gestion des phénomène des files d’attentes

1. 1
DEUXIEME PARTIE : PHENOMENE ALEATOIRE. 18
Chapitre 1 : PHENOMENE D’ATTENTE. 19
I. Introduction 19
II. Etude de la loi des arrivées et la loi des services 19
TROIXIEME PARTIE : THEORIE DES GRAPHES 25
Chapitre 1 : POSITION DU PROBLEME ET ESSEAI DE DEFINITION D’UN GRAPHE
I. Définition d’un graphe comme schéma. 27
II. Définition d’un graphe comme relation binaire. 27
III. Représentation d’un graphe. 30
Chapitre 2 : RECHERCHE DE NIVREAUX DANS UN GRAPHE SANS CIRCUITS
I. Définition de niveau de génération 35
II. Procédure de détermination des niveaux de génération de chaque sommet à partir
d’un exemple 35
Chapitre 3 : RECHERCHE DU CHEMIN OPTIMAL 38
I. Recherche d’un chemin de valeur optimale dans un graphe. 38
(Algorithme de FORD pour le maximum)
II. Application : Recherche de chemin de longueur maximale 38
à l’aide d’un graphe
Chapitre 4 : PROBLEME D’ORDONNANCEMENT :
METHODE DE PERT 40
I. Problème d’ordonnancement 40
II. Notion de projet, tache et ordonnancement 40
III. Diagramme de GANTT 41
IV. Méthode de PERT (technique d'évaluation et de contrôle des programmes)
V. Le PERT-temps 44

2. 2
DEUXIEME PARTIE : PHENOMENE ALEATOIRE

3. 3
Chapitre 1 :
Phénomène d’attente
I) Introduction
Aux guichets des gares, des banques, des postes, aux rayons des grands magasins, aux horloges de pointage des
usines se constituent, au moins à certaine heures, des files d’attente ou queues, où les gens piétinent de longues minutes et
s’impatientent avant d’être servis.
Mais la faculté de constituer des files d’attente n’appartient pas qu’aux êtres animés. Les ordres de fabrications qui
s’empilent sur bureau du chef d’atelier, les appels téléphoniques qui parviennent à un standard, les machines tombées en
panne dans une usine et qui attendent l’intervention d’un mécanicien, quoique ne forment pas toujours physiquement une
queue, sont encore des exemples de phénomènes d’attente.
On distingue en générale dans un phénomène d’attente, d’une part, les entrées ou arrivées des clients, d’autre part,
des stations qui exécutent à leur profit un certain service.
Les lois des arrivées des clients et les durées de service, que peuvent définir les statisticiens, permettent de
caractériser le système et de calculer des résultats intéressants, tel que le temps moyen d’attente des clients et le temps
moyen d’inactivité des stations. La solution du problème économique qu’on peut se poser à propos du phénomène
d’attente s’exprime par le nombre optimal de stations, correspondant au minimum du coût total de l’attente des clients et de
l’inactivité des stations. Elle apparaît donc un compromis entre le prix, qu’on attache à l’attente de la clientèle et les
charges qui résultent de l’amélioration du service.
II) Etude de la loi des arrivées et la loi des services
L’expérience montre que, dans beaucoup de phénomène d’attente, les lois des arrivées et les lois des services sont,
respectivement, poissonniennes et exponentielles. Ce sont évidement pas les seules formes que peuvent affecter ces lois,
mais ce sont les plus fréquentes et aussi les plus simple à utiliser.
On peut noter que la probabilité d’avoir n personnes arrivant le long d’une période de temps T est :
T
e
n
T
TP
n
n
 

!
)(
)(
λ : est le nombre moyen d’arrivées par unité de temps, par conséquent λT est le nombre moyen d’arrivées durant la
période de temps T
Ceci nous permet de calculer le nombre moyen de personnes arrivant durant la période T
Te
n
T
n T
n
n

 



 )
!
)(
(
0
De même les distributions des durées de service sont définies par l’expression suivante :
t
sr etTP 
 1)(
C’est aussi la probabilité d’avoir un temps de service inférieur à t
μ : est nombre de clients servis par unité de temps
1/μ : est la durée d’un service
II-1) Cas d’une file d’attente à une station (un seul guichet)
Plaçons nous dans le cas très simple où la loi des arrivées est poissonnienne et la loi des services est exponentielles
(Fig.1)
Fig.1

4. 4
ν
En attente
En service
n
j
Entrée Sortie
En service
De façon général, n=ν+j or dans notre cas de figure, on a une seule station (un seul guichet, j=1) ce qui donne
n=ν+1
avec n : le nombre d’unités se trouvant dans le système comprenant les unités en cours de service.
On supposant qu’on a un système stationnaire et on notant qn la probabilité d’avoir n unités dans le système on
peut écrire :



1n
n
q
q
En utilisant la relation précédente on déduit à
n
n qq )(


 or 1
0


nq ce qui donne


 1àq (où q0 :
est la probabilité d’une attente nulle)et par conséquent )1()(




 n
nq , ceci n’est valable que si la série qn est
convergente c’est à dire λ/μ<1 (taux d’arrivée inférieur au taux de service), si la relation précédente n’est pas vérifiée il y
aurait engorgement et par conséquent au fil du temps on aura une file d’attente infinie.
Le rapport (λ/μ) est appelé : taux de trafic ou intensité de trafic , il est noté ψ, dans ces conditions nous pouvons
écrire :
qn= ψ n
(1- ψ)
Calculons maintenant le nombre moyen ñ d’unités dans le système :

n = 

à
nnq = 

à
nψ n
(1- ψ)= ψ/(1- ψ)
Appelons 
_
le nombre moyen d’unités dans la file d’attente (non compris l’unité en cours de service). A chaque
instant : 1 n =n-1, (n>0). Puisque le régime est permanent, et que le système est en équilibre (nombre d’entrées est
égal au nombre de sorties) , on peut écrire :
ou
n










n

5. 5
Cette constatation nous permet de calculer

 :









1
)(
2
nn
Ainsi que le temps moyen d’attente dans la file :


ft




)1(
)(



De même on peut exprimer le temps d’un service en utilisant la relation d’équilibre




1


n




1


n
: représente la différence entre le temps moyen d’attente dans le système et le temps moyen
d’attente dans la file, c’est aussi le temps moyen d’un service.
La relation




1


n
: représente le temps moyen d’attente globale d’un client dans le système, c’est aussi le
temps moyen d’attente dans la file 

ft



plus le temps moyen d’un service (1/ μ)
On peut noter aussi que le taux moyen d’inactivité d’une station ρ, est aussi la probabilité d’avoir zéro unités dans
le système soit :

 =1-ψ
Exemple1
La durée d’une consultation chez un médecin est en moyenne 15mn, le médecin convoque ses clients
toutes les 20mn
1) Calculer le nombre moyen de clients arrivant par heure
2) Calculer le nombre moyen de personnes servis par heure
3) Calculer

n ,

ft et


Solution
1) λ étant le nombre d’arrivées par mn =nombre d’arrivées/le temps correspondant à ces arrivées en mn.1/λ
étant le temps moyen séparant deux arrivées successifs. Or 1/λ =20mn=1/3 h donc λ =1/(1/3)=3 clients
arrivant par heure
2) La durée d’une consultation chez un médecin est en moyenne 15mn=1/4 h, c’est aussi la durée d’un
service=1/ μ=1/4 h, donc μ=1/(1/4)=4 personnes servis par heure, on en déduit le taux de trafic= ψ=
λ/μ=3/4=0.75<1
3) Le nombre moyen de clients ñ = ψ/(1- ψ)=0.75 /(1-0.75)=3, de même la durée d’attente dans la file tf=(1/
λ).ψ2
/(1- ψ)= (ñ / μ) =3/4

6. 6
Exemple2
Un organisme public est ouvert, chaque jour, de 9h à 17h sans interruption. Il accueille, en moyenne, 64
usagers ; un guichet unique sert à traiter le dossier de chaque usager, ceci en un temps moyen de deux minutes et demie.
Les usagers, si nécessaire, font la queue dans l’ordre de leur arrivée ; même si la queue est importante, on ne refuse aucun
usager.
Une étude statistique a permis de conclure que la durée aléatoire des services suit une loi exponentielle et
que les arrivées des usagers forment un processus de Poisson. On suppose que le régime permanent est rapidement atteint.
1) Donner le temps tf passé à attendre ; le temps moyen passé dans l’organisme par chaque usager,


