Cours sur le béton-armé

1. Cours de B´ton Arm´
e
e
IUP GCI3 option OS
Ann´e 2004/05
e
Olivier Gagliardini
´
IUP Genie Civil et Infrastructures,
UJF-Grenoble I

3. `
TABLE DES MATIERES
3
Table des mati`res
e
Liste des Figures
1 Avant-propos
1.1 Notations (Annexe C) . . . . . .
1.1.1 Majuscules Romaines . .
1.1.2 Minuscules Romaines . .
1.1.3 Minuscules Grecs . . . .
1.2 Unit´s . . . . . . . . . . . . . .
e
1.3 Conventions de signes en BA . .
1.4 Domaine d’application du BAEL
7
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14
2 Caract´ristiques des mat´riaux
e
e
2.1 Le b´ton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.1 Comportement exp´rimental . . . . .
e
2.1.2 Mod´lisation - Calculs r´glementaires
e
e
2.2 Les aciers d’armature . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 De quel type ? . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sous quelle forme ? . . . . . . . . . .
2.2.3 Mod´lisation du comportement . . . .
e
2.2.4 Fa¸onnage des aciers . . . . . . . . .
c
2.3 L’adh´rence acier-b´ton . . . . . . . . . . . .
e
e
2.3.1 Aspect exp´rimental . . . . . . . . . .
e
2.3.2 Approche th´orique . . . . . . . . . .
e
2.3.3 Ancrage rectiligne . . . . . . . . . .
2.3.4 Ancrage courbe . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Pouss´e au vide . . . . . . . . . . . .
e
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3 Dispositions constructives diverses
3.1 Protection des armatures . . . . . .
3.2 Possibilit´s de b´tonnage correct . .
e
e
3.2.1 Diam`tre maximal des aciers
e
3.2.2 Espacement minimum . . . .
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4 Dimensionnement des sections en flexion simple
4.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e
e
4.1.1 Domaine d’application . . . . . . . . .
4.1.2 Port´es des poutres . . . . . . . . . . .
e
4.2 Flexion simple ` l’ELU . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2.1 Hypoth`ses . . . . . . . . . . . . . . .
e
4.2.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Droites de d´formation - Pivots . . . . .
e
4.2.4 Equations de l’´quilibre . . . . . . . . .
e
4.2.5 Compatibilit´ des d´formations . . . . .
e
e
4.2.6 Adimensionnement : . . . . . . . . . . .
4.2.7 Calcul des sections d’acier . . . . . . .
4.2.8 Pr´-dimensionnement . . . . . . . . . .
e
4.3 Flexion simple ` l’ELS . . . . . . . . . . . . . .
a
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OG 2004

4. 4
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
4.4
4.5
4.6
4.3.1 Hypoth`ses . . . . . . . . . . . . . .
e
4.3.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Equations de l’´quilibre . . . . . . . .
e
4.3.4 Compatibilit´ des d´formations . . . .
e
e
4.3.5 Contraintes limites dans les mat´riaux
e
4.3.6 Dimensionnement et v´rification . . .
e
Section en T . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Pourquoi des sections en T ? . . . . .
4.4.2 Fonctionnement des sections en T . .
4.4.3 Calcul des vrais sections en T . . . . .
Condition de non fragilit´ . . . . . . . . . . .
e
Choix du dimensionnement . . . . . . . . . .
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5 Sollicitation d’effort tranchant
48
5.1 Dimensionnement des sections sous sollicitation d’effort tranchant (A.5.1,2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.1 Contrainte tangente conventionnelle (A.5.1,1) . . . . . . 48
5.1.2 ELU des armatures d’ˆme (A.5.1,23) . . . . . . . . . . . 48
a
5.1.3 ELU du b´ton de l’ˆme (A.5.1,21) . . . . . . . . . . . . 48
e
a
5.1.4 Dispositions constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.5 Justification des sections d’appuis (A.5.1,3) . . . . . . . 49
5.1.6 R´partition des armatures transversales . . . . . . . . . 50
e
5.2 V´rifications diverses li´es ` l’existence de l’effort tranchant . . . 51
e
e a
5.2.1 Entraˆ
ınement des armatures (A.6.1,3) . . . . . . . . . . 51
5.2.2 D´calage de la courbe du moment fl´chissant (A.4.1,5) . 52
e
e
5.3 R`gles des coutures g´n´ralis´es (A.5.3 ) . . . . . . . . . . . . . 53
e
e e
e
5.3.1 R`gle g´n´ralis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
e
e e
e
5.3.2 Section d’acier de couture . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.3 Liaison hourdis/ˆme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
a
5.3.4 Liaison talon/ˆme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
a
6 Dalles sur appuis continus (A.8.2 ; B.7
6.1 D´finitions et Notations . . . . . . .
e
6.2 Domaine d’application (A.8.2 ) . . .
6.3 Dalle articul´e sur ces contours . . .
e
6.3.1 Cas des charges r´parties . .
e
6.3.2 Autres types de charges . . .
6.4 Prise en compte de la continuit´ . .
e
6.5 Ferraillage des dalles . . . . . . . . .
6.5.1 Sections d’acier . . . . . . .
6.5.2 Arrˆt de barres . . . . . . .
e
6.6 Sollicitation d’effort tranchant . . .
6.7 Ouvertures et tr´mies . . . . . . . .
e
6.8 Etat limite de d´formation . . . . .
e
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E.3)
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62

5. `
TABLE DES MATIERES
5
7 Poutres et Planchers continus
7.1 Particularit´s li´es au B´ton Arm´ . . . . . . . .
e e
e
e
7.1.1 Rappel de R´sistance des Mat´riaux . . .
e
e
7.1.2 Adaptation du B´ton Arm´ . . . . . . . .
e
e
7.1.3 Ph´nom`ne d’amortissement . . . . . . .
e
e
7.2 Domaines d’application des m´thodes propres aux
e
7.3 M´thode forfaitaire (Annexe E.1 ) . . . . . . . .
e
7.3.1 Domaine d’application B.6.210 . . . . . .
7.3.2 Application de la m´thode . . . . . . . .
e
7.3.3 Armatures longitudinales . . . . . . . . .
7.3.4 Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . .
7.4 M´thode de Caquot (Annexe E.2 ) . . . . . . . .
e
7.4.1 Domaine d’application B.6.220 . . . . . .
7.4.2 Principe de la m´thode . . . . . . . . . .
e
7.4.3 Evaluation des moments sur appui . . . .
7.4.4 Moments en trav´e . . . . . . . . . . . .
e
7.4.5 Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . .
7.4.6 Trac´ des Moments fl´chissants . . . . . .
e
e
7.4.7 Trac´ de l’´pure d’arrˆt de barres . . . . .
e
e
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7.5 D´formation des poutres (BAEL B.6.5,1 ) . . . .
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75
78
8 D´formation des ´l´ments fl´chis
e
ee
e
8.1 Valeurs limites des fl`ches (B.6.5,3) . . . . . . . . . .
e
8.2 Evaluations des fl`ches . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
8.2.1 Influence de la fissuration . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Influence de la dur´e d’application des charges .
e
8.2.3 Fl`ches pour la section fissur´e . . . . . . . . .
e
e
8.2.4 Calcul des fl`ches . . . . . . . . . . . . . . . .
e
8.2.5 Fl`che nuisible . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Poteaux en compression simple
9.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
9.2 Elancement d’un poteau . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Justification des poteaux (B.8.4) . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Effort normal r´sistant th´orique . . . . . . . .
e
e
9.3.2 Effort normal r´sistant ultime . . . . . . . . . .
e
9.4 Dispositions constructives et recommandations diverses
9.4.1 Evaluation des charges verticales (B.8.1,1) . . .
9.4.2 Coffrage minimal . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Section d’acier de calcul . . . . . . . . . . . .
9.4.4 Ferraillage minimal . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.5 Armatures transversales A.8.1,3 . . . . . . . .
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10 Fondations superficielles
10.1 G´n´ralit´s et d´finitions . . . . . . . .
e e
e
e
10.1.1 Notations . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Profondeur hors-gel . . . . . . .
10.1.3 Dimensions minimales-maximales
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OG 2004

6. 6
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
10.1.4 Solutions en fonction du type de porteurs . . . . . . .
10.2 Condition de portance du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Semelle sous mur non-arm´e transversallement . . . . . . . . .
e
10.4 Semelle en b´ton arm´, continue sous mur . . . . . . . . . . .
e
e
10.4.1 Domaine d’application de la m´thode des bielles : . . .
e
10.4.2 Principe de la m´thode des bielles : . . . . . . . . . .
e
10.5 Semelle isol´e sous poteau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
10.6 Semelles ´quilibrant un effort normal et un moment fl´chissant
e
e
10.7 Semelles excentr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
11 El´ments soumis ` de la flexion compos´e
e
a
e
11.1 Notations et donn´es du probl`me . . . .
e
e
11.2 Section enti`rement tendue . . . . . . . .
e
11.3 Section partiellement comprim´e (tendue)
e
11.4 Section enti`rement comprim´e . . . . . .
e
e
11.5 Diagrammes d’interaction . . . . . . . . .
12 Ouvrages de r´f´rence
ee
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96
96
97
98
100
101
104

7. LISTE DES FIGURES
7
Liste des figures
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
D´finition des conventions de signe et notations (cas plan). . . . 13
e
Courbe contrainte-d´formation d’un essai de compression. . . . . 16
e
Essai Br´silien sur ´prouvette cylindrique. . . . . . . . . . . . . 16
e
e
Contrainte appliqu´e et d´formation engendr´e en fonction du
e
e
e
temps pour un essai de fluage d’´prouvette de b´ton. . . . . . . 17
e
e
Evolution de la r´sistance fcj en fonction de l’ˆge du b´ton. . . 18
e
a
e
Evolution de la r´sistance ` la traction ftj en fonction de celle `
e
a
a
la compression fcj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Evolution du module de Young diff´r´ Evj en fonction de la
ee
r´sistance caract´ristique ` la compression du b´ton fcj . . . . . 20
e
e
a
e
D´finition du diagramme contrainte-d´formation de calcul ` l’ELU. 21
e
e
a
Diagrammes contrainte-d´formation d’essais de traction sur les
e
diff´rents types d’acier d’armature. . . . . . . . . . . . . . . . . 22
e
Section en cm2 de 1 ` 20 armatures de diam`tre φ en mm. . . 23
a
e
Treillis Soud´s standards distribu´s par l’ADETS. . . . . . . . . 24
e
e
Diagramme contrainte-d´formation de calcul de l’acier ` l’ELU. . 25
e
a
Longueur d´velopp´e des cadres, ´triers et ´pingles. . . . . . . . 25
e
e
e
e
Principe du dispositif exp´rimental pour r´aliser un essai d’arrae
e
chement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Courbes caract´ristiques obtenues pour des essais d’arrachement
e
sur un acier HA et un rond lisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Mod´lisation d’un essai d’arrachement : la barre dans le b´ton, la
e
e
barre isol´e avec les contraintes r´sultantes de l’action du b´ton,
e
e
e
l’effort dans la barre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
28
Evolution de la longueur de scellement droit en fonction de fcj .
D´finition d’un ancrage courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
e
Equilibre d’un tron¸on ´l´mentaire d’un ancrage courbe. . . . . 30
c ee
D´finition de l’ancrage normal (A.6.1,253). . . . . . . . . . . . 31
e
Dispositions constructives ` mettre en œuvre pour se pr´munir
a
e
des d´sordres dus ` la pouss´e au vide. . . . . . . . . . . . . . . 32
e
a
e
Protection des armatures et conditions de b´tonnage correct. . . 33
e
Nombre de barres en fonction de la largeur de b´ton. . . . . . . 34
e
D´finition de la port´e d’une poutre selon qu’elle repose sur des
e
e
appareils d’appuis, des ´l´ments en ma¸onnerie ou en b´ton arm´. 36
ee
c
e
e
D´finition des diagrammes contrainte-d´formation parabole-rectangle
e
e
Figure (8) et rectangulaire simplifi´ dans la section de b´ton
e
e
comprim´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
e
Notations utilis´es pour les calculs de flexion simple ` l’ELU. . . 37
e
a
D´finitions des diff´rentes droites de d´formation possibles en
e
e
e
flexion simple ` l’ELU et des Pivots. . . . . . . . . . . . . . . . 37
a
Valeurs de αu , du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus
σst en fonction de la valeur du moment ultime r´duit µu . . . . . 39
e
Notations utilis´es pour les calculs en flexion simple ` l’ELS. . . 40
e
a
Etapes du dimensionnement des sections d’acier et de la v´rification
e
des contraintes en flexion simple ` l’ELS. . . . . . . . . . . . . . 42
a
OG 2004

