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LIMITES
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Théorème
*)L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
*)les fonctions polynômes sont continues...
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Cours continuité et limites

  1. 1. 1 LIMITES Soient P et Q deux fonctions polynôme de degré n et m et du monôme de plus haut degré anxn et bnxm respectivement alors = +∞→ )x(Plim x n n x xalim +∞→ ; = −∞→ )x(Plim x n n x xalim −∞→ = +∞→ )x(Q )x(P lim x m m n n x xb xa lim +∞→ ; = −∞→ )x(Q )x(P lim x m m n n x xb xa lim −∞→ Exemple : 1x5x 1xx2x2 lim 2 43 x −+ −+− −∞→ = 2 4 x x x2 lim − −∞→ = 2 x x2lim − −∞→ = −∞ Limites trigonométries 1 x )xsin( lim 0x = → ; 1 x )xtan( lim 0x = → ; 2 1 x )xcos(1 lim 20x = − → ; 0 x )xcos(1 lim 0x = − → a x )axsin( lim 0x = → ; 1 x )axtan( lim 0x = → ; 2 a x )axcos(1 lim 2 20x = − → ; 0 x )axcos(1 lim 0x = − → Exemple : )xsin(.x )xcos(1 lim 0x − → = ²x )xsin(.x ²x )xcos(1 lim 0x − → = x )xsin( ²x )xcos(1 lim 0x − → = 2 1 1 2 1 = Théorème d’encadrement Soit f , g et h trois fonctions telles que : Si     ∈== ≤≤ )Rl(lglimflim xdesinvoixpour)x(g)x(h)x(f 00 xx 0 alors lhlim 0x = ( x0 fini on infini ) Exemple :       + → x 1 sinxlim 0x On a : 1 x 1 sin1 ≤      ≤− alors pour tout 0x > : x x 1 sinxx ≤      ≤− Alors on a :      ==− ≤      ≤− ++ 0xlim)x(lim 0desinvoixpourx x 1 sin.xx 00 alors       + → x 1 sinxlim 0x =0 Théorème de comparaison Soit f et g deux fonctions telles que : Si     +∞= ≥ glim xdesinvoixpour)x(g)x(f 0x 0 alors +∞=flim 0x Si     −∞= ≤ glim xdesinvoixpour)x(g)x(f 0x 0 alors −∞=flim 0x ( x0 fini on infini ) Exemple : Soit f(x) = x².(2+cos(x) ). Calculer )x(flim x +∞→ On a : 2 + cosx ≥ 2 + -1 alors 2 + cosx ≥ 1 ainsi f(x) ≥ x² On a alors     +∞= ≥ ∞+ ²xlim xdesinvoixpourx)x(f 0 2 alors )x(flim x +∞→ = +∞ Théorème ; fonction composé Soit f et g deux fonctions telles que : yflim 0x = et zglim y = alors zfglim 0x = ( x0 , y et z finis ou infinis ) Exemple :       + +∞→ x2 x1 sinlim x π On peut écrire h = fg avec f : x x2 x1 π+ ֏ et g )xsin(֏ et h(x)       + = x2 x1 sin π Fiche de cours 4ème Maths Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  2. 2. 2 On a : = +∞→ )x(flim x x2 x1 lim x π+ +∞→ = x2 x lim x π +∞→ = 22 lim x ππ = +∞→ et 1)x(glim 2 x = → π alors = +∞→ )x(hlim x 1 ASYMPTOTE ?)x(flim x = ∞→ b)x(flim x = ∞→ ∞= ∞→ )x(flim x by:∆ = est un asymptote horizontale ? x )x(f lim x = ∞→ a x )x(f lim x = ∞→ ∞= ∞→ x )x(f lim x 0 x )x(f lim x = ∞→ ( ) ?ax)x(flim x =− ∞→ Branche parabolique de directeur (y’y) Branche parabolique de directeur (x’x) ( ) bax)x(flim x =− ∞→ ( ) ∞=− ∞→ ax)x(flim x baxy:∆ += est un asymptote oblique Branche parabolique de cœfficient directeur a. FONCTION CONTINUE Définition 1 : Une fonction f est continue en un point a si )a(f)x(flim ax = → Définition 2 : Une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie sur cet intervalle et si : pour tout réel a de I )a(f)x(flim ax = → La fonction partie entière *) La fonction Partie entière qui à tout réel x associe le plus grand entier relatif inférieur à x , noté E(x) , est représentée ci-dessous. Pour tout réel x , on a 1)x(Ex)x(E +<≤ par exemple : 2)2,2(E = et 3)2,2(E −=− E est-elle continue en 2 ? Pour [ [2,1x ∈ , E(x) = 1donc 1)x(Elim 2x =− → Pour [ [3,2x ∈ , E(x)=2 donc 2)x(Elim 2x =+ → Ces limites étant différentes, la fonction E n’admet pas de limite en 2. Donc E n’est pas continue en 2. *) la fonction Partie entière n’est pas continue sur R. Elle est continue sur tout intervalle du type [ [1n,n + , où n est un entier relatif quelconque.
  3. 3. 3 Théorème *)L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. *)les fonctions polynômes sont continues sur R . *)les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition c’est à dire en tout point où le dénominateur ne s’annule pas. *)Si f est continue en x0 et g est continue en f(x0), alors fg est continue en x0 Théorème : *) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type [ [b,a ( b finie ou infini) Si la fonction f est croissante et majorée alors f possède une limite finie en b. Si la fonction f est croissante et non majorée alors f tend vers +∞ en b. *) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type ] ]b,a (a finie ou infini) Si la fonction f est décroissante et minorée alors f possède une limite finie en a. Si la fonction f est décroissante et non minorée alors f tend vers −∞ en a . Théorème de la valeur intermédiaire Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b], alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b) , l’équation f (x) = c admet aux moins une solution α∈ [a,b]. Corollaire 1 de TVI Si f est continue sur I = [a,b] et telle que f(a) × f(b) < 0 alors il existe au moins un réel x0∈]a,b[ tel que f(x0) = 0 . Et si de plus f est strictement monotone sur I alors il existe un unique réel x0∈]a,b[ tel que f(x0) = 0 . Corollaire 2 de TVI Si f est continue sur I = [a,b] et ne s’annule pas alors elle garde un signe constante sur I Exemple : I=[1,2] et f(x) = x3 + x – 3 f est dérivable sur I et on a : f’(x) = 3x² +1 0> f(1)=-1 et f(2)=7 Alors on a : f est continue sur I , f(1) × f(2) < 0 et f est strictement croissante sur I Alors il existe un unique réel x0∈]1,2[ tel que f(x0) = 0 . Illustrations graphiques f est continue et strictement croissante sur l’intervalle [ a ; b ]. L’équation f (x) = c admet une solution unique. f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [ a ; b ] . L’équation f (x) = c admet une solution unique . f est continue mais n’est pas monotone sur l’intervalle [ a ; b ] . L’équation f (x) = c peut avoir plusieurs solutions f n’est pas continue sur l’intervalle [ a ; b ] . L’équation f (x) = c peut ne pas avoir de solutions. a b f ( a) f ( b) c y = c Oa α 1 b f ( a) f ( b) c y = c α 2 α 3O a α b f ( a) f ( b) c y = c O a α b f ( a) f ( b) c y = c O

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