2) Quelles sont les probabilités qu’il n’arrive aucun client entre 15h et 16h ? que six clients arrivent entre 16h et
17h. ?
3) Quelle est, en moyenne et par heure, la durée pendant laquelle l’employé du guichet ne s’occupe pas des usagers ?
4) Quelle est la probabilité d’observer une file d’attente de quatre usagers, derrière celui en cours de service ?
5) quelle est la probabilité q’un usager attend plus d’un quart d’heure dans l’organisme ?
Solution
1) Le taux des arrivées est λ=64/(17-9)=8 arrivées par heure
Le taux des services est μ=60/2.5=24 services par heure, L’organisme n’est pas saturé puisque (λ/μ)=1/3<1.
Le temps d’attente dans la file tf=(1/ λ).ψ2
/(1- ψ)=(1/8).(1 /3)2
/((1/3))=1/48,h=1mn 15s, ceci nous permet de
calculer τ= tf+(1/ μ)=(1/48)+(1/24)=1/16 h=3mn 45s
2) Cette question concerne la loi des arrivées, la loi de poisson : pn(T)=((λT)n
/n!)e-λT
.
Le processus étant homogène, l’heure à la quelle est pratiquée l’observation n’a aucune importance, seule
compte sa durée T. p0(1)=e-λT
=e-8
=3.35910-4
, de même ; p6(1)=((8)6
/6!)e-8
=0.122.
3) soit qn : la probabilité de trouver n usagers présents, en régime permanent(qn=ψ n
(1- ψ). Le guichetier n’est occupé
avec la probabilité q0=1-ψ=1-(1/3)=2/3. Donc, par heure, il dispose (2/3).60=40mn pour vaquer à d ‘autres
occupations.
4) La probabilité d’observer une file d’attente de quatre usagers, derrière celui en cours de service est q5= ψ 5
(1-
ψ)=(1/3)5
(1-(1/3))=0.00274.
5) La probabilité qu’un usager attend plus d’un temps t dans l’organisme est :
Pr(Ts>t)=ψ e-(μ- λ)t
, donc, Pr(Ts>0.25)=(1/3) e-(24-8)0.25
= 6.10510-3
II-2) Cas d’une file d’attente à S stations
On généralise les résultats précédents (S=1) pour un phénomène d’attente à S stations, et on obtient les formules
suivantes :
La probabilité d’une attente nul est :





 1
0
0
!
)1(!
1
S
i
iS
i
S
S
p



La probabilité d’avoir n personne s dans le système est :
0)
!
( p
n
p
n
n

 Si 1≤n<S

7. 7
0)
!
( p
SS
p Sn
n
n 


Si S≤n
Le nombre moyen d’unités dans la file d’attente est :
0
2
1
1
)1(!.
)( p
S
SS
psn
S
Sn
n









Avec



S

La durée moyenne d’attente dans la file est :





tf 0
2
)1(!.
p
S
SS
S




Le nombre moyen d’unités dans le système est :
)
1
()(
0 







  tfnpn
n
n
Le taux moyen d’inactivité des guichets est :


  

SpnS
S
n
n
0
)(
La probabilité d’attendre un temps supérieur à t (dans le cas où on a S guichets) est :
Pr(T>t)=Pr(T>0)e-(μ S- λ)t
Avec Pr(T>0)= tf. μ.(1-(ψ /S))
II-3) Optimisation du nombre de guichets
La solution du problème économique qu’on peut se poser à propos des phénomènes d’attente s’exprime par le
nombre optimal de stations, correspondant au minimum du coût total de l’attente des clients et de l’inactivité des stations.
Elle apparaît donc un compromis entre le prix, qu’on attache à l’attente de la clientèle et les charges qui résultent de
l’amélioration du service.
Le problème précédent peut être mis en évidence à l’aide de l’exemple suivant :
Exemple3
Dans une usine, existe un magasin de pièces détachées où les ouvriers viennent se ravitailler. Le chef
d’entreprise a remarqué une affluence au guichet du magasinier, il est conscient de la perte de productivité qu’entraîne

8. 8
pour lui l’attente des ouvriers dans la file d’attente, il sait aussi que s’il augmente trop le nombre de guichets, il risque
d’avoir une inoccupation des magasiniers et donc de payer un service qui ne sera pas rendu.
En bon gestionnaire, que va faire le chef d’entreprise ?
Solution
les frais et donc de trouver un compromis entre le temps d’attente des ouvriers et le nombre de magasiniers qu’il
faut embaucher.
Pendant la période T de travail ; il y a en moyenne λT arrivées pour un temps moyen de service égal à 1/μ. Du fait
de l’attente dans la file, les ouvriers perdent en moyenne λTtf unités de temps de travail.
Pour un effectif de S magasiniers, le temps d’inactivité est égal, en moyenne, à ST-λT/μ
Donc le coût global est :
Γ(S)=c1.λ.tf.T+c2(ST-λT/μ)= [c1.λ.tf.+c2(S-λ/μ)].T
=[c1.ν¨+c2.ρ].T
Avec c1 : tarif horaire des ouvriers, c2 : tarif horaire des magasiniers
La solution du problème passe par la minimisation du coût global , ceci nous amène à trouver le nombre de
magasiniers optimal (Sopt)en rendant minimum la fonction Γ(S).
Sopt
S
c1.ν¨
c2.ρ
Γ(S)
Fig.2
Il suffit de faire S =1,2,...,h,... , pour trouver le minimum de la fonction Γ(S), dans le cas de la figure précédente,
l’optimum est réalisé au point Sopt
Exemple4
L’usine Levablanc fabrique des machines à laver. Située dans la région parisienne, elle occupe un millier
d’ouvriers et produit six types différents de machines. La production s’effectue en séries de taille moyenne et nécessite un
outillage très diversifié ne permettant donc pas de laisser en permanence aux ouvriers tous les outils qui leur seraient
nécessaire : ces nombreux outils son rangés dans un magasin d’outillage situé dans le hall de montage de l’usine. De ce fait
on constate malheureusement la formation de queues d’ouvriers devant les guichets-comptoirs du magasin. Le nombre de
magasiniers assurant la distribution des outils influence, naturellement le temps d’attente ; s’ils sont trop nombreux, les
attentes seront réduite, voire nulles : il semble bien inutile alors de payer des magasiniers la plus part du temps inactifs ; si,
au contraire, ils sont en nombre insuffisant, les attentes deviendront fréquentes, longues et coûteuses (manque à gagner sur
la production non effectuée)...
Ainsi apparaît un problème économique : combien dit-on prévoir de magasiniers, pour distribuer les outils de
manière que le coût du temps perdu à attendre par les ouvriers, dune part, augmenté du coût d’inactivité des magasiniers
soit minimal ? Le prix de revient horaire d’un magasinier à été évaluer 4Є/h, celui du manque à gagner sur production non
effectuée par un ouvrier en attente : 8Є/h
Précisons l’organisation du magasin : la file d’attente est unique : dés qu’un magasinier a servi un ouvrier, celui
qui est en tête de la file d’attente le remplace immédiatement (ou, si la file est vide, le magasinier devient inactif). Les

