le repère orthonormé ( ), ,S i j ou SF i SF = • Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ), ,O i j , l’ensemble des points M(x,y) tels que y²=2px ; p>0 est la parabole de foyer F , 0 2 p      , de directrice D : 2 p x = − ; de sommet O et de paramètre p. ,0 2 p F      
  3. 3. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 3 Remarques : • P :y²=-2px ; p>0 dans un repère orthonormé ( ), ,O i j si et seulement si P est la parabole de foyer F , 0 2 p  −    ; de directrice D : 2 p x = ; de sommet O et de paramètre p. • P : x²=2py ; p>0 dans un repère orthonormé ( ), ,O i j si et seulement si P est la parabole de foyer 0, 2 p F       , de directrice : 2 p D y = − de sommet O et de paramètre p. • P :x²=-2py , p>0 dans un repère orthonormé ( ), ,O i j si et seulement si P est la parabole de foyer 0, 2 p F   −    , de directrice : 2 p D y = , de sommet O et de paramètre p. Application : Le plan est munie d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . Représenter les paraboles d’équation : y²=4x ; y²=-4x ,0 2 p F   −    D : 2 p x = 0, 2 p F       : 2 p D y = − 0, 2 p F   −    : 2 p D y =
  4. 4. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 4 Activité : Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( ), ,O i j . on considère la parabole P : x²=2py et la parabole P : y²=2px. 1) Montrer que l’équation de la tangente T en un point M0(x0 ;y0) de P a pour équation : x0x=p(y+y0). 2) En déduire une équation de la tangente T’ à P’ en un point M0(x0 ;y0) de P’. Théorème : Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . • Si P est la parabole d’équation y²=2px alors la tangente à P en un point M0(x0 ;y0) est la droite d’équation y0y=p(x+x0). • Si P est la parabole d’équation x²=2py alors la tangente à P en un point M0(x0 ;y0) est la droite d’équation x0x=p(y+y0). Application : P une parabole de foyer F et de directrice D , M0 un point de P et H son projeté orthogonal sur D. T la tangente à P en M0 . Montrer que T est la médiatrice de [FH].
  5. 5. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 5 Activité : Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . ℋ la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)= 1 x . on considère le point ( 2, 2 )F et la droite d’équation 2 0x y+ − = . soit M(x,y) un point du plan et H son projeté orthogonal sur D. 1) Calculer les distances MF et MH. 2) En déduire que 2MF MH= ; si et seulement si ; M appartient à ℋ. Définition : Soit D une droite , F un point n’appartenant pas à D et e un réel e>1. On appelle hyperbole de foyer F, de directrice D et d’excentricité e l’ensemble des points M du plan tels que MF e MH = ou H est le projeté orthogonal de M sur D. La perpendiculaire à D passant par F est appelée axe focal de l’hyperbole. Application : Soit D une droite du plan, F un point n’appartenant pas à D et K le projeté orthogonal de F sur D. 1) Construire le point S barycentre de (F,1) et (K,-2).Déterminer le rapport SF SK . 2) Construire le point S’ barycentre de (F,1) et (K,2) ; déterminer le rapport ' ' S F S K . 3) soit ℋ= 2 MF M tels que MH   =    ou H est le projeté orthogonale de M sur D. soit (C) le cercle de centre S et passant par F ; B un point de (C)distinct de F ; I le point d’intersection de D et (FB) . on désigne par h l’homothétie de centre I qui envoie B en F ; M l’image de S par h et H le projeté orthogonal de M sur D. MF e MH =
  6. 6. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 6 a) Montrer que h envoie K en H. b) Déterminer le rapport MF MH et en déduire que M∈ℋ. c) Construire quelques points deℋ. Activité : Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de directrice D et d’excentricité e. K le projeté orthogonal de F sur D. 1) Montrer que l’intersection de ℋ avec l’axe focal est deux points. 2) Montrer que M appartient à ℋ si et seulement si son symétrique par rapport à l’axe focal appartient à ℋ. Théorème : Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de directrice D et d’excentricité e. K le projeté orthogonal de F sur D. • L’axe focal de ℋ est un axe de symétrie de ℋ. • ℋ coupe l’axe focal en deux points appelés sommets de l’hyperbole et ils sont les barycentres de (F,1), (K,e) et (F,1), (K,-e) . ActivitéActivitéActivitéActivité :::: Soit ℋ une hyperbole de foyer F de directrice D et d’excentricité e. On désigne par K le projeté orthogonal de F sur D et on noté S et S’ les sommets de ℋ et O le milieu de [SS’]. 1) Montrer que 1 OF eOS et OK OS e = = ; ou S est le barycentre de (F,1) et (K,e). 2) On pose OF i OF = et ( ), ,O i j un repère orthonormé direct ; on désigne par (c,0) les coordonnées de F et (a,0) les coordonnées de S dans ( ), ,O i j . a) Montrer que ²c a e et OK a c = = . b) Soit M(x,y). montrer que M appartient à ℋ , si et seulement si, ² ² 1 ² ² ² x y a c a − = − .
