Université de Bouira, Mathématique et informatique Cours codage et représentation de l'information S1

1. 1
Algèbre de Boole
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
Module: Codage et représentation de
l'information
1ère
MI S1

2. 2
Plan
• Fonctions logiques

3. Fonctions logiques
‫المنطقية‬ ‫الدوال‬

4. Fonction logique
Vrai
Faut
V1
V2
V3
V4
V5
...
F(V1,V2,…..Vn)

5. Fonction logique
F(A, B) = AB + AB
F(A,B) = 0 ou 1

6. Fonction logique
F(A, B) = AB + (A+B)
Table de vérité
F(0,0) = 0.0 + 0.0 =
1.0 +0.1 = 0+0=0
F(0,1) = 0.1 + 0.1 =
1.1 +0.0 = 1+0=1
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A.B+ A+B

7. Exercice
F(A,B,C)= (A.B).(C+B)+A.B.C
Calculer F(0, 1, 1)

8. 8
Exercice
F(A,B,C)= (A.B).(C+B)+A.B.C
Calculer F(0, 1, 1) = (0.1).(1+1)+0.1.1
= (0).(1)+0.0.1
=1.1+0.1.1
= 1+0
=1

9. 9
Table de vérité
• Tracer la table de vérité de F(A,B,C)
.C.BAB)C(.)B.A(C)B,F(A, 

10. 10
Solution
F(A,B,C)=(A . B).( C+B)+ A.B.C
F(0,0,0)= (0. 0).(0+0)+ 0 .0.0 =0
F(0,0,1)=(0. 0).(1+0)+ 0 .0.1 = 1
F(0,1,0)=(0. 1).(0+1)+ 0 .1.0 = 1
F(0,1,1)=(0. 1).(1+1)+ 0 .1.1 = 1
F(1,0,0)=(1. 0).(0+0)+ 1 .0.0 = 0
F(1,0,1)=(1. 0).(1+0)+ 1 .0.1 =1
F(1,1,0)=(1. 1).(0+1)+ 1 .1.0 = 0
F(1,1,1)=(1. 1).(1+1)+ 1 .1.1 = 0
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0

11. 11
2ème forme canonique
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Le produit des sommes
F(a,b,c)= (a+b+c)(a'+b+c)
(a'+b'+c)(a'+b'+c')

12. 12
Question ?
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Comment on peut écrire la fonction d'une
manière plus pratique
F(a,b,c)= (a.b)(c+b) +abc

13. 13
Forme canonique
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
On utilisant la table de
vérité on peut écrire
F(a,b,c)= a'b'c + a'bc'
+a'bc + ab'c

14. 14
2ème forme canonique
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Le produit des sommes
F(a,b,c)= (a+b+c)(a'+b+c)
(a'+b'+c)(a'+b'+c')

15. Forme canonique ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
• On appel forme canonique d’une fonction la forme ou chaque
terme de la fonction comportent toutes les variables.
‫كل‬ ‫فيه‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫الذي‬ ‫الشكل‬ ‫منطقية‬ ‫لدالة‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬ ‫نسمي‬
‫المتغيرات‬
• Exemple :
BCABCACABC)B,F(A, 

16. Première forme canonique
‫الول‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
• Première forme canonique (forme disjonctive) :
somme de produits
• C’est la somme des min termes.
‫مجموع‬ (‫المفصول‬ ‫)الشكل‬ ‫الول‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
‫الدنيا‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ : ‫الجداءات‬
C.B.AC.B.AC.B.AC.B.A),,( CBAF
•Cette forme est la forme la plus utilisée
‫استعمال‬ ‫أكثر‬ ‫الشكل‬ ‫هذه‬.

17. Deuxième forme canonique
‫الثاني‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
• Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de sommes
• Le produit des max termes
‫المجاميع‬ ‫جداء‬ (‫)الموصول‬ ‫الثاني‬ ‫القانوني‬ ‫الشكل‬
‫القصوى‬ ‫الحدود‬ ‫جداء‬
C)BA(C)BA)(CB(AC)BA(C)B,F(A, 

18. 18
1ère forme canonique
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A BC minterm
ABC minterm
ABC minterm
ABC minterm

19. 2ème forme canonique
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A+B+C maxterm
A +B+C maxterm
A+ B +C maxterm
A +B +C maxterm

20. 2ème forme canonique
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
A+B+C maxterm
A +B+C maxterm
A+ B +C maxterm
A +B +C maxterm
A BC minterm
ABC minterm
ABC minterm
ABC minterm