9. 9
ouvriers se rangent dans la file d’attente dans l’ordre d’arrivée. La direction de Laveblanc a fait procéder à des mesures,
exploitées ensuite par un statisticien ;: en moyenne 96 ouvriers se rendent au magasin chaque heure ; en autre il a observé
que :
a) l’arrivée d’un ouvrier est indépendante de celle d’un autre ;
b) il n’arrive jamais deux ouvriers (ou plus) simultanément ;
c) le taux moyen des arrivées ne fluctue pas dans le temps.
Ces trois propriétés permettent de conclure que les arrivées aléatoires des ouvriers suivent une loi de poisson (de
taux : λ=96 arrivées/h).
Par ailleurs, l’étude des temps passés par les magasiniers à servir les ouvriers a permis de conclure que la durée
des services est une loi exponentielle de taux : μ =54 services/h (pour un magasinier donné).
1) Quelle est la plus petite valeur de S telle que la file d’attente ne s’allonge pas indéfiniment.
2) La durée de la journée de travail est de 8 heures : combien d’ouvriers se présentent-ils, en moyenne, au
magasin d’outillage par jours ?
Quel est le temps total passé par les magasiniers à les servir (le convertir en secondes) ?
On supposant qu’il y a deux, puis trois, puis quatre, puis cinq magasiniers,
Evaluer dans chacun de ces quatre cas, la durée journalière globale d’inactivité des magasiniers en
secondes, puis son coût.
3) En utilisant l’abaque ci-joint, trouver l’attente moyenne par ouvrier selon que
S=2, 3, 4 ou 5. Déterminer la durée totale d’attente journalière puis son coût pour chacun de ces cas.
4) Déterminer le nombre de magasiniers qui minimise la somme du coût
d’attente totale journalière et du coût de l’inactivité totale journalière.
Prouver qu’alors, en moyenne, l’un au moins des magasiniers est inactif ...
5) On suppose désormais que l’absentéisme des magasiniers fait que, sur un
Effectif de S, dans 90% des cas il y a S présents et dans 10% des cas, S-1 ; l’absentéisme est
négligeable au plan de la demande d’outils par les ouvriers.
Montrer alors qu’il vaut mieux embaucher quatre magasiniers, les absents percevant leur salaire.
Solution
Remarque : Utilisation de l’abaque :
Connaissant le nombre de guichets S, le taux des arrivées λ, le taux des services de chaque client μ, Calculer
d’abord (λ/μ.S) (<1). Se placer alors sur la courbe de paramètre (λ/μ.S) si elle est tracée, ou sinon la tracer par interpolation.
Connaissant l’abscisse S, lire alors sur cette courbe l’ordonnée μ.tf, puis en déduire tf par division par μ.
1) la plus petite valeur de S telle que la file d’attente ne s’allonge pas indéfiniment est déduit à partir de la condition :
(λ/μ.S) <1( taux des arrivées λ inférieur au taux de service μ.S) . Numériquement S>(λ/μ)=96/54, d’où S≥2.
2) Les arrivées étant poissonniennes, le nombre moyen d’arrivées sur l’intervalle T est λT ; pour T=8 heures on
obtient λT =96*8=768 arrivées d’ouvriers chaque jour au magasin.
La durée moyenne d’un service, pour la loi exponentielle, est 1/μ soit 1/54 heure. Le temps total passé par les
magasiniers à servir les ouvriers vaut :
λT/μ =(768/54)*3600=51200 secondes
Le tableau ci-dessous résume les calculs demandés.
S Durée totale de présence P des
Magasiniers en secondes
Durée de l’inactivité I Coût de l’inactivité C en Є
2
3
4
5
57600
86400
115200
144000
6400
35200
64000
92800
7.07
39.07
71.07
103.07
avec P=T.S.3600 ; I=P-51200 ; C=(I/3600).4
3) On résume les lectures et calculs dans le tableau suivant :

10. 10
S μ.tf tf Attente total A par jour en
secondes
Coût K de L’attente
A en Є
2
3
4
5
3.6
0.28
0.054
0.012
240
18.67
3.6
0.8
184320
14336
2764.8
614.4
409.60
31.87
6.13
1.33
Où μ.tf est lu sur l’abaque ; A=760.tf ; K=(A/3600).8=A/8.
4) Le coût total Γ(S) est C+K d’où :
S 2 3 4 5
Γ(S) 416.67 70.93 72.20 104.40
Le plus faible valeur du coût est obtenue pour S=3 magasiniers.
Remarquons que pour S=3 l’inactivité est de 35200s /jours, soit 9h 46mn 40s, c’est à dire plus que la durée journalière de
travail d’un magasinier.
5) Un magasinier absent perçoit son salaire. Pour l’absentéisme décrit, l’espérance du coût total est :
avec S=3 39.07+31.87*0.9+409.60*0.1=108.67 Є
avec S=4 71.07 + 6.13*0.9+31.87*0.1=79.73 Є
avec S=5 ce coût dépasse 97.78 Є (prix de revient de 5 magasiniers).
On a donc intérêt à engager un quatrième magasinier, même si l’inactivité journalière passe à 64000s, soit
17h 46mn 40s, c’est à dire plus de deux fois la durée journalière du travail.
Reste à convaincre le chef du personnel...

11. 11
TROIXIEME PARTIE : THEORIE DES GRAPHES

12. 12
THEORIE DES GRAPHES :POSITION DU PROBLEME
ET ESSEAI DE DEFINITION D’UN GRAPHE
La théorie des graphes est une tentative de visualisation concrète des faits, C’est par conséquent, un essai de formalisation
des situations de notre vie quotidienne (vie sociale, économique, politique,etc), au moyen de dessin permettant d’exprimer
commodément le problème posé et parfois même d’en suivre aisément la solution par un algorithme approprié,
Exemples de situations pouvant être traduites en graphe :
➢ Différentes tâches exécutées par une ménagère lors de la préparation d’un déjeuner ;
➢ Expédition du pétrole brut depuis les régions productrices jusqu’aux raffineries de régions consommatrices ;
➢ Réseau de voies ferrées ;
➢ Fils électriques ;
➢ Rues d’une ville ;
➢ Files de téléphone ;
➢ Echanges commerciaux ;
➢ Distribution des marchandises, etc.….
I- DEFINITION D’UN GRAPHE COMME SCHEMA
Un graphe G est constitué de deux ensembles :
➢ Un ensemble X d’éléments appelés sommets matérialisés par des points,
➢ Un ensemble U de lignes reliant chacune deux sommets ; un graphe est donc noté :
G = (X, U )
Si les lignes de U sont orientées, on les appelle alors des arcs et G prend le nom
de ( graphe orienté ) ( Fig, A ).
Par contre, si elles ne sont pas orientées, on obtient alors des arrêtes et G devient alors un (graphe non orienté ) ( Fig, B )
Fig. A : graphe orienté Fig. B : graphe non orienté
A tout graphe orienté, on peut associer un graphe non orienté en supprimant l’orientation des arcs, De même, à tout graphe
non orienté, on peut associer un graphe orienté en remplaçant chaque arrête par deux arcs en sens inverses.
II- DEFINITION D’UN GRAPHE COMME RELATION BINAIRE
Un graphe peut être définit de manière plus abstraite comme la donnée d’une relation binaire sur l’ensemble des sommets :
a
b
e
c
a
d
a c
e
db

13. 13
( xi est en relation avec xj ) est équivalent à ( xi, xj ) est un arc.
Pour un graphe non orienté, la relation binaire ainsi définie est symétrique puisque si ( xi, xj ) est un arc, ( xj, xj ) l’est
aussi.
Dans un graphe orienté G = ( X,U ), on notera pour un sommet x :
U_
(x) = { y Є X|/ ( y,x ) Є U } = ensemble des antécédents du sommet x
U+(x) = { z Є X|/ ( x,z ) Є U } = ensemble des sommets successeurs du sommet x
U (x) = U_
(x) U U+(x) = ensemble des sommets adjacents à x
On peut définir entièrement un graphe en se donnant pour chaque sommet, l’ensemble de ses successeurs ou de ses
antécédents.
Exemple : soit G = ( X,U ) avec X = { x1, x2, x3, x4, x5 } et
U+( x1 ) = { x3, x4 }
U+( x2 ) = { x1, x3, x5 }
U+( x3 ) = ø
U+( x4 ) = { x4, x5 }
U+( x5 ) = { x3, x4, x5 }
En définitive :
On appelle le graphe, le couple G = ( X ,U ) formé
- par un ensemble X d’éléments appelés points ou sommets.
- et par une faille U de couples de sommets que l’on convient d’appeler arcs.
Le cardinal card X est l’ordre du graphe G ou nombre de sommets de G. On rappelle que, l’ensemble des sommets X est
fini et que la faille U est une séquence finie. Un exemple de graphe d’ordre 6 est donné par la figure 1.
Fig. 1 : Graphe orienté et non valué
X1
X2
X5
1
X4
1
On en déduit le graphe Fig.C
X3

14. 14
L’arc u 7 (e, e) est une boucle.
Les points a, b, c, d, e, f sont des sommets.
Les flèches reliant certains sommets sont des arcs, par exemple :
u1, u2, u3, u4,, u6,u7,u8,u9.
Pour u9 , par exemple, d est son extrémité initiale ( la source ) et f son extrémité terminale ( la cible ). Une flèche de c à
d indique que c est en relation avec d.
Si de plus, on indique le nombre sur chaque arc, comme dans la figure 2, alors le graphe est dit, et l’on parle de graphe
valué.
Fig. 2 : Graphe valué
En principe, la ligne qui relie deux sommets est orientée : il s’agit d’un arc. Dans le cas ou elle ne le serait pas,
cela signifierait alors qu’il conviendrait de considérer les deux sens : il s’agirait alors d’une arête, c'est-à-dire une ligne non
orientée que l’on peut toujours dédoubler en deux : arcs orientés en sens inverses et réciproquement ( voir fig. 3 ). A ce
propos, dans la fig. 2 les arcs (c,e ) et (e,c) peuvent être replacés par une simple ligne non orientée. On aura alors, par
exemple, l’arête [c,e] ou [e,c].
Fig. 3: Graphe non orienté
3
10
6
3
54
8
2 3
b e
d
f
c
a
2
u2
u6
u10
u4
u9u5
u3
u1 u8
b e
d
f
c
a
u7