8. 8
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Abaques de Dimensionnement et de v´rification en flexion simple
e
` l’ELS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Dimensions des d´bords ` prendre en compte pour le calcul d’une
e
a
poutre en T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notations utilis´es pour le calcul d’une poutre en T. . . . . . . .
e
Principe du calcul de la section d’acier pour une poutre en T `
a
l’ELU : le moment ultime est repris d’une part par les d´bords
e
de la table et d’autre part par la partie de l’ˆme au dessus de
a
l’axe neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe du calcul de la section d’acier pour une poutre en T `
a
l’ELS : la r´sultante des contraintes de compression est calcul´e
e
e
comme la diff´rence des contraintes s’appliquant sur une surface
e
b × y1 en 2y1 /3 et celles s’appliquant sur une surface (b − b0 ) ×
(y1 − h1 ) en 2(y1 − h1 )/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Choix de l’´tat limite dimensionnant. . . . . . . . . . . . . . . .
e
D´finition de la largeur a de la bielle de compression au niveau
e
d’un appui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple de trac´ de la r´partition des cadres dans une poutre
e
e
en fonction de la courbe enveloppe de l’effort tranchant. . . . .
D´finition du p´rim`tre utile d’un paquet de barres. . . . . . . .
e
e e
Fonctionnement de la section de b´ton arm´ selon un treillis de
e
e
Ritter-M¨rsch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Equilibre d’une surface ´l´mentaire du plan [P ]. . . . . . . . . .
ee
Notations et ´quilibre d’un demi-hourdis d’une poutre en T. . .
e
Notations pour le calcul des aciers de couture ` la liaison taa
lon/ˆme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Abaques de Mougin pour le calcul des moments dans une dalle
de dimensions lx /ly = 0.5 supportant une charge uniforme sur
un rectangle de dimensions a × b. Voir le texte pour l’utilisation.
Exemple de valeurs pour les moments en trav´e et sur appuis. .
e
Exemple de calepinage des TS de la nappe inf´rieure d’une dalle.
e
a : notations utilis´es pour l’´tude d’une poutre continue. b :
e
e
d´finition de la trav´e isostatique de r´f´rence. c d´composition
e
e
ee
e
du chargement sur la trav´e isostatique de r´f´rence en trois
e
ee
chargements simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a : D´finition des trois poutres de port´e l, de mˆme section de
e
e
e
b´ton et arm´e chacune par une section d’acier A0 . b : Allure de
e
e
la fissuration dans les trois poutres pour en d´but chargement.
e
c Allure de la fissuration ` la rupture. . . . . . . . . . . . . . .
a
Forme du ferraillage a adopter dans une poutre continue . . . .
Comparaison du moment fl´chissant obtenu dans une poutre
e
continue par application d’une force ponctuelle sur la trav´e de
e
rive, dans le cas de la th´orie de la RdM et dans le cas du b´ton
e
e
arm´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Conditions donn´es par la m´thode forfaitaire ` v´rifier par les
e
e
a e
moments sur appui et en trav´e pour des poutres ` deux trav´es
e
a
e
et plus de deux trav´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Arrˆt des barres forfaitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
43
44
44
45
46
47
50
51
52
52
53
55
56
59
60
62
64
66
67
67
69
70

9. LISTE DES FIGURES
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
9
Valeur forfaitaire de l’effort tranchant dans des poutres continues
` deux trav´es et plus de deux trav´es. . . . . . . . . . . . . . .
a
e
e
Notations pour le calcul des moments sur appui par la m´thode
e
de Caquot dans le cas de charges r´parties. . . . . . . . . . . .
e
Notations pour le calcul des moments sur appui par la m´thode
e
de Caquot dans le cas de charges ponctuelles. . . . . . . . . . .
D´finition des trois cas de charge ` prendre en compte. Chacun
e
a
de ces trois cas correspond ` une valeur extrˆme des moments
a
e
de la deuxi`me trav´e et des appuis 2 et 3. A l’ELU C =
e
e
1.35g + 1.5q et D = 1.35g et ` l’ELS C = g + q et D = g. . . .
a
Cas de charge conduisant ` la valeur maximale de l’effort trana
chant sur l’appui i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme du tableau ` remplir pour appliquer la m´thode de Caquot
a
e
Trac´ des moments fl´chissants des trois cas de charge et de la
e
e
courbe enveloppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M´thode graphique pour tracer une parabole et trouver la valeur
e
maximale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M´thode pour tracer une parabole sous AutoCAD. . . . . . . .
e
D´finition de la valeur du moment r´sistant en fonction de l’arrˆt
e
e
e
des barres du ferraillage longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . .
D´finition de l’ordre d’arrˆt des barres en fonction de leur posie
e
tion dans le section. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Epure d’arrˆt des barres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Epure d’arrˆt de barres de l’exemple trait´. . . . . . . . . . . . .
e
e
Courbes enveloppes de la fl`che r´elle d’un ´l´ment soumis ` de
e
e
ee
a
la flexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D´finition de la longueur de flambement pour diff´rentes condie
e
tions de liaison du poteau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs des longueurs de flambement des poteaux d’un bˆtiment.
a
Variation du coefficient α en fonction de l’´lancement λ . . . .
e
Effort normal ` prendre en compte dans les poteaux supportant
a
une poutre continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Acier ` prendre en compte pour le calcul de Nu . . . . . . . . . .
a
Espacement maximal des armatures longitudinales d’un poteau.
Notations pour les fondations superficielles. . . . . . . . . . . .
Dimensions minimales d’une fondation superficielle. . . . . . . .
D´finitions d’une semelle filante et d’une semelle isol´e. . . . . .
e
e
Valeur de la contrainte ` prendre en compte pour v´rifier la
a
e
condition de portance du sol, en fonction de la r´partition des
e
contraintes sous la semelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Semelle filante en gros b´ton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
D´finition des excentricit´s es et ep et des notations d´finissant
e
e
e
la g´om´trie de la fondation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e
Transmission de l’effort normal selon des bielles de b´ton come
prim´es. Equilibre d’un tron¸on ´l´mentaire d’armature. . . . . .
e
c ee
Arrˆt forfaitaire des barres lorsque ls ≤ b /8. . . . . . . . . . . .
e
Evolution de l’effort normal dans les aciers F (x) et de l’effort
normal r´sistant NRs des barres en fonction du rapport ls /b . . .
e
70
72
72
73
74
74
75
76
77
77
78
79
80
82
84
85
86
87
87
88
89
90
90
90
91
91
92
93
93
OG 2004

10. 10
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
82
83
84
85
86
87
88
89
Fonctionnement d’une semelle excentr´e avec longrine. . . . . .
e
Chargement ` prendre en compte pour le calcul d’une poutre de
a
redressement (longrine) et allure du ferraillage ` mettre en place.
a
Notations utilis´es pour d´finir la g´om´trie de la section en
e
e
e e
flexion compos´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Droites de d´formation en flexion compos´e dans le cas o` la
e
e
u
section est enti`rement tendue. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Droites de d´formation en flexion compos´e dans le cas o` la
e
e
u
section est partiellement tendue/comprim´e. . . . . . . . . . . .
e
Droites de d´formation en flexion compos´e dans le cas o` la
e
e
u
section est enti`rement comprim´e. . . . . . . . . . . . . . . . .
e
e
Droites de d´formation limites qui correspondent au passage du
e
comportement ´lastique au comportement plastique des aciers
e
tendus ou comprim´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Exemple de diagramme d’interaction. . . . . . . . . . . . . . . .
94
95
96
97
98
101
102
103

11. 1.1
Notations (Annexe C)
1
Avant-propos
1.1
1.1.1
Notations (Annexe C)
Majuscules Romaines
A (ou As ou Al )
At
B
Es
Eij
Evj
F
I1
Mser
Mu
Nser
Nu
P
Q
Sn
Vu
W
1.1.2
11
: Aire d’une section d’acier (longitudinal)
: Somme des aires des sections droites d’un cours
d’armatures transversales
: Aire d’une section de b´ton
e
: Module de Young de l’acier
: Module de Young instantan´ ` l’ˆge de j jours
ea a
: Module de Young diff´r´ ` l’ˆge de j jours
eea a
: Force ou action en g´n´ral
e e
: Moment d’inertie de la section homog´n´is´e par
e e e
rapport au b´ton (ELS)
e
: Moment fl´chissant de calcul de service
e
: Moment fl´chissant de calcul ultime
e
: Effort normal de calcul de service
: Effort normal de calcul ultime
: Action permanente
: Action d’exploitation
: R´sultante des charges de neige
e
: Effort tranchant de calcul ultime
: R´sultante des actions du vent
e
Minuscules Romaines
a
a (et b )
b
b0
d (et d )
:
:
:
:
:
e
fe
fcj
:
:
:
ftj
:
g
h
h0
h1
i
j
:
:
:
:
:
:
Largeur d’un poteau
Dimension d’une fondation
Largeur d’une poutre (table), d’un poteau
Largeur de l’ˆme d’une poutre
a
Position des armatures tendues (et comprim´es) par
e
rapport ` la fibre la plus comprim´e de la section de
a
e
b´ton
e
Excentricit´ de l’effort normal, Epaisseur d’une dalle
e
Limite d’´lasticit´ de l’acier
e
e
R´sistance caract´ristique ` la compression du b´ton
e
e
a
e
ˆg´ de j jours
a e
R´sistance caract´ristique ` la traction du b´ton ˆg´
e
e
a
e
a e
de j jours
Charge permanente unitaire
Hauteur d’une poutre, d’une fondation
Hauteur du talon d’une poutre
Hauteur du hourdis d’une poutre
Rayon de giration d’une section
Nombre de jours de maturit´ du b´ton
e
e
OG 2004

12. 12
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
l
ls
lf
n
q
st
u
x
y
y1
yu
z (ou zb )
1.1.3
α
αu
γs
γb
bcmax
st
sc
η
λ
µser
µu
ν
ρ
σ
σbcmax
σst
σsc
τ
τu
τs
τse
ϕ
φl
φt
ψs
: Port´e d’une poutre ou d’une dalle, hauteur d’un
e
poteau
: Longueur de scellement droite
: Longueur de flambement
: Coefficient d’´quivalence acier-b´ton
e
e
: Charge permanente unitaire
: Espacement des armatures transversales
: P´rim`tre
e e
: Abscisse
: Ordonn´e
e
: Profondeur de l’axe neutre calcul´e ` l’ELS
e a
: Profondeur de l’axe neutre calcul´e ` l’ELU
e a
: Bras de levier du couple de flexion
Minuscules Grecs
: Angle d’une armature avec la fibre moyenne, coefficient sans dimension en g´n´ral (tr`s utilis´!) (ale e
e
e
pha)
: Profondeur de l’axe neutre adimensionn´e ` l’ELU
e a
: Coefficient partiel de s´curit´ sur l’acier (gamma)
e
e
: Coefficient partiel de s´curit´ sur le b´ton
e
e
e
: D´formation maximale du b´ton comprim´ (epsilon)
e
e
e
: D´formation des armatures tendues
e
: D´formation des armatures comprim´es
e
e
: Coefficient de fissuration relatif ` une armature
a
(eta)
: Elancement m´canique d’une pi`ce comprim´e
e
e
e
(lambda)
: Moment ultime r´duit ` l’ELS (mu)
e
a
: Moment ultime r´duit ` l’ELU
e
a
: Coefficient de poisson (nu)
: Rapport de la section d’acier sur celle du b´ton (rho)
e
: Contrainte normale (sigma)
: Contrainte maximale du b´ton comprim´
e
e
: Contrainte dans les aciers tendus
: Contrainte dans les aciers comprim´s
e
: Contrainte tangente (tau)
: Contrainte tangente conventionnelle
: Contrainte d’adh´rence
e
: Contrainte d’adh´rence d’entraˆ
e
ınement
: Coefficient de fluage (phi)
: Diam`tre d’une armature longitudinale
e
: Diam`tre d’une armature transversale
e
: Coefficient de scellement relatif ` une armature
a
(psi)

13. 1.2
1.2
Unit´s
e
13
Unit´s
e
Les unit´s utilis´es en b´ton arm´ sont celles du syst`me international (USI) et
e
e
e
e
e
leurs multiples :
m, (cm, mm)
e
: Longueur, dimension, port´e
cm2
: Section d’acier
m2
: Section
kN , (N , M N )
: Charge ponctuelle
kN m−1 , (N m−1 ,M N m−1 ) : Charge lin´ique
e
−2 , (N m−2 , M N m−2 ) : Charge surfacique
kN m
kN m−3 , (N m−3 , M N m−3 ) : Charge volumique
kN m, (N m, M N m)
: Moment
M P a, (P a, kP a)
: Contrainte
Une conversion bien utile : 1 M P a = 1 M N m−2 = 1 N mm−2 = 106 P a.
On rencontre encore parfois le bar comme unit´ de contrainte : 1 bar =
e
−2 et 10 bar ≈ 1 M P a.
1 kgcm
1.3
Conventions de signes en BA
Par convention, les sollicitations sont ´gales aux efforts et moments ` droite
e
a
de la section (selon x+ ). Dans le cas particulier d’un chargement plan, ces
conventions de signe et notations sont pr´sent´es sur la Figure 1, o`
e
e
u
- Nx est l’effort normal,
- Vy l’effort tranchant,
- Mz le moment fl´chissant.
e
Avec cette convention, on a :
Fig. 1: D´finition des conventions de signe et notations (cas plan).
e
Vy (x) = −
d Mz (x)
dx
.
On remarquera que contrairement aux conventions RdM classiques, un effort
normal positif correspond ` une compression. De mˆme, on adopte une convena
e
tion particuli`re pour les contraintes : les contraintes de compression sont poe
sitives.
On pourra retenir qu’une valeur positive du moment fl´chissant (Mz > 0)
e
OG 2004

14. 14
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
implique que les fibres inf´rieures (du cot´ de y − ) sont tendues (d´formation
e
e
e
positive et contrainte n´gative).
e
Avec ces conventions, la contrainte normale dans la section droite est donn´e
e
par :
Mz (x)
N
σxx (x, y) =
y+ .
Izz
S
o` Izz est le moment quadratique de la section par rapport ` Gz et S sa surface.
u
a
1.4
Domaine d’application du BAEL
Les r`gles BAEL91 modifi´es 99 sont applicables ` tous les ouvrages en b´ton
e
e
a
e
arm´, dont le b´ton est constitu´ de granulats naturels normaux, avec un dosage
e
e
e
en ciment au moins ´gal ` 300 kg/m3 de b´ton mis en œuvre (A.1.1).
e
a
e
On distingue :
- les constructions courantes ayant une charge d’exploitation Q mod´r´e Q <
ee
2G ou Q < 5 kN m−2 .
- les constructions industrielles ` charge d’exploitation relativement ´lev´e :
a
e e
Q > 2G ou Q > 5 kN m−2 .
- les constructions sp´ciales pour lesquelles certaines parties sont assimil´es
e
e
` des ´l´ments de construction courante, d’autres ` des ´l´ments de construca
ee
a
ee
tion industrielle et d’autres rel`vent de l’application des r`gles g´n´rales (par
e
e
e e
exemple un parking de voitures couvert par un plancher sous chauss´e).
e
Les constructions suivantes restent en dehors du domaine d’application :
- les constructions en b´ton non arm´,
e
e
- les constructions en b´ton l´ger,
e
e
- les constructions mixtes acier-b´ton,
e
- les constructions en b´ton de r´sistance caract´ristique sup´rieure ` 80 M P a
e
e
e
e
a
(pour les r´sistances de 60 ` 80 M P a se reporter ` l’Annexe F des r`gles moe
a
a
e
difi´es en 99),
e
- les ´l´ments soumis ` des temp´ratures s’´cartant de celles qui r´sultent des
ee
a
e
e
e
seules influences climatiques.

