1
Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
Module: Codage et représentation de
l'information
1ère
MI S1
2
Plan
• Fonctions logiques
Fonctions logiques
‫المنطقية‬ ‫الدوال‬
Fonction logique
Vrai
Faut
V1
V2
V3
V4
V5
...
F(V1,V2,…..Vn)
Fonction logique
F(A, B) = AB + AB
F(A,B) = 0 ou 1
Fonction logique
F(A, B) = AB + (A+B)
Table de vérité
F(0,0) = 0.0 + 0.0 =
1.0 +0.1 = 0+0=0
F(0,1) = 0.1 + 0.1 =
1.1 +0.0 ...
Exercice
F(A,B,C)= (A.B).(C+B)+A.B.C
Calculer F(0, 1, 1)
8
Exercice
F(A,B,C)= (A.B).(C+B)+A.B.C
Calculer F(0, 1, 1) = (0.1).(1+1)+0.1.1
= (0).(1)+0.0.1
=1.1+0.1.1
= 1+0
=1
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Table de vérité
• Tracer la table de vérité de F(A,B,C)
.C.BAB)C(.)B.A(C)B,F(A, 
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Solution
F(A,B,C)=(A . B).( C+B)+ A.B.C
F(0,0,0)= (0. 0).(0+0)+ 0 .0.0 =0
F(0,0,1)=(0. 0).(1+0)+ 0 .0.1 = 1
F(0,1,0)=(0...
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2ème forme canonique
A B C F
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Le produit des sommes
F(a,...
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Question ?
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Comment on peut écrire la fonction d...
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Forme canonique
A B C F
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On utilisant la table de
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2ème forme canonique
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Le produit des sommes
F(a,...
Forme canonique ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
• On appel forme canonique d’une fonction la forme ou chaque
terme de la fonction compo...
Première forme canonique
‫الول‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
• Première forme canonique (forme disjonctive) :
somme de produits
• C’...
Deuxième forme canonique
‫الثاني‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
• Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de sommes
• Le prod...
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1ère forme canonique
A B C F
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A BC minterm
ABC minterm
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2ème forme canonique
A B C F
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A+B+C maxterm
A +B+C maxterm
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A+B+C maxterm
A +B+C maxterm
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Exercice :
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Donner les formes canoniques
de F
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min terme:C.B.A
min terme...
Solution
1ère forme canonique
F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC
2ème forme canonique
F(A,B,C)= (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
(A+B+C)
Simplification
‫تبسيط‬
Question?
Est ce qu'on peut donner une forme plus
simple pour une fonction logique?
‫أبسط؟‬ ‫بشكل‬ ‫المنطقية‬ ‫الدالة‬ ‫كت...
Simplification?
Algébrique ‫جبري‬ ‫تبسيط‬
F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC
= ?
Simplification Algébrique
‫جبري‬ ‫تبسيط‬
F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC
=(ABC+ABC) + (ABC+ABC)+ (ABC+ABC)
=(ABC+ABC) + (ABC+ABC...
Simplification?
graphique
Tableau de Karnaugh
Simplification par la table
de Karnaugh
Les termes adjacents
B.AB.A 
•Ces termes sont dites adjacents. ‫متجاورة‬ ‫حدود‬
ABBABAAB  )(
•Examinons l’expression ...
Exemple de termes adjacents
DC.B.A.A.B.C.D
CB.A.A.B.C
BA.A.B
adjacentspassontnetermesCes
A.B.DDC.A.B.A.B.C.D
A.CCB.A.A.B.C...
•La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente.
• Méthode graphique pour detecter tous les termes
adjacents
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Tableaux à 3 variables
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adjacents
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Exemple 1 : 3 variables
Exercice : simplifier
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F(a,...
0 1
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A
B 00 01 11 10
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Tableau à 4 variables
Exemple 2 : 4 variables
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Exemple 2 : 4 variables
DCBACBADCDCBAF ......),,,( 
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Exercice : 4 variables
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Solution : 4 variables
DCBDBBADCBAF ),,,(
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Tableau à 5 variables
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Exemple : 5 variables
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AB
CD
U = 0 U= 1
CD
Exemple 4 : 5 variables
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AB
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AB
CD
U = 0 U= 1
UDBA...