15. 15
III- REPRESENTATIONS D’UN GRAPHE
On peut représenter un graphe de diverses façons, entre autres, par :
- une représentation sagittale ;
- une énumération de tous les sommets et arcs qui le composent ;
- des dictionnaires ou tableaux à simple entrée ;
- des matrices appropriées ;
- une grille.
A. Représentation sagittale d’un graphe
Un représentation sagittale d’un graphe se caractérise par un schéma pourvu de sommets reliés entre eux par des lignes
orientées ou non ( cf. Fig. 1,2,C ).
B. Représentation d’un graphe à l’aide de dictionnaire
1- Dictionnaire des suivants
On appelle dictionnaire des suivants d’un graphe G = (X, U) un tableau à simple entrée dont chaque ligne concerne un
sommet précis et contient tous les suivants du dit sommet. Par conséquent, en face de chaque sommet X, on inscrit la liste
des différents sommets qui représentent l’extrémité terminale d’un arc U dont X est l’extrémité initiale ( cf. Fig. 4 ).
2- Dictionnaire des précédents
On appelle dictionnaire des précédents d’un graphe G = (X, U), un tableau à simple entrée dont chaque ligne relève d’un
sommet précis et contient tous les précédents du sommet en question, En face de chaque sommet X, on inscrit donc la liste
des sommets qui sont l’extrémité initiale d’un arc dont X est l’extrémité terminale ( voir Fig. 4)
Fig. 4: Graphe orienté
b
d
c
a
a
b
c
e
d
f

16. 16
Dictionnaire (des suivants) Dictionnaire (des précédents)
Relatif à la Figure 4 relatifs à la Figure 4
X S(X) X P(X)
a
b
c
d
e
f
b
e, f
b
c
d
e, b
a
b
c
d
e
f
-
a, c, f
d
e
b, f
b
S(X) = ensemble des suivants de X
P(X)=ensemble des précédents de X
On peut également confectionner le dictionnaire en se servant directement du dictionnaire des suivants. Dans ce cas, on
note sur la ligne des sommets X, le no des lignes dans lesquelles X apparaît comme suivant.
Exemple
Soit le dictionnaire des suivants d’un graphe orienté. En déduire le dictionnaire des précédents et le graphe correspondant :
X S(X)
a
b
c
d
b,d
c
--
c
Réponse
1) Dictionnaire des précédents
• on commence par chercher la lettre (a) dans la colonne marquée S(X). Comme (a) n’y apparaît point, cela signifie
qu’il n’a pas de précédents.
• On passe ensuite à (b). la lettre (b) apparaît sur la 1ère
ligne, la ligne (a). Donc le précédent de (b) est (a).
• On passe à (c). cette lettre se trouve sur deux lignes, d’abord sur ligne (b), et ensuite sur la ligne (d). Par
conséquent (c) aura pour précédents (b) et (d).
• Enfin, (d) apparaît uniquement sur la ligne (a), donc (a) est son précédent.
Au total, nous avons donc :
Précédent de (a) = néant
Précédent de (b) = (a)
Précédent de (c) = (b et d )
Précédent de (d) = (a)
D’où le dictionnaire des précédents que voici :
X PX)
a
b
c
d
néant
a
b,d
a
2) Graphe orienté correspondant

17. 17
C. Représentation matricielle d’un graphe
1) Matrice associée à un graphe ( matrice booléenne )
M = mi
j avec mi
j = 1 si ( xi ;xj) Є U
0 sinon
Exemple de matrice associée au graphe Fig. 6
Sommets (extrémités)
X1 X2 X3 X4
X1 0 1 0 0
Sommets X2 0 1 1 1
(origines) X3 1 1 0 1
M = X4 0 0 1 1
N.B. Les termes non nuls de la diagonale principale représentent les boucles.
2) Matrice d’incidence d’un graphe orienté sans boucle
x4
x3
x1
x2
b
a
d
c
Fig.5

18. 18
Chaque colonne représente un sommet et chaque ligne un arc. Chaque ligne comporte exactement un terme égal à (1)( dans
la colonne du sommet initial de l’arc) et un terme égal à (-1)dans la colonne du sommet final,Les autres termes de la ligne
étant tous nuls.
Exemple de matrice associée d’incidence d’un graphe orienté sans boucle ( Fig. 7 )
Fig. 7
X1 X2 X3 X4
1 -1 0 0 (x1, x2)
1 0 0 -1 (x1, x4)
0 1 -1 0 (x2, x3)
M1 = 0 1 0 -1 (x2, x4)
-1 0 0 1 (x4, x1)
0 -1 0 1 (x4, x2)
0 0 -1 1 (x4, x3)
3) Matrice aux arcs
On rappelle que tout graphe peut être défini par sa matrice associée (ou matrice d’adjacence) qui peut être alors littérale
(matrice aux arcs) ou booléenne comme ci-dessous (matrice correspondant au graphe de la Fig. 6). Dans une telle matrice
une colonne de zéro correspond à une entrée, une ligne de zéro à une sortie du graphe.
x1 x2 x3 x4














1100
1011
1110
0010
4
3
2
1
x
x
x
x
Matrice booléene
x1 x2 x3 x4














4434
432313
423222
21
4
3
2
1
00 xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xx
x
x
x
x
x1
x2
x4
x3

19. 19
Chapitre 2 :
RECHERCHE DE NIVREAUX DANS UN GRAPHE SANS CIRCUITS
I – DEFINITION DE NIVEAU DE GENERATION
Dans un graphe sans circuits, il est possible de numéroter les sommets du graphe de telle que le numéro affecté à
chaque sommet soit inférieur à celui des suivants et supérieur à celui des précédents. Ce numéro attribué à chaque sommet
est précisément le niveau de génération ou rang du sommet en question.
Par conséquent, le niveau d’un sommet Xi est la longueur du plus long chemin ayant pour extrémité Xi. Les
sommets de rang 0 sont ceux qui n’ont aucun précédent. Ceux de rang 1 sont ceux dont les précédents appartiennent au
rang 0. Les sommet de rang 2 ont des précédent de rang 0 ou 1 et ainsi de suite.
II – PROCEDURE DE DETERMINATION DES NIVEAUX DE GENERATION DE CHAQUR SOMMET A
PARTIR D’UN EXEMPLE
Fig.1
f b
g a d
e
c
1ère
étape :
On confectionne le dictionnaire des précédents à partir du graphe Fig.1, et l’on obtient le tableau suivant :
Tableau 0 :
N° de ligne X P(X)
1 a b
2 b néant
3 c b, e, f
4 d a
5 e g
6 f e, g
7 g a
2èm étape :
On recherche ensuite dans ce dictionnaire les lignes vides. Il se trouve qu’il n’y en a aucune, en l’occurrence la
ligne « b ». Par conséquent, « b » n’ayant pas de précédent est donc un sommet de niveau ou rang zéro. Ce que l’on note :
N0={b}

20. 20
On barre ensuite tous les « b » dans les colonnes x de P(X), d’où le tableau n°1 ci-dessous :
Tableau 1 :
N° de ligne X P(X)
1 a néant
3 c e, f
4 d a
5 e g
6 f e, g
7 g a
On constate que la ligne « a » devient vide. Donc « a » est de rang 1 soit :
N1={a}
3èm étape :
on barre ensuite tous les « a » dans le tableau n°1 et on obtient le tableau n°2 suivant :
Tableau 2 :
N° de ligne X P(X)
3 c e, f
4 d néant
5 e g
6 f e, g
7 g néant
Les lignes « d » et « g » devient vides, d et g sont les sommets de niveau 2 soit :
N2={d, g}
On barre ensuite tous les « d » et « g », d’où le tableau n°3 ci-après :
Tableau 3 :
N° de ligne X P(X)
3 c e, f
5 e néant
6 f e
La ligne e de vient à son tour vide . Ce qui signifie que le sommet « e » est de rang 3 soit :
N3={e}
4èm étape :
On barre tous les « e », d’où le tableau n°4 suivant :