15. 15
2
Caract´ristiques des mat´riaux
e
e
L’objectif de cette partie est de pr´senter les principales caract´ristiques des
e
e
mat´riaux utilis´s en B´ton Arm´, puis les mod`les adopt´s pour conduire les
e
e
e
e
e
e
calculs r´glementaires.
e
Concept du B´ton Arm´ Le b´ton de ciment pr´sente des r´sistances ` la
e
e
e
e
e
a
compression assez ´lev´es, de l’ordre de 25 ` 40 M P a, mais sa r´sistance ` la
e e
a
e
a
traction est faible, de l’ordre de 1/10 de sa r´sistance en compression. De plus,
e
le b´ton de ciment a un comportement fragile.
e
L’acier pr´sente une tr`s bonne r´sistance ` la traction (et aussi ` la compression
e
e
e
a
a
pour des ´lancements faibles), de l’ordre de 500 M P a, mais si aucun traitement
e
n’est r´alis´, il subit les effets de la corrosion. De plus, son comportement est
e e
ductile, avec des d´formations tr`s importantes avant rupture (de l’ordre de la
e
e
dizaine de %).
Pour pallier ` la faible r´sistance du b´ton en traction et ` sa fragilit´, on lui
a
e
e
a
e
associe des armatures en acier : c’est le b´ton arm´.
e
e
2.1
Le b´ton
e
On se limitera ici aux aspects relatifs au comportement m´canique du b´ton.
e
e
Pour les aspects relatifs ` sa composition et ` sa mise en œuvre, on se r´f´rera
a
a
ee
au cours sur les b´tons.
e
2.1.1
Comportement exp´rimental
e
e
e
e
a
Essais de compression Le b´ton pr´sente une relative bonne r´sistance ` la
compression. Les r´sistances obtenues d´pendent de la composition. En g´n´ral,
e
e
e e
les essais sont r´alis´s sur des ´prouvettes normalis´es, appel´es 16×32, de forme
e e
e
e
e
cylindrique de hauteur 32 cm et de diam`tre 16 cm (Aire de 200 cm2 ).
e
A partir d’une courbe contrainte-d´formation d’un essai de compression (Fie
gure 2), on peut tirer les grandeurs suivantes :
- le module de Young instantan´ Eij ≈ 30 000 M P a,
e
- la contrainte maximale σmax ≈ 20 ∼ 40 M P a,
- la d´formation maximale ` la rupture ≈ 2 ◦/◦◦ = 2 10−3 .
e
a
Essais de traction Il est beaucoup plus difficile de faire des essais en traction.
On distingue :
- Les essais de traction directe avec des ´prouvettes coll´es,
e
e
- Les essais de traction indirecte tels que l’essai Br´silien ou l’essai en flexion
e
quatre points.
Pour les essais en traction indirecte, la d´duction du comportement en traction
e
n´cessite une interpr´tation de l’essai via un mod`le. Par exemple, pour l’essai
e
e
e
Br´silien qui consiste ` fendre une ´prouvette cylindrique comme indiqu´ sur la
e
a
e
e
Figure 3, la r´sistance ` la traction est donn´e par :
e
a
e
Rt =
2F
πDh
OG 2004

16. 16
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 2: Courbe contrainte-d´formation d’un essai de compression.
e
o` F est l’effort ` la rupture.
u
a
Fig. 3: Essai Br´silien sur ´prouvette cylindrique.
e
e
On retiendra que la r´sistance ` la traction du b´ton est beaucoup plus faible
e
a
e
que celle ` la compression :
a
Rc
Rt ≈
10
Fluage du b´ton Sous chargement constant, la d´formation du b´ton auge
e
e
mente continuellement avec le temps (voir Figure 4). Pour le b´ton, les d´formations
e
e
de fluage sont loin d’ˆtre n´gligeables puisqu’elles peuvent repr´senter jusqu’`
e
e
e
a
deux fois les d´formations instantan´es : v = ∞ ≈ 3 i .
e
e
Ph´nom`ne de retrait Apr`s coulage, une pi`ce de b´ton conserv´e ` l’air
e
e
e
e
e
e a
tend ` se raccourcir. Ceci est dˆ ` l’´vaporation de l’eau non-li´e avec le
a
u a e
e
ciment et peut entraˆ des d´formations de l’ordre de 1.5 10−4 ` 5 10−4 selon
ıner
e
a
l’humidit´ de l’environnement. On notera que des pi`ces de b´ton conserv´es
e
e
e
e
dans l’eau subissent, au contraire, un gonflement. Le retrait commence d`s le
e
premier jour de vie de la pi`ce en b´ton et on observe que 80% du retrait est
e
e
atteint au bout de deux ans. La principale cons´quence du retrait est l’apparition
e
de contraintes internes de traction, contraintes dont la valeur peut facilement
d´passer la limite de fissuration.
e

17. 2.1
Le b´ton
e
17
Fig. 4 : Contrainte appliqu´e et d´formation engendr´e en fonction du temps
e
e
e
pour un essai de fluage d’´prouvette de b´ton.
e
e
Pour se prot´ger des d´sordres li´s au retrait, on adoptera les dispositifs construce
e
e
tifs suivants :
- utiliser des b´tons ` faible chaleur d’hydratation,
e
a
- maintenir les parements en ambiance humide apr`s coulage,
e
- disposer des armatures de peaux de faible espacement pour bien r´partir les
e
fissures de retrait,
- ´viter de raccorder des pi`ces de tailles tr`s diff´rentes,
e
e
e
e
- utiliser des adjuvants limitant les effets du retrait.
e
a
Dilatation thermique Le coefficient de dilatation du b´ton vaut de 9 ` 12
−6 , et on adoptera une valeur forfaitaire de 10−5 pour le b´ton arm´. On no10
e
e
tera que la valeur du coefficient de dilatation de l’acier (11 10−6 ) est tr`s proche
e
◦ C induit une d´formation
de celle du b´ton. Une variation de temp´rature de 10
e
e
e
de 10−4 , c’est ` dire qu’un ´l´ment de 10 m de long verra son extr´mit´ libre
a
ee
e e
se d´placer de 1 mm. Dans la pratique, les ´l´ments ne sont pas libres, et les
e
ee
variations de temp´rature entraˆ
e
ınent des contraintes internes de traction. Pour
´viter des d´sordres, on placera r´guli`rement sur les ´l´ments (dalle, voile de
e
e
e e
ee
fa¸ade) ou bˆtiments de grandes dimensions des joints de dilatation espac´s de
c
a
e
25 ` 50 m`tres selon la r´gion (B.5.1). Notons que ces joints de dilatation sont
a
e
e
aussi un moyen de lutter contre les d´sordres dus au retrait.
e
2.1.2
Mod´lisation - Calculs r´glementaires
e
e
e
R´sistance caract´ristique ` la compression (A.2.1,11) La r´sistance cae
e
a
ract´ristique ` la compression du b´ton fcj ` j jours d’ˆge est d´termin´e `
e
a
e
a
a
e
e a
partir d’essais sur des ´prouvettes 16 × 32. Elle est d´finie comme la valeur de
e
e
la r´sistance en dessous de laquelle on peut s’attendre ` rencontrer 5% au plus
e
a
de l’ensemble des ruptures des essais de compression. En pratique, comme le
nombre d’essais r´alis´s ne permet pas un traitement statistique suffisant, on
e e
adopte la relation simplifi´e suivante :
e
fcj =
σj
1.15
,
o` σj est la valeur moyenne des r´sistances obtenues sur l’ensemble des essais
u
e
r´alis´s.
e e
OG 2004

18. 18
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
On utilise le plus souvent la valeur ` 28 jours de maturit´ : fc28 . Pour des
a
e
calculs en phase de r´alisation, on adoptera les valeurs ` j jours, d´finies `
e
a
e
a
partir de fc28 , par :
Pour des r´sistances fc28 ≤ 40 M P a :
e


j
f =
fc
si j < 60 jours
cj
4.76 + 0.83j 28

f = 1.1f
si j > 60 jours
cj
c28
Pour des r´sistances fc28 > 40 M P a :
e


j
f =
fc
cj
1.40 + 0.95j 28

f = f
cj
c28
si j < 28 jours
si j > 28 jours
La Figure 5 donne l’allure de la variation de la r´sistance fcj en fonction de
e
l’ˆge du b´ton pour les deux types de b´ton. Attention, ces courbes sont
a
e
e
adimensionn´es par rapport ` fc28 , et sur un dessin ` l’´chelle, il est ´vident
e
a
a e
e
que la courbe de r´sistance d’un b´ton tel que fc28 > 40 M P a serait au dessus
e
e
de celle d’un b´ton de r´sistance fc28 < 40 M P a. Sur cette figure, on observe
e
e
Fig. 5: Evolution de la r´sistance fcj en fonction de l’ˆge du b´ton.
e
a
e
que la mont´e en r´sistance des b´tons ` performances ´lev´es est plus rapide
e
e
e
a
e e
que pour les b´tons classiques. Cette propri´t´ rend les b´tons ` performances
e
ee
e
a
´lev´es tr`s int´ressants en phase de construction.
e e
e
e
R´sistance caract´ristique ` la traction La r´sistance caract´ristique ` la
e
e
a
e
e
a
traction du b´ton ` j jours, not´e ftj , est conventionnellement d´finie par les
e
a
e
e
relations :
ftj = 0.6 + 0.06fcj
ftj =
2/3
0.275fcj
si fc28 ≤ 60 M P a (A.2.1,12)
si fc28 > 60 M P a (Annexe F)
La Figure 6 pr´sente l’´volution de la r´sistance caract´ristique ` la traction ftj
e
e
e
e
a
en fonction de celle ` la compression fcj .
a

19. 2.1
Le b´ton
e
19
Fig. 6 : Evolution de la r´sistance ` la traction ftj en fonction de celle ` la
e
a
a
compression fcj .
Dans la plupart des calculs r´glementaires des pi`ces soumises ` des contraintes
e
e
a
normales, la r´sistance m´canique du b´ton tendu sera n´glig´e. Pour les calculs
e
e
e
e e
relatifs aux contraintes de cisaillement et ` l’adh´rence, on adoptera les valeurs
a
e
donn´es ci-dessus.
e
Modules de d´formation longitudinale On distingue les module de Young
e
instantan´ Eij et diff´r´ Evj . Le module instantan´ est utilis´ pour les cale
ee
e
e
culs sous chargement instantan´ de dur´e inf´rieure ` 24 heures. Pour des
e
e
e
a
chargements de longue dur´e (cas courant), on utilisera le module diff´r´, qui
e
ee
prend en compte artificiellement les d´formations de fluage du b´ton. Cellese
e
ci repr´sentant approximativement deux fois les d´formations instantan´es, le
e
e
e
module diff´r´ est pris ´gal ` trois fois le module instantan´.
ee
e
a
e
Eij = 3Evj .
Il est ´vident que cette approche est simplificatrice et que le fluage d’un mat´riau
e
e
ne v´rifie pas la loi de Hooke d’un mat´riau ´lastique (la loi de fluage est une
e
e
e
relation entre les contraintes et les vitesses de d´formation). N´anmoins, cette
e
e
approche permet d’estimer les d´formations cumul´es dues ` la d´formation
e
e
a
e
instantan´e ´lastique et au fluage ` un temps infini.
e e
a
Le module de Young diff´r´ du b´ton d´pend de la r´sistance caract´ristique `
ee
e
e
e
e
a
la compression du b´ton :
e

1/3
Evj = 3 700fcj

1/3
E = 4 400fcj
 vj

Evj = 6 100fcj
si fc28 ≤ 60 M P a (A.2.1,2)
si fc28 > 60 M P a, sans fum´e de silice (annexe F)
e
si fc28 > 60 M P a, avec fum´e de silice (annexe F)
e
Pour les b´tons ` performances ´lev´es, la part des d´formations de fluage est
e
a
e e
e
plus faible, de 1.5 ` 0.8 fois les d´formations instantan´es pour des b´tons sans
a
e
e
e
ou avec fum´e de silice, respectivement. La Figure 7 pr´sente l’´volution de Evj
e
e
e
en fonction de la r´sistance caract´ristique ` la compression du b´ton.
e
e
a
e
OG 2004

20. 20
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 7 : Evolution du module de Young diff´r´ Evj en fonction de la r´sistance
ee
e
caract´ristique ` la compression du b´ton fcj .
e
a
e
e
a
Coefficients de poisson Le coefficient de poisson sera pris ´gal ` ν = 0 pour
un calcul de sollicitations ` l’ELU et ` ν = 0.2 pour un calcul de d´formations
a
a
e
` l’ELS (A.2.1,3).
a
Mod`le de calcul ` l’ELS Les d´formations n´cessaires pour atteindre l’ELS
e
a
e
e
sont relativement faibles et on suppose donc que le b´ton reste dans le domaine
e
´lastique. On adopte donc la loi de Hooke de l’´lasticit´ pour d´crire le come
e
e
e
portement du b´ton ` l’ELS, avec pour des charges de longue dur´e Eb = Evj
e
a
e
et ν = 0.2. La r´sistance m´canique du b´ton tendu est n´glig´ (A.4.5,1). De
e
e
e
e e
plus, on adopte en g´n´ral une valeur forfaitaire pour le module de Young du
e e
b´ton ´gale ` 1/15 de celle de l’acier (Eb ≈ 13 333 M P a)
e
e
a
a
e
Mod`le de calcul ` l’ELU Pour les calculs ` l’ELU, le comportement r´el du
e
a
b´ton est mod´lis´ par la loi parabole-rectangle sur un diagramme contraintese
e e
d´formations donn´ sur la Figure 8, avec sur cette figure
e
e
◦/
- bc1 = 2 ◦◦
3.5 ◦/◦◦
si fcj ≤ 40 M P a (A.4.3,41)
- bc1 =
(4.5 − 0.025fcj ) ◦/◦◦ si fcj > 40 M P a (A.4.3,41)
- la valeur de calcul de la r´sistance en compression du b´ton fbu est donn´e
e
e
e
par :
0.85fcj
fbu =
,
θγb
o`
u
- le coefficient de s´curit´ partiel γb vaut 1.5 pour les combinaisons fondamene
e
tales et 1.15 pour les combinaisons accidentelles,
- θ est un coefficient qui tient compte de la dur´e d’application des charges :
e
θ = 1 si la dur´e est sup´rieure ` 24h, θ = 0.9 si la dur´e est comprise entre
e
e
a
e
1h et 24h et θ = 0.85 sinon.