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Alg ebre de boole ionction-logique-p1

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Alg ebre de boole ionction-logique-p1

  1. 1. 1 Algèbre de Boole Taha Zerrouki Taha.zerrouki@gmail.com Module: Codage et représentation de l'information 1ère MI S1
  2. 2. 2 Plan • Fonctions logiques
  3. 3. Fonctions logiques ‫المنطقية‬ ‫الدوال‬
  4. 4. Fonction logique Vrai Faut V1 V2 V3 V4 V5 ... F(V1,V2,…..Vn)
  5. 5. Fonction logique F(A, B) = AB + AB F(A,B) = 0 ou 1
  6. 6. Fonction logique F(A, B) = AB + (A+B) Table de vérité F(0,0) = 0.0 + 0.0 = 1.0 +0.1 = 0+0=0 F(0,1) = 0.1 + 0.1 = 1.1 +0.0 = 1+0=1 A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A.B+ A+B
  7. 7. Exercice F(A,B,C)= (A.B).(C+B)+A.B.C Calculer F(0, 1, 1)
  8. 8. 8 Exercice F(A,B,C)= (A.B).(C+B)+A.B.C Calculer F(0, 1, 1) = (0.1).(1+1)+0.1.1 = (0).(1)+0.0.1 =1.1+0.1.1 = 1+0 =1
  9. 9. 9 Table de vérité • Tracer la table de vérité de F(A,B,C) .C.BAB)C(.)B.A(C)B,F(A, 
  10. 10. 10 Solution F(A,B,C)=(A . B).( C+B)+ A.B.C F(0,0,0)= (0. 0).(0+0)+ 0 .0.0 =0 F(0,0,1)=(0. 0).(1+0)+ 0 .0.1 = 1 F(0,1,0)=(0. 1).(0+1)+ 0 .1.0 = 1 F(0,1,1)=(0. 1).(1+1)+ 0 .1.1 = 1 F(1,0,0)=(1. 0).(0+0)+ 1 .0.0 = 0 F(1,0,1)=(1. 0).(1+0)+ 1 .0.1 =1 F(1,1,0)=(1. 1).(0+1)+ 1 .1.0 = 0 F(1,1,1)=(1. 1).(1+1)+ 1 .1.1 = 0 A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
  11. 11. 11 2ème forme canonique A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 Le produit des sommes F(a,b,c)= (a+b+c)(a'+b+c) (a'+b'+c)(a'+b'+c')
  12. 12. 12 Question ? A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 Comment on peut écrire la fonction d'une manière plus pratique F(a,b,c)= (a.b)(c+b) +abc
  13. 13. 13 Forme canonique A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 On utilisant la table de vérité on peut écrire F(a,b,c)= a'b'c + a'bc' +a'bc + ab'c
  14. 14. 14 2ème forme canonique A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 Le produit des sommes F(a,b,c)= (a+b+c)(a'+b+c) (a'+b'+c)(a'+b'+c')
  15. 15. Forme canonique ‫القانوني‬ ‫الشكل‬ • On appel forme canonique d’une fonction la forme ou chaque terme de la fonction comportent toutes les variables. ‫كل‬ ‫فيه‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫الذي‬ ‫الشكل‬ ‫منطقية‬ ‫لدالة‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬ ‫نسمي‬ ‫المتغيرات‬ • Exemple : BCABCACABC)B,F(A, 
  16. 16. Première forme canonique ‫الول‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬ • Première forme canonique (forme disjonctive) : somme de produits • C’est la somme des min termes. ‫مجموع‬ (‫المفصول‬ ‫)الشكل‬ ‫الول‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬ ‫الدنيا‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ : ‫الجداءات‬ C.B.AC.B.AC.B.AC.B.A),,( CBAF •Cette forme est la forme la plus utilisée ‫استعمال‬ ‫أكثر‬ ‫الشكل‬ ‫هذه‬.
