Projet d'ingénierie réalisé dans le cadre du 3ème année de Génie Mécanique et Développement à l'INSA de Lyon.

1. 0
ANALYSE D’UN JOINT A BILLES
BAÑUELOS CID, Guillermo
GONZÁLEZ BALLESTEROS, Rodrigo
3GMD, Groupe 2
Projet d’ingénierie 2014-2015

2. 1
INDICE
1. INTRODUCTION
2. ETUDE ANALYTIQUE
a. Joint à une bille simplifié
b. Joint Faure
3. MODELISATION ADAMS VIEW
a. Modélisation simplifiée
b. Résultats
c. Modélisation réelle
4. CONCLUSION
5. BIBLIOGRAPHIE
6. ANNEXES

3. 2
1. Introduction
Dans ce projet on va étudier les roulements, concrètement les joints à billes. Un roulement est
un ensemble de pièces inséré entre deux organes mobiles l’un par rapport à l’autre et destiné à
remplacer un glissement par un roulement. Les principaux domaines d’application des
roulements sont les appareils ménagers, les moteurs électriques, les boîtes de transmission
industrielles, la transmission des roues d’automobile, les éoliennes, etc.
Les éléments constitutifs des roulements sont :
 La bague intérieure :
o Montée sur l’arbre.
o Partie tournante dans la majorité des cas.
o Alésage cylindrique ou conique.
 La bague extérieure :
o Montée dans le carter.
o Partie fixe dans la majorité des cas.
 Éléments roulants :
o Billes, rouleaux cylindriques, rouleaux coniques, aiguilles, etc.
o Il existe un contact ponctuel pour le cas des billes et linéaire pour le cas des
rouleaux.
 Cage :
o Maintenance des éléments de roulement à leur écartement normal.
o Empêchement du frottement entre les roulements.
Figure 1 : schéma d’un roulement à billes.

4. 3
On va s’intéresser aux roulements dont les éléments roulants sont des billes. Les roulements à
billes jouent un rôle essentiel dans les transmissions automobiles conjointement avec le joint
tripode coulissant en permettant de transformer le mouvement translationnel en un
mouvement rotationnel.
Figure 2 : Joint à 6 billes
On présente avec la figure 2 un exemple de joint à billes utilisé dans la transmission des roues
de l’automobile, le joint à 6 billes, qui est un joint homocinétique basé sur le principe des joints
à plan bissecteur. Il est constitué d’un bol ayant 6 pistes circulaires espacées de 60° ; d’une noix
ayant également 6 pistes circulaires espacées de 60° ; de 6 billes venant se loger dans les pistes
noix et pistes bol afin de transmettre les billes dans un même plan. Le tout est lubrifié par graisse
qui est retenue dans le joint par un soufflet.
On va par la suite étudier analytiquement un joint à une bille simplifié par droites puis on va le
modéliser avec le logiciel Adams View pour comparer les résultats. Finalement, on va réaliser
une modélisation du joint à billes lequel sera plus rapproché à la réalité.

5. 4
2. Étude analytique
a. Joint à une bille simplifié.
Dans cette partie on va analyser le fonctionnement d’un joint à une bille simplifié. Le joint est
présenté comme indique la figure 3. Les solides 1 et 2 sont fixés au bâti par les deux liaisons
pivot en A et B, respectivement. On représente le joint à une bille avec deux droites O2*M et
O1*M qui ont un point en commun M. Le point M symbolise la bille qui se déplace par les deux
droites. On ajoute aussi le schéma de liaisons correspondant à cette structure.
Figure 3 : Joint à une bille simplifié par droites.
Figure 4 : Schéma de liaisons.