21. 2.2
Les aciers d’armature
21
Fig. 8: D´finition du diagramme contrainte-d´formation de calcul ` l’ELU.
e
e
a
2.2
2.2.1
Les aciers d’armature
De quel type ?
On distingue quatre types d’acier pour armature (voir Figure 9), du moins au
plus ´croui :
e
1. Les aciers doux, sans traitement thermique ayant une valeur caract´ristique
e
de la limite ´lastique garantie de 125 ou 235 M P a. Ce sont les ronds lisses
e
(not´ φ), qui ne sont plus utilis´s que pour faire des crochets de levage
e
e
en raison de leur tr`s grande d´formation ` la rupture (allongement de
e
e
a
22%).
e a
a
e
2. Les aciers lamin´s ` chaud, naturellement durs, dit aciers ` haute adh´rence
de type I. Ce type d’acier a une limite d’´lasticit´ garantie de 400 M P a
e
e
et un allongement ` la rupture de 14%.
a
3. Les aciers lamin´s ` chaud et ´crouis avec faible r´duction de section
e a
e
e
(par traction-torsion), dits aciers ` haute adh´rence de type II. Ce type
a
e
d’acier a une limite d’´lasticit´ garantie de 500 M P a et un allongement
e
e
` la rupture de 12%.
a
4. Les aciers lamin´s ` chaud par tr´filage (forte r´duction de section), fore a
e
e
tement ´crouis, utilis´s pour fabriquer les treillis soud´s et fils sur bobines.
e
e
e
Ce type d’acier a une limite d’´lasticit´ garantie de 500 M P a et un allone
e
gement ` la rupture de 8%.
a
On pourra retenir que l’action de l’´crouissage est d’augmenter la limite d’´lasticit´
e
e
e
en faisant disparaˆ
ıtre le palier de plasticit´, et de diminuer l’allongement `
e
a
la rupture (plus fragile). Les quatre types d’acier ont le mˆme comportee
ment ´lastique, donc un mˆme module de Young de Es = 210 000 M P a. La
e
e
d´formation ` la limite ´lastique est voisine de 0.2%, en fonction de la valeur
e
a
e
de la limite d’´lasticit´.
e
e
OG 2004

22. 22
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 9 : Diagrammes contrainte-d´formation d’essais de traction sur les
e
diff´rents types d’acier d’armature.
e
2.2.2
Sous quelle forme ?
Les barres On trouve des barres de longueur variant de 6.00 m ` 12.00 m,
a
lisses ou ` haute adh´rence, pour les diam`tres normalis´s suivants (en mm) :
a
e
e
e
5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 20 - 25 - 32 - 40
Le tableau de la Figure 10 aide ` choisir le diam`tre et le nombre de barres `
a
e
a
mettre en place pour une largeur de section de b´ton donn´e.
e
e
Les fils Les armatures sous forme de fils sont stock´es sur des bobines. Les fils
e
servent principalement ` la r´alisation de treillis soud´s, de cadres, d’´pingles
a
e
e
e
et d’´triers en usine de fa¸onnage d’armatures, ou pour le ferraillage d’´l´ments
e
c
ee
pr´fabriqu´s tels que les pr´dalles BA ou BP. On trouve des diam`tres de 5 `
e
e
e
e
a
12 mm et se sont g´n´ralement des aciers ` haute adh´rence.
e e
a
e
e
ee
Les treillis soud´s Les TS sont utilis´s pour ferrailler rapidement des ´l´ments
e
plans, tels que les voiles, dalles et dallages. Ils sont disponibles en rouleaux
ou en panneaux et sont compos´s d’aciers ` haute adh´rence. L’association
e
a
e
technique pour le d´veloppement et l’emploi du TS (ADETS) propose 5 treillis
e
antifissuration et 11 treillis de structure standards (voir Figure 11). On peut
imaginer de faire fabriquer un TS sp´cial si aucun des TS standards propos´s par
e
e
l’ADETS ne correspond (r´serv´ ` des gros chantiers pour de grandes quantit´s).
e
ea
e
2.2.3
Mod´lisation du comportement
e
On notera qu’un seul mod`le est utilis´ pour d´crire le comportement des quatre
e
e
e
types d’acier, ce mod`le ´tant fonction de la limite d’´lasticit´ garantie fe .
e e
e
e

23. 2.2
Les aciers d’armature
23
Fig. 10: Section en cm2 de 1 ` 20 armatures de diam`tre φ en mm.
a
e
e
a
Mod`le de calcul ` l’ELS Comme le b´ton, ` l’ELS on suppose que les
e
a
aciers travaillent dans le domaine ´lastique. On utilise donc la loi de Hooke
e
de l’´lasticit´. On adopte une valeur du module de Young forfaitaire Es =
e
e
200 000 M P a.
a
Mod`le de calcul ` l’ELU Le comportement des aciers pour les calculs `
e
a
l’ELU v´rifie une loi de type ´lasto-plastique parfait, comme d´crit sur le diae
e
e
gramme contrainte-d´formation de la Figure 12 (A.4.3,2), o` la valeur de calcul
e
u
de la limite d’´lasticit´ garantie fsu est d´finie par :
e
e
e
fsu =
fe
γs
.
et γs est un coefficient de s´curit´ partiel qui vaut 1.15 sauf pour les combinaie
e
sons accidentelles o` il vaut 1.
u
2.2.4
Fa¸onnage des aciers
c
Afin de ne pas trop plastifier les aciers, il convient d’adopter des mandrins de
fa¸onnage dont les diam`tres ne soient pas trop petits. On admet qu’un cadre,
c
e
un ´trier ou une ´pingle soit plus plastifi´ au niveau des coudes que les ancrages
e
e
e
d’une barre longitudinale.
Les ancrages courbes Les rayons de courbure R des ancrages courbes de
barres longitudinales doivent v´rifier :
e
R ≥ 3φ
pour un rond lisse de diam`tre φ
e
R ≥ 5.5φ pour un HA de diam`tre φ
e
OG 2004

24. 24
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 11: Treillis Soud´s standards distribu´s par l’ADETS.
e
e

25. 2.3
L’adh´rence acier-b´ton
e
e
25
Fig. 12: Diagramme contrainte-d´formation de calcul de l’acier ` l’ELU.
e
a
Le rayon de courbure ´tant d´fini sur la fibre moyenne de la barre, le diam`tre
e
e
e
du mandrin ` utiliser est D = 2R − φ.
a
Les cadres, ´pingles et ´triers Pour les cadres, ´triers et ´pingles, les rayons
e
e
e
e
de courbures r sont :
r ≥ 2φ pour un rond lisse de diam`tre φ
e
r ≥ 3φ pour un HA de diam`tre φ
e
La Figure 13 permet de calculer les longueurs d´velopp´es des cadres, ´triers et
e
e
e
´pingles en acier ` haute adh´rence, d´finis ` partir de leurs cotes d’encombree
a
e
e
a
ment a et b.
Fig. 13: Longueur d´velopp´e des cadres, ´triers et ´pingles.
e
e
e
e
2.3
L’adh´rence acier-b´ton
e
e
Comme nous venons de le voir, le comportement de l’acier est tr`s bien connu
e
et celui du b´ton est bien connu. Le b´ton arm´ ´tant une structure composite
e
e
ee
- b´ton et acier - il est n´cessaire de bien connaˆ aussi le comportement de
e
e
ıtre
OG 2004

26. 26
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
l’interface entre les deux mat´riaux. L’objectif de l’´tude est :
e
e
- de bien connaˆ les diff´rents param`tres qui influencent le comportement
ıtre
e
e
de l’interface (fc28 , HA, rond lisse, ?),
- de justifier une des hypoth`ses importantes des calculs en b´ton arm´, ` savoir
e
e
e a
qu’il n’y a pas de glissement des barres d’acier ( b = s ).
2.3.1
Aspect exp´rimental
e
L’adh´rence de l’acier et du b´ton peut ˆtre mesur´e sur un essai d’arrachement,
e
e
e
e
dont le principe est pr´sent´ sur la Figure 14.
e
e
Fig. 14 : Principe du dispositif exp´rimental pour r´aliser un essai d’arrachee
e
ment.
A partir de ces essais, on obtient des courbes reliant le d´placement ∆s
e
du bout de l’acier ` l’effort de traction appliqu´ F . La Figure 15 donne un
a
e
exemple de courbes obtenues, pour un HA et un rond lisse de mˆme diam`tre
e
e
φ = 14 mm.
Fig. 15 : Courbes caract´ristiques obtenues pour des essais d’arrachement sur
e
un acier HA et un rond lisse.
Ces essais permettent de mettre en ´vidence l’influence :
e
- de la longueur ancr´e,
e

27. 2.3
L’adh´rence acier-b´ton
e
e
27
- du type d’acier (HA et rond lisse, comme on le voit clairement d’apr`s les
e
courbes de l’essai ci-dessus),
- de la qualit´ du b´ton,
e
e
et ainsi de d´terminer la valeur de la contrainte d’adh´rence en fonction des
e
e
conditions de l’essai.
On observe plusieurs types de rupture :
- rupture par traction de l’acier (ancrage parfait),
- glissement de la barre dans le b´ton,
e
- destruction du b´ton par arrachement d’un cˆne de b´ton.
e
o
e
On d´finit un bon ancrage comme un ancrage o` lorsque la barre commence `
e
u
a
glisser celle-ci vient d’atteindre la limite d’´lasticit´ ( s ≥ e ou F/As ≥ fe )
e
e
2.3.2
Approche th´orique
e
L’action du b´ton sur la barre peut-ˆtre remplac´e par une contrainte normale
e
e
e
(serrage) et une contrainte tangentielle (adh´rence). Si par ailleurs on suppose
e
que cette contrainte d’adh´rence τs est constante le long de la barre, on obe
tient la mod´lisation pr´sent´e sur la Figure 16. Si il n’y a pas de glissement,
e
e
e
Fig. 16 : Mod´lisation d’un essai d’arrachement : la barre dans le b´ton, la
e
e
barre isol´e avec les contraintes r´sultantes de l’action du b´ton, l’effort dans
e
e
e
la barre.
l’´quilibre selon x conduit ` l’´quation :
e
a e
Fext =
xB
xA
τs u dx = τs u lAB ,
o` u est le p´rim`tre utile de la barre et lAB la longueur de l’ancrage.
u
e e
2.3.3
Ancrage rectiligne
On d´finit la longueur de scellement droit ls comme la longueur ` mettre en
e
a
œuvre pour avoir un bon ancrage droit. Le bon ancrage ´tant un ancrage pour
e
OG 2004

28. 28
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 17: Evolution de la longueur de scellement droit en fonction de fcj .
lequel le glissement a lieu au moment o` le comportement de la barre entre dans
u
le domaine plastique, on a : Fext = As fe au moment o` la barre commence `
u
a
glisser. En notant que lAB = ls , u = π φ et As = πφ2 /4, on obtient :
ls =
φfe
4τs
.
Dans la pratique les calculs d’ancrage sont r´alis´s ` l’ELU et la valeur de la
e e a
contrainte d’adh´rence est donn´e de fa¸on forfaitaire (A.6.1,21) par :
e
e
c
2
τsu = 0.6ψs ftj ,
o` le coefficient de scellement ψs vaut 1 pour des ronds lisses et 1.5 pour des
u
aciers HA. On retiendra que la longueur de scellement droit ls d´pend du type
e
d’acier (via fe et ψs ) et de la qualit´ du b´ton (via ftj ).
e
e
Le BAEL propose d’adopter les valeurs forfaitaires suivantes (A.6.1,22, d´conseill´) :
e
e
ls =
40φ pour un HA feE400
50φ pour un HA feE500 ou un rond lisse
Pour des aciers HA, on utilisera le tableau ci-dessous pour calculer la longueur
de scellement droit ls ou la Figure 17.
fe E 400
fe E 500
fcj [M P a]
ls /Φl =
ls /Φl =
20
41
51
25
35
44
30
31
39
35
27
34
40
25
31
45
22
28
50
21
26
55
19
24
60
18
22
Chaque barre d’un paquet de barres sera ancr´e individuellement. Pour ancrer
e
les barres d’un paquet de deux barres il faudra pr´voir 2 × ls et pour un paquet
e
de trois barres (2 + 1.5) × ls , puisque la troisi`me barre a un p´rim`tre utile de
e
e e
seulement 2πφ/3.