21. 21
Tableau 4 :
N° de ligne X P(X)
3 c f
6 f néant
La nouvelle ligne vide est la ligne « f ». Donc le sommet f est de rang 4 soit :
N4={f}
On barre ensuite la lettre « f », et on obtient le tableau n°5 ci-dessous :
Tableau 5 :
N° de ligne X P(X)
3 c néant
La ligne « c » est vide, le sommet « c » sera de rang 5 soit enfin :
N5={c}
En résumé les différents niveaux sont :
N0={b}
N1={a}
N2={d, g}
N3={e}
N4={f}
N5={c}
Le graphe Fig.1 devient le graphe Fig.2 plus lisible et plus facile à exploiter, car ordonnancé par niveau de
génération.
Fig.2
d
b a e c
f
g
     
N0 N1 N2 N3 N4 N5

22. 22
Chapitre 3 :
THEORIE DU GRAPHE : RECHERCHE DU CHEMIN OPTIMAL
I- Recherche d’un chemin de valeur optimale dans un graphe. (Algorithme de FORD pour le maximum)
Soit G=(X,U) un graphe orienté donné, les arcs de graphe sont de plus valués (longueur, coût, temps, revenus,…),
il s’agit donc de chercher le(s) ou les chemin(s) de longueur extrémale(minimum ou maximum) partant du sommet n°1 et
aboutissant à un sommet donné.
1èr
étape :
Numérotation des sommets du graphe valué dans n’importe quel ordre, mais en commençant par x0 en finissant
par xn-1 (avec n nombre total de sommets).
2ème
étape :
Affectation d’une valeur λi = avec 1≤i≤n-1 à tous les sommets du graphe valué (voir Fig.4)
3ème
étape :
Pour tout arc (xi,xj), si la différence ∆ji = λj- λi est supérieure au nombre inscrit sur l’arc (appelé valuation), on
substitue à « λj » la quantité λi+V(xi, xj) où V(xi, xj) représente la valuation comprise entre les sommets xi et xj ;
par contre, si la différence ∆ji est inférieure au nombre inscrit sur l’arc, alors on ne change rien.
(pour chaque sommet xi : si λj-λi>V(xi, xj) alors : λj=λi+V(xi, xj), par contre si λj-λi ≤V(xi, xj) on ne change rien )
4ème
étape :
On continue les itérations jusqu’à ce qu’aucun λj ne soit plus diminué.
II- Application : Recherche de chemin de longueur maximale à l’aide d’un graphe valué
Fig.4
A
C F
B
E
D
2
1
7
1
1
66

23. 23
Fig.5
1) On remplace les lettres A, B, C … F par x0, x1, x2 … x5 (voir Fig.3 et Fig.4).
2) On affecte à chaque sommet xi la valeur λi=,
3) On note V (xi, xj) la longueur de l'arc (xi, xj) indiqué sur le graphe
Arcs partant du sommet x0 : (x0,x1), (x0,x3), dont les valeurs sont : V(x0,x1)=2, V(x0,x3)=6
-pour l'arc (x0, x1) i=0 et j=1
λ1-λ0=-0> V(x0, x1)=2 (oui) donc λ1= λ0+V(x0, x1)=0+2=2
-pour l'arc (x0, x3) i=0 et j=3
λ3- λ0=-0> V(x0, x3)=6 (oui) donc λ3= λ0+V(x0, x3)=0+6=6
Arcs partant du sommet x1 : (x1,x2), (x1,x5) dont les valeurs sont : V(x1,x2)=1, V(x1,x5)=7
-pour l'arc (x1, x2) i=1 et j=2
λ2- λ1=-2> V(x1, x2)=1 (oui) donc λ2= λ1 +V(x1, x2)=2+1=3
-pour l'arc (x1, x5) i=1 et j=5
λ5- λ1=-2> V(x1, x5)=7 (oui) donc λ5-=λ1+V(x1, x5)=2+7=9
Arcs partant du sommet x2 : (x2,x4) dont la valeur est : V(x2,x4)=1
-pour l'arc (x2, x4) i=2 et j=4
λ 4- λ2=-3> V(x2, x4)=1 (oui) donc λ4= λ2+V(x2, x4)=3+1=4
Arcs partant du sommet x3 : (x3,x5) dont la valeur est : V(x3,x5)=6
-pour l'arc (x3, x5) i=3 et j=5
λ 5- λ3=9-6> V(x2, x4)=1 (oui) donc λ 5= λ3+V(x2,x4)=6+1=7
Arcs partant du sommet x4 : (x4,x5) dont la valeur est : V(x4,x5)=1
-pour l'arc (x4, x5) i=4 et j=5
λ 5- λ4=7-4> V(x4, x5)=1 (oui) donc λ 4= λ2+V(x4, x5)=4+1=5
Conclusion
Le chemin le plus court est égale 5, il correspond à la valeur finale de λ5. En définitive le chemin le plus court est :
(x0, x1, x2, x4, x5) soit (A, B, C, E, F). (Voir Fig.5 : flèches pleines)
x0
x2 x5
x1
x4
x3
2
7
1
1
6
1
6

24. 24
Chapitre 4 :
PROBLEME D’ORDONNANCEMENT : METHODE DE PERT
I – PROBLEMES D’ORDONNANCEMENT
• Les retards apportés aux réalisations de projet industriels et commerciaux ainsi qu’à leur livraison ponctuelle aux
clients ;
• La mauvaise conception du produit à fabriquer ;
• L’inexistence d’objectif à caractère unique et clairement défini, compréhensible par tous et facilement exploitable
par l’ensemble des exécutants.
• Le manque de contrôle rapproché de différentes opérations ou tâches élémentaires composant le projet.
• Et enfin, et surtout le manque de coordination entre les responsables des opérations concernant l’ordre de passage
des différents tâches et leur fin :
Sont autant de problèmes que bon nombre d’entreprises doivent encore affronter aujourd’hui et qui nécessitent, de facto,
l’apprentissage des techniques d’ordonnancement.
II – NOTION DE PROJET, TACHE ET ORDONNANCEMENT
A. Notion de projet
Un projet est un ensemble de tâches ou opérations a, b, c, d… permettant d’atteindre un objectif fixé, lesquelles tâches sont
elles-mêmes soumises à un certain nombre de contraintes telle que :
- les contraintes potentielles
- les contraintes disjonctives
- les contraintes cumulatives
1) Contraintes potentielles
On distingue :
• Les contraintes de succession encore appelées contraintes d'antériorité qui se traduisent par le fait qu'une tâche A ne
peut commencer que si la tâche B est achevée;
• Les contraintes de localisation temporelle qui impliquent qu'une tâche A ne peut débuter avant une date imposée
(par exemple, appareil non disponible avant cette date) ou ne peut se terminer après une date imposée (exemple :
appareil à libérer impérativement avant cette date).
2) Contraintes disjonctives
Ces contraintes imposent la non réalisation simultanée de deux tâches A et B (pour des raisons d'utilisation d'un même
appareil, par exemple, ou cause de besoin de main d'œuvre).
3) Contraintes cumulatives
Elles limitent les possibilités d'ordonnancement, car elles tiennent compte de tous les facteurs productifs : hommes,
machines, moyens financiers. C'est ainsi qu'il ne saurait être question de programmer, par exemple, pour un mois donné,
des opérations qui, en temps normal, requièrent toutes ensemble, l'équivalent de six mois de travail d'un corps de métier qui
ne comporterait, sur le terrain, que deux représentants.
B. Notion de tâche
Une "tâche" ou "activité" est une opération. L'ensemble des tâches forme le projet. On peut donc la définir comme étant
l'unité ou l'élément du projet. On associe à chaque tâche sa durée et une contrainte d'antériorité par rapport aux autres
tâches. C'est ainsi, qu'on dira que A est immédiatement antérieure à B si B ne peut débuter que lorsque A est achevée.