  17. 17. Deuxième forme canonique ‫الثاني‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬ • Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de sommes • Le produit des max termes ‫المجاميع‬ ‫جداء‬ (‫)الموصول‬ ‫الثاني‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬ ‫القصوى‬ ‫الحدود‬ ‫جداء‬ C)BA(C)BA)(CB(AC)BA(C)B,F(A, 
  18. 18. 18 1ère forme canonique A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 A BC minterm ABC minterm ABC minterm ABC minterm
  19. 19. 2ème forme canonique A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 A+B+C maxterm A +B+C maxterm A+ B +C maxterm A +B +C maxterm
  20. 20. 2ème forme canonique A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 A+B+C maxterm A +B+C maxterm A+ B +C maxterm A +B +C maxterm A BC minterm ABC minterm ABC minterm ABC minterm
  21. 21. 21 Exercice : A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Donner les formes canoniques de F
  22. 22. Solution A B C S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 min terme:C.B.A min terme:C.B.A min terme:C.B.A max terme:CBA min terme:C.B.A max terme:CBA max terme:CBA max terme:CBA    
  23. 23. Solution 1ère forme canonique F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC 2ème forme canonique F(A,B,C)= (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) (A+B+C)
  24. 24. Simplification ‫تبسيط‬
  25. 25. Question? Est ce qu'on peut donner une forme plus simple pour une fonction logique? ‫أبسط؟‬ ‫بشكل‬ ‫المنطقية‬ ‫الدالة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬ F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC
  26. 26. Simplification? Algébrique ‫جبري‬ ‫تبسيط‬ F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC = ?
  27. 27. Simplification Algébrique ‫جبري‬ ‫تبسيط‬ F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC =(ABC+ABC) + (ABC+ABC)+ (ABC+ABC) =(ABC+ABC) + (ABC+ABC)+ (ABC+ABC) = BC(A+A) + AC (B+B)+ AB(C+C) =BC +AC +AB
  28. 28. Simplification? graphique Tableau de Karnaugh
  29. 29. Simplification par la table de Karnaugh
  30. 30. Les termes adjacents B.AB.A  •Ces termes sont dites adjacents. ‫متجاورة‬ ‫حدود‬ ABBABAAB  )( •Examinons l’expression suivante :
  31. 31. Exemple de termes adjacents DC.B.A.A.B.C.D CB.A.A.B.C BA.A.B adjacentspassontnetermesCes A.B.DDC.A.B.A.B.C.D A.CCB.A.A.B.C BBA.A.B adjacentssonttermesCes      
  32. 32. •La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente. • Méthode graphique pour detecter tous les termes adjacents ‫الحدود‬ ‫لكتشاف‬ ‫رسومية‬ ‫طريقة‬ ‫وهو‬ ،‫التجاور‬ ‫قاعدة‬ ‫على‬ ‫يعتمد‬ ‫كارنو‬ ‫جدول‬ ‫المتجاورة‬ Table de karnaugh
  33. 33. b c 00 b c 01 b c 10 bc 11 0 1 bc a Tableaux à 3 variables Tableau de Karnaugh adjacents Non adjacents
  34. 34. b c 00 b c 01 bc 11 b c 10 0 1 BC A Tableaux à 3 variables Tableau de Karnaugh adjacents
  35. 35. Tableau de Karnaugh
  36. 36. TV => Karnaugh A B C S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 BC A
  37. 37. Simplification de Karnaugh 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 BC A AB BC AC
  38. 38. 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 1 AB C Exemple : 3 variables
  39. 39. 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 1 AB C ABCCBAF ),,( Exemple 1 : 3 variables
  40. 40. Exercice : simplifier A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 00 01 11 10 0 1 BC A
  41. 41. Solution A B C S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 00 01 11 10 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 BC A F(a,b,c)=C
  42. 42. 0 1 0 1 A B 00 01 11 10 0 1 AB C Tableaux à 3 variablesTableau à 2 variables
  43. 43. 00 01 11 10 00 01 11 10 AB CD Tableau à 4 variables
  44. 44. Exemple 2 : 4 variables 00 01 11 10 00 1 01 1 1 1 1 11 10 1 AB CD
  45. 45. Exemple 2 : 4 variables DCBACBADCDCBAF ......),,,(  00 01 11 10 00 1 01 1 1 1 1 11 10 1 AB CD
  46. 46. Exercice : 4 variables 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 11 1 10 1 1 AB CD
  47. 47. Solution : 4 variables DCBDBBADCBAF ),,,( 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 11 1 10 1 1 AB CD
  48. 48. 00 01 11 10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 AB CD Tableau à 5 variables U = 0 U= 1
  49. 49. Exemple : 5 variables 00 01 11 10 00 1 01 1 1 11 1 1 10 1 AB 00 01 11 10 00 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 AB CD U = 0 U= 1 CD
  50. 50. Exemple 4 : 5 variables 00 01 11 10 00 1 01 1 1 11 1 1 10 1 AB 00 01 11 10 00 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 AB CD U = 0 U= 1 UDBAA ....UD.C.AU.B.D.BAU)D,C,B,F(A,  CD

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