21. 21
Exercice :
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Donner les formes canoniques
de F

22. Solution
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1 min terme:C.B.A
min terme:C.B.A
min terme:C.B.A
max terme:CBA
min terme:C.B.A
max terme:CBA
max terme:CBA
max terme:CBA





23. Solution
1ère forme canonique
F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC
2ème forme canonique
F(A,B,C)= (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
(A+B+C)

24. Simplification
‫تبسيط‬

25. Question?
Est ce qu'on peut donner une forme plus
simple pour une fonction logique?
‫أبسط؟‬ ‫بشكل‬ ‫المنطقية‬ ‫الدالة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬
F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC

26. Simplification?
Algébrique ‫جبري‬ ‫تبسيط‬
F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC
= ?

27. Simplification Algébrique
‫جبري‬ ‫تبسيط‬
F(A,B,C)= ABC+ABC+ABC+ABC
=(ABC+ABC) + (ABC+ABC)+ (ABC+ABC)
=(ABC+ABC) + (ABC+ABC)+ (ABC+ABC)
= BC(A+A) + AC (B+B)+ AB(C+C)
=BC +AC +AB

28. Simplification?
graphique
Tableau de Karnaugh

29. Simplification par la table
de Karnaugh

30. Les termes adjacents
B.AB.A 
•Ces termes sont dites adjacents. ‫متجاورة‬ ‫حدود‬
ABBABAAB  )(
•Examinons l’expression suivante :

31. Exemple de termes adjacents
DC.B.A.A.B.C.D
CB.A.A.B.C
BA.A.B
adjacentspassontnetermesCes
A.B.DDC.A.B.A.B.C.D
A.CCB.A.A.B.C
BBA.A.B
adjacentssonttermesCes







32. •La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente.
• Méthode graphique pour detecter tous les termes
adjacents
‫الحدود‬ ‫لكتشاف‬ ‫رسومية‬ ‫طريقة‬ ‫وهو‬ ،‫التجاور‬ ‫قاعدة‬ ‫على‬ ‫يعتمد‬ ‫كارنو‬ ‫جدول‬
‫المتجاورة‬
Table de karnaugh

33. b c
00
b c
01
b c
10
bc
11
0
1
bc
a
Tableaux à 3 variables
Tableau de Karnaugh
adjacents
Non adjacents

34. b c
00
b c
01
bc
11
b c
10
0
1
BC
A
Tableaux à 3 variables
Tableau de Karnaugh
adjacents

35. Tableau de Karnaugh

36. TV => Karnaugh
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
00 01 11 10
0 1
1 1 1 1
BC
A

37. Simplification de Karnaugh
00 01 11 10
0 1
1 1 1 1
BC
A
AB
BC
AC

38. 00 01 11 10
0 1
1 1 1 1 1
AB
C
Exemple : 3 variables

39. 00 01 11 10
0 1
1 1 1 1 1
AB
C
ABCCBAF ),,(
Exemple 1 : 3 variables

40. Exercice : simplifier
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
00 01 11 10
0
1
BC
A

41. Solution
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1
BC
A
F(a,b,c)=C

42. 0 1
0
1
A
B 00 01 11 10
0
1
AB
C
Tableaux à 3 variablesTableau à 2 variables

43. 00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
Tableau à 4 variables

44. Exemple 2 : 4 variables
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1 1
11
10 1
AB
CD

45. Exemple 2 : 4 variables
DCBACBADCDCBAF ......),,,( 
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1 1
11
10 1
AB
CD

46. Exercice : 4 variables
00 01 11 10
00 1 1
01 1 1 1
11 1
10 1 1
AB
CD

47. Solution : 4 variables
DCBDBBADCBAF ),,,(
00 01 11 10
00 1 1
01 1 1 1
11 1
10 1 1
AB
CD

48. 00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
Tableau à 5 variables
U = 0 U= 1

49. Exemple : 5 variables
00 01 11 10
00 1
01 1 1
11 1 1
10 1
AB
00 01 11 10
00 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1
AB
CD
U = 0 U= 1
CD

50. Exemple 4 : 5 variables
00 01 11 10
00 1
01 1 1
11 1 1
10 1
AB
00 01 11 10
00 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1
AB
CD
U = 0 U= 1
UDBAA ....UD.C.AU.B.D.BAU)D,C,B,F(A, 
CD