6. 5
Le système de la Figure 3 est constitué :
 Du bâti S0 auquel on attache trois repères R0, R0*, R0**, définis de telle sorte que :
o (O,𝑥0⃗⃗⃗⃗ ) soit selon l’axe de la liaison 0-1,
o (O,𝑥0∗⃗⃗⃗⃗⃗ ) soit selon l’axe de la liaison 0-2, avec α = (𝑥0⃗⃗⃗⃗ ,𝑥0∗⃗⃗⃗⃗⃗ ), supposé constant
dans le problème,
o (O,𝑥0∗∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) soit selon la bissectrice des deux axes de liaisons précédents α/2 =
(𝑥0⃗⃗⃗⃗ ,𝑥0∗∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑥0∗∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑥0∗⃗⃗⃗⃗⃗ ),
o (O,𝑦0,0∗,0∗∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) soit selon la normale au plan défini par ces deux axes de liaison.
 De l’arbre d’entrée S1 en liaison pivot d’axe (O,𝑥0,1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec le bâti S0
o Paramètre de mouvement 1/0 : Ψ = (𝑦0⃗⃗⃗⃗ , 𝑦1⃗⃗⃗⃗ )
 De l’arbre de sortie S2 en liaison pivot d’axe (O,𝑥0∗,2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec le bâti S0
o Paramètre de mouvement 2/0 : ϕ = (𝑦0∗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑦2⃗⃗⃗⃗ )
 Aux solides S1 et S2 sont liés respectivement :
o Un axe (O1*,𝑥1∗⃗⃗⃗⃗⃗ ) faisant un angle constant β = (𝑥1⃗⃗⃗⃗ ,𝑥1∗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec l’axe de la liaison 1-
0, tel que 𝑂1 𝑂1∗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = R 𝑦1,1∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
o Un axe (O2*,𝑥2∗⃗⃗⃗⃗⃗ ) faisant un angle -β = (𝑥2⃗⃗⃗⃗ ,𝑥2∗⃗⃗⃗⃗⃗ ) avec l’axe de la liaison 2-0 tel
que 𝑂2 𝑂2∗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = R 𝑦2,2∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , et β = (𝑥2∗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑥2⃗⃗⃗⃗ ).
On envisage le fonctionnement correspondant à la liaison complémentaire : ces deux axes
(O1*,𝑥1∗⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (O2*,𝑥2∗⃗⃗⃗⃗⃗ ), sont en contact au point M où la position de ce point M est définie par
rapport à S1 et S2 par les variables auxiliaires : λ1 = 𝑂1∗ 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥1∗⃗⃗⃗⃗⃗ et λ2 = 𝑂2∗ 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥2∗⃗⃗⃗⃗⃗ .
On présente par la suite les équations traduisant la liaison complémentaire 1-2.
 Contact en M :
Soit :

7. 6
En projetant dans 0** :
Si = est solution du problème on trouve que λ1 est égale à – λ2 :
Et :
 Vitesse du point M dans son mouvement par rapport à S0 :
Par composition :
Avec :
Et :

8. 7
Soit :
Expression dans 0 :
Expression dans 0** :
L’équation de liaison donnant λ = λ1 = -λ2 est :
Soit par dérivation :
Donc on peut vérifier que :
Et, par conséquent, le point M se déplace dans un plan : (𝑂 , 𝑦0∗∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑧0∗∗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

9. 8
b. Joint Faure
Pour la modélisation du joint à billes, on a choisi à étudier le Joint Faure:
Figure 5 : Joint Faure.
Dans ce système on a ajouté en vue des droites de la modélisation simplifiée, deux solides
auxquels appartient une bille qui se déplace sur ses axes longitudinaux.
Les résultats cinématiques de la bille doivent se correspondre à ceux de la modélisation
précédente car le principe du mouvement est le même et le centre O3 de la bille correspond au
point M d'avant. La bille du joint va être maintenu en position grâce à une cage à billes avec la
forme d'un anneau sphérique dans lequel est usiné le logement cylindrique où va se déplacer la
bille dans la seule direction 𝑦4⃗⃗⃗ .
Figure 6 : Cage à billes.