29. 2.3
2.3.4
L’adh´rence acier-b´ton
e
e
29
Ancrage courbe
Par manque de place, comme aux appuis de rives par exemple, on est oblig´
e
d’avoir recourt ` des ancrages courbes afin de diminuer la longueur d’encoma
brement de l’ancrage. On pourrait aussi penser au gain d’acier, mais celui-ci est
plus faible que le coˆt de la main d’œuvre n´cessaire au fa¸onnage de l’ancrage.
u
e
c
Donc, quand il n’y a pas de probl`me pour placer un ancrage droit, c’est cette
e
solution qu’il faut adopter.
Un ancrage courbe est compos´ de deux parties droites AB et CD de lone
gueurs µ et λ, respectivement, et d’une partie courbe BC de rayon de courbure
R et d’angle θ (voir Figure 18).
Fig. 18: D´finition d’un ancrage courbe.
e
Efforts repris par les parties droites Par analogie ` la partie pr´c´dente, on
a
e e
en d´duit que FA − FB = µπφτsu et FC − FD = FC = µπφτsu . FD = 0 car
e
au bout le l’ancrage l’effort est nul.
Effort repris par la partie courbe On s’int´resse ici ` l’effort repris par la
e
a
partie courbe. Pour cela, isolons un tron¸on ´l´mentaire d’ancrage dθ, comme
c ee
indiqu´ sur la Figure 19.
e
On distingue :
- F l’effort axial dans l’armature au point N ,
- F + dF l’effort axial au point M ,
- dT et dN les efforts de contact entre l’armature et le b´ton, tels que dT =
e
ϕ dN , o` ϕ est le coefficient de frottement acier-b´ton (ϕ ≈ 0.4),
u
e
- dA l’action due ` l’adh´rence le long de ds = R d θ, soit dA = τsu πφR d θ en
a
e
supposant que la contrainte d’adh´rence est constante le long de l’ancrage.
e
L’´quilibre du tron¸on ´l´mentaire conduit aux deux ´quations suivantes en
e
c
ee
e
OG 2004

30. 30
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 19: Equilibre d’un tron¸on ´l´mentaire d’un ancrage courbe.
c ee
projection sur les axes x et y :

dA + ϕdN + F cos d θ − (F + dF ) cos d θ = 0


2
2
dθ
dθ

dN − F sin

− (F + dF ) sin
=0
2
2
sur x
sur y
Comme d θ est tr`s petit, on en d´duit que cos(d θ/2) ≈ 1, sin(d θ/2) ≈ d θ/2
e
e
et dF d θ ≈ 0. Les ´quations de l’´quilibre se r´duisent ` :
e
e
e
a
τsu πφR d θ + ϕdN = dF
dN = F d θ
sur x
sur y
On en d´duit une ´quation diff´rentielle (du premier ordre avec second membre)
e
e
e
v´rifi´e par F :
e e
dF
dθ
− ϕF = τsu πφR
En int´grant cette ´quation entre les points B et C, nous obtenons :
e
e
FB = αFC + β τsu πφR
o`
u
α = exp ϕθ
et β =
exp ϕθ − 1
ϕ
qui permet de calculer l’effort repris pas la partie courbe de l’ancrage de rayon
de courbure R et d’angle θ.

31. 2.3
L’adh´rence acier-b´ton
e
e
31
Effort total de l’ancrage courbe L’effort total repris par l’ancrage courbe
vaut donc :
F = FA = α πφτsu λ + βπφτsu R + πφτsu µ.
Si cet ancrage est un bon ancrage, on doit avoir F = FA = πφ2 fe /4, d’o` la
u
formule permettant de calculer les dimensions d’un ancrage courbes λ, µ, R et
θ:
φfe
αλ + βR + µ =
= ls ,
4τsu
o` ls est la longueur de scellement droit de l’ancrage droit ´quivalent. On ne
u
e
confondra pas ls ` la longueur d´velopp´e de l’ancrage courbe ld donn´e par :
a
e
e
e
ld = µ + λ + Rθ =
µ + λ + 5.5φ pour un HA
µ + λ + 3φ
pour un rond lisse
Le BAEL propose d’adopter le crochet normal ` 180◦ (A.6.1,253) de longueur
a
d’encombrement de l’ancrage la = 0.4ls pour des aciers HA (voir Figure 20).
Fig. 20: D´finition de l’ancrage normal (A.6.1,253).
e
Pour un HA feE500 et un B´ton B20, la longueur d’ancrage droit ´quivalent
e
e
pour ce crochet est la = 56φ, ce qui est l´g`rement sup´rieure ` ls = 51φ pour
e e
e
a
une longueur d´velopp´e de seulement ld = 34φ.
e
e
2.3.5
Pouss´e au vide
e
Il convient d’adopter un mode constructif qui permette d’´viter tout d´sordre
e
e
engendr´ par la pouss´e au vide des armatures (A.7.4). On adoptera les dispoe
e
sitions pr´sent´es sur la Figure 21.
e
e
OG 2004

32. 32
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 21 : Dispositions constructives ` mettre en œuvre pour se pr´munir des
a
e
d´sordres dus ` la pouss´e au vide.
e
a
e

33. 33
3
Dispositions constructives diverses
3.1
Protection des armatures
Afin d’´viter les probl`mes de corrosion des aciers, il convient de les enrober
e
e
par une ´paisseur de b´ton suffisante. Cette ´paisseur, l’enrobage, d´pend des
e
e
e
e
conditions d’exposition de l’ouvrage. On adoptera les valeurs suivantes (A.7.1) :
- 5 cm : pour les ouvrages expos´s ` la mer, aux embruns ou aux atmosph`res
e a
e
tr`s agressives (industries chimiques),
e
- 3 cm : pour les parois soumises ` des actions agressives ou ` des intemp´ries
a
a
e
ou des condensations,
- 1 cm : pour des parois situ´es dans un local couvert et clos et qui ne seraient
e
pas expos´es aux condensations.
e
En outre, l’enrobage de chaque armature est au moins ´gale ` son diam`tre si
e
a
e
elle est isol´e ou ` la largeur du paquet dont elle fait partie (A.7.2,4), comme
e
a
indiqu´ sur la Figure 22.
e
Afin de permettre le passage de l’aiguille vibrante, il convient de laisser des
espacements d’au moins 5 cm (A.7.2,8).
Fig. 22: Protection des armatures et conditions de b´tonnage correct.
e
3.2
3.2.1
Possibilit´s de b´tonnage correct
e
e
Diam`tre maximal des aciers
e
e
e
Aciers longitudinaux Pour les dalles et voiles d’´paisseur h, afin d’am´liorer
l’adh´rence acier-b´ton, on limite le diam`tre des aciers longitudinaux ` :
e
e
e
a
φl ≤
h
10
.
Aciers transversaux Pour les poutres de hauteur h on limite le diam`tre des
e
aciers transversaux ` :
a
h
b0
φt ≤ Min( , φl ,
),
35
10
o` b0 est la largeur de l’ˆme.
u
a
OG 2004

34. 34
3.2.2
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Espacement minimum
La Figure 23 permet de d´terminer le nombre maximum de fils d’armatures d’un
e
diam`tre donn´ en fonction de la largeur de la poutre.
e
e
Fig. 23: Nombre de barres en fonction de la largeur de b´ton.
e

35. 35
4
Dimensionnement des sections en flexion simple
4.1
4.1.1
G´n´ralit´s
e e
e
Domaine d’application
Un ´l´ment est soumis ` de la flexion simple si les sollicitations se r´duisent
ee
a
e
` un moment fl´chissant Mz et un effort tranchant Vy . Si l’effort normal Nx
a
e
n’est pas nul, alors on parle de flexion compos´e (voir la partie 11). En b´ton
e
e
arm´ on distingue l’action du moment fl´chissant qui conduit au dimensionnee
e
ment des aciers longitudinaux de l’action de l’effort tranchant qui concerne le
dimensionnement des aciers transversaux (cadres, ´pingles ou ´triers). Ces deux
e
e
calculs sont men´s s´par´ment, et dans cette partie on se limitera aux calculs
e e e
relatifs au moment fl´chissant. La partie 5 traitera des calculs relatifs ` l’effort
e
a
tranchant.
Les ´l´ments d’une structure soumis ` de la flexion simple sont principalement
ee
a
les poutres, qu’elles soient isostatiques ou continues. Pour une poutre isostatique, le calcul des sollicitations Mz et Vy est simple et il est conduit en
utilisant les m´thodes de la r´sistance de mat´riaux (RdM). Pour une poutre
e
e
e
continue, l’hyperstaticit´ rend les calculs plus compliqu´s et le BAEL propose
e
e
deux m´thodes qui permettent d’´valuer les sollicitations dans les poutres contie
e
nues en b´ton arm´. Ces deux m´thodes sont pr´sent´es dans la partie 7 ainsi
e
e
e
e
e
que la construction de l’´pure d’arrˆt de barres ` partir de la connaissance de
e
e
a
la courbe enveloppe du moment fl´chissant.
e
Ce qui suit est limit´ au calcul des sections rectangulaires et en T sans acier
e
comprim´. Pour ce qui est des sections en T on se reportera au paragraphe 4.4.
e
S’il apparaˆ n´cessaire de placer des aciers comprim´s dans une section de
ıt e
e
b´ton, c’est que son coffrage est mal dimensionn´ et il est pr´f´rable pour des
e
e
ee
raisons ´conomiques, mais aussi de fonctionnement, de le modifier.
e
4.1.2
Port´es des poutres
e
En b´ton arm´, la port´e des poutres ` prendre en compte est (voir Figure 24) :
e
e
e
a
- la port´e entr’axe d’appuis lorsqu’il y a des appareils d’appui ou que la poutre
e
repose sur des voiles en ma¸onnerie,
c
- la port´e entre nus d’appuis lorsque les appuis sont en b´ton arm´ (poutre
e
e
e
principale, poteau ou voile).
4.2
4.2.1
Flexion simple ` l’ELU
a
Hypoth`ses
e
Les principales hypoth`ses du calcul des sections en BA soumises ` de la flexion
e
a
simple aux ELU sont les suivantes :
les sections planes restent planes,
il n’y a pas de glissement ` l’interface b´ton-armatures,
a
e
le b´ton tendu est n´glig´,
e
e e
l’aire des aciers n’est pas d´duite de celle du b´ton,
e
e
l’aire des aciers est concentr´e en son centre de gravit´,
e
e
le comportement de l’acier est d´fini par le diagramme contrainte-d´formation
e
e
OG 2004

36. 36
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 24 : D´finition de la port´e d’une poutre selon qu’elle repose sur des
e
e
appareils d’appuis, des ´l´ments en ma¸onnerie ou en b´ton arm´.
ee
c
e
e
de calcul de la Figure 12.
pour le comportement du b´ton, on adoptera le diagramme rectangulaire sime
plifi´ (car la section n’est que partiellement comprim´e) , d´fini sur la Figure 25,
e
e
e
o` la contrainte de calcul ` l’ELU du b´ton est donn´e par :
u
a
e
e
fbu =
0.85fcj
θγb
,
avec
- fcj la r´sistance caract´ristique requise en compression ` j jours du b´ton,
e
e
a
e
- θ un coefficient qui tient compte de la dur´e d’application des charges.
e
- γb = 1.5 dans les cas courants.
Fig. 25 : D´finition des diagrammes contrainte-d´formation parabole-rectangle
e
e
Figure (8) et rectangulaire simplifi´ dans la section de b´ton comprim´
e
e
e
4.2.2
Notations
Pour les calculs aux ELU, on utilise les notations de la Figure 26, o`:
u
b et h sont la largeur et la hauteur de la section de b´ton.
e
As est la section d’acier, dont le centre de gravit´ est positionn´ ` d de la
e
ea

37. 4.2
Flexion simple ` l’ELU
a
37
fibre la plus comprim´e du coffrage.
e
yu est la position de l’axe neutre par rapport ` la fibre la plus comprim´e du
a
e
coffrage.
σst est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limit´e ` fsu .
e a
Fig. 26: Notations utilis´es pour les calculs de flexion simple ` l’ELU.
e
a
4.2.3
Droites de d´formation - Pivots
e
Pour les calculs ` l’ELU, on suppose qu’un point de la droite de d´formation
a
e
dans la section est fix´. Ce point s’appelle le pivot. Soit il correspond ` la
e
a
◦/ : c’est le Pivot A, soit
d´formation limite de traction dans les aciers st = 10 ◦◦
e
il correspond ` la d´formation limite en compression du b´ton bcmax = 3.5 ◦/◦◦ :
a
e
e
c’est le Pivot B. Toutes les droites de d´formation comprises entre la droite
e
(Pivot A, bcmax = 0) et ( st = 0 ◦/◦◦ , Pivot B) sont possibles, comme le
montre la Figure 27. Le bon fonctionnement de la section de B´ton Arm´ se
e
e
situe aux alentours de la droite AB, car les deux mat´riaux - acier et b´ton e
e
travaillent au mieux.
Fig. 27 : D´finitions des diff´rentes droites de d´formation possibles en flexion
e
e
e
simple ` l’ELU et des Pivots.
a
OG 2004

38. 38
4.2.4
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Equations de l’´quilibre
e
L’´quilibre de la section vis ` vis de l’effort normal et du moment fl´chissant
e
a
e
conduit aux deux ´quations suivantes :
e
selon N :
Nu = 0.8byu fbu − As σst = 0
selon M :
Mu = 0.8byu fbu (d − 0.4yu )
en y = −(d − yu )
= As σst (d − 0.4yu )
= 0.8byu fbu 0.6yu + As σst (d − yu )
4.2.5
en y = 0.6yu
en y = 0
Compatibilit´ des d´formations
e
e
L’hypoth`se de continuit´ des d´formations dans la section (pas de glissement
e
e
e
des armatures par rapport au b´ton) conduit ` l’´quation suivante :
e
a e
bcmax
yu
st
=
d − yu
,
d’o` si la droite de d´formation passe par le pivot A, la d´formation maximale
u
e
e
du b´ton comprim´ vaut :
e
e
Pivot A:
bcmax
=
yu
d − yu
10 ◦/◦◦ ,
et si la droite de d´formation passe par le pivot B, la d´formation des aciers
e
e
vaut :
d − yu
3.5 ◦/◦◦ .
Pivot B:
st =
yu
4.2.6
Adimensionnement :
On d´finit les quantit´s adimensionn´es suivantes : αu =
e
e
e
yu
la hauteur r´duite
e
d
Mu
le moment ultime r´duit.
e
bd2 fbu
Il vient d’apr`s les ´quations de l’´quilibre :
e
e
e
et µu =
µu = 0.8αu (1 − 0.4αu ).
La hauteur r´duite est solution de l’´quation du second degr´s pr´c´dente :
e
e
e
e e
αu = 1.25(1 −
4.2.7
1 − 2µu ).
Calcul des sections d’acier
Dans la phase de calcul des aciers, les inconnues sont : As , σst , d et yu .
Afin d’´liminer une inconnue, on fait l’hypoth`se compl´mentaire d ≈ 0.9h.
e
e
e
On calcule le moment ultime r´duit µu , puis αu . Le Pivot et la contrainte dans
e
les aciers σst sont d´termin´s a partir de l’abaque de la Figure 28, en fonction
e
e
de la valeur de αu .