  7. 7. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 7 ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème :::: • Soit ℋ une hyperbole de foyer F, de directrice D , d’excentricité e et de sommets S et S’, on pose OF i OF = et ( ), ,O i j un repère orthonormé direct. Si S a pour coordonnées (a,0), F a pour coordonnées (c,0) dans ( ), ,O i j alors ℋ a pour équation ² ² 1 ² ² x y a b − = avec b²=c²-a². • Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( ), ,O i j , l’ensemble des points M(x,y) tels que ² ² 1 ² ² x y a b − = (a>0,b>0) est une hyperbole de centre O, de foyer F( ² ²a b+ ,0), de directrice D : ²a x c = , d’excentricité c e a = avec c= ² ²a b+ et de sommets S(a,0) et S’(-a,0). RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: ℋ : ² ² 1 ² ² x y a b − + = (a>0,b>0) dans un repère orthonormé ( ), ,O i j si et seulement si ℋ est l’hyperbole de centre O, de foyer F(0, ² ²a b+ ), de directrice D : ²b y c = , d’excentricité c e b = avec c= ² ²a b+ et de sommets S(0,b) et S’(0,-b). ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème :::: • Toute hyperbole admet un centre de symétrie, qui est le milieu des sommets ; appelé centre de l’hyperbole. • Toute hyperbole admets deux axes de symétrie qui sont l’axe focal et l’axe perpendiculaire à l’axe focale et passante par le centre de l’hyperbole. ConséquencesConséquencesConséquencesConséquences :::: Soit ℋ une hyperbole de directrice D et de foyer F. ² ² : 1 ² ² x y a b − =H ( )² ² , 0F a b+ S(a,0) S’(-a,0) ² : a D x c = c e a = ² : b D y c = ² ² : 1 ² ² x y a b − + =H ( )0, ² ²F a b+ S(0,b) S’(0,-b) c e b =
  8. 8. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 8 Le fait que l’hyperbole admet un centre de symétrie implique qu’elle admet une deuxième directrice D et un deuxième foyer F’ symétriques respectives de D et F. On dit que F est le foyer associé à D et que F le foyer associé à D’. AAAApplicationpplicationpplicationpplication :::: Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j ; on considère l’ensemble ℋ des points M(x,y) tel que ² ² 1 9 25 x y − = . 1) Montrer que ℋ est une hyperbole de foyer F(5,0), de directrice D : 9 5 x = et d’excentricité 5 3 e = . 2) a) étudier la fonction f définie par ² ( ) 4 1 ; 3 9 x f x x= − ≥ . c) représenter Cf la courbe représentative de f et en déduire une représentation graphique de ℋ . ActivitéActivitéActivitéActivité :::: Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j ; on considère l’hyperbole ℋ : ² ² 1 ² ² x y a b − = . 1) soit ℋ1 l’ensemble des points M(x,y) appartenant à ℋ tels que x≥ 0 et y≥0. a) Montrer que M∈ℋ1 si et seulement si ² ² b y x a a = − . b) Montrer que la droite d’équation b y x a = est une asymptote de ℋ1. c) En déduire les asymptotes à ℋ. 2) Soit M(x0,y0) un point de ℋ. Montrer que la tangente àℋ en M0 a pour équation : 0 0 1 ² ² xx yy a b − =
  9. 9. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 9 ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème :::: Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j ; on considère l’hyperbole ℋ : ² ² 1 ² ² x y a b − = . • ℋ admet deux asymptotes d’équations b b y x et y x a a = = − . • La tangente à ℋ au point M0 (x0,y0) a pour équation : 0 0 1 ² ² xx yy a b − = RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: La tangente à une hyperbole en son sommet S a pour équation x=a. ApplicationApplicationApplicationApplication :::: Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . 1) Déterminer l’équation réduite de l’hyperbole ℋ de centre O, de sommet S(5,0) et dont l’une de ses asymptotes est la droite d’équation 5xy+3x=0. Représenter ℋ. 2) On dans la figure ci-contre le foyer F et les sommets s et S’ d’une hyperbole ℋ. Construire les asymptotes de ℋ et ℋ ActivitéActivitéActivitéActivité :::: Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . on considère l’hyperbole ℋ d’équation ² ² 1 ² ² x y a b − = ; les vecteurs a a u et u b b         −    . M un point du plan de coordonnées (x,y) dans ( ), ,O i j et (X,Y) dans ( ), ,O u v . Montrer que ( ) ( ) x a X Y y b Y X = +  = − . b y x a = − b y x a = 0 0 : 1 ² ² xx yy T a b − =
  10. 10. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 10 Montrer que M(x,y)∈ℋ si et seulement si XY= 1 4 . ThéorèmeThéorèmeThéorèmeThéorème :::: Toute hyperbole rapportée à ses asymptotes a une équation de la forme XY=k ou k un réel non nul AAAApplicationpplicationpplicationpplication :::: Le plan est muni d’un repère orthonormé ( ), ,O i j . on considère l’hyperbole ℋ de centre O, de foyer F(2,0) et de directrice associée la droite D : 1 2 x = . 1) a) donner la forme réduite de ℋ. b)Construire ℋ. 2) Soit les vecteurs 1 1 3 3 u et u           −    . écrire une équation de ℋ dans le repère ( ), ,O u v .
  11. 11. L.S.Marsa Elriadh Coniques M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 11

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