10. 9
En développant l'équation de liaison de la bille (S3) avec la cage (S4) :
D'où, on a vu que le mouvement en x et z est nul, donc :
Et :
Ainsi que comme on pouvait s'y attendre, on a :
Déjà obtenu dans le modèle précédent.
On trouvera la même solution pour la vitesse du centre de la bille O3 que pour le point M de la
modélisation antérieure car ces points sont coïncidents pour nos deux systèmes. Donc:

11. 10
Et:
D'après, la vitesse de rotation de la bille (S3) par rapport à par exemple le solide 1 (S1) peut être
obtenue comme la combinaison des différentes relations précédentes:
D'où:
Et avec:
Il vient:
Soit:
Ce qui permet d'écrire que:


12. 11
3. Modélisation Adams View
Nous nous intéressons à l’étude de la liaison complémentaire entre les deux axes. D’abord, on
simplifiera l’étude en établissant la liaison complémentaire comme un point M de contact,
comme indiqué dans la figure 3. Finalement, on développera le système d’une façon plus réaliste
en modélisant le système avec deux solides au lieu de droites comme dans la figure 5. On va
commencer dans la section suivante avec l’explication détaillée de la modélisation, en
expliquant les pas, éléments et outils utilisés. On va puis analyser la cinématique du problème
par la création de graphiques de vitesse et déplacement de quelques points et éléments du
système grâce à ce logiciel.
a. Modélisation simplifiée
On modélise le joint à une bille comme indiqué précédemment. Les deux droites ont un point
en commun M qui représente la bille. Ce point doit appartenir en tout moment à chacune des
deux droites et il est capable de bouger pour celles-ci.
On commence par introduire les points avec lesquels on construira les deux solides :
Figure 7 : Points des solides.
On donne donc à la distance « a » une valeur de 0.2 m et à la distance « R » une valeur de 0.2 m
aussi. Nos solides, auxquels on appelle « Solid_2 » et « Solid_1 », sont construits de façon que
l’angle α soit de 60°. Pour respecter la symétrie selon l’axe « y » de notre modélisation ils
forment chacun un angle de α/2 avec l’axe « x », c’est-à-dire, notre axe « x » global sur Adams
correspond à l’axe « x0** » sur lequel on a basé tous les calculs dans la partie analytique. Puis on
ajoute une polyline à chacun des deux solides sur lesquelles on va baser notre joint. La position
initiale de ces droites est choisie dans la direction entre les points « point_O2 » et « point_O1 ».
Aux points « point_O12 » et « point_O22 » on met des revolute joints entre chaque solide et le
bâti qui empêchent 5 degrés de liberté et qui ne permettent que le mouvement rotationnel
selon les axes locaux « x ». En plus, on ajoute un moteur appelé « Moteur » au joint du « Solid_2 »
(celui de gauche).
Après essayer diverses méthodes pour attacher un point à deux droites avec des general
constraints, soit avec un marker appartenant au bâti soit avec des markers qui appartiennent
aux polylines, on a décidé de créer un nouvel solide. Le reste de méthodes présentent diverses
difficultés ; les plus importants sont l’absence de masse et l’impossibilité d’un marker attaché
au bâti de bouger par l’espace. Ces problèmes se solutionnent en ajoutant une petite sphère, à

13. 12
laquelle on appelle « ELLIPSOID_Bille ». Cette sphère est indépendante des solides et on ne va
se servir que de son marker « MARKER_bille ». Dû à que la seule finalité de cette sphère est de
nous permettre d’avoir un marker qui bouge par l’espace indépendant des solides on la crée
avec un rayon très petit, 1 mm, et on ne modifie pas sa masse.
Figure 8 : Caractéristiques de la sphère.
Une fois le point M est représenté comme une sphère on ajoute les conditions que notre
système doit respecter, c’est-à-dire, les relations qu’on doit ajouter pour que la bille appartienne
aux deux droites. On utilise donc des general constraints, et on les développe de la façon
suivante :
« GCON_1 » : DY(MARKER_bille,MARKER_Solid_2, MARKER_Solid_2) = 0
« GCON_2 » : DY(MARKER_bille,MARKER_Solid_1, MARKER_Solid_1) = 0
« GCON_3 » : DZ(MARKER_bille,MARKER_Solid_2, MARKER_Solid_2) = 0
« GCON_4 » : DZ(MARKER_bille,MARKER_Solid_1, MARKER_Solid_1) = 0
On fait attention à, par exemple, « GCON_1 ». Il y a une expression égalé à 0 ; la partie DY fait
référence à la distance selon l’axe local « y » du troisième marker utilisé. Dans ce cas, le troisième
marker est le « MARKER_Solid_2 », marker appartenant au « Solid_2 » qui donc bouge avec lui.
La distance est mesurée entre les deux premiers markers ; on utilise donc les markers
« MARKER_bille » et « MARKER_Solid_2 » pour mesurer la distance entre le marker appartenant
à la bille et un marker du « Solid_2 ».
Les autres trois general constraints sont également mises ; « GCON_3 » pour contrôler le
mouvement selon « z » de la bille dans la droite du « Solid_2 » encore, « GCON_2 » et
« GCON_4 » pour le mouvement entre notre point M et le « Solid_1 ».