39. 4.3
Flexion simple ` l’ELS
a
39
Fig. 28 : Valeurs de αu , du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus σst
en fonction de la valeur du moment ultime r´duit µu .
e
La section d’acier est ensuite obtenue par :
As =
Mu
σst d(1 − 0.4αu )
.
Apr`s ce calcul, il est bon de calculer la valeur exacte de d en fonction du
e
ferraillage mis en place et de v´rifier qu’elle est sup´rieure ` 0.9h, ce qui va
e
e
a
dans le sens de la s´curit´. On peut ´ventuellement it´rer afin d’optimiser le
e
e
e
e
ferraillage.
4.2.8
Pr´-dimensionnement
e
Pour un pr´-dimensionnement rapide de la hauteur du coffrage, on se place sur
e
la droite de d´formation AB (µu ≈ 0.2), d’o`
e
u
bd2 ≈
Mu
0.2fbu
,
avec d ≈ 0.9h et b ≈ 0.3h.
4.3
Flexion simple ` l’ELS
a
Ce qui suit est limit´ au calcul des sections rectangulaires sans acier comprim´.
e
e
L’ELS est dimensionnant par rapport ` l’ELU lorsque la fissuration est consid´r´e
a
ee
comme tr`s pr´judiciable ` la tenue de l’ouvrage dans le temps (FTP) et parfois
e e
a
lorsqu’elle est pr´judiciable (FP). Dans ce dernier cas, on dimensionnera ` l’ELU
e
a
et on v´rifiera que la section d’acier est suffisante pour l’ELS. En FTP, il faut
e
faire le calcul de la section d’acier directement ` l’ELS.
a
4.3.1
Hypoth`ses
e
Les principales hypoth`ses du calcul des sections en BA soumises ` de la flexion
e
a
simple aux ELS sont les suivantes :
les sections planes restent planes,
il n’y a pas de glissement ` l’interface b´ton-armatures,
a
e
le b´ton et l’acier sont consid´r´s comme des mat´riaux ´lastiques,
e
ee
e
e
le b´ton tendu est n´glig´,
e
e e
l’aire des aciers n’est pas d´duite de celle du b´ton,
e
e
OG 2004

40. 40
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
l’aire des aciers est concentr´e en son centre de gravit´,
e
e
le coefficient d’´quivalence n = Es /Eνj est fix´ forfaitairement ` n = 15.
e
e
a
4.3.2
Notations
Pour les calculs aux ELS, on utilise les notations d´finies sur la Figure 29, o`:
e
u
b et h sont la largeur et la hauteur de la section de b´ton.
e
As est la section d’acier, dont le centre de gravit´ est positionn´ ` d de la
e
ea
fibre la plus comprim´e du coffrage.
e
y1 est la position de l’axe neutre par rapport ` la fibre la plus comprim´e du
a
e
coffrage.
σst = Es st est la contrainte de calcul des aciers, d´finie ` partir du module
e
a
d’Young de l’acier Es et de la d´formation dans les aciers st .
e
σbcmax = Eb bcmax est la contrainte de calcul du b´ton comprim´, d´finie `
e
e e
a
partir du module d’Young du b´ton Eb et de la d´formation maximale du b´ton
e
e
e
comprim´ bcmax .
e
Fig. 29: Notations utilis´es pour les calculs en flexion simple ` l’ELS.
e
a
4.3.3
Equations de l’´quilibre
e
L’´quilibre de la section vis ` vis de l’effort normal et du moment fl´chissant
e
a
e
conduit aux deux ´quations suivantes :
e
selon N :
1
Nser = by1 σbcmax − As σst = 0
2
selon M :
y1
1
Mser = by1 σbcmax (d − )
2
3
= As σst (d −
y1
3
)
1 2
= by1 σbcmax + As σst (d − y1 )
3
en y = −(d − y1 )
2
en y = y1
3
en y = 0
Notons que les trois expressions du moment fl´chissant en trois points diff´rents
e
e
de la section sont rigoureusement identiques puisque l’effort normal est nul
(sollicitation de flexion simple).

41. 4.4
4.3.4
Section en T
41
Compatibilit´ des d´formations
e
e
L’hypoth`se de continuit´ des d´formations dans la section (pas de glissement
e
e
e
des armatures par rapport au b´ton) conduit ` l’´quation suivante entre les
e
a e
d´formations :
e
bcmax
y1
=
st
d − y1
L’acier et le b´ton ayant un comportement ´lastique, on en d´duit une relation
e
e
e
entre les contraintes :
σbcmax
σst
=
y1
n(d − y1 )
4.3.5
Contraintes limites dans les mat´riaux
e
L’ELS consiste ` v´rifier que les contraintes maximales dans la section la plus
a e
sollicit´e restent inf´rieures ` des valeurs limites fix´es r´glementairement. On
e
e
a
e
e
distingue :
l’ELS de compression du b´ton :
e
σbcmax ≤ σbc = 0.6fcj
¯
l’ELS d’ouverture de fissures :
σst ≤ σst
¯
o`
u
σst = fe si la fissuration est consid´r´e peu pr´judiciable (FPP) ` la tenue de
¯
ee
e
a
l’ouvrage dans le temps,
e
σst = Min{2fe /3; Max{0.5fe ; 110 ηftj }} si la fissuration est pr´judiciable
¯
(FP),
σst = 0.8 Min{2fe /3; Max{0.5fe ; 110 ηftj }} si la fissuration est tr`s pr´judiciable
¯
e e
(FTP).
Dans ces formules η est un coefficient qui d´pend du type d’acier : η = 1.6
e
pour des HA > 6 mm, η = 1.0 pour des ronds lisses et η = 1.3 pour des HA
< 6 mm.
4.3.6
Dimensionnement et v´rification
e
Pour le calcul de la section d’acier (dimensionnement) ou de calcul des contraintes
maximales (v´rification), on adoptera la d´marche pr´sent´e dans le tableau de
e
e
e
e
la Figure 30. Pour un calcul rapide, on pourra utiliser l’abaques de la Figure 31.
4.4
4.4.1
Section en T
Pourquoi des sections en T ?
Les poutres en b´ton arm´ d’un bˆtiment supportent souvent des dalles. Il est
e
e
a
alors loisible de consid´rer que la dalle support´e par la poutre reprend une partie
e
e
des contraintes de compression induites par la flexion de la poutre. Attention,
ceci n’est vrai que si la dalle est comprim´e, c’est-`-dire si la poutre subit un
e
a
OG 2004

42. 42
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Donn´es
e
Inconnues
Equations
comp.
R´solution
e
Dimensionnement
Mser , b, h, fcj , fe
As , y1 , σbcmax , σst , d
d ≈ 0.9h
σst = σst
¯
1
¯
Mser = by1lim σbc (d − y1lim /3)
2
n¯bc
σ
avec y1lim = d
n¯bc + σst
σ
¯
si Mser ≤ Mser continuer
si Mser > Mser augmenter b
et/ou h ou placer des aciers comprim´s (mauvais)
e
y1
on pose α =
d
nMser
calcul de µser = 2
bd σst
¯
α solution de
α3 − 3α2 − 6µser (α − 1) = 0
section d’acier :
Mser
As =
σst d(1 − α/3)
¯
V´rification
e
Mser , As , b, h, d, fcj , fe
y1 , σbcmax , σst
y1 solution de
1 2
by − nAs (d − y1 ) = 0
2 1
calcul de :
1 3
I1 = by1 + nAs (d − y1 )2
3
V´rifier :
e
Mser
y1 ≤ σbc
¯
I1
nMser
σst =
(d − y1 ) ≤ σst
¯
I1
σbcmax =
Fig. 30 : Etapes du dimensionnement des sections d’acier et de la v´rification
e
des contraintes en flexion simple ` l’ELS.
a
moment positif. Donc, pour une poutre continue, seule la partie en trav´e est
e
concern´e et sur appui il faudra consid´rer une poutre rectangulaire de largeur
e
e
la largeur de l’ˆme.
a
Le BAEL (A.4.1,3) d´finit la largeur du d´bord ` prendre en compte de fa¸on
e
e
a
c
forfaitaire (voir la Figure 32), comme au plus ´gale ` :
e
a
- le dixi`me de la port´e de la poutre,
e
e
- les deux tiers de la distance de la section consid´r´e ` l’axe de l’appui le plus
ee a
proche,
- la moiti´ de la distance entre deux poutres supportant la mˆme dalle.
e
e
On peut aussi rencontrer des poutres en b´ton arm´ de sections en T (ou en
e
e
I) sur des charpentes industrielles. Dans ce cas, la largeur du d´bord est donn´
e
e
par la g´om´trie de la section de b´ton.
e e
e
4.4.2
Fonctionnement des sections en T
On utilise les notations d´finies sur la Figure 33. Que l’on soit ` l’ELU ou ` l’ELS,
e
a
a
la fa¸on de traiter le calcul est identique (en gardant bien sˆr les hypoth`ses de
c
u
e
l’´tat limite consid´r´). On traitera donc ici les deux ´tats limites en parall`le.
e
ee
e
e

43. 4.4
Section en T
43
Fig. 31 : Abaques de Dimensionnement et de v´rification en flexion simple `
e
a
l’ELS.
OG 2004

44. 44
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 32 : Dimensions des d´bords ` prendre en compte pour le calcul d’une
e
a
poutre en T.
On distinguera deux cas, selon que l’axe neutre est compris dans la table de
compression ou non :
L’axe neutre est dans la table de compression. On a donc yu ≤ h1 (ou
y1 ≤ h1 ` l’ELS). Le b´ton tendu ´tant n´glig´, la poutre en T se calcule
a
e
e
e e
exactement comme une poutre rectangulaire de largeur b, ` l’ELU ou ` l’ELS.
a
a
L’axe neutre est sous la table de compression. On a donc yu > h1 (ou
y1 > h1 ` l’ELS). Une partie de la contrainte normale est reprise par la table
a
de compression de largeur b, l’autre par une partie de l’ˆme de largeur b0 et de
a
hauteur 0.8yu − h1 ` l’ELU (y1 − h1 ` l’ELS).
a
a
Fig. 33: Notations utilis´es pour le calcul d’une poutre en T.
e
D´termination a posteriori C’est le calcul recommand´. En effet dans 99%
e
e
des cas, une poutre en T se calcule comme une poutre rectangulaire. On fera
donc le calcul de la poutre en T comme si c’´tait une poutre rectangulaire de
e

45. 4.4
Section en T
45
largeur b. On v´rifiera a posteriori que yu ≤ h1 (ou y1 ≤ h1 ` l’ELS). Si cette
e
a
condition n’est pas v´rifi´e, il faut refaire le calcul avec les hypoth`ses d’une
e e
e
poutre en T (voir plus loin).
D´termination a priori Ce n’est pas le calcul recommand´, pour les raisons
e
e
donn´es plus haut. On calculera en pr´ambule le moment r´sistant de la table
e
e
e
d´fini comme le moment que peut reprendre la table si elle est enti`rement
e
e
comprim´e (0.8yu = h1 ` l’ELU ou y1 = h1 ` l’ELS). Ce moment vaut :
e
a
a

M = bh f (d − h1 )
 tu
` l’ELU
a
1 bu

2
h
h

M
 tser = b 1 σbc (d − 1 ) ` l’ELS
¯
a
2
3
4.4.3
Calcul des vrais sections en T
Avant d’entamer ce calcul on regardera s’il n’est pas possible de modifier le
coffrage de la poutre (h et/ou h1 ) de telle sorte que l’axe neutre se retrouve
dans la table de compression. C’est de loin la meilleure solution, car si l’axe
neutre est en dessous de la table, cela veut dire que la poutre risque de ne pas
v´rifier les conditions de fl`ches maximales.
e
e
a
e
A l’ELU Les calculs ` l’ELU sont conduits en soustrayant au moment fl´chissant
` reprendre Mu le moment fl´chissant repris par les d´bords du hourdis Mutable ,
a
e
e
comme indiqu´ sur la Figure 34. On se ram`ne donc au calcul de deux sections
e
e
rectangulaires, l’une de largeur b − b0 et l’autre de largeur b0 .
Fig. 34 : Principe du calcul de la section d’acier pour une poutre en T ` l’ELU :
a
le moment ultime est repris d’une part par les d´bords de la table et d’autre
e
part par la partie de l’ˆme au dessus de l’axe neutre.
a
Les ´tapes du calcul sont les suivantes :
e
e
1. calcul de la part de moment repris par les d´bords de la table :
Mutable = (b − b0 )h1 fbu (d − h1 /2).
2. calcul de la part de moment que doit reprendre l’ˆme :
a
Muame = Mu − Mutable .
3. calcul classique de la section d’acier ` pr´voir pour reprendre Muame (cala e
cul du moment ultime r´duit µu , de αu et de σst ).
e
OG 2004

46. 46
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
4. calcul de la section d’acier ` mettre en place As = Aame + Atable , avec
a
Atable =
Mutable
σst (d − h1 /2)
et Aame =
Mu − Mutable
σst d(1 − 0.4αu )
A l’ELS A l’ELS le probl`me est un peu plus complexe puisque les contraintes
e
dans le b´ton varient lin´airement. Ainsi, on ne peut pas connaˆ a priori
e
e
ıtre
la valeur de la r´sultante du b´ton comprim´ qui d´pend de la position de
e
e
e
e
l’axe neutre y1 . Pour r´soudre ce probl`me, on d´compose la r´sultante des
e
e
e
e
contraintes de compression du b´ton en deux r´sultantes fictives : Nbc1 et Nbc2
e
e
comme indiqu´ sur la Figure 35. Nbc1 est la r´sultante de la poutre fictive
e
e
rectangulaire ´quivalente et Nbc2 est la partie reprise par le b´ton fictif sous la
e
e
table de compression. En notant K la pente de la droite des contraintes dans
la section σ(y) = Ky, on a :

2
N = 1 Kby 2
 bc1
s’appliquant en y1

1
2
3
1

N = K(b − b )(y − h )2 s’appliquant en 2 (y − h )
 bc2
0
1
1
1
1
2
3
Les ´quations de l’´quilibre s’´crivent alors :
e
e
e

Nbc1 − Nbc2 − As σst = 0

2
2
 y1 Nbc1 − (y1 − h1 )Nbc2 + (d − y1 )As σst = Mser
3
3
selon N
selon M sur l’AN
De plus, comme pour le calcul d’un section rectangulaire, on adoptera σst = σst
¯
pour minimiser la section d’acier. Comme pour les sections rectangulaires,
l’´quation de compatibilit´ des d´formations fournit une ´quation suppl´mentaire
e
e
e
e
e
reliant les contrainte via la pente K de la droite des contraintes σst = nK(d−y1 )
et σbcmax = Ky1 . On a donc trois inconnues y1 , σbcmax et As pour trois
´quations, et on peut r´soudre ce syst`me. On prendra garde de v´rifier en fin
e
e
e
e
de calcul que σbcmax ≤ σbc = 0.6fcj .
¯
Fig. 35 : Principe du calcul de la section d’acier pour une poutre en T ` l’ELS :
a
la r´sultante des contraintes de compression est calcul´e comme la diff´rence des
e
e
e
contraintes s’appliquant sur une surface b × y1 en 2y1 /3 et celles s’appliquant
sur une surface (b − b0 ) × (y1 − h1 ) en 2(y1 − h1 )/3.