25. 25
C. Méthode d'ordonnancement
C'est un ensemble de méthodes qui permettent au responsable du projet de prendre des décisions nécessaires dans
de meilleures conditions possibles. Une telle méthode doit donc permettre :
- d'analyser le projet en profondeur, c'est-à-dire le décomposer en tâches;
- de mettre sur pied un plan d'action contribuant à réaliser le dit projet tout en respectant les contraintes;
- et enfin, de contrôler le bon déroulement du projet.
Par conséquent, une méthode d'ordonnancement n'est ni plus ni moins qu'un problème d'organisation du projet.
Les méthodes d'ordonnancement existantes peuvent se regrouper en deux catégories selon leur principe de base.
A ce sujet, on distingue :
- les méthodes de type diagramme de Gantt (ou diagramme à barres);
- ou d'autres comme :
1) La Critical Path Method (CPM), mise au point par MorGan R.
2) Le Program Evaluation and Review Technique (PERT) datant de 1958 à l'époque où la marine américaine devait
réaliser dans les meilleurs délais, le système d'armes polaris, c'est-à-dire des missiles à longue portée, embarqués dans
des sous-marins et doté d'une ogive nucléaire sous la responsabilité de l'amiral Rayburn.
III- DIAGRAMME DE GANTT
A. but du diagramme de Gantt
C'est un graphe de planning et de prévision ayant pour but, de mettre en évidence, les durées, et de permettre,
ainsi, le contrôle, à tout moment, de l'évolution du projet, par comparaison des réalisations aux prévisions.
B. Avantages du diagramme de Gantt
- facilement compréhensible par les exécutants, de par sa clarté et sa simplicité;
- peut servir de base à des plans d'action intermédiaires plus détaillés;
- permet de suivre le déroulement des opérations dans le temps;
- résume assez bien l'analyse du projet établie par les responsables respectifs.
C. Inconvénients du diagramme de Gantt
- cache les erreurs de forme et de fond commises au niveau de l'analyse du projet;
- ne met pas en évidence les tâches critiques au niveau desquelles tout retard apporté au niveau de
l'exécution, entraîne un retard équivalent quant à la réalisation de l'ensemble du projet.
- Impossibilité de rectifier ponctuellement la durée d'une tâche précise, sans avoir à décaler d'autant les
suivantes et à redresser sinon complètement, du moins partiellement l'édifice. Si un des maillons de la
chaîne change, c'est donc tout l'édifice qui s'écroule;
- Insuffisance également dans la mise en évidence des liaisons existant entre les différentes tâches.
D. Construction du diagramme de Gantt
1) Principe de construction
Le diagramme de Gantt se présente sous la forme d'un tableau quadrillé dans lequel une colonne correspond à une
unité de temps et une ligne à une tâche ou opération. La tâche se matérialise par une barre horizontale dont la longueur
représente la durée ( de la tâche). Le travail effectif ou le déroulement réel du projet se présente parfois, par des barres
horizontales en pointillés, juste au-dessus de celle figurant les prévisions, comme l'indique la Fig.1.
2) Exemple d'application

26. 26
Un projet se décompose en 6 tâches dont les caractéristiques sont les suivantes :
Tâches Durée prévue Tâches précédentes Durée réalisée
A
B
C
D
E
F
4 mois
2 mois
3 mois
5 mois
6 mois
1 mois
sans précédents
succède à A
succède à B
}succèdent à C
succède à A
3
2
3
5
4
1
En déduire, Le diagramme de Gantt correspondant à l'état d'avancement du projet au 15ème mois.
Fig.1 : diagramme de Gantt
Temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tâches
A
B
C
D
E
F
On constate, au 15ème
mois, que toutes les tâches ont respecté les délais impartis, sauf A et E. La tâche A est en
retard d'un mois, et la tâche E de 2 mois. Les tâches B et F succèdent à A sont réalisé complètement alors que B et E
succèdent à C ne le sont pas simultanément; commencées à la même date, seule la tâche D s'est terminée dans le délai
imparti.
IV - METHODE PERT (technique d'évaluation et de contrôle des programmes)
A. But de la méthode PERT
L'objet essentiel de la "Program Evaluation and Research Task" (PERT) ou méthode des potentiel-étapes, est de
mettre en évidence les différentes liaisons qui existent entre les tâches. L'outil de base demeure le graphe du projet, c'est-à-
dire, l'organisation ou articulation des opérations les une par rapport aux autres.
B. Structure fondamentale de la méthode PERT
On peut décomposer sommairement la méthode PERT en trois phases principales, notamment celles :
1) De la confection d'un graphe traduisant l'organisation de l'ensemble des tâches, les unes par rapport aux autres, par
conséquent , la mise en évidence du projet ou du programme envisagé.
2) De la recherche du chemin critique et on peut en avoir plusieurs dans le même graphe ou réseau-PERT.
3) De l'introduction du temps, de la détermination de la durée de réalisation de l'ensemble des opération et du calcul des
marges.
4) Et de l'explication des résultats, leur interprétation et la mise sur pied d'actions correctrices.
C. Construction d'un réseau PERT
La construction de tout réseau-PERT doit obéir aux conventions fondamentales ci-dessous :
1) deux tâches successives doivent être représentées par deux flèches placées l'une à la suite de l'autre (Fig.2);

27. 27
2) chaque arc représente une tâche élémentaire. Si la tâche "i" doit être antérieure à la tâche "j", l'extrémité finale de l'arc
"i" coïncide avec l'extrémité initiale de l'arc "j";
3) les sommets des graphes représentent alors des "étapes" dans le déroulement des opérations;
Fig.2: Notion d'étapes initiales et terminales d'une tâche "i" ou "j"
i j
1 2 3
étape initiale étape terminale étape initiale étape terminale
de "i" de "i" de "j" de "j"
4) le graphe doit posséder une "entrée", sommet sans antécédent qui est l'extrémité initiale des arcs associés aux tâches
sans antécédent, c'est-à-dire, celles pouvant commencer sans préalable. Ce sommet correspond à "l'étape début des
opérations".
De même le graphe doit posséder une "sortie", sommet sans successeur l'extrémité finale des arcs associés aux tâches
sans successeur : ce sommet correspond à l'étape "fin des opérations".
5) Chaque tâche doit correspondre à une tâche et une seule.
6) Le graphe ne doit contenir ni boucles ni circuits.
7) Le graphe doit comporter le moins possible de croisements d'arcs.
8) Chaque sommet correspondant à une étape doit être représenté par un cercle à l'intérieur duquel est prévu un système
de repérage (numéro ou lettre) permettant de l'identifier et de suivre aisément l'ordre de succession des tâches.
9) Afin de faciliter la consultation du graphe, il est conseillé d'orienter les flèches de la gauche vers la droite.
3) Cas particulier d'utilisation des tâches fictives
Une tâche fictive est une tâche de durée nulle ne mettant pas en jeu aucun moyen matériel et financier. Elle est
généralement représentée par des arcs ou flèches en pointillés. L'introduction des taches fictives permet de solutionner
certaines situations complexes et de lever des ambiguïtés, par exemple lorsque deux ou plusieurs opérations sont menées
parallèlement ou lorsque deux ou plusieurs tâches ont même sommet initiale et même sommet finale.
• 1er
exemple-type
Représenter le cas suivant :
"l" succède à "j"
"k" succède à "i" et "j"
La représentation graphique correcte est :
Fig.3
i k
1 2 3
j l
1 2 3
Nota : tâche fictive (5-2)
Par contre la représentation suivante est incorrecte :
La Fig.36 signifie que "l" succède à "i" ce qui n'est pas indiqué dans l'énoncé.
Fig.4
i
k
j
l
1 2 3
1 32
4 5 6