14. 13
Figure 9 : General constraint 1.
La modélisation est maintenant finie, on peut commencer la simulation pour obtenir les
graphiques et données nécessaires. Puis on procèdera à comparer ces résultats avec ceux de la
partie analytique.
Figure 10 : Modélisation complète.

15. 14
b. Résultats
Une des caractéristiques qui font de l’ADAMS un logiciel extrêmement utile est la facilité pour
obtenir des résultats graphiques à partir du comportement cinématique du système. Ces
graphiques servent à bien comprendre le fonctionnement d’une façon plus intuitive et
permettent la facile comparaison des résultats obtenus avec d’autres différents qu’on veuille
mettre en relation.
Le graphique ci-dessous nous montre que la rotation des solides 1 et 2 par rapport à l’axe x est
correcte et qu’ils sont en phase entre eux-mêmes. Ces angles correspondent aux angles Ψ (psi)
et ϕ (phi) de l’étude analytique.
Figure 11 : Angle de rotation phi et psi du système.
La prochaine courbe est une des plus importants car elle nous montre la distance λ1 et λ2 qu’il y
a entre le point de contact M des deux droites et l’axe x du repère de la barre à laquelle
appartient chaque droite. On peut voir que λ1 et λ2 ont la même valeur mais elles ont sens
contraires, c’est-à-dire, que λ1 = -λ2 comme on a vu dans la partie analytique.
Figure 12 : Distance λ1 et λ2 de la bille par rapport à l’axe « x » de la droite.
La position du centre de masse de la bille est autre point très intéressant à analyser parce qu’il
détermine le plan de mouvement de la bille et les singularités qu’il puisse y avoir si les angles Ψ
(psi) et ϕ (phi) sont déphasés. Dans ce cas, on a considéré que Ψ = ϕ, donc le centre de masse
de la bille va se déplacer par un plan « yz » et le déplacement, la vitesse et l’accélération en « x »
seront toujours nuls.

16. 15
Figure 13 : Déplacement du centre de masse de la bille selon l’axe « y » et « z ».
Pour la vitesse et l’accélération on peut voir dans la figure ci-dessous qu’elles concordent pour
chaque axe, c’est-à-dire, une augmentation de l’accélération va augmenter la vitesse et à
l’inverse.
Figure 14 : Vitesse et accélération du centre de masse de la bille.
On peut aussi comparer ces résultats avec ceux de la vitesse pour la partie analytique. On a tracé
un graphique sur Excel à partir de l’équation de la vitesse au point M obtenue précédemment.
On l’a tracé pour deux tours complets (voir table de données dans l’Annexe 1).
On apprécie le mouvement sinusoïdal des vitesses dans la partie analytique. On voit aussi que
les graphiques des vitesses de la modélisation ont un comportement similaire mais il n’y a pas
une concordance absolue. Cette différence peut être due aux possibles singularités de la
modélisation ainsi qu’à l’influence de la gravité dans notre modèle dynamique (la partie
analytique est basée sur un modèle cinématique).

17. 16
Figure 15 : Vitesse selon l’axe « y » et « z » du point de contact M de la partie analytique.
La prochaine figure nous montre que pour le point où la somme des vitesses selon l’axe « y » et
« z » est maximal l’énergie cinétique est aussi maximal comme on peut déduire grâce à
l’équation :
𝑇 =
1
2
𝑚𝑣2
Figure 16 : Concordance entre la vitesse et l’énergie cinétique du système.
Les prochains graphiques sont les mêmes qu’avant mais pour le double de la vitesse de rotation.
De cette manière on prétend montrer que n’importe quelle vitesse on ait pour trouver les
mêmes résultats, parce qu’ils seront proportionnelles.
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0 2 4 6 8 10 12 14
Vitesse du point M
vy vz

18. 17
Figure 17 : Angle de rotation phi et psi du système.
Figure 18 : Distance λ1 et λ2 de la bile par rapport à l’axe « x » de la droite.
Figure 19 : Déplacement du centre de masse de la bille selon l’axe « y » et « z ».

