Campus centre                Chapitre 7                Torsion pure                               1
Campus centre                       DéfinitionUne poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément deréduction a...
Campus centre                  Etude des déformations • Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en ,   s...
Campus centre                     Etude des déformations                                              Si Mt<MA, on est da...
Campus centre                    Etude des déformationsEn torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainteta...
Campus centre                            Etude des contraintes  On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que ...
Etude des contraintes  Campus centre   On a donc : Mt                 G. .I0   On sait aussi que :                 G. .   ...
Campus centre                 DimensionnementCondition de résistanceLe dimensionnement des solides soumis à la torsion pur...
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Chapitre 7 torsion pure

  1. 1. Campus centre Chapitre 7 Torsion pure 1
  2. 2. Campus centre DéfinitionUne poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément deréduction au centre de gravité de chaque section des forces decohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé momentde torsion. N=Ty=Tz=0 , Mfy=Mfz=0 , Mt 0 M M G A B L 2
  3. 3. Campus centre Etude des déformations • Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en , soumise à l’extrémité à un moment de torsion M α .G α1 M1 Mt M’ M0 α M M’ M’1 L’expérience montre que, pour S0 S l S1 une section et un moment de torsion donnés, on a : :angle de torsion unitaire (rad/mm) l1 : angle total de torsion de (S)/(S0) (rad)l: distance entre (S) et (S0) (mm) 3
  4. 4. Campus centre Etude des déformations Si Mt<MA, on est dans le domaine élastique, l’angle est proportionnel au moment appliqué α1 α M M1 Si Mt>MA, on est dans le domaine M0 plastique, l’angle n’est plus M’ M’1 proportionnel au moment appliqué S0 S On appelle , l’angle MM0M’. Cet angle l S1 représente l’angle de glissement de (S)/(S0) (ou distorsion). On a :
  5. 5. Campus centre Etude des déformationsEn torsion, les sections du solide sont soumises à une contraintetangentielle (ou de cisaillement). Nous avons vu (cf. chapitre VI) larelation liant les contraintes et les déformations:On obtient donc:Avec: : la contrainte de cisaillement, G : le module de Coulomb, : angle unitaire de torsion, : distance du point considéré à l’axe Gx. 5
  6. 6. Campus centre Etude des contraintes On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous l’action du moment de torsion Mt et des forces de cohésion dans la section (S). dS : élément de surface situé à une distance der dS l’axe Gx, soumis à une contrainte de cisaillement G L’effort élémentaire de cisaillement dF vaut donc: dF .dSL’équilibre de l’élément isolé s’écrit donc: Mt S . .dSOr : G. .D’où : M t S ².G. .dSComme G. est identique pour chaque dS, on obtient finalement : Mt G. . ².dS Mt G. .I0 Moment d’inertie S polaire 6 de (S)/ à G
  7. 7. Etude des contraintes Campus centre On a donc : Mt G. .I0 On sait aussi que : G. . On peut donc exprimer la contrainte de cisaillement en fonction de Mt, on obtient: Mt . I0 La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance / au c.d.g. de la section et est maximale pour = r : max max Mt max r. I0I0 : module de torsion (mm3 ) r 7 max max
  8. 8. Campus centre DimensionnementCondition de résistanceLe dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera enlimitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée Rpg(résistance pratique au glissement = contrainte tangentielleadmissible adm) définie par :On obtient ainsi l’inéquation (d’équarrissage) suivante: 8
  9. 9. Campus centre DimensionnementCondition de déformationOn utilise souvent l’angle limite de torsion pour dimensionner unepièce soumise à la torsion (surtout dans le cas d’arbres de grandelongueur). Mt limOn obtient ainsi l’inéquation suivante: G.I 0 ou M t . lim G.I 0 P Mt .Avec : P : puissance en Watts Mt : moment de torsion en N.m : vitesse angulaire en rad/sSi la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir : 2. .n 60 9

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