47. 4.5
4.5
Condition de non fragilit´
e
47
Condition de non fragilit´
e
La condition de non fragilit´ conduit ` placer une section minimum d’armatures
e
a
tendues pour une dimension de coffrage donn´e. Une section de b´ton arm´ est
e
e
e
consid´r´e comme non fragile si le moment fl´chissant entraˆ
ee
e
ınant la fissuration
de la section de b´ton conduit ` une contrainte dans les aciers au plus ´gale `
e
a
e
a
leur limite d’´lasticit´ garantie (A.4.2). On ´value la sollicitation de fissuration
e
e
e
en consid´rant la section de b´ton seul soumise ` une contrainte normal variant
e
e
a
de fa¸on lin´aire sur toute la section et en limitant les contraintes de traction
c
e
` ftj .
a
En flexion simple, pour une poutre rectangulaire de dimension b×h, la contrainte
maximale de traction vaut :
Mf iss h
h
σbtmax = σb ( ) = −
= −ftj ,
2
Ib 2
o` Ib = bh3 /12 est le moment quadratique de la section de b´ton non arm´
u
e
e
non fissur´. On en d´duit :
e
e
Mf iss =
ftj bh2
6
.
La condition de non fragilit´ suppose que lorsque la section de b´ton arm´ est
e
e
e
soumise ` Mf iss , alors la contrainte dans les aciers vaut au plus fe , soit comme
a
le moment dans la section est ´gale ` :
e
a
M = As fe zb ,
on obtient la relation suivante donnant la section minimale d’acier v´rifiant la
e
condition de non fragilit´ :
e
ftj bh2
6
= Amin fe zb .
Si, de plus, on suppose que zb ≈ 0.9d ≈ 0.92 h, la condition de non fragilit´
e
s’´crit (A.4.2,2) :
e
Amin
ftj
= 0.23 .
bd
fe
4.6
Choix du dimensionnement
Le choix entre ELU et ELS pour dimensionner la section d’acier d´pend du type
e
de fissuration, comme indiqu´ sur la Figure 36.
e
Type de fissuration
Dimensionnement
V´rification
e
Fissuration Peu
Pr´judiciable
e
ELU
ELS
Fissuration
Pr´judiciable
e
ELU (ou ELS)
ELS (ou ELU)
Fissuration Tr`s
e
Pr´judiciable
e
ELS
inutile
Fig. 36: Choix de l’´tat limite dimensionnant.
e
OG 2004

48. 48
5
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Sollicitation d’effort tranchant
5.1
Dimensionnement des sections sous sollicitation d’effort tranchant (A.5.1,2)
Tous les calculs sont men´s ` l’ELU.
e a
5.1.1
Contrainte tangente conventionnelle (A.5.1,1)
La contrainte tangente conventionnelle utilis´e pour les calculs relatifs ` l’effort
e
a
tranchant est d´finie par :
e
Vu
τu =
,
b0 d
o` Vu est l’effort tranchant ` l’ELU dans la section, b0 la largeur de l’ˆme et
u
a
a
d ≈ 0.9h la position des aciers tendus.
5.1.2
ELU des armatures d’ˆme (A.5.1,23)
a
Le rapport de la section At sur l’espacement st des armatures transversales doit
v´rifier l’in´galit´ suivante:
e
e
e
At
b0 st
≥
γs (τu − 0.3ftj k)
0.9fe (cos α + sin α)
,
o`
u
b0 est la largeur de l’ˆme,
a
fe est la limite d’´lasticit´ garantie des armatures transversales,
e
e
γs le coefficient de s´curit´ partiel sur les armatures (en g´n´ral γs = 1.15),
e
e
e e
α est l’angle d’inclinaison des armatures transversales (α = 90◦ si elles sont
droites),
ftj est la r´sistance caract´ristique du b´ton ` la traction ` j jours,
e
e
e
a
a
k est un coefficient qui vaut: - k = 1 en flexion simple,
- k = 1 + 3σcm /fcj en flexion compos´e avec compression (σcm contrainte
e
moyenne),
- k = 1−10σtm /fcj en flexion compos´e avec traction (σtm contrainte moyenne),
e
- k = 0 si la fissuration est consid´r´e tr`s pr´judiciable ou si il y a une reprise
ee e
e
de b´tonnage non trait´s,
e
e
- k ≤ 1 si la reprise de b´tonnage est munie d’indentations dont la saillie atteint
e
au moins 5 mm.
En flexion simple, on utilise souvent la formule simplifi´e (armatures droites,
e
participation du b´ton en traction n´glig´e) :
e
e e
At
VU
VU
≥
=
,
st
0.9dfsu
zb fsu
5.1.3
ELU du b´ton de l’ˆme (A.5.1,21)
e
a
La contrainte tangente conventionnelle τu doit v´rifier :
e
- dans le cas o` les armatures sont droites :
u

49. 5.1 Dimensionnement des sections sous sollicitation d’effort tranchant
(A.5.1,2 )
49
0.2fcj
; 5 M P a}
γb
0.15fcj
en FP et FTP : τu ≤ Min{
; 4 M P a}
γb
- dans le cas o` les armatures sont inclin´es ` 45◦ :
u
e a
0.27fcj
τu ≤ Min{
; 7 M P a}
γb
Si les armatures sont dispos´es de fa¸on interm´diaire (45◦ < α < 90◦ ), il est
e
c
e
loisible de proc´der ` une interpolation lin´aire pour fixer la valeur de τu .
e
a
e
en FPP : τu ≤ Min{
5.1.4
Dispositions constructives
Pourcentage minimal d’armatures transversales (A.5.1,22)
At fe
Il faut v´rifier : st ≤ Min{0.9d; 40 cm} et
e
≥ 0.4 M P a.
b0 st
Diam`tre des aciers transversaux (A.7.2,2)
e
h b0
Il faut v´rifier : φt ≤ Min{φl ; ; }.
e
35 10
5.1.5
Justification des sections d’appuis (A.5.1,3)
Appui de rive
Effort de traction dans l’armature inf´rieure :
e
On doit prolonger les armatures inf´rieures au del` du bord de l’appui et y
e
a
ancrer une sections d’armatures longitudinales suffisantes pour ´quilibrer l’effort
e
tranchant sur l’appui Vu0 , soit :
Ast ancr´e ≥ Vu0 /fsu
e
Ancrage des armatures inf´rieures :
e
On doit d´terminer le type d’ancrage des armatures inf´rieures (droit ou par
e
e
crochet). Pour cela, on calcule la longueur de l’ancrage droit n´cessaire
e
l = Vu0 /(ns πφτsu )
o` ns est le nombre de barres ancr´es. Si l ≤ a alors un ancrage droit est suffiu
e
sant, sinon il faut pr´voir des crochets (voir la Figure 37 pour la d´finition de a).
e
e
Dimension de l’appui :
La contrainte de compression dans la bielle doit v´rifier :
e
σbc =
2Vu0
ab0
≤ 0.8
fcj
γb
,
o` la grandeur a est d´finie sur la Figure ??.
u
e
Appui interm´diaire
e
Ancrage et bielle d’appui :
Il convient d’ancrer une section Ast ≥ (Vu +
Mu
)/fsu (` v´rifier de chaque
a e
0.9d
cot´ de l’appui ; Mu en valeur alg´brique)
e
e
OG 2004

50. 50
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 37 : D´finition de la largeur a de la bielle de compression au niveau d’un
e
appui.
Pour la contrainte de compression, il faut effectuer la mˆme v´rification que
e
e
pour un appui simple mais de chaque cot´ de l’appui (Vu ` gauche et ` droite
e
a
a
de l’appui).
Surface de l’appui :
Si Ru est la r´action totale d’appui, il faut v´rifier :
e
e
Ru
section d’appui
5.1.6
≤
1.3fcj
γb
.
R´partition des armatures transversales
e
Pour d´terminer la section d’acier transversale et l’espacement des cadres, il
e
faut proc´der de la mani`re suivante (voir Figure 38) :
e
e
• Pour des raisons de mise en œuvre, les espacements st sont choisis dans
la suite de Caquot (non obligatoire, conseill´) :
e
7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 16 - 20 - 25 - 35 - 40
• On se fixe la valeur de la section d’armature transversale At , ce qui revient
dans les faits ` choisir le diam`tre des armatures transversales (avec φt ≈
a
e
φl /3 < Min{h/35, b0 /10, φl }). Pour des facilit´s de mise en œuvre, on
e
placera des cadres identiques sur toute la trav´e.
e
e
• On d´termine l’espacement st0 = zb fsu At /Vu sur l’appui, et le premier
cadre est plac´ ` st0 /2 du nu de l’appui.
ea
• On d´termine la r´partition des armatures transversales suivantes de fa¸on
e
e
c
` avoir un effort tranchant r´sistant VuR (x) qui enveloppe la courbe de
a
e
l’effort tranchant ` reprendre Vu (x). Pour cela, on peut proc´der graphia
e
quement sur le diagramme de l’effort tranchant en reportant les valeurs
des efforts tranchants r´sistants VuRi = zb fsu At /sti pour les diff´rents
e
e
espacements sti de la suite de Caquot sup´rieurs ` st0 . On r´p`te autant
e
a
e e
de fois que n´cessaire l’espacement sti , jusqu’` pouvoir adopter l’espae
a
cement suivant sti+1 dans la suite de Caquot (voir exemple ci-dessous).
On doit par ailleurs v´rifi´ que l’espacement maximal reste inf´rieur `
e e
e
a
Min{0.9d; 40cm; At fe /(0.4b0 )}.

51. 5.2
V´rifications diverses li´es ` l’existence de l’effort tranchant
e
e a
51
Fig. 38 : Exemple de trac´ de la r´partition des cadres dans une poutre en
e
e
fonction de la courbe enveloppe de l’effort tranchant.
• Pour une trav´e, la cotation de l’espacement des cadres se fait ` partir
e
a
des deux nus d’appui, ce qui permet de ne pas cot´ l’espacement central
e
qui, a priori, peut ne pas comporter un nombre entier de centim`tres.
e
5.2
5.2.1
V´rifications diverses li´es ` l’existence de l’effort tranchant
e
e a
Entraˆ
ınement des armatures (A.6.1,3)
La brusque variation de la contrainte de cisaillement longitudinal au niveau
de l’armature tendue peut conduire ` un glissement de la barre par rapport
a
au b´ton. Il convient donc de s’assurer que l’effort tranchant r´sultant Vu
e
e
est ´quilibr´ par l’adh´rence se d´veloppant au contact acier-b´ton pour les
e
e
e
e
e
diff´rentes armatures isol´es ou paquets d’armatures.
e
e
Chaque armature isol´e (ou paquet d’armatures) d’aire Asi et de p´rim`tre
e
e e
utile ui reprend une fraction Asi /As de l’effort tranchant, avec As la section
totale des aciers longitudinaux tendus. L’effort normal dans l’armature i vaut
donc :
Asi
Nsti =
Vu .
As
Cet effort de traction Nsti doit ˆtre ´quilibr´ par la contrainte d’adh´rence
e
e
e
e
d’entraˆ
ınement τse entre l’armature et le b´ton sur une longueur zb (hypoth`se
e
e
OG 2004

52. 52
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
du fonctionnement selon un treillis de Ritter-M¨rsch), soit :
o
τse zb ui =
Asi
As
Vu ,
o` le p´rim`tre utile ui est d´fini sur la Figure 39.
u
e e
e
Fig. 39: D´finition du p´rim`tre utile d’un paquet de barres.
e
e e
Il faut v´rifier pour chaque paquet de barres que la contrainte d’adh´rence τse
e
e
reste inf´rieure ` la valeur limite ultime τse,u (A.6.1,3):
e
a
τse =
5.2.2
Vu Asi
≤ τse,u = Ψs ftj ,
0.9dui As
avec
- Ψs = 1 pour les ronds lisses,
- Ψs = 1.5 pour les aciers HA.
D´calage de la courbe du moment fl´chissant (A.4.1,5)
e
e
La r`gle du d´calage tient compte de l’inclinaison ` ≈ 45◦ des bielles de b´ton
e
e
a
e
comprim´e : l’effort de traction Ns dans les aciers est constant sur une longueur
e
zb (fonctionnement simplifi´ selon un treillis de Ritter-M¨rsch comme d´crit sur
e
o
e
la Figure 40). Par cons´quent, l’effort agissant dans l’armature doit ˆtre ´valu´
e
e e
e
en prenant en compte le moment fl´chissant agissant ` une distance zb de la
e
a
section consid´r´e.
ee
Fig. 40 : Fonctionnement de la section de b´ton arm´ selon un treillis de
e
e
Ritter-M¨rsch.
o
Pour tenir compte de ce d´calage, le BAEL propose de d´caler horizontalement
e
e
de 0.8h (zb ≈ 0.9d et d ≈ 0.9h) dans le sens d´favorable la courbe des moe
ments fl´chissants, ce qui revient ` rallonger de 0.8h les deux cot´s des aciers
e
a
e
longitudinaux.

