leçon polynome classe du tronc cmmun scientifique bac marocain international

1. I. Activité1 :
Soit un parallélépipède rectangle dont les dimension x , 푥+3 et 푥+5 avec 푥 réel strictement positif. Soit V(푥) le volume de ce parallélépipède
1) Montrer que V(푥) =푥3+8푥²+15푥
2) Calculer V(1) et (2) .
3) Quelles opérations as-tu utilise pour calculer V(1) et V(2) ?

2. II.Vocabulaire :
L’exemple 퐕(풙) = 풙ퟑ+ퟖ풙²+ퟏퟓ풙 est appelée fonction polynôme par abus de langage dirons brièvement polynôme de degré 3 on note 풅°(푽) = ퟑ.
Les réel 1, 8 , 15 , 0 sont appelés coefficients du polynôme 퐕(풙).
III.Definition : a. Définition: On appelle polynôme de degré n , et on le nomme P(x) une expression littérale en 풙 de la forme 퐏(풙) = 풂풏풙풏+풂풏−ퟏ풙풏−ퟏ+⋯+풂ퟐ풙ퟐ+ 풂ퟏ풙+풂ퟎ. avec 풂풏≠ퟎ , 풂풏 , 풂풏−ퟏ , …. 풂ퟐ , 풂ퟏ ,풂ퟎ sont appelés coefficients du polynôme et 풂ퟎ est appelé terme constant .
b. Exemple : soit 퐏(퐱)=−ퟓ풙ퟒ+√ퟑ풙ퟐ+ퟒ풙−ퟕ
P(x) est un polynôme de degré 4 on écrit d°(P) =4
Les réels –5 ,0 ,√ퟑ , 4 , –7 sont les coefficients de P(x) car on peut écrire
퐏(퐱) = −ퟓ퐱ퟒ+ퟎ풙ퟑ+√ퟑ풙ퟐ+ ퟒ풙−ퟕ
c. Application1 :
On considère les expressions littérales suivant 풇(풙)=풙²+ ퟐ 풙 −ퟏ ,
품(풙)=−풙ퟓ+ퟑ풙ퟑ+풙+ퟔ , 풉(풙)=√ퟏퟑ−풙²−ퟐ풙
1) Calculer 풇(ퟐ), 품(ퟐ) ,풉(ퟐ)
2) Reconnaitre parmi les expressions celles qui représentent un polynôme en précisant son degré et ses coefficients
d. Application2 :
Ecrire le polynôme p(x) dont le degré est 6 et ses coefficients sont -1,0,0,-3,1
Vocabulaire :

3.  un polynôme de 2eme degré écrit en général 푷(풙)= 풂풙ퟐ+풃풙+풄 ; avec 풂≠ퟎ
On le nombre trinôme : ex : 푷(풙)= −ퟑ풙ퟐ−ퟔ풙+ퟐ
 un polynôme de 1er degré écrit en général P(x)= 풂풙+풃 ; avec 풂≠ퟎ
ex : 품(풙)= −ퟕ풙+ퟏ
ex : 푷(풙) = ퟎ s’appelle polynôme nul IV. Egalité de deux polynômes
Simulation : Cas du polynôme nul
푷(풙)=ퟎ on peut écrire ퟎ풙+ퟎ=ퟎ ; ퟎ풙²+ퟎ풙+ퟎ=ퟎ …. ퟎ풙풏+ퟎ풙풏−ퟏ+⋯+ퟎ풙+ ퟎ=ퟎ
a. Activité :
Soient 풇 et 품 deux polynômes définie par 풇(풙)=ퟑ풙²−풙+ퟑ et 품(풙)=ퟐ풙²+ퟒ풙−ퟏ
1) Vérifier que 풇(ퟏ)=품(ퟏ) et 풇(ퟒ)=품(ퟒ)
La phrase « (풙)=품(풙) , pout tout réel 풙 » est-elle vraie ?
2) Déterminer les réels 풂ퟐ , 풂ퟏ , 풂ퟎ tel que pour tout réel 풙
풂ퟐ풙²+풂ퟏ풙+풂ퟎ=−ퟏퟎ풙+ퟐ풙ퟐ+ퟏퟏ
3) Déterminer les réels 풂ퟑ,풂ퟐ , 풂ퟏ , 풂ퟎ tel que pour tout réel 풙
풂ퟑ풙ퟑ+풂ퟐ풙²+풂ퟏ풙+풂ퟎ=−풙−ퟓ풙ퟑ+ퟐ풙ퟐ+ퟐ
Soit 푷(풙)=풂풏풙풏+풂풏−ퟏ풙풏−ퟏ+⋯+풂ퟏ풙+풂ퟎ
Et 푸(풙)=풃풏풙풏+풃풏−ퟏ풙풏−ퟏ+⋯+풃ퟏ풙+풃ퟎ
Sachant que pour tout réel, 푷(풙)=푸(풙) que peut dire de 풂풏 et 풃풏 ; 풂풏−ퟏet 풃풏−ퟏ ; ... ; 풂ퟎ et 풃ퟎ
Exercice résolu:

4. Soit 푷(풙) et 푸(풙) deux polynômes définies par 푷(풙)=풂풙ퟑ+(풃−ퟐ)풙²+(ퟒ−풄)풙+풅 avec a ,b, c et d sont des réels , et 푸(풙)=−ퟑ풙ퟑ+풙²+ퟕ
Déterminons a , b , c et d sachant que 푷(풙)=푸(풙) pour tout réel 풙
Réponse :
on a 푷(풙)=푸(풙) équivaut à 풂=−ퟑ, −ퟐ=ퟏ , ퟒ−풄=ퟎ ,풅=ퟕ équivaut à 풂=−ퟑ , 풃=ퟑ, 풄=ퟒ , 풅=ퟕ
Exercie1 :
Considérons les polynômes 푼(풙) et 푽(풙) tel que
푼(풙)=−ퟑ+√ퟑퟐ풙ퟐ+풂ퟑ풙ퟑ+풂ퟒ풙ퟒ− ퟐ ퟑ 풙ퟔ+풂ퟖ풙ퟖ
et 푽(풙)=풃ퟎ+풃ퟏ풙+ퟒ√ퟐ풙ퟐ+풃ퟒ풙ퟒ− ퟏퟒ ퟐퟏ 풙ퟔ+풃ퟕ풙ퟕ
Prouvons-nous avoir 푼(풙)=푽(풙) V . : Racine d’un polynôme et Factorisation d’un polynôme
A. Racine d’un polynôme :
Activité3 : Soit le polynôme 푷(풙)=풙ퟑ+풙−ퟐ
1) Calculer 푷(ퟏ)
2) Déterminer les réels a et b tel que 푷(풙)=(풙−ퟏ)(풙ퟐ+풂풙+풃)
On a Dans l’activité (ퟏ)=ퟎ , On dit que 1 une racine de 푷(풙) ou 1 est un zéro de 푷(풙) Définition : On dit qu’un réel ∝ est une racine ou un zéro d’un polynôme 푷 si 푷(∝)=ퟎ
Application : Soit 푷(풙)=풙ퟑ+ퟑ풙ퟐ−ퟒ풙−ퟏퟐ
a) Vérifier que 2 et 3 sont deux racines de 푷(풙)

5. b) Soit 푹(풙) un polynôme tel que pour tout réel 풙 on a 푷(풙)=(풙−ퟐ)(풙+ퟑ)+푹(풙)
1) Quel est la nature de 푹(풙)
2) Déterminer 푹(풙) B. Factorisation d’un polynôme.
Activité : Soit ∝ un réel
1) Prouver que si un polynôme est factorisa blé par 풙−∝ alors ∝ est une racine de ce polynôme
2) Soit ∝ un réel et P le polynôme défini par 푷(풙)=풂풙ퟑ+풃풙ퟐ+풄풙+풅
a. Factoriser 푷(풙)−푸(풙)
b. En déduire que si ∝ est une racine du polynôme alors il existe un polynôme Q dont on précisera le degré tel que pour tout réel , 푷(풙)=(풙−∝)푸(풙) .
Règle :
Exercices résolu : Soit le polynôme 푷(풙)=풙ퟑ+ퟐ풙²−ퟓ풙−ퟔ
1) Montrons que P(x) est divisible par 풙+ퟑ
Calculons 퐏(−ퟑ) = (−ퟑ)ퟑ+ퟐ(−ퟑ)ퟐ−ퟓ(−ퟑ)−ퟔ=ퟎ
Et comme P(-3) =0 donc 푷(풙) est divisible par 풙+ퟑ
A toi :
2) Vérifier que 푷(풙) est divisible par 풙+ퟏ et 풙−ퟐ
3) Vérifier que 푷(풙)=(풙+ퟑ)(풙+ퟏ)(풙−ퟐ)
On dit que 푷(풙) est écrite sous forme de produit de binôme
Autre pratique de factorisation d’un polynôme.
Soit P un polynôme et ∝ un réel :
Si 푷(∝)=ퟎ équivaut que P divisible par x−∝
Si 푷(−∝)=ퟎ équivaut que P divisible par 풙+∝

6. On reprend l’exemple (exercice résolu précédent )
On a 푷(풙)=풙ퟑ+ퟐ풙²−ퟓ풙−ퟔ est divisible par 풙+ퟑ
Cherchons le polynôme 푸(풙) tel que 푷(풙)=(풙+ퟑ)푸(풙)
Le polynôme 푸(풙)=풙²−풙−ퟐ
D’où 푷(풙)=(풙+ퟑ)(풙ퟐ−풙−ퟐ)
On peut vérifier que 푸(ퟐ)=ퟎ
Donc 푸(풙) est divisible par 풙−ퟐ
Factorisons 푸(풙) 풙²−풙−ퟐ=(풙−ퟐ)(풙+ퟏ)
D’où la factorisation de 푷(풙) en produit de binômes 푷(풙)=(풙+ퟑ)(풙+ퟏ)(풙−ퟐ)
Exercice : soit le polynôme 푷(풙)=ퟐ풙ퟑ−ퟓ풙²−ퟒ풙+ퟑ
1) Vérifier que 푷(풙) est divisible par 풙−ퟑ
2) En utilise le division euclidienne déterminer 푸(풙) tel que 푷(풙)=(풙−ퟑ)푸(풙)

7. 3)
a. Montrer que -1 est une racine de 푸(풙)
b. Factoriser 푸(풙)
c. En déduire une factorisation de 푷(풙) en produit de binômes