28. 28
• 2èm
exemple-type
La Fig.5 est correcte. Le graphe de la fig.6 est inexact.
Fig.5 : Graphe correcte Fig.6 : Graphe incorrecte
i j
j i
tâche fictive
étape fictive
V - LE PERT-TEMPS
En attribuant à chaque opération une durée prévisionnelle quant à son exécution, il nous sera possible de mettre en
évidence "un chemin critique" formé d'une succession de tâches critiques au niveau desquelles tout retard sera prohibé,
sous peine de retarder d'autant la réalisation de l'ensemble du projet. Ce chemin critique représente le temps minimum
nécessaire quant à la réalisation du projet. Alors les tâches critiques rendent le programme rigide, les tâches non critiques
quant à elles, laissent une certaine marge de manœuvre dans les déroulements des travaux.
Dés que le chemin critique sera établi (et implicitement les "dates au plus tôt" et "au plus tard") il sera donc possible de
convertir le graphe PERT en diagramme de Gantt, et de contrôler aisément le déroulement des travaux. La détermination
des marges à partir des calculs des dates au plus tôt et au plus tard, permettra, en outre, de connaître encore le temps
disponible par tâche, la marge de manœuvre dont nous disposons, de déceler certains retards, d'imputer les responsabilités,
et d'apporter des actions correctrices qui s'imposent.
A. recherche du chemin critique - date au plus tôt - date au plus tard d'un événement
1) Chemin critique
On rappelle que le chemin critique est le temps minimum nécessaire quant à la réalisation du projet. Il est composé
exclusivement de tâches critiques, c'est-à-dire celles dont l'exécution ne doivent être ni retardée ni ralentie, sous peine
d'augmenter d'autant, la réalisation de l'ensemble du projet. Ce chemin passe par les sommets dont au plus tôt et au plus
tard coïncident. Son "intervalle de flottement" est nul par comparaison à celui des autres. Aussi les responsables du projet
ne jouira-t-il d'aucune liberté au niveau de ces tâches, la marge de manœuvre permise étant nulle.
2) Dates au plus tôt d'un événement
Il s'agit de la date avant laquelle une tâche ne peut démarrer. C'est donc la date attendue de réalisation d'un événement
ou date avant laquelle un événement ne peut se réaliser.
3) Date au plus tard d'un événement
C'est la date limite de réalisation d'un événement. Si l'événement venait, en effet, à se réaliser après ladite date, le
projet tout entier ne pourrait jamais se réaliser dans le délai correspondant à la longueur du chemin critique.
4) Notion d'intervalle de flottement
a - Position du problème
Pour affiner le suivi des opérations et le contrôle de la ponctualité quant au respect des dates au plus tôt et au plus
tard, il devient alors indispensable, pour le responsable du projet, de se pencher sur le degré de liberté dont il dispose, pour
éventuellement augmenter la durée d'une tâche, sans pour cela compromettre la fin du projet dans les délais impartis.
Chercher à modifier les dates au plus tôt ou au plus tard sans que le délai total de réalisation du projet n'en soit modifié,
suppose que le responsable ait à sa disposition les "intervalles de flottement" pour chaque étape ou événement. S'intéresser
davantage aux tâches qu'au événement pour connaître la marge de manœuvre dont dispose face au événements de début et
1
2
3
1 2
3

29. 29
de fin qui encadrent la tâche, sous entend que l'on s'intéresse aux "marges". On en distingue trois : la marge libre, la marge
totale, et la marge certaine.
B - Intervalle de flottement
Pour chaque sommet, on obtient un intervalle de flottement en faisant la différence entre la date au plus tard et la
date au plus tôt du même événement. Rappelons que l'intervalle de flottement est un intervalle dans lequel peut intervenir la
réalisation d'un événement sans compromettre l'exécution de l'ensemble du projet ni sa durée totale minimale.
C - Les marges
Calcul des marges
On distingue trois sortes de marges : marge totale, marge libre et marge certaine pour chaque tâche.
Evénement ou étape Evénement ou étape
Ei Ej
Date au plus Date au plus Data au plus Data au plus
tôt de Ei tard de Ei tôt de Ej tard de Ej
Tij =tâche comprise entre Ei et Ej
dij =durée de la tâche Tij
Marge libre de Tij : ML (Tij) = tj- ti- dij
Marge total de Tij : MT (Tij) = t'j- ti- dij
Marge certaine de Tij : MC (Tij) = tj- t'i- dij équivalent à 0 si MC est négative
Nota: on a toujours :
0≤MC≤ML≤MT
Signification économique et influence sur la durée du projet
4-1) La marge libre d'une opération correspond pour cette opération, au retard maximum que l'on peut
apporter à son démarrage, sans perturber la date de réalisation au plus tôt de l'événement suivant. Concrètement,
si une tâche si une tâche commence à sa date au plus tôt, et si sa durée est augmentée de sa marge libre, il n'y a pas de
perturbations dans la suite du projet, les dates au plus tôt et au plus tard des autres opérations restent inchangées. Un
retard supérieur à la marge libre se répercute sur les tâches suivantes en diminuant leurs marges.
4-2) La marge totale d'une opération est le retard maximum que l'on peut apporter à son démarrage sans perturber la
date de fin des travaux. Pratiquement, la marge totale représente la fluctuation maximale pour la tâche considérée, à
condition qu'elle est commencée le plus tôt possible. Notons que si une marge totale a été utilisée, certaines tâches
subséquentes deviennent critiques et il apparaît alors un deuxième chemin parfois appelé chemin sous-critique. En
effet, si, le retard est égale la marge totale, la tâche ne dispose plus d'aucune marge, c'est pour cela qu'elle devient
critique, de même qu'un certain nombre de tâches, qui lui succèdent. Par ailleurs, si le retard dépasse la marge totale,
l'excédent se répercute sur la date de la fin du projet qui se trouve alors décalée d'autant.
4-3) La marge certaine est le retard maximum, que l'on peut apporter à son démarrage sans perturber la date de
réalisation au plus tôt de l'événement suivant, bien que l'événement précédent n'ait été réalisé qu'à sa date limite.
5) Mise à jour d'un PERT: contrôle et surveillance du déroulement des opérations
La mise à jour d'un PERT nécessite que :
ti t'i
tj t'j
Ei
Ej

30. 30
5-1) l'on recueille des informations aussi à partir des exécutants qui les appliquent qu'à partir de la direction du projet
appelée à faire des retouches permanentes au fur et à de l'avancement des travaux.
5-2) Ces informations recueillies se présentent sous des formulaires spéciaux et compréhensibles par tous. Ces
formulaire mettront suffisamment en évidence, l'ensemble des points importants du projet auxquels les exécutants
devront consigner les dates effectivement atteintes et les écarts positifs ou négatifs observés par rapport aux
prévisions. C'est ainsi qu'il sera nécessaire de dresser la liste des tâches du projet en les classant par rubriques ou
par date de début ou de fin. Par exemple:
- Par ordre croissant de date de début au plus tôt;
- Par ordre croissant de date de début au plus tard;
- Par ordre croissant de date de fin au plus tôt;
- Par ordre croissant de date de fin au plus tard;
- Par marge totales croissantes.
En pointant le travail effectivement fait, on pourra donc facilement savoir si les dates de début et de fin ont
été ou non respectées. A ce propos, la liste des dates au plus tard permettra immédiatement de déceler les tâches
devenues critiques, tout comme la lite des marges croissantes permettra de situer l'état d'avancement de l'ensemble
du projet.
5-3) Après la collecte des informations quant à l'état d'avancement du projet et le choix du mode de leur présentation,
il faut les dépouiller soigneusement, les trier et enfin les départager, les tâches critiques (qui ne doivent souffrir
d'aucun retard) des tâches non critiques ( présentent plus de souplesse au niveau de l'exécution).
5-4) Il faudra ensuite procéder au traitement des différentes informations provenant de l'échange des données entre
les exécutants et les décideurs, et procéder aux corrections et " recorrections " diverses.
5-5) Ensuite, arrivent les phases de l'analyse et de l'interprétation.
5-6) Et enfin, la phase d'imputation des responsabilités, et la mise sur pied d'actions correctrices Suivies de
contrôles, sinon, permanents du moins intermittents permettant de s'assurer que les nouvelles mesures
correctrices sont respectées et portent leur fruit.
6) Exercice d'application sur la méthode PERT
- Thème 1 : Recherche d'un chemin critique
La réalisation d'un ouvrage se décompose en tâches A, B, C, D, E, F, G, H.
Les durées respectives sont les suivantes : A (3 jours), B(4 jours), C(4 jours), D(2 jours), E(6 jours), F(2 jours),
G(4 jours), H(1 jours). On se propose de déterminer la durée minimum nécessaire quant à la réalisation dudit ouvrage, ainsi
que les dates auxquelles doivent ou peuvent débuter les tâches pour que cette durée minimum soit respectée.
On rappelle, en effet, que les tâches A et B sont sans tâche intérieure. Par contre, la réalisation de la tâche F
nécessite l'achèvement des tâches C et D et donc A et de B, et précède la réalisation de la tâche H. Les tâches E et H sont
sans successeur, mais H suit G et F tout comme E vient immédiatement après A. Notons que C est précédé par A et que D
sui B, ainsi que le résume le tableau suivant :
Tâches A B C D E F G H
Tâches précédentes   A B A C,D B F,G
- Réponse au thème 1
1) Construction d'un réseau PERT
Nota:E:entrée du "réseau-PERT"; S= sortie du "réseau-PERT"
A(3)
B(4)
C(4)
F(2)
E(6)
D(2)
G(4)
H(1)
E
4
S
1
2
3
Fig.7