53. 5.3
5.3
5.3.1
R`gles des coutures g´n´ralis´es (A.5.3 )
e
e e
e
53
R`gles des coutures g´n´ralis´es (A.5.3)
e
e e
e
R`gle g´n´ralis´e
e
e e
e
Tout plan soumis ` un effort de cisaillement doit ˆtre travers´ par des armatures
a
e
e
de couture totalement ancr´es de part et d’autre de ce plan, faisant un angle
e
d’au moins 45◦ avec lui et inclin´es en sens inverse de la direction probable des
e
fissures du b´ton. Si les actions tangentes sont susceptibles de changer de sens,
e
les armatures de couture doivent ˆtre normales au plan sur lequel s’exercent les
e
actions.
5.3.2
Section d’acier de couture
Consid´rons un ´l´ment d’aire dP = p.dx du plan [P ], de largeur dx et de proe
ee
fondeur p, situ´ entre deux fissures et travers´ par une armature de couture. Le
e
e
plan [P ] est suppos´ soumis ` un effort de cisaillement g par unit´ de longueur
e
a
e
et ` une contrainte uniforme de compression (ou traction) σu perpendiculairea
ment ` [P ] (voir Figure 41).
a
L’´l´ment d’aire dP est donc soumis aux efforts suivants :
ee
- un effort de cisaillement g.dx contenu dans [P ],
- un effort de compression p.dx.σu normal `[P ],
a
- un effort de compression dFbc inclin´ de β par rapport ` [P ] provenant des
e
a
bielles de b´ton comprim´,
e
e
- un effort de traction dFst inclin´ de α par rapport ` [P ] provenant des armae
a
tures de couture.
Fig. 41: Equilibre d’une surface ´l´mentaire du plan [P ].
ee
La projection de ces efforts sur [P ] et perpendiculairement ` [P ] conduit aux
a
deux ´quations suivantes :
e
dFst sin(α + β) = g. d x. sin β − p.σu . d x. cos β
dFbc sin(α + β) = g. d x. sin α + p.σu . d x. cos β
Les armatures de couture doivent ´quilibrer par m`tre de longueur du plan [P ]
e
e
un effort :
d Fst
At
At fe
=
σst =
.
dx
st
st γs
OG 2004

54. 54
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Compte tenu du fait que g = τu .p, la r´solution du syst`me d’´quations (5.3.2)
e
e
e
conduit ` :
a
At fe sin α sin β + cos α cos β
p st γs
cos β
= τu tan β − σu
Pour β = 45◦ , on obtient la mˆme formule que celle propos´e par le BAEL en
e
e
A.5.3,12. Dans les cas habituellement rencontr´s en BA, on a aussi α = 90◦
e
(armatures de couture perpendiculaires au plan [P ]), ce qui conduit ` la formule
a
simplifi´e (commentaire du A.5.3,12 ) :
e
At fe
= τu − σu
p st γs
Connaissant la contrainte de cisaillement τu , il est donc possible d’en d´duire la
e
section At et l’espacement st des aciers de couture. La valeur de τu d´pend du
e
type de plan [P ] que l’on consid`re (plan de l’ˆme, liaison hourdis/ˆme, liaison
e
a
a
talon/ˆme, . . . ).
a
5.3.3
Liaison hourdis/ˆme
a
Consid´rons une poutre en T , dont la table de compression de largeur b est supe
pos´e sym´trique. Il se produit dans cette table des contraintes de cisaillement
e
e
parall`lement et perpendiculairement aux faces verticales de l’ˆme. Il y a donc
e
a
un risque de s´paration entre la table de compression et l’ˆme de la poutre.
e
a
Les armatures de coutures (droites) doivent reprendre l’effort de cisaillement
(σu = 0) :
At fe
= τu ,
h1 st γs
o` h1 est l’´paisseur du hourdis.
u
e
Hypoth`se : Les calculs suivants sont men´s en supposant que les mat´riaux
e
e
e
travaillent dans le domaine ´lastique (hypoth`se des calculs aux ELS), puis
e
e
transpos´s aux ELU sans modifications.
e
Isolons un demi-hourdis. Comme indiqu´ sur la Figure 42, ce demi-hourdis est
e
en ´quilibre sous :
e
- des contraintes normales sur ses faces M N P Q et M N P Q
- des contraintes de cisaillement sur sa face M N M N
Les contraintes normales en x sur M N P Q ont pour r´sultante :
e
b/2
b0 /2
h1
y1 −h1
σbc (y). d y d z =
Mser
I1
b/2
h1
ydydz =
b0 /2
y1 −h1
Mser
I1
mG
o` mG est le moment statique de la section M N P Q par rapport ` l’axe neutre.
u
a
Son expression est :
b − b0
h1
mG =
h1 (y1 − )
2
2

55. 5.3
R`gles des coutures g´n´ralis´es (A.5.3 )
e
e e
e
55
Fig. 42: Notations et ´quilibre d’un demi-hourdis d’une poutre en T.
e
Dans la section situ´e en x+d x, de fa¸on identique la r´sultante des contraintes
e
c
e
normales sur M N P Q vaut :
Mser + d Mser
I1
mG
En faisant l’hypoth`se compl´mentaire que les contraintes de cisaillement
e
e
sont uniformes sur le plan M N M N , l’´quilibre du demi-hourdis conduit ` :
e
a
Mser + d Mser
I1
mG −
Mser
I1
mG + τ h1 d x = 0
Hors, d Mser / d x = −V , et l’expression pr´c´dente se simplifie :
e e
V
I1
mG = τ h1
Dans le cas particulier o` y1 = h1 (Hypoth`se d’axe neutre confondu avec le nu
u
e
inf´rieur du hourdis), la d´finition du bras de levier zb peut s’´crire zb = I1 /m1 ,
e
e
e
o` m1 est le moment statique du hourdis (m1 = bh1 (y1 − h1 /2)) et il vient (en
u
rempla¸ant τ par τu et V par Vu ) :
c
τu =
Vu mG
h1 I1
=
Vu mG m1
h1 m1 I1
=
Vu b − b0 1
h1
2b
zb
qui correspond ` la formule du BAEL (commentaire de l’article A.5.3,2 ). On
a
obtient alors la section d’acier de couture ` mettre en place :
a
At ≥
Vu b − b0 st
zb 2b fsu
Comme pour tous les calculs ` l’effort tranchant, on adopte comme bras de levier
a
zb = 0.9d. L’espacement st des aciers de couture est g´n´ralement identique `
e e
a
celui des cadres de l’ˆme.
a
OG 2004

56. 56
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Fig. 43: Notations pour le calcul des aciers de couture ` la liaison talon/ˆme.
a
a
5.3.4
Liaison talon/ˆme
a
Les notations utilis´es sont d´finies sur la Figure 43. Le calcul est men´ de
e
e
e
fa¸on identique ` celui du hourdis, mais ici, comme le b´ton tendu est n´glig´,
c
a
e
e e
les moments statiques se r´duisent ` :
e
a
mG = Al1 (d − y1 ) pour un demi-talon contenant une section d’aciers longitudinaux Al1 ,
m1 = Al (d − y1 ) pour le talon entier contenant la section d’aciers longitudinaux
Al .
En notant h0 l’´paisseur du talon, l’´quation (5.3.3) conduit ` :
e
e
a
τu =
Vu mG m1
h0 m1 I1
=
Vu Al1 1
h0 Al zb
Cette formule est celle donn´e dans le commentaire de l’article A.5.3,2 du BAEL.
e
La section d’acier de couture ` mettre en place pour la liaison talon/ˆme est
a
a
donn´e par :
e
At ≥
Vu Al1 st
zb Al fsu

57. 57
6
Dalles sur appuis continus (A.8.2 ; B.7 ; E.3)
6.1
D´finitions et Notations
e
Une dalle est un ´l´ment horizontal, g´n´ralement de forme rectangulaire, dont
ee
e e
une des dimensions (l’´paisseur h) est petite par rapport aux deux autres (les
e
port´es lx et ly ). On d´signe par lx la plus petite des port´es. On s’int´resse
e
e
e
e
au rapport des port´es lx /ly ≤ 1. Dans le cas courant o` il n’y a pas d’appareil
e
u
d’appuis, les port´es sont d´finies entre nus int´rieurs des poutres ou des voiles
e
e
e
porteurs.
6.2
Domaine d’application (A.8.2)
On d´signe par dalles sur appuis continus, les dalles dont le rapport des port´es
e
e
lx /ly est sup´rieur ` 0.4 (on a 0.4 ≤ lx /ly ≤ 1). Lorsque le rapport des
e
a
port´es est inf´rieur ` 0.4, la dalle est calcul´e comme une poutre-dalle de
e
e
a
e
largeur unitaire, soit isostatique soit continue (dans ce cas, on appliquera la
m´thode forfaitaire ou la m´thode de Caquot pour d´terminer les moments de
e
e
e
continuit´).
e
6.3
6.3.1
Dalle articul´e sur ces contours
e
Cas des charges r´parties
e
La th´orie des plaques minces fournie les ´quations (diff´rentielles) qui pere
e
e
mettent de d´terminer les moments fl´chissants dans une plaque mince. La
e
e
fl`che u(x, y) d’une plaque supportant une charge r´partie p est solution de
e
e
l’´quation:
e
∂4u
∂4u
∂4u
+ 2 2 2 + 4 = p/D,
∂x4
∂x y
∂y
o` D = Eh3 /(12(1 − ν 2 ) est la rigidit´ de la plaque. Les moments sont alors
u
e
donn´s par
e
M0x = −D
∂2u
∂x2
+ν
∂2u
∂y 2
et M0y = −D
∂2u
∂y 2
+ν
∂2u
∂x2
La r´solution de ces ´quations n´cessite une int´gration num´rique et c’est
e
e
e
e
e
pour cette raison que le BAEL propose des m´thodes approch´es sous formes
e
e
d’abaques.
Pour cela, on pose
2
M0x = µx plx
et M0y = µy M0x .
o` les coefficients µx et µy sont des fonctions du rapport des port´es lx /ly et
u
e
du type d’´tat limite consid´r´ (puisque la valeur du coefficient de Poisson n’est
e
ee
pas identique ` l’ELU et ` l’ELS). La valeur de la charge surfacique d´pend
a
a
e
aussi de l’´tat limite consid´r´ (p = pu ` l’ELU et p = pELS ` l’ELS).
e
ee
a
a
En raison de l’article A.8.2,41, qui stipule que le rapport de la section des
aciers armant la direction la moins sollicit´e sur celle armant la direction la plus
e
sollicit´e doit ˆtre sup´rieur ` 1/4, la valeur du coefficient µy est limit´e ` 0.25.
e
e
e
a
e a
OG 2004

58. 58
B´ton Arm´ IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
e
e
Le tableau suivant donne les valeurs de µx et µy pour l’ELU (ν = 0) et l’ELS
(ν = 0.2).
lx /ly
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
ELU ν = 0
µx
µy
0.1101
0.2500
0.1036
0.2500
0.0966
0.2500
0.0894
0.2500
0.0822
0.2948
0.0751
0.3613
0.0684
0.4320
0.0621
0.5105
0.0561
0.5959
0.0506
0.6864
0.0456
0.7834
0.0410
0.8875
0.0368
1.0000
ELS ν = 0.2
µx
µy
0.1121
0.2854
0.1063
0.3234
0.1000
0.3671
0.0936
0.4150
0.0870
0.4672
0.0805
0.5235
0.0743
0.5817
0.0684
0.6447
0.0628
0.7111
0.0576
0.7794
0.0528
0.8502
0.0483
0.9236
0.0441
1.0000
Comme le montre ce tableau, µy ≤ 1, ce qui signifie que le moment le plus
important est dans le sens de la petite port´e et par cons´quent, la direction
e
e
parall`le aux petits cot´s sera la plus arm´e. Ce r´sultat qui peut paraˆ
e
e
e
e
ıtre
surprenant (on a tendance ` vouloir mettre plus d’acier si la port´e est plus
a
e
grande) vient du fait que la part des charges transmise dans la direction de la
petite port´e est plus importante que celle transmise dans la direction de la
e
grande port´e.
e
6.3.2
Autres types de charges
On calcule les moments en trav´e M0x et M0y de la dalle articul´e sur son
e
e
contour par la th´orie des plaques minces. Ceci n´cessite souvent un calcul
e
e
num´rique, de type ´l´ments finis ou l’aide d’Abaques.
e
ee
Par exemple, pour une dalle charg´e par une charge r´partie q sur une surface
e
e
rectangulaire centr´e de cot´ u selon lx et v selon ly , on pourra utiliser un
e
e
abaques de Mougin. En entr´e, il faut donner α = u/lx et β = v/ly , ce qui
e
permet de d´terminer M1 et M2 , puis les moments en trav´e par:
e
e
M0x = (M1 + νM2 )quv
et M0y = (νM1 + M2 )quv,
o` le coefficient de poisson ν vaut 0 ` l’ELU et 0.2 ` l’ELS. Un abaques est
u
a
a
valable pour un rapport lx /ly . L’abaques donn´ en exemple sur la Figure 44 est
e
valable dans le cas particulier o` lx /ly = 0.5.
u
6.4
Prise en compte de la continuit´
e
Dans la r´alit´, les dalles en BA ne sont pas articul´es sur leurs contours. On
e e
e
prend en compte un moment d’encastrement, qui permet de diminuer dans
une certaine mesure la valeur des moments en trav´e d´termin´s pour la dalle
e e
e
articul´e . L’article A.8.2,32 stipule que:
e