19. 18
Figure 20 : Vitesse et accélération du centre de masse de la bille selon l’axe « z ».
Figure 21 : Vitesse et accélération du centre de masse de la bille selon l’axe « y ».
On peut voir qu’il y a de pics bizarres à certains moments dans la graphique de l’accélération,
comme par exemple aux moments t = 145 s, t = 215 s ou t = 285 s. Cela est dû aux singularités
de notre modélisation.

20. 19
c. Modélisation réelle
Dans cette partie on va montrer que la simplification précédemment faite est valide et on va
modéliser un système qui se rapproche plus à la réalité. On substitue les deux droites par deux
solides avec une cavité centrale pour chacun des solides par laquelle la bille va se déplacer. La
position initiale et les parties restantes restent les mêmes par rapport à la modélisation
antérieure.
Figure 22 : Modélisation avec des solides.
Après essayer de mettre différents contacts entre la bille et les barres on a décidé de continuer
avec la version avec des general constraints. On a répeté la procedure expliquée dans la page
12 pour que la bille ne bouge que suivant les deux cavités de les barres.
Figure 23 : Contact entre la bille et les solides.

21. 20
Puis on analyse le mouvement de la bille elle-même et on vérifie que les résultats se
correspondent avec ceux de la modélisation antérieure. Premièrement on voit que la position
et vitesse de la bille selon « x » restent nulles.
Figure 24 : Position du centre de masse de la bille selon les axes « x », « y » et « z ».
On veut aussi la relation entre sa vitesse et accélération selon les directions « y » et « z » et la
proportionnalité entre vitesse et énergie cinétique.
Figure 25 : Vitesses du centre de masse de la bille et énergie cinétique.
Figure 26 : Vitesse et accélération du centre de masse de la bille selon l’axe « z ».

22. 21
Figure 27: Vitesse et accélération du centre de masse de la bille selon l’axe « y ».

23. 22
4. CONCLUSION
L’objectif de ce projet est que l’étudiant se pose les bonnes questions devant les problèmes
que puissent apparaitre pendant la réalisation du travail. Ainsi, nous avons eu à résoudre les
problèmes nous-mêmes et ceci est primordial pour devenir un bon ingénieur.
Plus précisément, le sujet du projet nous a semblé intéressant car le joint à billes est une
liaison cinématique très utilisée dans beaucoup de domaines, comme dans l’automobilisme
où les éoliennes. Une chose aussi importante que la transmission des roues d’une
automobile est effectuée grâce aux joints à billes, donc c’est impérative la bonne
connaissance de ce mécanisme.
Du point de vue du logiciel, nous avons trouvé intéressantes des multiples possibilités que
l’Adams View offre parce que c’est un outil très visuel qui permet de faire une étude précis
et intuitive car on travaille toujours avec le système qu’on veut analyser et on fait des
modifications directement à lui-même. En plus, l’Adams a une grande variété des
paramètres pour mesurer et on peut jouer avec la superposition des courbes, ce qui donne
une grande liberté pour comparer les inconnues souhaitées.
Finalement, nous considérons cette initiative très enrichissante pour le devenir d’un
ingénieur.

24. 23
5. BIBLIOGRAPHIE
Sébastien SERVETO. Thèse pour l’obtention du grade de Docteur de l’Uiniversité de Maine,
Faculté des Sciences et Techniques. 2008.
Pierre GUIMBRETIÈRE. Joints homocinétiques. Ed. Techniques ingénieurs, 1996.
Adeline BOURDON; Lionel MANIN; Daniel PLAY. Détermination des éléments de machines.
Dimensionnement, liaisons, conception intégrée. Ed. Ellipses Édition marketing, 2014.

25. 24
6. ANNEXES
Annexe 1