31. 31
Nom de l'étape
Date au plus tôt
Date au plus tard
2) Détermination des dates au plus tôt
a) On affecte à l'entrée, la date tE=0
b) Pour un sommet j, on calcule la date au plus tôt (tj) en posant :
Tj= Max{ti+dij}
Avec i= antécédent de j
dij= durée de l'arc (i, j)
ti= date au plus tôt du sommet i
tj= date au plus tôt du sommet j
tS= durée minimum de l'ouvrage
Fig.8 : Dates au plus tôt (à gauche du cercle)
tE= 0
t1= tE+ 3
t2= tE+ 4
t3= Max{t1+4, t2+2}
= Max{3+4, 4+2}
= 7
t4= Max{t2+4, t3+2}
= Max{4+4, 7+2}
= 9
tS= Max{t1+6, t4+1}
= Max{3+6, 9+1}
= 10
La durée minimum de l'ouvrage est de 10 jours.
3) Détermination de la date au plus tard
Pour calculer la date au plus tard, on peut adopter, la méthode suivante :
a) inversion de l'orientation de tous les arcs du graphe (une sorte de compte à rebours);
b) avec ce nouveau graphe, on calcule les dates au plus tôt ( les rôles de l'entrée et de la sortie sont inversés);
c) les dates au plus tard sont alors obtenues par différence entre la durée minimum de l'ouvrage et les dates ainsi calculées
comme le montre le graphe inversé ci-dessous (Fig.9)
Fig.9 : Dates au plus tard (à droite du cercle)
A(3)
B(4)
C(4)
F(2)
E(6)
D(2)
G(4)
H(1)
E
4
S
1
2
3
0
7
4
3
10
9

32. 32
Dates au plus tôt dans le graphe orientée Dates au plus tard
tS= 0 t'S= 10-0 =10
t4= 1 t'4= 10-1 =9
t3= t4+ 2=3 t'3= 10-3 =7
t2= Max{t4+4, t3+2} t'2= 10-5 =5
= Max{1+4, 3+2}
= 5
t1= Max{tS+6, t3+4} t'1= 10-7 =3
= Max{0+6, 3+4}
= 7
tE= Max{t1+3, t2+4} t'E= 10-10=0
= Max{7+3, 5+4}
= 10
3) Détermination du chemin critique
On reconnaît les tâches critiques par l'égalité qu'il y a entre leurs dates au plus tôt et au plus tard. Et comme le chemin
critique passe par les taches critiques depuis l'entrée (E) jusqu'à la sortie (S), il suffira donc de repérer les tâches critiques,
de passer un trait épais dessus ou alors tracer deux traits pour bien mettre en évidence ledit chemin critique (voir Fig.10).
Fig. : Récapitulation des résultats; dates au plus tôt et dates au plus tard. Chemin critique
Le chemin critique est ici A, C, F, H.
Thème 2 : Construction d’un « réseau PERT » par utilisation de niveau de génération. Chemin critique ;
calcul de marges et des intervalles de flottement.
La construction d’un entrepôt peut se décomposer en 10 tâches reliées entre elles par des conditions d’antériorité.
L’entreprise chargée de cette construction vous communique le tableau des enchaînements des différentes activités, avec
indication des durées respectives de chaque tâche (voir tableau annexe). Pour planifier son travail, elle vous demande de
représenter sur un graphe, le chemin critique indiquant le temps minimum nécessaire pour la réalisation de ce projet.
Tableau annexe
A(3)
B(4)
C(4)
F(2)
E(6)
D(2)
G(4)
H(1)
E
4
S
1
2
3
Fig.10
A(3)
B(4)
C(4)
F(2)
E(6)
D(2)
G(4)
H(1)
E
4
S
1
2
3
0
7
5
5
3
10
9

33. 33
Désignation Activités pré
requises
Durée (jours)
A Acceptation des plans
B Préparation du terrain
C Commande des matériaux
D Creusage des fondations
E Commande des portes et fenêtres
F Livraison des matériaux
G Coulage des fondations
H Livraison des portes et fenêtres
I Pose des murs et de la charpente du toit
J Mise en place des portes et des fenêtres
A
A, B
A
C
D, F
E
G
H, I
4
2
1
1
2
2
2
10
4
1
Travail à faire :
1) Construire le « réseau PERT » dans lequel l’événement sera matérialisé par un cercle comme suit :
événement
Date au plus tôt Date au plus tard
1) Déterminer le chemin critique ;
2) Calculer la marge libre, la marge totale, et la marge certaine de chaque tâche ;
3) Déterminer le flottement de chaque sommet ou événement.
Réponse du thème 2
1) Construction d’un réseau-PERT
On se sert du « tableau annexe » de l’énoncé comme dictionnaire des précédents, les premières lignes vides fournissant le
premier niveau de génération A et B). Barrant ensuite A et B où qu’ils se trouvent, on obtient le 2ème
niveau de génération et ainsi
de suite. On obtient, en définitive, les niveaux ci-dessous ainsi que le graphe associé.
N0={A, B} N1={C, D, E} N2={F, H}
N3={G} N4={I} N5={J}
Dates au plus tôt : Fig.11
Ei
ti t’i
A(4)
B(2)
C(1)
F(2)
E(2)
D(1) G(2)
J(1)
1
2
3
4
I(4)
H(10)
5
9
6
8
7

34. 34
Dates au plus tard : Fig.12
Visualisation du chemin critique : Fig.13
V(0)
2) Chemin critique (voir fig.13)
Pour déterminer le chemin critique, On adopte la même méthode que dans le thème 1, en calculant préalablement
les dates au plus tôt et au plus tard et en choisissant le chemin dont les tâches sont critiques (c’est à dire dont les tâches au plus tôt
et au plus tard coïncident). Le lecteur est donc vivement invité à s’exercer au calcul de ces dates par lui-même.
Le chemin critique est (1, 2, , 8, 9) ou (A, E, H, I), soit 17 jours. On notera, entre autres, la présence d’une tâche fictive entre A et
D.
3) Calcul des marges
Evénement ou étape Evénement ou étape
Ei Ej
Tache Eij de durée dij
A(4)
B(2)
C(1)
F(2)
E(2)
D(1) G(2)
J(1)
1
2
3
4
I(4)
H(10)
5
9
6
8
7
A(4)
B(2)
C(1)
F(2)
E(2)
D(1) G(2)
J(1)
1
2
3
4
I(4)
H(10)
5
9
6
8
7
ti t'i
tj t'j
Ei
Ej

35. 35
Date au plus Date au plus Data au plus Data au plus
tôt de Ei tard de Ei tôt de Ej tard de Ej
Ei
Tâche Eij Durée dij ti t’i tj t’j Marge totale
=t’j-ti-dij
Marge libre
=tj-ti-dij
Marge certaine
=tj-t'i-dij
A ( 1- 2)
B(1 - 3)
V(2 - 3)
C(2 - 4)
E(2 - 5)
D(3 - 6)
F(4 - 6)
H(5 - 8)
G(6- 7)
I(7 - 8)
J(8 - 9)
4
2
0
1
2
1
2
10
2
4
1
0
0
4
4
4
4
5
6
7
9
16
0
0
4
4
4
9
8
6
10
12
16
4
4
4
5
6
7
7
16
9
16
17
4
9
9
8
6
10
10
16
12
16
17
4-0-4=0
9-0-2=7
9-4-0=5
8-4-1=3
6-4-2=0
10-4-1=5
10-5-2=3
16-6-10=0
12-7-2=3
16-9-4=3
17-16-1=0
4-0-4=0
4-0-2=2
4-4-0=0
5-4-1=0
6-4-2=0
7-4-1=2
7-5-2=0
16-6-10=0
9-7-2=0
16-9-4=3
17-16-1=0
4-0-4=0
4-0-2=2
4-4-0=0
5-4-1=0
6-4-2=0
7-9-1=-3 (MC=0)
7-8-2=-3 (MC=0)
16-6-10=0
9-10-2=-3 (Mc=0)
16-12-4=0
17-16-1=0
3) Calcul des intervalles de flottement
L’intervalle de flottement d’un sommet Ei est :
IF= t’i-ti
avec
Date au plus tôt Date au plus tard
Détermination du flottement de chaque événement
Evénement Date au plus tard
t’j
Date au plus tôt
tj
Intervalle de flottement
IF= t’i-ti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t’j =0
t’j =4
t’j=9
t’j=8
t’j=6
t’j=10
t’j=12
t’j=16
t’j=17
tj=0
tj=4
tj=4
tj=5
tj=6
tj=7
tj=9
tj=16
tj=17
0
0
5
3
0
3
3
0
0
Les tâches critiques présentent toujours des « intervalles de flottement » nuls. C’est un bon moyen pour reconnaître un
chemin critique. Les nombres en gras soulignés retracent les différentes étapes empruntées par le chemin critique.
Ei
ti t’i

36. 36